Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1
Подождите немного. Документ загружается.
òèì îäíó èç îáêëàäîê, íàïðèìåð îáêëàäêó À, çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ s,òîâî
âðåìÿ, êîãäà ïî ïðîâîäíèêó, ïåðåñåêàþùåìó ýòó ïîâåðõíîñòü, ïðîòåêàåò ê îá
-
êëàäêå À òîê ïðîâîäèìîñòè i
ïð
, â äèýëåêòðèêå îáðàçóåòñÿ òîê ñìåùåíèÿ, ïðîõî
-
äÿùèé ñêâîçü ïîâåðõíîñòü s èçíóòðè íàðóæó è â òî÷íîñòè ðàâíûé òîêó i
ïð
â ïðî
-
âîäíèêå. Ëèíèè òîêà ñìåùåíèÿ â äèýëåêòðèêå ÿâëÿþòñÿ ïðîäîëæåíèåì ëèíèé
òîêà â ïðîâîäíèêå. Äåéñòâèòåëüíî, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðàâëåíî îò ïîëîæè
-
òåëüíîé îáêëàäêè À ê îòðèöàòåëüíîé Â è ïðè ýòîì âîçðàñòàåò. Ñëåäîâàòåëüíî,
ëèíèè òîêà ñìåùåíèÿ íàïðàâëåíû òàêæå îò ïîëîæèòåëüíîé îáêëàäêè ê îòðèöà
-
òåëüíîé. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ïðîòåêàþùèé â ïðîâîäíèêå ê ïîëîæèòåëüíîé îá
-
êëàäêå â âèäå òîêà ïðîâîäèìîñòè, ïðîäîëæàåò ïðîòåêàòü â äèýëåêòðèêå êàê òîê
ñìåùåíèÿ è äàëåå îò îòðèöàòåëüíîé îáêëàäêè â ïðîâîäíèêå — âíîâü â âèäå òîêà
ïðîâîäèìîñòè. Òàêèì îáðàçîì, öåïü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé.
Åñëè îòêëþ÷èòü çàðÿæåííûé êîíäåíñàòîð îò èñ
-
òî÷íèêà ÝÄÑ è çàòåì çàìêíóòü åãî íà ðåçèñòîð ñ ñî
-
ïðîòèâëåíèåì r (ðèñ. 3.4), òî êîíäåíñàòîð íà÷íåò ðàç
-
ðÿæàòüñÿ. Òîê i
ïð
â ïðîâîäíèêå áóäåò ïðîòåêàòü îò
ïîëîæèòåëüíîé îáêëàäêè À ê îòðèöàòåëüíîé Â. Â äè-
ýëåêòðèêå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïî-ïðåæíåìó îñòàåòñÿ
íàïðàâëåííûì îò ïîëîæèòåëüíîé îáêëàäêè ê îòðè-
öàòåëüíîé. Îäíàêî òåïåðü ïîëå îñëàáåâàåò, è ñëåäî-
âàòåëüíî, âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà íàïðàâëåí ïðîòèâ
âåêòîðà ñìåùåíèÿ D. Ëèíèè òîêà ñìåùåíèÿ íàïðàâëåíû îò îòðèöàòåëüíîé îá-
êëàäêè ê ïîëîæèòåëüíîé è ÿâëÿþòñÿ ïðîäîëæåíèåì ëèíèé òîêà â ïðîâîäíèêå.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà (ñì. § 1.7), â ëþáîé
ìîìåíò âðåìåíè êàê ïðè çàðÿäêå, òàê è ïðè ðàçðÿäêå êîíäåíñàòîðà òîê ñìåùåíèÿ
â äèýëåêòðèêå ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà â òî÷íîñòè ðàâåí òîêó i
ïð
â ïðî-
âîäíèêàõ.
Òîê ñìåùåíèÿ ïðè ïåðåìåííîì íàïðÿæåíèè âîçíèêàåò íå òîëüêî â êîíäåíñà
-
òîðàõ, ò. å. â óñòðîéñòâàõ, ïîñòðîåííûõ ñïåöèàëüíî äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ èõ åìêî
-
ñòè, íî òàêæå è â äèýëåêòðèêå, îêðóæàþùåì ëþáûå ýëåìåíòû öåïè ïåðåìåííîãî
òîêà, ïîñêîëüêó ìåæäó ýòèìè ýëåìåíòàìè ñóùåñòâóåò ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå,
ò. å. ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Òàê, íàïðèìåð, òîê ñìåùåíèÿ âîçíèêàåò â
äèýëåêòðèêå ìåæäó ïðîâîäàìè ëèíèè ïåðåäà÷è, åñëè íàïðÿæåíèå ìåæäó ïðîâî
-
äàìè èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè (ñì. ðèñ. 1.19). Âñëåäñòâèå ýòîãî ïåðåìåííûé òîê â
ïðîâîäàõ ëèíèè íåîäèíàêîâ â ðàçíûõ ìåñòàõ ëèíèè, äàæå åñëè óäåëüíàÿ ïðîâî
-
äèìîñòü äèýëåêòðèêà ðàâíà íóëþ, òàê êàê âäîëü âñåé ëèíèè òîê îòâåòâëÿåòñÿ îò
ïðîâîäîâ ÷åðåç äèýëåêòðèê â âèäå òîêà ñìåùåíèÿ. Î÷åâèäíî, ïîýòîìó ïðîâîäà
ëèíèè ïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó, òàê æå êàê è êîíäåíñàòîð, îáëàäàþò åìêî
-
ñòüþ. Ñêàçàííîå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî óñòðîéñòâà ïðè ïåðåìåííîì òîêå. Òàê,
íàïðèìåð, â ðåîñòàòå ïðè ïåðåìåííîì òîêå ïîÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîå ïàäåíèå íà
-
ïðÿæåíèÿ, ò. å. â ïðîâîëîêå ðåîñòàòà è â îêðóæàþùåì åãî äèýëåêòðèêå âîçíèêàåò
ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ïîýòîìó ìåæäó îòäåëüíûìè ó÷àñòêàìè ïðîâî
-
ëîêè ðåîñòàòà ÷åðåç äèýëåêòðèê ïðîõîäÿò òîêè ñìåùåíèÿ, âñëåäñòâèå ÷åãî, ïðèí
-
öèïèàëüíî ãîâîðÿ, òîê â ðàçíûõ ìåñòàõ ïðîâîëîêè ðåîñòàòà èìååò ðàçëè÷íûå
çíà÷åíèÿ. Î÷åâèäíî, ïîýòîìó îòäåëüíûå ó÷àñòêè ðåîñòàòà îáëàäàþò ïî îòíîøå
-
íèþ äðóã ê äðóãó ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòüþ.
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 133
Ðèñ. 3.4
Åñëè ïî èíäóêòèâíîé êàòóøêå ïðîõîäèò ïåðåìåííûé òîê, òî â êàòóøêå â îò
-
äåëüíûõ åå âèòêàõ èíäóöèðóåòñÿ ïåðåìåííàÿ ÝÄÑ. Íà çàæèìàõ êàòóøêè è ìåæ
-
äó åå âèòêàìè ïîÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå, ò. å. ïåðåìåííîå ýëåêòðè
-
÷åñêîå ïîëå, ÷òî ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ â äèýëåêòðèêå ìåæäó âèòêàìè
êàòóøêè òîêîâ ñìåùåíèÿ. È â ýòîì ñëó÷àå, ñòðîãî ãîâîðÿ, òîê â ðàçëè÷íûõ ìåñ
-
òàõ ïðîâîëîêè êàòóøêè èìååò ðàçíûå çíà÷åíèÿ. Î÷åâèäíî, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò
ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü ìåæäó âèòêàìè êàòóøêè.
Èòàê, ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü ïðèíöèïèàëüíî âñåãäà ðàñïðåäåëåíà âäîëü âñåé
öåïè.
Òî æå ñëåäóåò ñêàçàòü è îá èíäóêòèâíîñòè öåïè. Íåò òàêîãî ó÷àñòêà öåïè, êî
-
òîðûé ïðè ïðîõîæäåíèè ïî íåìó òîêà íå îõâàòûâàëñÿ áû ìàãíèòíûì ïîòîêîì.
Ïîýòîìó ïðè ïåðåìåííîì òîêå íà êàæäîì ó÷àñòêå öåïè èíäóöèðóþòñÿ ÝÄÑ ñà
-
ìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè. Î÷åâèäíî, ïîýòîìó êàæäûé ó÷àñòîê, êàæäûé
ýëåìåíò öåïè îáëàäàåò èíäóêòèâíîñòüþ. Èíäóêòèâíîñòü èìåþò íå òîëüêî êàòóø
-
êè, íî è ïðîâîäà ëèíèè, ðåîñòàòû è ëþáûå äðóãèå ýëåìåíòû öåïè ïåðåìåííîãî
òîêà. Äàæå êîíäåíñàòîðû îáëàäàþò èíäóêòèâíîñòüþ, õîòÿ è î÷åíü ìàëîé. Òàêèì
îáðàçîì, èíäóêòèâíîñòü òàêæå âñåãäà ðàñïðåäåëåíà âäîëü âñåé öåïè.
Ïîãëîùåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè è ïðåîáðàçîâàíèå åå â òåïëîâóþ
ýíåðãèþ ïðè ïåðåìåííîì òîêå ïðîèñõîäÿò òî÷íî òàê æå âî âñåõ ýëåìåíòàõ öåïè.
Íå òîëüêî ðåîñòàòû, íî è èíäóêòèâíûå êàòóøêè, è ïðîâîäà ëèíèè, à òàêæå äðó-
ãèå ýëåìåíòû öåïè îáëàäàþò îòëè÷íûì îò íóëÿ ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì,
è ïðè ïðîõîæäåíèè òîêà â íèõ ïîãëîùàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ è ïðîèñ-
õîäèò âûäåëåíèå òåïëîòû. Åñëè êàòóøêà èìååò ñåðäå÷íèê èç ôåððîìàãíèòíîãî
ìàòåðèàëà, òî, êðîìå ïîòåðü ýíåðãèè â îáìîòêå êàòóøêè, ïðîèñõîäÿò ïîòåðè
ýíåðãèè â ñåðäå÷íèêå íà ãèñòåðåçèñ è íà âèõðåâûå òîêè.  êîíäåíñàòîðàõ ïðè ïå-
ðåìåííîì íàïðÿæåíèè èìåþò ìåñòî ïîòåðè â äèýëåêòðèêå. Â ýëåêòðîííûõ ëàì-
ïàõ òåïëîòà âûäåëÿåòñÿ íà àíîäå, òàê êàê óñêîðåííûå â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå
ýëåêòðîíû òåðÿþò çäåñü ñâîþ ñêîðîñòü. Â èîííûõ ïðèáîðàõ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ
ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò â òåïëîâóþ íå òîëüêî íà ýëåêòðîäàõ, íî è â ãàçîâîì ïðîìå
-
æóòêå ìåæäó ýëåêòðîäàìè.
Õàðàêòåðèçóÿ ñïîñîáíîñòü êàêîãî-ëèáî ó÷àñòêà öåïè ïðè ïðîõîæäåíèè ïî
íåìó òîêà ïîãëîùàòü ýëåêòðîìàãíèòíóþ ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíè
-
åì ýòîãî ó÷àñòêà, ìû â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêàçàííûì äîëæíû óòâåðæäàòü, ÷òî ýëåê
-
òðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ðàñïðåäåëåíî ïî âñåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.
Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, â êîòîðîé ýëåêòðè÷åñêèå ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè,
èíäóêòèâíîñòè è ýëåêòðè÷åñêèå åìêîñòè ðàñïðåäåëåíû âäîëü öåïè, íàçûâàþò
ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Ñîîòâåòñòâåííî, òîêè è
íàïðÿæåíèÿ â òàêèõ öåïÿõ ìåíÿþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè è îò îäíîé ïðî
-
ñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè äâóõ ïåðå
-
ìåííûõ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåò àíàëèç ïðîöåññîâ â öåïè.
 îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðîìàã
-
íèòíîé ýíåðãèè íå òîëüêî â òåïëîâóþ, íî è â äðóãèå âèäû ýíåðãèè, íàïðèìåð â
àêêóìóëÿòîðàõ ïðè èõ çàðÿäêå — â õèìè÷åñêóþ ýíåðãèþ, â äâèãàòåëÿõ — â ìåõà
-
íè÷åñêóþ ðàáîòó è ò. ä. Îäíàêî ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîâåðøàþòñÿ íå îáÿçàòåëüíî
âî âñåõ ýëåìåíòàõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.
134 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ïðè èçó÷åíèè ýíåðãåòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïåðåìåííîãî
òîêà íàì ïðèäåòñÿ îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèò
-
íîå ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ íîñèòåëÿìè îïðåäåëåííîãî êîëè÷åñòâà ýíåðãèè. Ïðè ïåðå
-
ìåííûõ òîêàõ è íàïðÿæåíèÿõ ýòè ïîëÿ èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè. Ïðè óñèëåíèè
ïîëåé çàïàñ ýíåðãèè â íèõ âîçðàñòàåò, ïðè îñëàáëåíèè ïîëåé — óáûâàåò, ïåðåõî
-
äÿ â äðóãèå âèäû ýíåðãèè èëè âîçâðàùàÿñü ê èñòî÷íèêàì ýíåðãèè, äåéñòâóþùèì
â öåïè.
Ïðè èçìåíåíèÿõ òîêà è íàïðÿæåíèÿ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, êàê óâèäèì â êîí
-
öå ÷åòâåðòîé ÷àñòè êóðñà ïðè ðàññìîòðåíèè ïåðåìåííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèñõîäèò èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ïðèñó
-
ùåé åìó ýíåðãèåé. Îäíàêî â îáû÷íûõ öåïÿõ ïðè ñðàâíèòåëüíî íèçêèõ ÷àñòîòàõ
òîêà è íàïðÿæåíèÿ èçëó÷åíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Íàêîíåö, îáðàòèì âíèìàíèå åùå íà îäíî ñóùåñòâåííîå îáñòîÿòåëüñòâî, îòìå
-
÷åííîå óæå â § 1.12, à èìåííî íà òî, ÷òî íàïðÿæåíèå ìåæäó äâóìÿ ëþáûìè òî÷êà
-
ìè À è  öåïè ïåðåìåííîãî òîêà çàâèñèò îò âûáîðà ïóòè ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè,
âäîëü êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ íàïðÿæåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, èìååì
ud
AB
A
B
=
ò
El
.Íî
äâà ðàçíûõ ïóòè, íàïðèìåð ïóòü Àm è ïóòü Àn (ñì. ðèñ. 1.35), îáðàçóþò çàìê-
íóòûé êîíòóð ÀmÂnÀ, ñ êîòîðûì ñöåïëÿåòñÿ ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê F,
ñóùåñòâóþùèé îêîëî ðàññìàòðèâàåìîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Èçìåíÿþùèéñÿ
ïîòîê F èíäóöèðóåò â êîíòóðå ÀmÂnÀ ÝÄÑ. Ñëåäîâàòåëüíî,
uu d d d d d
AmB AnB
AmBAnB AmBBnA AmBnA
-= - = + =
òòòò
El El El El El
ò
=- ¹
d
dt
F
0,
ò. å.
uu
AmB AnB
¹ .
Òàêèì îáðàçîì, åñëè áûòü ñîâåðøåííî ñòðîãèìè, òî íåëüçÿ ïðè ïåðåìåííîì
òîêå ãîâîðèòü î íàïðÿæåíèè ìåæäó êàêèìè-ëèáî äâóìÿ òî÷êàìè öåïè, â ÷àñòíî
-
ñòè, î íàïðÿæåíèè íà çàæèìàõ öåïè, êàê î íåêîòîðîé âïîëíå îïðåäåëåííîé âåëè
-
÷èíå. Ñëåäóåò ãîâîðèòü î íàïðÿæåíèè ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè öåïè âäîëü îïðåäå
-
ëåííîãî, çàäàííîãî ïóòè ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè.
Âñå èçëîæåííîå ñâèäåòåëüñòâóåò î áîëüøîé ñëîæíîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåñ
-
ñîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà.
3.4. Íàó÷íûå àáñòðàêöèè, ïðèíèìàåìûå â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïåé, èõ ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå è ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè.
Öåïè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè
Äàëåêî íå âî âñåõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âñþ ñëîæíîñòü ôèçè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà. Íàîáîðîò, â áîëüøèíñòâå
ñëó÷àåâ ìîæíî ñäåëàòü ðÿä äîïóùåíèé, ñóùåñòâåííî óïðîùàþùèõ çàäà÷ó è âìå
-
ñòå ñ òåì íå ïðèâîäÿùèõ ê çàìåòíûì îòêëîíåíèÿì îò äåéñòâèòåëüíîñòè.
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé âäîëü öåïè
íàáëþäàåòñÿ â ñðàâíèòåëüíî ðåäêèõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð â äëèííûõ ëèíèÿõ. Çíà
-
÷èòåëüíî ÷àùå ìàãíèòíîå è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëÿ ðàñïðåäåëÿþòñÿ âäîëü öåïè íå
-
ðàâíîìåðíî. Íà îäíèõ ó÷àñòêàõ öåïè, íàïðèìåð â êîíäåíñàòîðàõ, ïðåîáëàäàåò
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 135
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå è âûñòóïàþò íà ïåðâûé ïëàí ÿâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ åãî èçìå
-
íåíèÿìè; íà äðóãèõ ó÷àñòêàõ, íàïðèìåð â èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ, ïðåîáëàäàåò
ìàãíèòíîå ïîëå è îñíîâíûìè îêàçûâàþòñÿ ÿâëåíèÿ, âîçíèêàþùèå âñëåäñòâèå
èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Òî÷íî òàê æå è ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ ÷àñòî
áûâàåò ñîñðåäîòî÷åíî â îñíîâíîì â îäíîì èëè íåñêîëüêèõ ó÷àñòêàõ öåïè.
Ðàññìîòðèì â âèäå ïðèìåðà ðåîñòàò. Îí îáëàäàåò íàðÿäó ñ ñîïðîòèâëåíèåì r
òàêæå íåêîòîðîé åìêîñòüþ ìåæäó îòäåëüíûìè åãî âèòêàìè è íåêîòîðîé èíäóê
-
òèâíîñòüþ. Îäíàêî åñëè ÷àñòîòà ïåðåìåííîãî òîêà íåâåëèêà èëè âîîáùå òîê èç
-
ìåíÿåòñÿ ïî ëþáîìó çàêîíó äîñòàòî÷íî ìåäëåííî, òî òîêè ñìåùåíèÿ, îòâåòâëÿþ
-
ùèåñÿ îò ó÷àñòêîâ ïðîâîëîêè â äèýëåêòðèêå, íè÷òîæíû ïî ñðàâíåíèþ ñ òîêîì
ïðîâîäèìîñòè â ïðîâîëîêå ðåîñòàòà. Ýòèìè òîêàìè ñìåùåíèÿ â òàêîì ñëó÷àå
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ÷òî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî åìêîñòü Ñ ìåæäó ó÷àñòêàìè ïðî
-
âîëîêè ðåîñòàòà ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Òî÷íî òàê æå ïðè íèçêîé ÷àñòîòå
òîêà èëè âîîáùå ïðè ìåäëåííîì åãî èçìåíåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ýëåêòðîäâè
-
æóùåé ñèëîé ñàìîèíäóêöèè â ðåîñòàòå ïî ñðàâíåíèþ ñ ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ â
åãî ñîïðîòèâëåíèè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ïðèíÿòèþ ðàâíîé íóëþ èíäóêòèâíîñòè L
ðåîñòàòà. Èíûìè ñëîâàìè, àáñòðàãèðóÿñü îò äåéñòâèòåëüíî ñëîæíîé êàðòèíû
ÿâëåíèÿ, äîïóñêàåì, ÷òî ðåîñòàò îáëàäàåò òîëüêî ñîïðîòèâëåíèåì r ¹ 0 è èìååò
L = 0èÑ = 0. Çàìåòèì, ÷òî òàêîé ó÷àñòîê öåïè ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü òàêæå åãî
ïðîâîäèìîñòüþ g = 1/r.
Íà ïðàêòèêå íàõîäÿò øèðîêîå ïðèìåíåíèå óñòðîéñòâà, êîòîðûå ñïåöèàëü-
íî ñêîíñòðóèðîâàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî èõ îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ÿâëÿåòñÿ
ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå.
Ýëåìåíò ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ åãî ýëåê-
òðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, íàçûâàþò ðåçèñòîðîì.
 êà÷åñòâå äðóãîãî âàæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì êîíäåíñàòîð. Âïëîòü äî
âåñüìà âûñîêèõ ÷àñòîò ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èíäóêòèâíîñòüþ L êîíäåíñàòîðà è
ñ÷èòàòüñÿ òîëüêî ñ åãî åìêîñòüþ Ñ. Åñëè â öåïè èìåþòñÿ ðåîñòàò è êîíäåíñàòîð
è ýíåðãèÿ, ïîãëîùàåìàÿ â ðåîñòàòå, çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ýíåðãèþ, òåðÿåìóþ â
äèýëåêòðèêå êîíäåíñàòîðà, òî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïîñëåäíåé ìîæíî ïðåíåá
-
ðå÷ü èëè äàæå ìîæíî ó÷åñòü åå ïðè ðàñ÷åòå ñîîòâåòñòâóþùèì èçìåíåíèåì ñî
-
ïðîòèâëåíèÿ ðåîñòàòà. Ïðè òàêîé àáñòðàêöèè äîïóñêàåì, ÷òî êîíäåíñàòîð îáëà
-
äàåò åìêîñòüþ C ¹ 0, íî äëÿ íåãî L = 0èr = 0.
Íàêîíåö, âàæíûì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ èíäóêòèâíàÿ êàòóøêà. Åñëè ÷àñòîòà
òîêà â êàòóøêå íå ñëèøêîì âåëèêà, òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü òîêàìè ñìåùåíèÿ ìåæ
-
äó âèòêàìè ïðîâîëîêè êàòóøêè ïî ñðàâíåíèþ ñ òîêîì ïðîâîäèìîñòè â ñàìîé êà
-
òóøêå, ò. å. ïðåíåáðå÷ü åìêîñòüþ Ñ ìåæäó âèòêàìè êàòóøêè. Ïðè íå î÷åíü ìàëîé
÷àñòîòå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ â ñîïðîòèâëåíèè ïðîâîëîêè
êàòóøêè ïî ñðàâíåíèþ ñ èíäóöèðóåìîé â íåé ÝÄÑ, ò. å. ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ
ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè. Ïðè æåëàíèè ìîæíî ó÷åñòü ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè,
ïðåäïîëîæèâ óñëîâíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíî ñ êàòóøêîé, èìåþùåé r = 0, âêëþ÷åí
ðåîñòàò, îáëàäàþùèé ñîïðîòèâëåíèåì, ðàâíûì ñîïðîòèâëåíèþ ïðîâîëîêè äåé
-
ñòâèòåëüíîé êàòóøêè. Ïðè òàêîé àáñòðàêöèè ïîëàãàåì, ÷òî êàòóøêà îáëàäàåò
èíäóêòèâíîñòüþ L ¹ 0 è èìååò r = 0èC = 0.
136 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ïóñòü öåïü (ðèñ. 3.5) îáðàçîâàíà èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäè
-
íåííûõ ðåçèñòîðà (ó÷àñòîê àb), êîíäåíñàòîðà (ó÷àñòîê bñ)è
èíäóêòèâíîé êàòóøêè (ó÷àñòîê cd). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ ïðîèñ
-
õîäèò òîëüêî â ðåçèñòîðå íà ó÷àñòêå ab, ò. å. ÷òî íà ýòîì ó÷àñò
-
êå ñîñðåäîòî÷åíî âñå ñîïðîòèâëåíèå r öåïè. Áóäåì ïðåäïîëà
-
ãàòü, ÷òî òîêè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ ñóùåñòâóþò òîëüêî íà
ó÷àñòêå bc ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà, ò. å. ÷òî â ýòîì ó÷àñòêå ñîñðåäîòî÷å
-
íà åìêîñòü Ñ öåïè. Íàêîíåö, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê
èíäóöèðóåò ÝÄÑ òîëüêî â êàòóøêå íà ó÷àñòêå cd, ò. å. ÷òî â ýòîì ó÷àñòêå ñîñðåäî
-
òî÷åíà âñÿ èíäóêòèâíîñòü L öåïè.
Ïîäîáíîãî ðîäà ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, èìåþùèå â îáùåì ñëó÷àå çíà÷èòåëüíî áî
-
ëåå ñëîæíóþ êîíôèãóðàöèþ è ñîäåðæàùèå ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû, íàçûâàþò ýëåê
-
òðè÷åñêèìè öåïÿìè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè.
Ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå óêàçàííûõ íàó÷íûõ àáñòðàêöèé èñêëþ÷èòåëüíî âå
-
ëèêî. Ïðèíÿâ ñäåëàííûå â íèõ äîïóùåíèÿ, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü
òåîðèþ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, îõâàòûâàþùóþ
îãðîìíûé êëàññ ðåàëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ñîäåðæàùèõ ñàìûå ðàçëè÷íûå
òåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà. Ñþäà îòíîñÿòñÿ âñå îáû÷íûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ïðè
ïðîìûøëåííîé, à òàêæå ïðè çâóêîâîé ÷àñòîòå, çà èñêëþ÷åíèåì äëèííûõ ëèíèé
ïåðåäà÷è ýíåðãèè è ïðîòÿæåííûõ ëèíèé ñâÿçè. Ìíîãèå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, èñ-
ïîëüçóåìûå â ðàäèîòåõíèêå ïðè âåñüìà âûñîêèõ ÷àñòîòàõ, òàêæå ñ áîëüøîé òî÷-
íîñòüþ ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê öåïè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè.
×ðåçâû÷àéíî âàæíî ÷åòêî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè ïîäîá-
íûõ àáñòðàêöèé. Â ñàìîì äåëå, îäíà è òà æå ðåàëüíàÿ öåïü ìîæåò âåñòè ñåáÿ ðàç-
ëè÷íî ïðè ðàçíûõ ÷àñòîòàõ. Íàïðèìåð, åñëè ïðè íèçêîé ÷àñòîòå ìîæíî ïðåíåá-
ðå÷ü åìêîñòüþ ìåæäó âèòêàìè èíäóêòèâíîé êàòóøêè, òî ïðè î÷åíü âûñîêîé
÷àñòîòå òàêîå äîïóùåíèå äëÿ òîé æå êàòóøêè ìîæåò ïðèâåñòè ê ãðóáîé îøèáêå è
áóäåò ñîâåðøåííî èñêàæàòü äåéñòâèòåëüíóþ êàðòèíó ÿâëåíèÿ, òàê êàê ïðè âûñî
-
êèõ ÷àñòîòàõ â äåéñòâèòåëüíûõ óñëîâèÿõ òîêè ñìåùåíèÿ â äèýëåêòðèêå îêîëî
âèòêîâ êàòóøêè ìîãóò áûòü ñðàâíèìû ñ òîêîì â ïðîâîëîêå êàòóøêè.
 êà÷åñòâåííîì îòíîøåíèè çàâèñèìîñòü îò ÷àñòîòû òîêà è íàïðÿæåíèÿ çíà
-
÷åíèé ïîãðåøíîñòåé, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðè ðàññìîòðåíèè ðåàëüíûõ
öåïåé êàê öåïåé ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, ÿñíà èç èçëîæåííîãî â ïðå
-
äûäóùåì è â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôàõ. Êîëè÷åñòâåííûé êðèòåðèé äîïóñòèìîñòè
ïîäîáíîãî ðàññìîòðåíèÿ ìîæíî áóäåò óñòàíîâèòü òîëüêî ïîñëå èçó÷åíèÿ ïåðå
-
ìåííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â êîíöå ïîñëåäíåé ÷àñòè êóðñà. Òîãäà ìû âåð
-
íåìñÿ ê ýòîìó âàæíîìó âîïðîñó. Ñåé÷àñ æå òîëüêî ñôîðìóëèðóåì ýòîò êðè
-
òåðèé. Ìû óâèäèì, ÷òî ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
â ïðîñòðàíñòâå ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà. Â âîçäóõå ýòà ñêîðîñòü ðàâíà ñ » 3 × 10
8
ì/ñ.
Ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê öåïü ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïà
-
ðàìåòðàìè, åñëè ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé è òîêîâ â öåïè ñòîëü ìàëû,
÷òî çà âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí âäîëü âñåé öåïè â ëþáîì
íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé è òîêîâ îñòàþòñÿ ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ
ñ ïîëíûìè èõ èçìåíåíèÿìè â èññëåäóåìîì ðåæèìå. Ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ òîêàõ
è íàïðÿæåíèÿõ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà óñïåâàåò ïðîáåæàòü
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 137
Ðèñ. 3.5
âäîëü âñåé öåïè çà íè÷òîæíóþ äîëþ ïåðèîäà.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî íå ñ÷è
-
òàòüñÿ ñ âîëíîâûìè ïðîöåññàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàã
-
íèòíîå ïîëå, è èíòåðåñîâàòüñÿ â êîíäåíñàòîðàõ òîëüêî èçìåíåíèåì ýëåêòðè÷å
-
ñêîãî ïîëÿ, à â êàòóøêàõ — òîëüêî èçìåíåíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Äàëåå â ýòîé ãëàâå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ öåïè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåò
-
ðàìè.  ïåðâûõ äâåíàäöàòè ãëàâàõ âòîðîé ÷àñòè, à òàêæå âî âñåõ ãëàâàõ òðåòüåé
÷àñòè òàêæå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ öåïè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè. Öå
-
ïÿì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè áóäóò ïîñâÿùåíû ñåìíàäöàòàÿ è âîñåìíà
-
äöàòàÿ ãëàâû âòîðîé ÷àñòè.
3.5. Ïàðàìåòðû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå
ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå öåïè
Èç èçëîæåííîãî â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ÿñíî, ÷òî îñíîâíûìè ïàðàìåòðàìè
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÿâëÿþòñÿ ñîïðîòèâëåíèå r, åìêîñòü Ñ è èíäóêòèâíîñòü L.
Åñëè èìååò ìåñòî ýëåêòðîìàãíèòíîå âîçäåéñòâèå íà äàííóþ öåïü ñî ñòîðîíû
äðóãèõ öåïåé èëè äàæå åñëè âíóòðè äàííîé öåïè íàáëþäàåòñÿ òàêîå âîçäåéñòâèå
ñî ñòîðîíû îäíîãî åå ó÷àñòêà íà äðóãîé, òî â ÷èñëî ïàðàìåòðîâ öåïè âîéäåò åùå
âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü Ì.
Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïàðàìåòðû öåïè ïî÷òè âñåãäà â êàêîé-òî ìåðå çàâèñÿò îò òîêà
è íàïðÿæåíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèå r ìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì òîêà õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî
â ýòîì ñëó÷àå èçìåíÿåòñÿ òåìïåðàòóðà ïðîâîäíèêîâ. Åìêîñòü êîíäåíñàòîðà ìî-
æåò çàâèñåòü îò íàïðÿæåíèÿ, åñëè äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà äè-
ýëåêòðèêà â êîíäåíñàòîðå çàâèñèò îò íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Èí-
äóêòèâíîñòü êàòóøêè çàâèñèò îò òîêà, åñëè ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà
ñåðäå÷íèêà êàòóøêè çàâèñèò îò íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
 îáùåì ñëó÷àå çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ r, L è Ñ îò çíà÷åíèé òîêîâ, íàïðÿæå-
íèé èëè èõ íàïðàâëåíèé ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ ýëåê-
òðè÷åñêîé öåïè îêàçûâàþòñÿ íåëèíåéíûìè (êðèâûå 1 íà ðèñ. 3.6).
Çàâèñèìîñòü íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ ýëåìåíòà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè îò òîêà â
íåì íàçûâàþò âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé (ÂÀÕ) (ðèñ. 3.6, à).
Çàâèñèìîñòü çàðÿäà êîíäåíñàòîðà îò ïðèëîæåííîãî ê íåìó íàïðÿæåíèÿ íà
-
çûâàþò êóëîí-âîëüòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (ðèñ. 3.6, á).
Çàâèñèìîñòü ïîòîêîñöåïëåíèÿ ýëåìåíòà èëè ó÷àñòêà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè îò
òîêà â íåé íàçûâàþò âåáåð-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé (ðèñ. 3.6, â).
Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íåëèíåéíîñòè õàðàêòåðèñòèê âûðàæåíû
âåñüìà ñëàáî, èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è ïîëàãàòü ïàðàìåòðû öåïè íå çàâèñÿùèìè
íè îò òîêà, íè îò íàïðÿæåíèÿ.  ýòèõ ñëó÷àÿõ õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ ýëåê
-
138 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 3.6
òðè÷åñêîé öåïè îïðåäåëÿþòñÿ íà äèàãðàììàõ ïðÿìûìè ëèíèÿìè (êðèâûå 2 íà
ðèñ. 3.6). Òàêèå ýëåìåíòû öåïè íàçûâàþò ëèíåéíûìè. Ïðîöåññû â öåïÿõ,
ñîäåðæàùèõ òîëüêî ëèíåéíûå ýëåìåíòû, îïèñûâàþòñÿ ïðè ïîñòîÿííûõ òîêàõ
ëèíåéíûìè àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, à ïðè èçìåíÿþùèõñÿ âî âðåìåíè
òîêàõ — ëèíåéíûìè àëãåáðàè÷åñêèìè è äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Ñî
-
îòâåòñòâåííî, òàêèå öåïè íàçûâàþò ëèíåéíûìè ýëåêòðè÷åñêèìè öå
-
ïÿìè. Âñÿ âòîðàÿ ÷àñòü áóäåò ïîñâÿùåíà òåîðèè ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïåé.
Êîãäà ïàðàìåòðû ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò òîêà
èëè íàïðÿæåíèÿ è, ñîîòâåòñòâåííî, õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ ýëåìåíòîâ èìåþò íà
äèàãðàììàõ êðèâîëèíåéíûé õàðàêòåð, òàêèå ýëåìåíòû íàçûâàþò íåëèíåé
-
íûìè.Åñëè ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí íåëèíåéíûé ýëåìåíò,
òî îíà ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ.
Ìàãíèòíûå öåïè, ñîäåðæàùèå ó÷àñòêè èç ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ, êàê
ïðàâèëî, íåëèíåéíû, òàê êàê ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ýòèõ ìàòåðèàëîâ çàâèñèò
îò íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Èçó÷åíèå íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé èìååò áîëüøîå
ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå â ñâÿçè ñ øèðîêèì èñïîëüçîâàíèåì îñîáûõ ñâîéñòâ òà-
êèõ öåïåé â ñîâðåìåííûõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ, îñîáåííî â óñòðîé-
ñòâàõ àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ è ðåãóëèðîâàíèÿ, â ýëåêòðîèçìåðèòåëüíîé
òåõíèêå, â ðàäèîòåõíèêå è ò. ä. ßâëåíèÿ â íåëèíåéíûõ öåïÿõ áîëåå ñëîæíû, ÷åì
â ëèíåéíûõ, à ïîýòîìó áîëåå ñëîæíû è ìåòîäû àíàëèçà ÿâëåíèé â íåëèíåéíûõ
öåïÿõ. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ òåîðèè íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ
öåïåé áóäóò ðàññìîòðåíû â òðåòüåé ÷àñòè.
 äàëüíåéøåì â íàñòîÿùåé ãëàâå è âî âòîðîé ÷àñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
ïàðàìåòðû öåïè íå çàâèñÿò îò òîêà è íàïðÿæåíèÿ, à òàêæå, åñëè ýòî íå áóäåò îãî-
âîðåíî îñîáî, è îò âðåìåíè, ò. å. ÷òî îíè ïîñòîÿííû.
 âèäå ïðèìåðîâ ðàñ÷åòà âåëè÷èí Ñ è L ïîëó÷èì èõ âûðàæåíèÿ äëÿ íåêîòî
-
ðûõ ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ öåïè.
Åìêîñòü ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà îïðåäåëèì, ïðåíåáðå
-
ãàÿ èñêàæåíèåì ïîëÿ ó åãî êðàåâ. Ïðèìåíèì ïîñòóëàò
Ìàêñâåëëà ê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, îõâàòûâàþùåé çà
-
ðÿä q îäíîé ïëàñòèíû. Ñëåä ýòîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè
èçîáðàæåí íà ðèñ. 3.7 øòðèõîâîé ëèíèåé. ×àñòü ïîâåðõ
-
íîñòè âíóòðè êîíäåíñàòîðà ïðîâåäåì íîðìàëüíî ê ëèíè
-
ÿì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Ëèíèè ïîëÿ ïåðåñåêàþò òîëüêî
ýòó ÷àñòü çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, ðàâíóþ ïîâåðõíîñòè
ïëàñòèíû. Òàêèì îáðàçîì,
DsdDsq E
D
q
s
ò
== ==è
ee
.
Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ u
C
ïëàñòèí à è b êîíäåíñàòîðà ðàâíà ëèíåéíîìó èíòå
-
ãðàëó âåêòîðà Å âäîëü íåêîòîðîãî ïóòè ìåæäó ïëàñòèíàìè. Ïóñòü d — ðàññòîÿ
-
íèå ìåæäó ïëàñòèíàìè. Èçáèðàÿ ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ âäîëü ëèíèè íàïðÿæåí
-
íîñòè ïîëÿ è çàìå÷àÿ, ÷òî â îäíîðîäíîì ïîëå Å = const, ïîëó÷èì
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 139
Ðèñ. 3.7
udEdlEdlEd
q
s
d
C
a
b
a
b
a
b
=====
òò ò
El
e
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
C
q
s
d
==
u
C
e
.
Îïðåäåëèì åùå åìêîñòü îòðåçêà êîíöåíòðè÷åñêîãî êàáåëÿ äëèíîé l, ñ ðàäè-
óñîì âíóòðåííåãî ïðîâîäà r
1
è âíóòðåííèì ðàäèóñîì íàðóæíîãî ïðîâîäà r
2
(ðèñ. 3.8). Îêðóæèì âíóòðåííèé ïðîâîä çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, îáðàçîâàííîé
öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñ ðàäèóñîì r è äâóìÿ ïëîñêèìè òîðöåâûìè ïî-
âåðõíîñòÿìè íà êîíöàõ îòðåçêà êàáåëÿ. Ïîòîê âåêòîðà D ñêâîçü òîðöåâûå ïî-
âåðõíîñòè ðàâåí íóëþ. Ïðèìåíÿÿ ê ýòîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè ïîñòóëàò Ìàê-
ñâåëëà, ïîëó÷àåì
DsdDrlq E
D
q
ò
== ==2
2
p
eep
è
rl
,
ïðè÷åì q — çàðÿä ðàññìàòðèâàåìîãî îòðåçêà êàáåëÿ.
Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ u
C
ìåæäó âíóòðåííèì è íàðóæíûì ïðîâîäàìè îïðåäå
-
ëÿåòñÿ èíòåãðàëîì:
ud
q
dr
r
q
r
r
C
r
r
r
r
== =
òò
Er
1
2
1
2
2
1
2
2
1
eeppll
ln ,
è, ñëåäîâàòåëüíî,
C
r
r
=
2
2
1
pel
ln
.
Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ èíäóêòèâíîñòè òîãî æå êîíöåíòðè÷åñêîãî êàáåëÿ,
-
ïîëàãàÿ, ÷òî âíóòðåííèé ïðîâîä ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì, à íàðóæíûé — îáðàòíûì.
Íà ðèñ. 3.9 èçîáðàæåíû ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òàêîì êàáåëå.
Ìàãíèòíûì ïîòîêîì â òåëå îáðàòíîãî ïðîâîäà ïðåíåáðåãàåì ââèäó ìàëîé òîë
-
ùèíû ýòîãî ïðîâîäà. Ìàãíèòíîå ïîëå âíå êàáåëÿ îòñóòñòâóåò, òàê êàê ñóììà
140 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 3.8 Ðèñ. 3.9
òîêîâ â ïðÿìîì è îáðàòíîì ïðîâîäàõ ðàâíà íóëþ, è ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåí íóëþ
ëèíåéíûé èíòåãðàë íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âçÿòûé ïî ëþáîìó êîíòó
-
ðó, îõâàòûâàþùåìó âåñü êàáåëü. Òàêèì îáðàçîì, îñòàåòñÿ ó÷åñòü ïîòîê â èçîëè
-
ðóþùåì âåùåñòâå è ïîòîê â òåëå âíóòðåííåãî ïðîâîäà. Îáà ýòè ïîòîêà îïðåäåëÿ
-
þòñÿ òîëüêî òîêîì i âî âíóòðåííåì ïðîâîäå. Ðàññìàòðèâàåìûé ïðèìåð îñîáåííî
èíòåðåñåí òåì, ÷òî çäåñü íåîáõîäèìî ðàññ÷èòàòü ïîòîêîñöåïëåíèå, êîòîðîå îïðå
-
äåëÿåòñÿ ëèíèÿìè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïðîõîäÿùèìè â òåëå ñàìîãî ïðîâîäà.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â èçîëèðóþùåì ñëîå íàéäåì èç çàêîíà ïîëíîãî òîêà:
HldHriH
i
r
l
===
ò
2
2
p
p
;.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â òåëå âíóòðåííåãî ïðîâîäà ïîëó÷àåì èç ýòîãî çàêîíà,
ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàãíèòíûå ëèíèè çäåñü îõâàòûâàþò òîëüêî ÷àñòü òîêà, ðàâíóþ
i
r
r
p
p
2
1
2
:
HldHri
r
r
H
i
r
r
ò
== =2
2
2
1
2
1
2
p
p
;,
ïðè÷åì r — ðàññòîÿíèå îò îñè êàáåëÿ äî òî÷êè, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ Í.Ïî-
ñëåäíÿÿ ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà òîëüêî ïðè óñëîâèè ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
òîêà ïî ñå÷åíèþ ïðîâîäà, ò. å., ñòðîãî ãîâîðÿ, êàê óâèäèì äàëüøå, òîëüêî ïðè ïî-
ñòîÿííîì òîêå.
Ðàçäåëèì ïîòîê íà êîëüöåâûå òðóáêè, èìåþùèå ïðÿìîóãîëüíîå ïîïåðå÷íîå
ñå÷åíèå ds = ldr, ãäå l — äëèíà îòðåçêà êàáåëÿ. Ïîòîê ñêâîçü ñå÷åíèå òàêîé òðóáêè
dF=Bds=mHl dr.
Òðóáêè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ðàñïîëîæåííûå â ñëîå èçîëÿöèè, ñöåïëÿþòñÿ
îäèí ðàç ñî âñåì òîêîì i, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèíÿâ äëÿ âåùåñòâà èçîëÿöèè m = m
0
,
äëÿ ýòèõ òðóáîê èìååì
dd
i
r
ldrYF==m
p
0
2
.
Ïîòîêîñöåïëåíèå Y¢, îïðåäåëÿåìîå ëèíèÿìè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ðàñïîëî
-
æåííûìè â èçîëèðóþùåì ñëîå, ðàâíî
¢
==
ò
Ym
p
m
p
0
02
1
22
1
2
i
l
dr
r
il
r
r
r
r
ln .
Òðóáêè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ðàñïîëîæåííûå â òåëå âíóòðåííåãî ïðîâîäà,
ñöåïëÿþòñÿ òîëüêî ñ ÷àñòüþ òîêà, ðàâíîé
i
r
r
i
r
2
1
2
=
. Åñëè âåñü ïðîâîä ðàññìàòðè
-
âàòü êàê îäèí âèòîê, òî îòíîøåíèå i
r
/i ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü âèòêà, îõâàòû
-
âàåìóþ äàííîé òðóáêîé ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ïîýòîìó ïîòîê dF â òðóáêå äàåò
ïîòîêîñöåïëåíèå d Y ñî âñåì òîêîì i, ðàâíîå
d
i
i
d
r
r
i
r
rl dr
il
r
rdr
r
YF== =
2
1
2
1
2
1
4
3
2
2
m
p
m
p
,
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 141
ãäå m — àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàòåðèàëà ïðîâîäà. Ïîòîêîñöåï
-
ëåíèå Y², îïðåäåëÿåìîå ëèíèÿìè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, çàìûêàþùèìèñÿ â òåëå
ïðîâîäà, èìååò çíà÷åíèå
¢¢
==
ò
Y
m
p
m
p28
1
4
0
3
1
il
r
rdr il
r
.
Èñêîìàÿ èíäóêòèâíîñòü âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
L
i
l
r
r
=
¢
+
¢¢
=+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
YY
24
0
2
1
p
m
m
ln .
Èç ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ ñòàíîâÿòñÿ ÿñíû âûñêàçàííûå â §1.8 è 1.11 îáùèå
ïîëîæåíèÿ, ÷òî åìêîñòü Ñ îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì e ñðåäû, ãäå ñóùåñòâóåò
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, è ãåîìåòðè÷åñêèìè ðàçìåðàìè, à èíäóêòèâíîñòü L îïðåäå
-
ëÿåòñÿ àáñîëþòíûìè ìàãíèòíûìè ïðîíèöàåìîñòÿìè m ñðåä, â êîòîðûõ ñóùåñò
-
âóåò ìàãíèòíîå ïîëå, è ãåîìåòðè÷åñêèìè ðàçìåðàìè.
Äëÿ åìêîñòè è èíäóêòèâíîñòè êàáåëÿ õàðàêòåðíà òàêæå ïðÿìàÿ çàâèñèìîñòü
èõ îò äëèíû l îòðåçêà êàáåëÿ. Âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ êàáåëÿ ñîñðåäîòî÷åí-
íîé åìêîñòüþ èëè èíäóêòèâíîñòüþ, êàê áûëî îòìå÷åíî â § 3.4, çàâèñèò îò òîãî,
íàñêîëüêî â êàáåëå ìåíüøå ïðîèçâåäåíèå ñêîðîñòè ñâåòà íà ïðîìåæóòîê âðåìå-
íè, çà êîòîðûé ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ (ïåðèîä Ò äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññîâ),
åãî äëèíû. Ïóñòü ÷àñòîòà f ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ðàâíà 50 êÃö. Òîãäà ïåðèîä
ïðîöåññà ðàâåí
Tf==×
-
1210
5
ñ
. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè l << 2 ×10
–5
×3×10
8
= 6×10
3
ì,
òî òàêîé êàáåëü ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí êàê ó÷àñòîê öåïè, èìåþùèé ñîñðåäîòî-
÷åííûå ïàðàìåòðû.
3.6. Ñâÿçè ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì
â îñíîâíûõ ýëåìåíòàõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
Îáðàòèìñÿ âíîâü ê ïðîñòîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.5.
Ïåðâûé ó÷àñòîê öåïè ab ìû îõàðàêòåðèçîâàëè ñîïðîòèâëåíèåì r. Çíàÿ r, ïðè
çàäàííîì òîêå i ìîæíî, ïîëüçóÿñü çàêîíîì Îìà, íàéòè íàïðÿæåíèå u
r
, íåîáõîäè
-
ìîå äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîãî ó÷àñòêà öåïè, à èìåííî
u
r
= ri.
Âòîðîé ó÷àñòîê öåïè bc ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíäåíñàòîð. Çíàÿ åìêîñòü êîí
-
äåíñàòîðà Ñ, ìîæíî ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè åãî çàðÿäà q íàéòè íàïðÿæåíèå u
C
èç ñîîòíîøåíèÿ u
C
= q/Ñ. Ìåæäó òîêîì i è çàðÿäîì q ñóùåñòâóåò ñâÿçü
i
dq
dt
C
du
dt
C
==
. Ñëåäîâàòåëüíî,
qidtq
t
=+
ò
0
0(),
ãäå q(0) — çàðÿä êîíäåíñàòîðà â ìîìåíò t = 0, ò. å. â ìîìåíò, îò êîòîðîãî íà÷èíàåì
îòñ÷åò âðåìåíè. Ñîîòâåòñòâåííî,
142 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè