Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

450

Гпава 8

тельно, найденная стационарная точка будет той точкой, в кото-

рой сумма

будет наименьшей.

8.11.

Условный экстремум.

Метод множителей Лагранжа

1°.

Условным экстремумом функции z

f{x,y) в точке

MQ(XQ,JVO) называется экстремум этой функции, достигнутый

при условии, что переменные х,у в окрестности этой точки удов-

летворяют уравнению связи (р(х,у)

0, т. е. /(М^) > /(М) или

f{M,)<f(M) при (р(х,у)

0 и МФМ,,

Для отыскания условного экстремума составляют функцию

Лагранжа

u{x,y,X)

f{x,y)

l(p{x,y\ (1)

где Я — неопределенный постоянный множитель (множитель

Лагранжа).

Необходимые условия условного экстремума определяют-

ся системой

Эх Эл: Эд;

ду ду ду

(2)

(р(,х,у)

Пусть

>'о, Яо

— решение этой системы. Составим опре-

делитель

D = -

0 <р'Лм,) <р;{м„)

(3)

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИЙ 451

Если £) <

О,

то функция z = /(jc, у) имеет

точке М^

(JCQ

у^)

условный максимум, а если D >

— условный минимум.

2°.

Функция нескольких независимых переменных z = z{x.)

(/ =

1,2,...

,«) в точке

MQ(X*')

имеет условный экстремум, если В

некоторой окрестности точки М^ для всех ее точек х^, удовлет-

воряющих уравнениям связи

ф^

(JC.)

= 0,

(А:

= 1,2, ...,

w < /i),

выполняется неравенство f(MQ)>f(M)vf{MQ)<f{M);

Функция л агранжа имеет вид

к=\

где \(к =

1,2,...

,т) — множители Лагранжа, причем их число

соответствует числу уравнений связи.

Необходимые условия условного экстремума определяют-

ся системой п

+ т

уравнений

= 0

(/ =

1,2,...,«);

ОХ.

[(Р,{М)

0 (/: =

1,2,...,т).

Решая эту систему относительно неизвестных, находим Х^ и

координаты точки х^, в которой возможен условный экстремум.

Достаточные условия условного экстремума:

если второй дифференциал

d^u{x^,

Х^ ,dx.)<0, при усло-

вии, что dx- удовлетворяет уравнениям

уМШ«г,=0

l,2,...,m)

(5)

при \dxf^O , то функция z = z(x.) в точке М^{х^) имеет ус-

ловный максимум;

452 Г пава 8

2) если d^u{x^,X^,dx.)

О, при условии (5), то функция в

точке Mo(jcf) имеет условный минимум.

11.1.

Найти условные экстремумы функций: а) z^x-^Sy

при х^+у^=10; б) u

x-2y

2z при

х'^

+y^

z^ =9;

в) u

xyz при x

y-\-z

xy-^yz

Решение, а) Геометрически задача сводится к отысканию

наибольшего, наименьшего значения апликаты z плоскости

z-хЛ-Ъу для точек пересечения ее с цилиндром

jc^

>^^

= 10.

Составим функцию Лагранжа w(x,j,A) =

-хЛ-Ъу'\-Х{х^ л-у^ -\Qi) и найдем частные производные:

— =

+ 2Хх\ — =

+ 2Ху. Необходимые условия существова-

Ъх Эу

ния экстремума определяются системой (2)

+ 2Ях = 0,

2Я>;

= 0,

jc'+/=10,

которая имеет

решения:

jc^ =

j;^

Я, = —, jc^ =

-1,

^2 = -3 ,

^ 2

дх^ ' дхду ' ду^

Поскольку

^:;;-у

= 2Я, ^ ^ =0,

Т7-7

= 2Я, то

d^u = 2Я(^х^ +dy^), При

= —; J^w < О, следовательно, фун-

кция имеет в точке М^(1,3) условный максимум z^^ = 10. При

=—; d^u>0, следовательно, функция имеет в точке

М2(-1,-3) условный минимум z^j„ =-10.

Условный максимум, минимум функции может быть най-

ден также с помощью определителя (3). Для этого находим в

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ

453

точке М, : ^(x,;;)

jc^+/-10, ^;[(М,) = 2,

ф^(Л/,)

= 6,

1/;(М,Д)

-1,

<(М,Д) = 0,

1/;(М,Д)

= -1

|0 2 б|

= -40<0,

2 -1 О

|б О -l|

т. е. функция в точке Л/, имеет условный максимум.

Аналогично, в точке М^

-2 -61

-2 1 ОI

-6 О 1

D = -

= 40>0,

т. е. функция имеет в точке М^ условный минимум.

б) Функция трех независимых переменных. Составим фун-

кцию Лагранжа

W = A:-27 + 2Z +

A(JC^+/+Z^-9)

и найдем частные производные

^ =

2Ax,

^ = -2 +

2Ях,

^ =

+ 2Az.

Ъх Ъу dz

Запишем необходимые условия существования условного

экстремума

|1 +

2Ях

\-Ху

Из решения этой системы имеем

>Li=-.

^1=-1.

J^i=2,

z,=-2,

Д^=--,

Х2=1, 3^2 =-2,

Z2=2.

Вычислим вторые производные

454 Гпава 8

a'w

.. a'vv ., э'

2л,

—

2Я, ^

—

2Л,

d'w d'w д''

дхду dxdz dydz

и найдем второй дифференциал в первой критической точке

d^w\ -1,2,-2,— =

О.

Поскольку знак второго дифференциа-

ла функции Лагранжа положительный, то исследуемая функция

в этой точке имеет условный минимум и^^

-9.

Знак второго дифференциала во второй критической точке

J w(l,-2, 2,—) = -1 <

отрицательный, следовательно, в этой

точке функция имеет условный максимум и^^

9 .

в)

данном случае уравнений связи два. Составляем функ-

цию Лагранжа

= xyz

X^(x

z-5)

+ X2

(ху

xz-S).

Необходимые условия существования условного экстрему-

ма определяются системой уравнений

—-

X^+A^y

A^z

ох

—

A^+

A^z

Л^х

О,

ду

—

ху-\-Х^+

Х^у

)^х =

О,

Ъz

_у

+ Z = 5, ху + yz-bxz = S.

Из решения этой системы уравнений находим критические

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ

ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ

455

точки: М,(2,2,1), М^

/7 4 4^

-,-,-U3(2,1,2),MJ-,-,-

М5(1,2,2),М,

З'З'З

Вычисляем вторые частные производные

d'w d'w д'-

дх'

ду' dz'

Э^

X„

д'

+ l2,

d'w

y + l2

дхду ''' dydz ^' dxdz

и определяем знак второго дифференциала в стационарных

точках. В точке М, d^w(2,2,1,

= -1) = 4 >

функция име-

ет условный

4 7_ . _

З'З'З'^"

симум и^^

минимум

4. в

точке

М.

-4 <

функция имеет условный мак-

4—

Аналогично вычисляется знак второго диф-

ференциала и в четырех остальных точках. Так в точках

М^,М^ функция имеет условный минимум равный

и^-^

= 4, а

в точках Л/4, Mg — максимум и^^ =4

11.2.

эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед

наибольшего объема.

Решение. В силу симметрии заданных геометрических фи-

гур достаточно исследовать на условный экстремум функцию

объема V - xyz, т. е. объема параллелепипеда расположенного

в первом октанте. Учитывая, что уравнение связи есть уравне-

ние эллипсоида, составим функцию Лагранжа

xyz +

^х'

/ z' ,

-г

-Г-1

456 Гпава 8

ди « 2х

= yZ + A —

дх а

ди

2у ди . 2z

—- = xz +

A—Г-,

-—= ху + Я —

ду b dz с

стремума будет

ои « .

Находим частные производные -^

У^'^^-2'

ох ('"

^2у ди ^Iz ^

+ A^, — =

ху

Я-у,

тогда

необходимое

условие

эк-

yz + X-^ = 0, xz + X-^ =

а b

. 2z ^ х^ у^ z^ ,

с а о с

л/з л/З

Решая эту систему, будем иметь х

±а —, у

±Ь—,

= ±с—. Поскольку рассматривается только первый октант,

то условный экстремум будет в точке с координатами

л/З

я ^

а—, у=^Ь—, z

= c

—. Отсюда следует, что прямоу-

гольный параллелепипед наибольшего объема имеет измерения

2л/з ^ 2л/з 2^3

х = а , у = о , z = c .

Глава 9

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ

9*1*

Касательная и нормаль к плоской кривой

1°.

Понятие касательной и нормали

прямоугольных коор-

динатах давалось в гл. 7. п.5.

случае неявного задания кривой F(x,y) =

уравнение ка-

сательной в точке

(Х(,,Уо)

имеет вид

Г:(х,у)(х-х,) + Г;(х,у)(у-у,) =

(1)

Уравнение нормали

Fy(x,

у)(х -

Хо)

- F;(X, У)(У -Уо) = 0

или

р'

р' (2)

X у

2°.

Если кривая задана параметрически х =

(p{tX

y=\l/{t)

и имеет угловой коэффициент tga = -7, то уравнение каса-

тельной

458 Гпава 9

У-Уо-—у^^^о)

или —7—-—Г-- (3)

•^0 -^0 Уо

Уравнение (3) справедливо и для случая, когда

х^'

= О, а

j;'

О, т. к. это означает, что равен нулю и соответствующий

предыдущий член. Только в особой точке, где х'

0 и у'

0 ,

уравнение (3) теряет смысл.

3°.

Если кривая задана полярным уравнением р = р{(р), то,

переходя

прямоугольным координатам х

cos

(р,

psincp,

угол наклона касательной определяется выражением

/^ p^sincp + pcosip

tg« = -r = -7 : • (4)

X р coscp-psmq) ^ ^

Рис. 9.1

Положение касательной в полярных координатах обычно

определяют углом в

продолжением радиус-вектора

(рис.

9.1 ),

а не углом а с полярной осью

tge=-^^. (5)

Р.

1.1. Найти уравнение касательной и нормали к кривой

2х^ -xV -Зх

;; +

в точке М(1,~2).

Решение. Функция задана

неявно.

Для нахождения уравне-

ния касательной воспользуемся уравнением

(1).

Находим значе-

ния частных производных в заданной точке

ПРИПО^КЕНИЕ ПИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

459

6JC^-2ху^-3; —

Эх Эх

-- = -2х>' +

-—

оу ду

= -5.

Таким образом, ~5(х-1) + 5(у + 2) =

или х-у-3

Уравнение нормали находим по формуле (2):

5(х-1)

5{у

0 или х +

;;

= 0.

1.2. Написать уравнение касательной и нормали к циклои-

де

- sin

= 1"

cos t

в точке М, для которой / =

-— •

Решение. Находим координаты точки М:

к . к к ^ , к .

Хп

= sin —= 1,

Уп

=l-cos —=

'2 2 2 -^^ 2

^ dy sin t „ ..

Вычислим производную — = и найдем угловой ко-

—cos^

эффициент касательной в точке М:

/ю=-

1-COS

Таким образом, уравнение касательной примет вид

у-\

X +

или х-у

h 2

= о. уравнение нормали, со-

X +

илих+у = 0.

2 2

ответственно, будет

-1 = -

1.3. Определить положение касательной и нормали к лем-

нискате р^ = 2а^

cos

2(р.

Решение. Воспользуемся формулой

(5).

Продифференциру-

ем

уравнение лемнискаты, считая р функцией

<р

pp^=-2a^sin2^.