Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

440

Гпава

Исследуем знак приращения функции в точках достаточно

близких к точке М^.

2 2

Приращение Az = z{M) -Z{MQ)

-х^ —у^ имеет отрица-

тельный знак при любых отличных от нуля значениях х,у. Таким

образом, точка М^ есть точка максимума z^^ = 1.

9.2.

Найти экстремальные

значения:

а) и

xyz{4

-x-y-z);

б) 5x45/+5z^-2xy-2xz-2>^z~72=0.

Решение, а) Функция трех переменных. Находим частные

производные:

—

yz{4-x-y''z)-xyz, —

xz(4-x-y-z)'-xyz

дх оу

= xy{4-x-y-z)-xyz,

Приравнивая их к нулю, находим стационарные точки

МДО;0;0) иМ^О;!;!).

Вычисляем вторые частные производные: —j

-2yz^

дх

—-^=-2xz =

-2JCV

= z(4-2x-2v-z)

ду^' ' az' ^' дхду ^ ^ ^'

—— = X(4-X-2>;-2Z)-^ = J;(4-2JC-J-2Z). Нетрудно за-

оуо2:

dxdz

метить, что второй дифференциал в точке М, равен нулю. По-

этому для выяснения существования экстремума рассмотрим

приращение функции в точке Mj(0;0;0), т.е.

Aw = w(M) - и{М^)

xyz{4 -x-y-z)

Так как знак приращения функции в точках М, достаточно

близких к точке

М^

(0;

0),

может быть как положительным, так

и отрицательным, то экстремума функции в точке М^ нет.

Исследуем функцию на экстремум в стационарной точке

М2

(1,1,1).

Для этого выясним знак определителя (4) в точке Мз

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКиИЙ

441

-2 -1 -1

-1 -2 -1

-1 -1 -2

:^<0.

Поскольку квадратичная форма отрицательна, то в точке

МтО;!;!) функция имеет максимум

и^^^

-1.

б) Функция

двух независимых переменных х,у задана не-

явно.

Найдем частные производные. Полагая

F{x,у,z) =

Ъх^

Л-Ъу^

Л-Ъг^

-1ху-Ixz-2yz-12

0, будем иметь

Эх

\0x-2y—2z

Эг

Эу

_ \0y-2x-2z

\0z-2x-2y' ^~~^~~ \0z-2x-2y

Приравнивая производные к нулю: 10x-2j^-2z = 0 и

10>'-2x-2z =

О,

будем иметь х

у, z = 5x-j = 4x. Исключая j

и Z из

исходного выражения 1 ОхЧ

5 • 16 х^

- 2х^ - 8х^ -

8х^

- 72 =

О,

получим две стационарные точки х

±\.

Вычислим вторые производные

А =

a'z (10-2z;)(10z-2x-27)-(10x-2;;-2z)(10z; -2)

(10z-2x-2>')'

(-2 -

2z'

)(1

- 2х - 2у) - (1 Ох -

2>^

- 2z)(l

Oz'^

- 2)

С =

дх'

d'z ^

ЭхЭу

(10z-2x-2>;)'

(10-2z;)(10z-2x-27)-(10j;-2x-2z)(10z^-2)

Э^z

Э/ (10z-2x-2j^)'

Найдем значение D

АС-В^ в точке х

\. Вычисляя

производные: А

, В

—, С

, будем иметь

18 18 18

442 Гпава 8

= -—^

^;;^>0.

Таккак ^<0,товточке;с =

>^==1

функ-

25 \_

18'

18' 27

ция имеет максимум.

Найдем теперь значение D

точке х

-\. Вычисляя про-

5 15 2

изводные: а

—, 5 = , С = —, получим ^ = — > О.

18 18 18 ^/

Поскольку

> О, то в точке х

-\ функция имеет ми-

нимум.

9.3.

Найти

размеры прямоугольного бассейна данного объе-

ма Ктак, чтобы на облицовку его поверхности потребовалось

наименьшее количество плитки.

Решение. Пусть х — длина, у — ширина, z — высота бас-

сейна. Тогда его объем равен

V =

xyz. Полная поверхность бас-

сейна S

2(x

y)z . Исключая отсюда z, будем иметь

S = ху4-2

/ V V^

^х у

Исследуем функцию S(x,y) на

экстремум.

Найдем частные

производные

и приравняем их к нулю

\х^у = 2V,

[y^x

2V,

Из решения системы имеем XQ=yQ=0 и х

y/lV

•

По-

скольку нулевой вариант нас не устраивает, то подставляя хиу

в уравнение связи V

xyz, находим высоту z = ~v2F

ПИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ 443

8.10. Наибольшие

наименьшие

значения функций

Пусть функция

= /(М) определена и непрерывна в неко-

торой ограниченной

замкнутой области

Для отыскания наи-

большего (наименьшего) значения функции следует найти все

экстремумы функции, лежащие внутри

Z),

и экстремумы на гра-

нице. Наибольшее (наименьшее) из всех этих значений и будет

искомым решением.

Если установлено, что наибольшее или наименьшее значе-

ние функции имеет место во внутренних точках области

Z),

то,

сравнив их между собой и в тех граничных точках, которые при-

надлежат

Z),

найдем искомое наибольшее (наименьшее) значе-

ние функции.

Если область D не является ограниченной и замкнутой, то

среди значений функции z = /(М) в ней может и не быть ни

наибольшего, ни наименьшого значения. Наличие или отсут-

ствие наибольшего (наименьшего) значения функции в этом

случае определяется из рассмотрения конкретных условий за-

дачи.

10.1.

Найти наибольшее

наименьшее значения функции:

а) z =

x^-j;^-jc

jv;

х = 0,

у-\\

б) z = x^+3/+x->;; х =

= l, x +

= l;

в) z = sinjc

sinj;-sin(x

3;);

= 0,

= 0, хЛ-у-Ъ1.

Решение, а) Заданная область представляет прямоугольник.

Найдем стационарные точки функции z, лежаш[ие внутри пря-

моугольника. Частные производные приравниваем к нулю:

z^ =2л:-1 = 0, z\, =:-2j +

= 0. Отсюда

х^—,у-

—

Следовательно, имеется одна критическая точка М

Г2

444 Г пава 8

Значение функции в этой точке z(M) = О. Исследование функ-

ции на экстремум в этой точке не обязательно.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на

границе заданной области.

При х =

имеем z = -у^ +

jv,

т. е. задача сводится к отыс-

канию наибольшего и наименьшего значения этой функции на

отрезке

< ;; < 1. Находим стационарную точку z^ - -2у +1;

1 „ ... 1

>•

—.

Поскольку

z"^

= -2 < о, то точка у

= —

является точкой

/ 1 Л

максимума z„

В граничных точках функция равна z(0,0) = 0; z(0,1) = О.

При

имеем z

x^ -х . Исследуем эту функцию на от-

резке 0<у<2.

Находим z[=2x-l; ^ =

—;

^^=2>0. Точка ^^IZ —

точка минимума; z^j^ —;0

z(0,0) = 0 и z(2,0) = 2.

—. На границе отрезка

М ^

= --^. На

При у = I имеем z

х^ —х . Отсюда z,

границе отрезка z(0,1) =

и z(2,1) = 2.

При х

2 имеем z

2-y^

Исследуем эту функцию на

отрезке

jv'

< 1.

i, /' =-2<0.Точка

= -

2 '' 2

Находим z'^ =-2;;

+1,

= —,

z^^ =-2<0

Точка

—

точка максимума, z^

z(2,0) = 2, z(2,l) = 2.

2;—

=2—. На границе отрезка

ПИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ

445

Сравнивая вычисленные значения

во внутренней стацио-

нарной точке и на границе заданной области, находим, что наи-

( Л 9

большее значение функция имеет в точке z^\ 2;— =—.

у 2) А

Наименьшее значение функции равно z^j„ = —. Наименьшее

значение функция принимает в двух точках

—; О

У,

б) Заданная область представляет треугольник (рис. 8.1).

Найдем стационарные точки:

z'^

= 2х

+1,

z[=6y-\, х^= —,

Уо

—.

Поскольку имеется одна стационарная точка и она ле-

жит вне треугольника, то функция может иметь наименьшее и

наибольшее значения только на границе области. Исследуем

функцию на наибольшее и наименьшее значения на границе.

Рис. 8.1

При

имеем z =

Ъу^

- у. Исследуем эту функцию на

отрезке

< 1.

Находим z^=6j;-l,

У =

-, z^=6>0. Точка

У =

- —

6 о

446

Гпава 8

( \\ 2Ъ

точка минимума; ^-^^ И;— = —

•

На границе отрезка

V 6J 12

2(1,0) = 2, 2(1,1) = 4.

При ;; =

имеем 2 =

х^

л:

+ 2. Исследуем эту функцию на

отрезке

< 1.

Находим 2^ = 2х

+1,

= —. Так как точка х = — лежит

2 2

вне отрезка, то вычисляем значения функции на границе отрез-

ка: 2(0,1) = 2 и 2(1,1) = 4.

При

имеем z

Ау^ -4у

2. Исследуем эту функ-

цию на отрезке 0<j;<l. Находим

^у-^У"^-,

>^~т;

2 =

О .

Точка

-'Z — точка минимума 2„

2'2

= 1. В

уу . 2

граничных точках функция равна 2(0,1) = 2, 2(1,0) = 2 .

Сравнивая значения функции на границе заданной облас-

ти,

находим наименьшее значение z^^^\ —^т

2 2

и наибольшее

в) Заданная область представляет треугольник (рис. 8.2).

Ищем стационарные точки, лежащие внутри области. На-

ходим производные и приравниваем их к нулю

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ 447

^^ / ч л 3^ / ч /л

•—= cos X

cos(x

;;)

О,

— =

cos

cos(jc

у)

= О

ox ду

Из решения системы имеем: cos x-cos

= 0,

. хЛ-у . х-у

sin sin = 0, у

±х-{-

2кк . Поскольку х изменяется в

промежутке

< х < 2л:, то достаточно рассмотреть случай j = х.

Функция при у-х примет вид z = 2sinjc-sin2x . Откуда

z[=2

cos jc

2 cos

2x,

cos

x - cos 2x = 0, 2x

±x

2кк .

Значение x

—

2kn

не

лежит внутри области и его не следует

рассматривать.

Следовательно, у

х-—кк и при к-

это будет точка

2к 2к

= —, у^ = —. Так как точка {х^.у^) — единственная ста-

ционарная точка в области и функция в ней равна z = , то

на границе, т. е. при х =

О,

х-^-

2к функция равна нулю

2 = 0.

точке {х^,у^) функция принимает наибольшее значение,

а на границе наименьшее.

10.2.

На плоскости Оху найти точку М{х,у), сумма квад-

ратов расстояний которой от трех прямых:

х = 0,

= 0, х-у+

1 =

0 была бы наименьшей.

Решение. Заданные прямые в прямоугольной системе ко-

ординат образуют треугольник. Возьмем произвольную точ-

ку М{х,у) внутри треугольника и определим квадраты

расстояний до соответствующих прямых. Поскольку квадра-

ты расстояний до прямых х = О,

соответственно равны

х^

и у^

,3.

квадрат расстояния от точки до прямой х-у+

1 =

^ . \Ах

Ву

С\

по формуле а = —. — равен

^x-y

l"^"

, то сумма

448 Г пава

квадратов расстояний будет

и^х^

л-у^

-\-—{x-y-\-Xf.

Исследуем

эту

функцию двух переменных

на

экстремум:

т—=

3x--j^

+ l

= 0,

——

-х

+ 3>'--1

= 0.

Отсюда единственная

ох

бу

стационарная точка M(jc, у^ имеет координаты

х- —, У-

— ^

Так

как А

—Г'^З'

^- -~^'

^~—Г"^

Ъх ЪхЪу

Ъу

AC-'B^ =8>0

при А>0 (С >

0),

то в

точке

М\—,-

функция

суммы квадратов расстояний минимальна.

10.3.

Из

всех треугольников данного периметра

2р

найти

тот, который имеет наибольшую площадь.

Решение. Обозначим стороны треугольника через x,y,z;

тогда по формуле Герона

^р(р - х)(р - у){р -

или, учи-

тывая,

что х

у'^г

2р,

будем иметь

^Jp(p-x)(p-y)ix-^y-p).

Чтобы найти наибольшее значение площади, достаточно

найти наибольшее значение подкоренной функции

ip-'x){p-y){x

y-p).

Вычисляем производные

приравниваем их нулю

—

-(р-у)(х

у-р)

(р-у){р-х)

ах

—

-{р-х)(х

у-р)

(р-х)(р-у)

ду

Из решения системы уравнений находим единственную ста-

ционарную точку

—^.

Находим вторые производные

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ 449

, д^и 2р р_ Э^ц _ /? ^_Э^м_ 2/7

в этой точке: Л = -—г = ——, ^ ~ Т1Г ~ Т

~ ТТ ~ ;~

•

Эх^ 3 охду 3 ' Эу 3

Поскольку i) = ^С-5 = ^^ >

и ^ <

(С < 0), то ис-

следуемая функция имеет в этой точке максимум.

2/7

Вопрос о максимуме функции в точке х

y-z

— мож-

но было бы решить и чисто геометрически.

данном случае мы

имеем

равносторонний треугольник

площадь треугольника мак-

симальна, поскольку, чем больше отличается размер одной сто-

роны от двух других, тем площадь треугольника меньше.

10.4.

Представить положительное число а в виде произве-

дения четырех положительных множителей так, чтобы их сумма

была наименьшей.

Решение. По условию задачи требуется найти наименьшее

значение суммы S

x-\-y-hz

t при

условии,

что xyzt

Пред-

ставляя t в виде t

и подставляя это выражение в сумму,

xyz

будем иметь S

z-i-

т. е. функцию трех переменных,

xyz

причем х>0, у>0, 2>0. Найдем стационарную точку.

Для этого вычислим производные и приравняем их к нулю

dS _ ayz ^^ -} ^^^ _ п ^'^ -1 ^^У - п

ах (xyz) ду (xyz) ду (xyz)

Решая эту систему уравнений, находим, что

х = у = Z = t = л/а , т. е. все множители равны. Докажем, что в

этой точке сумма принимает максимальное значение. Действи-

тельно, при приближении какой-либо переменной к пограничным

значениям х = 0, у = 0, z = 0 равно как и при удалении в беско-

нечность, функция суммы S бесконечно возрастает. Следова-