Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1
Подождите немного. Документ загружается.
äèìî, ÷òîáû äåéñòâèÿ ýòèõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè íå êîìïåíñèðîâàëèñü âçàèìíî
âíóòðè äâóõïîëþñíèêà.
Ïàññèâíûì íàçûâàþò äâóõïîëþñíèê, íå ñîäåðæàùèé èñòî÷íèêîâ ýëåêòðè÷å
-
ñêîé ýíåðãèè. Ëèíåéíûé äâóõïîëþñíèê ìîæåò ñîäåðæàòü èñòî÷íèêè ýëåêòðè÷å
-
ñêîé ýíåðãèè, âçàèìíî êîìïåíñèðóþùèåñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî íàïðÿæåíèå íà
åãî ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ ðàâíî íóëþ.
Îãîâîðêà î âîçìîæíîñòè íàëè÷èÿ âçàèìíî êîìïåíñèðóþùèõñÿ èñòî÷íèêîâ,
ïðè êîòîðûõ äâóõïîëþñíèê îñòàåòñÿ ïàññèâíûì, íåîáõîäèìà, òàê êàê ñàìà èäåÿ
ïðåäñòàâëåíèÿ öåëîé ÷àñòè öåïè êàê äâóõïîëþñíèêà çàêëþ÷àåòñÿ â ðàññìîòðå
-
íèè îáùèõ ñâîéñòâ ýòîé ÷àñòè öåïè ëèøü ñî ñòîðîíû åå âõîäíûõ çàæèìîâ. Ýòà
îãîâîðêà îòíîñèòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ê ëèíåéíûì öåïÿì, ïîòîìó ÷òî â íåëèíåé
-
íûõ öåïÿõ òàêàÿ êîìïåíñàöèÿ ìîæåò áûòü òîëüêî äëÿ îäíîãî èëè òîëüêî äëÿ íå
-
ñêîëüêèõ îïðåäåëåííûõ ðåæèìîâ è íå áóäåò èìåòü ìåñòà äëÿ äðóãèõ ðåæèìîâ,
òàê êàê ïàðàìåòðû íåëèíåéíîé öåïè çàâèñÿò îò òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ.
 ãë. 13, ò. II ââåäåì àíàëîãè÷íî ïîíÿòèå ÷åòûðåõïîëþñíèêà êàê îáîáùåííîãî
ýëåìåíòà öåïè.
3.10. Òîïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ ñõåìû
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ãðàô ñõåìû
 ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ öåïè èëè â ñõåìàõ çàìåùåíèÿ óçëû èçîáðàæàþòñÿ òî÷-
êàìè.  ñëîæíûõ ñõåìàõ, ãäå âîçìîæíû âçàèìíûå ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé, èçîáðà-
æàþùèõ ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èõ ýëåêòðè-
÷åñêèõ ñîåäèíåíèé òàêæå èñïîëüçóþòñÿ òî÷êè (íàïðèìåð, òî÷êè à, b, ñ, d, å, f, g,
à¢, b¢, ñ¢ íà ðèñ. 3.19, à). Ôîðìàëüíî âñå ýòè òî÷êè òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü óçëàìè
ñõåìû. Îñîáåííîñòü òàêèõ ìíèìûõ óçëîâ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíè ñîåäèíåíû
ó÷àñòêàìè öåïè, ãäå ïðîòåêàþò òîêè è íåò íàïðÿæåíèé, òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå
òàêèõ ó÷àñòêîâ ñ÷èòàåì ðàâíûì íóëþ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîòåíöèàëû òàêèõ óçëîâ
ðàâíû, è èõ ìîæíî èçîáðàçèòü îäíèì óçëîì, íåñêîëüêî âèäîèçìåíèâ ñõåìó. Íà
ðèñ. 3.19, à ìîæíî îáúåäèíèòü óçëû à, b, ñ â îäèí, b¢, à¢, ñ¢ — â äðóãîé è d, å, f, g —
â òðåòèé (ðèñ. 3.21).
×òîáû ñäåëàòü áîëåå íàãëÿäíûì èçîáðàæåíèå âçàèìíûõ ñîåäèíåíèé âåòâåé
ñõåìû, öåëåñîîáðàçíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå òàêîå èçîáðàæåíèå ñõåìû ýëåêòðè
-
÷åñêîé öåïè, â êîòîðîì âåòâè ñõåìû ïðåäñòàâëåíû îòðåçêàìè — âåòâÿìè ãðàôà,
à óçëû — òî÷êàìè — óçëàìè ãðàôà. Òàêîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñõåìû
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íîñèò íàçâàíèå ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû èëè
êîðî÷å — ãðàôà ñõåìû.
Çàìåòèì, ÷òî íà òîïîëîãè÷åñêîé ñõåìå èñòî÷íèêè ÝÄÑ è òîêà íå èçîáðàæà
-
þòñÿ. Ïðè ýòîì âåòâü ñ èñòî÷íèêîì ÝÄÑ ñîõðàíÿåòñÿ. Âåòâè æå ñ èäåàëüíûìè
èñòî÷íèêàìè òîêà âîîáùå íå âõîäÿò â òîïîëîãè÷åñêóþ ñõåìó, òàê êàê âíóòðåí
-
íÿÿ ïðîâîäèìîñòü òàêèõ èñòî÷íèêîâ ðàâíà íóëþ è, ñîîòâåòñòâåííî, ñîïðîòèâëå
-
íèå òàêèõ âåòâåé ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè.
Ãðàô, ìåæäó ëþáîé ïàðîé óçëîâ êîòîðîãî èìååòñÿ âåòâü èëè ñîâîêóïíîñòü
âåòâåé, íàçûâàþò ñâÿçíûì.
Åñëè íà ãðàôå èìååòñÿ óêàçàíèå óñëîâíî-ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëåíèé òîêîâ
èëè íàïðÿæåíèé â âèäå îòðåçêîâ ñî ñòðåëêàìè, òî òàêîé ãðàô íàçûâàþò í à
-
ïðàâëåííûì ãðàôîì ñõåìû.
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 153
Íàïðàâëåííûé ãðàô ñõåìû (ðèñ. 3.21, à) ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3.21, á. Ìîæíî
çàìåòèòü, ÷òî âñëåäñòâèå îñîáåííîñòè ó÷åòà ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè ãðàô ñõå-
ìû (ðèñ. 3.21, à) ðàñïàäàåòñÿ íà òðè ðàçäåëüíûå, ò. å. íåñâÿçàííûå, ÷àñòè.
Óñëîâèìñÿ âïðåäü íà ãðàôå ñõåìû óçëû íóìåðîâàòü ÷èñëàìè â êðóæêàõ, ñòîÿ-
ùèõ ó ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâ, à âåòâè — ÷èñëàìè áåç êðóæêîâ. Íà ãðàôå ñõåìû
(ðèñ. 3.21, á) èìååì 7 óçëîâ è 14 âåòâåé.
Âàæíûì òîïîëîãè÷åñêèì ïîíÿòèåì ãðàôà ñõåìû ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ãðàôà
ñõåìû, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ëþáóþ ñîâîêóïíîñòü âåòâåé ãðàôà, ñîåäèíÿþ
-
ùèõ âñå óçëû ãðàôà áåç îáðàçîâàíèÿ êîíòóðîâ. Îäèí è òîò æå ãðàô ñõåìû ìîæåò
èìåòü ðàçëè÷íûå äåðåâüÿ. Óñëîâèìñÿ âåòâè ãðàôà ñõåìû, îáðàçóþùèå äåðåâî,
èçîáðàæàòü æèðíûìè ëèíèÿìè.
Âåòâè, äîïîëíÿþùèå äåðåâî ãðàôà äî ïîëíîãî ãðàôà è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ïðè
-
íàäëåæàùèå äåðåâó ãðàôà, ïðèíÿòî íàçûâàòü ñâÿçÿìè ãðàôà ñõåìû.Óñëî
-
âèìñÿ òàêèå âåòâè èçîáðàæàòü ïóíêòèðíûìè, ëèáî òîíêèìè ëèíèÿìè. Î÷åâèä
-
íî, ÷òî êàæäîìó äåðåâó ãðàôà ñõåìû ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ñîâîêóïíîñòü ñâÿçåé
ãðàôà ñõåìû, íàçûâàåìàÿ êî-ãðàôîì ñõåìû, èëè äîïîëíÿþùèì ãðàôîì ñõåìû.
Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà ðèñ. 3.22, á â äîïîëíÿþùèé ãðàô âîéäóò âåòâè (ñâÿçè ãðà
-
ôà), ñîåäèíÿþùèå óçëû ab, bf, fd, da, fa è bd. Íà ðèñ. 3.21, â âûäåëåíî îäíî èç
ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ äåðåâüåâ ãðàôà ñõåìû.
Íà ðèñ. 3.22 ïðèâåäåíû ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà (à) è ãðàô ýòîé ñõåìû ñ äâóìÿ
ðàçëè÷íûìè äåðåâüÿìè ãðàôà ñõåìû (á è â).
Åñëè ñâÿçíûé ãðàô èìååò p âåòâåé è q óçëîâ, òî â åãî äåðåâå áóäåò q – 1 âåò
-
âåé, à ÷èñëî ñâÿçåé îêàæåòñÿ ðàâíûì n = p –(q – 1). Ýòè óòâåðæäåíèÿ âûòåêàþò
154 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 3.21
èç ñàìèõ îïðåäåëåíèé äåðåâà è ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû, òàê êàê q óçëîâ ñõåìû ìîãóò
áûòü ñîåäèíåíû ìèíèìóì q – 1 âåòâÿìè äåðåâà, à ê ñâÿçÿì îòíåñåíû âñå îñòàëü
-
íûå p –(q – 1) âåòâåé ãðàôà ñõåìû. Íàïðèìåð, â îòäåëüíûõ ÷àñòÿõ íåñâÿçíîãî
ãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.21, â, èìååì: â ëåâîé ÷àñòè ãðàôà p = 2,
q = 2, n = 2–(2–1)= 1; â ñðåäíåé ÷àñòè p = 8, q = 3, n = 8–(3–1)= 6; â ïðàâîé
÷àñòè p = 4, q = 2, n = 4–(2–1)= 3.
Çàìåòèì, ÷òî ýòèõ ñîîòíîøåíèé íåò äëÿ
ãðàôà ñõåìû â öåëîì. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ
âñåãî ãðàôà ñõåìû èìååì p = 14, q = 7è
n = 14–(7–1)= 8, â òî âðåìÿ êàê ÷èñëî ñâÿ
-
çåé ðàâíî 1+6+3= 10. Äëÿ íå ñâÿçàííûõ â
òîïîëîãè÷åñêîì ñìûñëå (îäíàêî ñâÿçàííûõ
ýëåêòðîìàãíèòíûìè èëè äðóãèìè ÿâëåíèÿ
-
ìè) ãðàôîâ ñõåìû ÷èñëî ñâÿçåé ðàâíî
n = p –(q –1)+N –1= p – q + N, ãäå N — ÷èñ
-
ëî îòäåëüíûõ òîïîëîãè÷åñêè íå ñâÿçàííûõ
÷àñòåé ãðàôà ñõåìû.  äàííîì ñëó÷àå N = 3, è ïîýòîìó n = 14–(7–1)+3–1= 10.
Äëÿ ñõåìû ðèñ. 3.22 èìååì p = 10, q = 5èn = 6.
3.11. Ìàòðèöà óçëîâûõ ñîåäèíåíèé
Èçîáðàæåíèå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ãðàôîì ñõåìû äàåò âîçìîæíîñòü ïðåäñòà-
âèòü èõ â âèäå íåêîòîðîé òàáëèöû. Ñîñòàâèì ýòó òàáëèöó ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ðàçäåëèì òàáëèöó ïî ãîðèçîíòàëè íà q ñòðîê ñîãëàñíî ÷èñëó óçëîâ ãðàôà. Ðàçäå-
ëèì òàáëèöó ïî âåðòèêàëè íà ð ñòîëáöîâ ñîãëàñíî ÷èñëó âåòâåé ãðàôà ñõåìû.
Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè òàáëèöû ñîãëàñíî íîìåðàì óçëîâ, à ñòîëáöû — ñîãëàñíî
íîìåðàì âåòâåé. Óñëîâèìñÿ íóìåðîâàòü ÿ÷åéêè ýòîé òàáëèöû äâîéíûì èíäåê-
ñîì (j, k). Çäåñü è âïðåäü ïåðâûé èíäåêñ óêàçûâàåò íîìåð ñòðîêè òàáëèöû, à âòî
-
ðîé — íîìåð ñòîëáöà. Çàïîëíèì ýòó òàáëèöó, ñîáëþäàÿ ñëåäóþùèå ïðàâèëà. Çà
-
ïèøåì â ÿ÷åéêó jk âåëè÷èíó +1, åñëè k-ÿ âåòâü ñîåäèíåíà ñ j-ì óçëîì è ñòðåëêà
âåòâè ãðàôà íàïðàâëåíà îò j-ãî óçëà. Çàïèøåì â ÿ÷åéêó jk âåëè÷èíó –1, åñëè k-ÿ
âåòâü ñîåäèíåíà ñ j-ì óçëîì è ñòðåëêà âåòâè ãðàôà íàïðàâëåíà ê j-ìó óçëó. ß÷åé
-
êó jk îñòàâèì ïóñòîé (óñëîâíî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ïóñòûå ÿ÷åéêè çàïîëíåíû
íóëÿìè), åñëè k-ÿ âåòâü íå ñîåäèíåíà ñ j-ì óçëîì. Ïðè ñîáëþäåíèè ýòèõ ïðàâèë
äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.23, à, òàáëèöà åå ãðàôà (ðèñ. 3.23, á, â) áóäåò
èìåòü âèä
Âåòâè
12 3456
Óçëû
1
11 –1
2
–1 1 –1
3
–1 1 –1
4
–1 1 1
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 155
Ðèñ. 3.22
Íîìåðà ñòðîê, íàáðàííûå ïîëóæèðíûì øðèôòîì, ñîîòâåòñòâóþò íîìåðàì
óçëîâ.
Îòìåòèì íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè ýòîé òàáëèöû. Â êàæäîì
ñòîëáöå ìîãóò áûòü òîëüêî äâå íåíóëåâûå (íå ïóñòûå) ÿ÷åéêè, òàê êàê êàæäàÿ
âåòâü ìîæåò áûòü ñîåäèíåíà òîëüêî ñ äâóìÿ óçëàìè. Ñóììà ÷èñåë ÿ÷ååê êàæäîãî
ñòîëáöà ðàâíà íóëþ, òàê êàê ñòðåëêà êàæäîé âåòâè áóäåò íàïðàâëåíà îò îäíîãî
óçëà ê äðóãîìó è, ñëåäîâàòåëüíî, â îäíîé ÿ÷åéêå áóäåì èìåòü +1, à â äðóãîé —
îáÿçàòåëüíî –1. Èìåÿ â âèäó ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ìîæíî çàïîëíèòü òîëüêî q –1
ñòðîê òàáëèöû, òàê êàê q-ÿ ñòðîêà âñåãäà ìîæåò áûòü âîññòàíîâëåíà òàêèì îáðà-
çîì, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë êàæäîãî ñòîëáöà ñòàëà ðàâíîé íóëþ. Òàáëèöå ñîåäèíå-
íèé ìîæíî ïðèäàòü ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîé âåëè÷èíû — ìàòðèöû.
Íàçîâåì ìàòðèöåé óçëîâûõ ñîåäèíåíèé ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó, ñòðîêè êîòî-
ðîé ñîîòâåòñòâóþò óçëàì áåç îäíîãî, à ñòîëáöû — âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôà
ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ, åäèíèöå èëè ìèíóñ åäèíèöå,
åñëè äàííàÿ âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå ñîåäèíåíà ñ äàííûì óçëîì, íàïðàâëåíà îò
äàííîãî óçëà, íàïðàâëåíà ê äàííîìó óçëó.
Îáîçíà÷èì ìàòðèöó óçëîâûõ ñîåäèíåíèé æèðíîé áóêâîé À. Äëÿ ãðàôà ñõåìû
(ðèñ. 3.23) èìååì
A ==
-
--
--
=a
jk
10 10 0 1
110 100
00 1110
12 3456
1
1
1–1
=
2
–1 1 –1 q – 1 ñòðîê
3
–1 1 –1
p ñòîëáöîâ
156 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 3.23
Ìàòðèöà óçëîâûõ ñîåäèíåíèé èìååò ïîðÿäîê (q –1)´ ð, êîòîðûé îïðåäåëÿåò
-
ñÿ ÷èñëîì ñòðîê ìàòðèöû (q – 1) è ÷èñëîì ñòîëáöîâ ìàòðèöû (p). Óñëîâíóþ çà
-
ïèñü (q –1)´ ð íå ñëåäóåò ïóòàòü ñ óìíîæåíèåì ÷èñåë. Íàïðèìåð, ïîðÿäîê ìàò
-
ðèöû óçëîâûõ ñîåäèíåíèé ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.23) ðàâåí 3 ´ 6, íî íå ðàâåí 3 × 6 =
= 18. Ýëåìåíòû ìàòðèöû îáîçíà÷èì áóêâîé à
jk
. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ìàòðè
-
öû À, èìååì à
jk
= 1, èëè à
jk
= –1, èëè à
jk
= 0.
Åñëè ïðè ïîñòðîåíèè òàáëèöû ñîåäèíåíèé ñòðîêàì ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå
âåòâè ãðàôà ñõåìû, à ñòîëáöàì — óçëû, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òàêîé òàáëèöå ìàòðè
-
öà áóäåò òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé À. Îáîçíà÷èì òàêóþ òðàíñïî
-
íèðîâàííóþ ìàòðèöó ÷åðåç À
t
. Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.23) èìååì
123
1–1 0 1 1–1
010 2 1
A
t
= ||a
jk
||
t
=
10–1
=
31 –1
0–11 4 –11
0 0 –1 5 –1
–1 0 0 6 –1
3.12. Çàêîíû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èñïîëüçóþòñÿ äâà çàêîíà Êèðõãîôà. Ðàññìîò-
ðèì èõ â ïðèìåíåíèè ê öåïè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè.
Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà, èëè çàêîí Êèðõãîôà äëÿ óçëîâ, ïðèìåíèòåëüíî ê óç
-
ëàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âûòåêàåò èç ïðèíöèïà íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî
òîêà (ñì. § 1.7). Îõâàòèì óçåë öåïè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ s (ðèñ. 3.24). Â ñî
-
îòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòûìè äîïóùåíèÿìè âñÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü â öåïè ñ ñî
-
ñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîñðåäîòî÷åííîé
â êîíäåíñàòîðàõ, âêëþ÷åííûõ â öåïü. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïðåíåá
-
ðåæåíèþ òîêàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ, îòõîäÿùèìè îò ñî
-
åäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ê äðóãèì ó÷àñòêàì öåïè. Òàêèì îáðà
-
çîì, ñêâîçü çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü s ïðîõîäÿò òîëüêî òîêè
ïðîâîäèìîñòè â ïðîâîäíèêàõ, ïåðåñåêàþùèõ ýòó ïîâåðõíîñòü.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íåïðåðûâíîñòè òîêà, â äàííîì ñëó÷àå ïîëó
-
÷àåì
J diii
s
s =++ =
ò
12 3
0.
Ïðè ëþáîì ÷èñëå ï âåòâåé, ïðèñîåäèíåííûõ ê óçëó öåïè, èìååì
i
k
k
n
=
å
=
1
0,
ò. å. ñóììà òîêîâ, ðàñõîäÿùèõñÿ îò óçëà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ðàâíà íóëþ, ÷òî
è ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëèðîâêîé ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà.
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 157
Ðèñ. 3.24
Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà íåîáõîäèìî
çàäàòüñÿ óñëîâíî-ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè òîêîâ âî âñåõ âåòâÿõ, îáî
-
çíà÷èâ èõ íà ñõåìå ñòðåëêàìè.  ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ñëåäóåò
ñòàâèòü çíàê «ïëþñ» ïåðåä áóêâåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè òîêîâ,
ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå êîòîðûõ ïðèíÿòî îò óçëà, è çíàê
«ìèíóñ» ïåðåä áóêâåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè òîêîâ, ïîëîæèòåëü
-
íîå íàïðàâëåíèå êîòîðûõ ïðèíÿòî ê óçëó. Äëÿ ñëó÷àÿ íà
ðèñ. 3.24 ïåðåä âñåìè òîêàìè â óðàâíåíèè ñëåäóåò ïîñòàâèòü
çíàê «ïëþñ», êàê ýòî íàïèñàíî âûøå.  ñëó÷àå æå, ïðåäñòàâëåí
-
íîì íà ðèñ. 3.25, ñëåäóåò ïèñàòü
– i
1
+i
2
+i
3
= 0.
Åñëè â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà áóäåò ïîëó÷åíî äëÿ íåêîòîðîãî òîêà â íåêîòîðûé
ìîìåíò âðåìåíè ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (i
k
> 0), òî ýòî çíà÷èò, ÷òî òîê èìååò â äàí
-
íûé ìîìåíò âðåìåíè äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ñîãëàñíî ñòðåëêå. Åñëè æå áó
-
äåò ïîëó÷åíî i
k
< 0, òî ýòîò òîê â äåéñòâèòåëüíîñòè íàïðàâëåí ïðîòèâ ñòðåëêè.
Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà, èëè çàêîí Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðîâ, ïðèìåíÿåòñÿ
ê êîíòóðàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Îí âûòåêàåò èç ïîëó÷åííîãî â § 1.12 ñîîòíîøå-
íèÿ
El E l E lddd=+
òò ò
èíä ñòîð
.
Âåëè÷èíà
El
ñòîð
d
ò
ðàâíà ñóììå ÝÄÑ
e
ñòîð
å
èñòî÷íèêîâ ñòîðîííèõ ÝÄÑ, äåé-
ñòâóþùèõ â êîíòóðå. Âåëè÷èíà
El
èíä
d
ò
âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå èíäóöèðîâàííûå â
êîíòóðå ÝÄÑ — êàê ÝÄÑ ãåíåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ íà ïðèíöèïå ýëåêòðîìàã-
íèòíîé èíäóêöèè, òàê è ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè, èíäóöèðóå-
ìûõ â êàòóøêàõ, âêëþ÷åííûõ â êîíòóð. Íàïðèìåð, äëÿ êàòóøêè
eL
di
dt
L
=-
. Åñëè
óñëîâèòüñÿ ñïðàâà â âåëè÷èíó
El
èíä
d
ò
âêëþ÷àòü òîëüêî ñóììó
e
èíä
å
ÝÄÑ ãåíå
-
ðàòîðîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê èñòî÷íèêè ýíåðãèè, òî ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è âçà
-
èìíîé èíäóêöèè, èíäóöèðóåìûå â êàòóøêàõ, äîëæíû áûòü ïåðåíåñåíû â ëåâóþ
÷àñòü óðàâíåíèÿ è ó÷òåíû â âåëè÷èíå
Eld
ò
êàê ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ
êàòóøåê. Íàïðèìåð, äëÿ êàòóøêè ñëåâà ïîÿâèòñÿ ÷ëåí
uL
di
dt
L
=+
. Ñëåâà â âåëè
-
÷èíó
Eld
ò
âõîäÿò òàêæå ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ ri íà ñîïðîòèâëåíèÿõ, âõîäÿùèõ
â êîíòóð, è ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ u
C
= q/Ñ íà ñîäåðæàùèõñÿ â êîíòóðå êîíäåíñà
-
òîðàõ. Îáîçíà÷èâ ñóììó ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, äåéñòâóþùèõ âî âñåõ ï âåò
-
âÿõ êîíòóðà, â âèäå
ee e
k
k
kn
k
k
kn
k
k
kn
=
=
=
=
=
=
åå å
=+
11 1
ñòîð èíä
,
áóäåì èìåòü
ue
k
k
kn
k
k
kn
=
=
=
=
åå
=
11
.
158 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 3.25
Èòàê, âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà ãëàñèò: ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ âî âñåõ âåò
-
âÿõ ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ðàâíà ñóììå ÝÄÑ èñòî÷íè
-
êîâ ýíåðãèè, äåéñòâóþùèõ â ýòîì êîíòóðå.
Åñëè â k-é âåòâè ñîäåðæàòñÿ â îáùåì ñëó÷àå ó÷àñòîê ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëå
-
íèåì r
k
, êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L
k
è êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ Ñ
k
(ðèñ. 3.26, à),
òî ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ âäîëü âñåé ýòîé âåòâè áóäåò ñêëàäûâàòüñÿ èç ïàäåíèé
íàïðÿæåíèé u
rk
, u
Lk
è u
Ck
íà ýòèõ ýëåìåíòàõ, ò. å. u
k
= u
rk
+ u
Lk
+ u
Ck
. Ñîãëàñíî ïîëó
-
÷åííûì â § 3.6 âûðàæåíèÿì, äëÿ ýòèõ ïàäåíèé íàïðÿæåíèé ìîæåì íàïèñàòü
uriL
di
dt
q
C
ri L
di
dt C
idt u
kkk k
kk
k
kk k
k
k
kCk
=+ +=+ + +
1
0
0
().
t
ò
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äîëæíû áûòü
çàäàíû ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ i
k
è ÝÄÑ e
k
èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè âî
âñåõ âåòâÿõ. Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ïàäåíèé íàïðÿæåíèé u
k
ñ÷èòàåì ñîâ
-
ïàäàþùèìè ñ ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè òîêîâ i
k
. Âûáðàâ çàòåì íåêîòî
-
ðîå íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà, ìû äîëæíû ïðè ñîñòàâëåíèè ñóììû ïàäåíèé
íàïðÿæåíèé
u
k
k
n
=
å
1
è ñóììû ÝÄÑ
e
k
k
n
=
å
1
ñòà-
âèòü ïåðåä áóêâåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè
âåëè÷èí u
k
è e
k
çíàê «ïëþñ», åñëè ïîëîæè-
òåëüíîå íàïðàâëåíèå ýòèõ âåëè÷èí ñîâïàäà-
åò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà, è çíàê
«ìèíóñ» — â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.
 ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åí-
íûìè ïàðàìåòðàìè âòîðîé çàêîí Êèðõãî-
ôà ìîæåò áûòü çàïèñàí è äëÿ êîíòóðà, êî-
òîðûé ïðîõîäèò îò îäíîãî óçëà ê äðóãîìó
ïî îêðóæàþùåìó ó÷àñòêè ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè ïðîñòðàíñòâó. Âñëåäñòâèå íàó÷íûõ àáñòðàêöèé, ïðèíÿòûõ ïðè ïîñòðîåíèè
òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, ìû äîëæíû ïðè
-
íÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî â ýòîì îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå îòñóòñòâóþò ìàãíèòíûå
è ñòîðîííèå ïîëÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû íóëþ ÝÄÑ e
ñòîð
è e
èíä
. Ïðè òàêîì âû
-
áîðå êîíòóðà îáõîäà ìû äîëæíû ïèñàòü
Eld = u
mn
=
å
ò
0,
ãäå u
mn
— íàïðÿæåíèå ìåæäó óçëàìè m è ï.
Çàìåòèì, ÷òî èíòåãðàë èìååò ñìûñë, åñëè ïîëàãàòü, ÷òî è â öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî
-
÷åííûìè ïàðàìåòðàìè âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå
ïîëå. Îäíàêî òîêè ñìåùåíèÿ è ýíåðãèÿ òàêîãî ïîëÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ ïðåíåáðå
-
æèìî ìàëûìè.
Íàëè÷èå èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè â âåòâè k (ðèñ. 3.26, á) íèêàê íå îòðàæàåòñÿ íà
ãðàôå ýòîé âåòâè (ðèñ. 3.26, â). Îáîçíà÷èì òîêè è íàïðÿæåíèÿ â ãðàôå âåòâè
~
i
k
è
~
u
k
.
Òîê
~
i
k
è íàïðÿæåíèå
~
u
k
îòíîñÿòñÿ ê íåêîòîðîé îáîáùåííîé âåòâè, ñîäåðæàùåé
èñòî÷íèê òîêà è èñòî÷íèê ÝÄÑ (ðèñ. 3.26, á). Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãî
-
ôà ïðèìåíèòåëüíî ê óçëó m¢ (èëè n¢) íà ðèñ. 3.26, á, èìååì
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 159
Ðèñ. 3.26
~
.ii i
kmnk k
==+Á
Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà, ïðîõîäÿùåãî ïî ïðîâîäíè
-
êàì âåòâè k îò óçëà m ê n è ïî âíåøíåìó ïðîñòðàíñòâó — îò óçëà n ê m, èìååì
()
uuueri
d
dt
Li
i
C
dt u e
mn k k k k k k k
k
k
Ck k
t
==-= + + + -
ò
~
() .0
0
Ïîñëåäíèå âûðàæåíèÿ ñâÿçûâàþò òîêè è íàïðÿæåíèÿ â îáîáùåííûõ âåòâÿõ
ãðàôà, èçîáðàæàåìûõ â ãðàôå ñõåìû îòðåçêàìè, ñ òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè âåò
-
âåé è èñòî÷íèêàìè òîêà è ÝÄÑ, êîãäà òàêîâûå ñîäåðæàòñÿ â èñõîäíîé ñõåìå.
Ïðè çàïèñè óðàâíåíèé ñîãëàñíî çàêîíàì Êèðõãîôà äëÿ ãðàôà ñõåìû áóäåì
èìåòü â âèäó, ÷òî â ýòè óðàâíåíèÿ âîéäóò òîêè è íàïðÿæåíèÿ îáîáùåííûõ âåòâåé
ñõåìû öåïè. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ãðàôà ñõåìû ìîæíî íàïèñàòü
~
~
.iu ue
k
k
p
k
k
p
k
k
p
k
k
p
== ==
åå åå
== =
11 11
00èèëè
3.13. Óçëîâûå óðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ â öåïè
Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ q óçëàìè ìîæíî ñîñòàâèòü q óðàâíåíèé, ïðèìåíÿÿ
ê êàæäîìó èç óçëîâ ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà. Îäíàêî òîëüêî q – 1 èç íèõ íåçàâè-
ñèìû äðóã îò äðóãà. Íåçàâèñèìîñòü óðàâíåíèé äëÿ ïåðâûõ q – 1 óçëîâ âûòåêàåò
èç òîãî, ÷òî âñåãäà ìîæíî óñòàíîâèòü òàêîé ïîðÿäîê âûáîðà ýòèõ óçëîâ, ïðè êî-
òîðîì êàæäûé ïîñëåäóþùèé óçåë áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ïðåäûäóùèõ, ïî êðàéíåé
ìåðå, îäíîé íîâîé âåòâüþ. Çàìåòèì, ÷òî ñóììà ëþáûõ j (1 £ j £ q – 1) óðàâíåíèé
åñòü óðàâíåíèå äëÿ òàêîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ îõâàòûâàåò äàííûå
j óçëîâ. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî òîêè òåõ âåòâåé, êîòîðûå íå ïðîíèçûâàþò ïî-
âåðõíîñòü, íî íàõîäÿòñÿ âíóòðè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, âîéäóò â óðàâíåíèÿ äâà
ðàçà: îäèí — ñî çíàêîì «ìèíóñ», äðóãîé — ñî çíàêîì «ïëþñ». Íàïðèìåð, ñóììà
óðàâíåíèé äëÿ óçëîâ 1, 2, 3, 4 è 5 ãðàôà íà ðèñ. 3.27 îïðåäåëèò ñóììó òîêîâ äëÿ
ïîâåðõíîñòè, îõâàòûâàþùåé ýòè óçëû (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ îáîçíà÷àåò ñëåä ýòîé
ïîâåðõíîñòè).
Åñëè ïîâåðõíîñòü îõâàòûâàåò q – 1 óçëîâ, òî ñóììà òîêîâ âåòâåé, ïðîíèçû
-
âàþùèõ ýòó ïîâåðõíîñòü, ðàâíà ñ îáðàòíûì çíàêîì ñóììå òîêîâ äëÿ q-ão óçëà,
è ïîýòîìó q-å óðàâíåíèå îêàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðåäûäóùèõ q – 1 óðàâíåíèé.
 ñâÿçè ñ ýòèì áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî öåïü (èëè ãðàô ñõåìû) ñ q óçëàìè èìååò
ëèøü q – 1 íåçàâèñèìûõ óçëîâ.
160 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 3.27
 çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêèì îáðàçîì òîê â âåòâè íàïðàâëåí ïî îòíîøåíèþ ê
íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè, îõâàòûâàþùåé óçåë, îí ìîæåò âõîäèòü â óðàâíåíèå ñî
çíàêîì «ïëþñ» èëè «ìèíóñ». Äëÿ ó÷åòà ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà çàïèøåì ïåðâûé
çàêîí Êèðõãîôà â âèäå
()
ai j q
jk k
k
p
~
,,
=
å
== -
1
01 1K
ãäå a
jk
= ±1 èëè a
jk
= 0.
Ïóñòü íîðìàëü ê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè íàïðàâëåíà âî âíåøíåå ïðîñòðàíñò
-
âî. Òîãäà åñëè òîê âåòâè k íàïðàâëåí îò óçëà j, òî îí âîéäåò â óðàâíåíèå ñî çíà
-
êîì «ïëþñ», â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — ñî çíàêîì «ìèíóñ».  ïåðâîì ñëó÷àå a
jk
=1,
âî âòîðîì a
jk
= –1. Åñëè âåòâü k íå ñîåäèíåíà ñ äàííûì óçëîì j,òîa
jk
= 0.
Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî âûøå, íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà 3.27, á (ãðàô öåïè ðèñ. 3.23),
ãäå q = 4, ìîæíî ñîñòàâèòü ñèñòåìó òðåõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé:
äëÿ óçëà
äëÿ óçëà
1
2
~~ ~
,, , ;ii i a a a
13 6 11 13 16
01 1 1+-====-
-+ - = =- = =-
-+
~~ ~
,,, ;
~~
ii i a a a
ii
12 4 21 22 24
3
0111
äëÿ óçëà 3
4 5 33 34 35
0111-= =- = =-
~
,,, .ia a a
Çàìåòèì, ÷òî ïðàâèëà, ïî êîòîðûì îïðåäåëÿþòñÿ âåëè÷èíû a
jk
, ïîëíîñòüþ
ñîâïàäàþò ñ ïðàâèëàìè, ïî êîòîðûì ðàíåå ìû ñîñòàâëÿëè ìàòðèöó óçëîâûõ ñî-
åäèíåíèé.
Áëàãîäàðÿ åäèíîîáðàçíîìó ïîäõîäó ïðè îïðåäåëåíèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ñî-
åäèíåíèé è êîýôôèöèåíòîâ ó òîêîâ â óðàâíåíèÿõ ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü èñ-
ïîëüçîâàòü ìàòðèöó óçëîâûõ ñîåäèíåíèé äëÿ àëãåáðàèçàöèè çàïèñè óðàâíåíèé
äëÿ òîêîâ ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà.
Ïðåäñòàâèì òîêè â ãðàôå ñõåìû (èëè â ñõåìå öåïè) â âèäå ìàòðèöû, ñîñòîÿ
-
ùåé èç îäíîãî ñòîëáöà è ð ñòðîê:
~
~
~
~
,.i == =i
i
i
kp
k
p
1
1MK
Òàêàÿ ñòîëáöîâàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà ð ´1èíîãäà íàçûâàåòñÿ ð-ìåð
-
íûì âåêòîðîì ïîàíàëîãèè ñ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé, ó êîòîðîé èìååòñÿ ð ñî
-
ñòàâëÿþùèõ ïî p-êîîðäèíàòíûì íàïðàâëåíèÿì.
Êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû ñîåäèíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîýôôèöèåíòû ó òî
-
êîâ â óðàâíåíèè, çàïèñàííîì ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ óçëà, íîìå
-
ðîì êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ íîìåð ñòðîêè ìàòðèöû ñîåäèíåíèé. Òàêèì îáðàçîì,
ñîãëàñíî ïðàâèëàì ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ, êàæäîå óçëîâîå óðàâíåíèå ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 161
~
i
1
M
==
=
å
ai
jk k
k
p
~
.
1
0
j
a
j1
L
a
jk
L
a
jp
´
~
i
k
=++++ai ai ai
jjkkjpp11
~
...
~
...
~
âåêòîð-ñòðîêà (1 ´ ð)
M
ìàòðèöà (1 ´ 1)
~
i
p
âåêòîð-ñòîëáåö (ð ´ 1)
Àíàëîãè÷íûõ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé ìîæåì çàïèñàòü q–1 äëÿ q – 1 ñòðîê
ìàòðèöû óçëîâûõ ñîåäèíåíèé.  ìàòðè÷íîé ôîðìå ñèñòåìó òàêèõ óðàâíåíèé
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
Ai
~
= 0.
Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ñì. ðèñ. 3.23) èìååì
~
i
1
12 3456
~
i
2
1
11 –1
~
i
3
ii i
~~ ~
136
+-
0
A
~
i
=
2
–1 1 –1
´
~
i
4
=
-+ -
~~ ~
ii i
124
=
0
= 0.
3
–1 1 –1
~
i
5
-+ -
~~~
iii
345
0
(3´6)
~
i
6
(3´1) (3´1)
(6´1)
Çäåñü êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ
Ai
~
îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äëÿ
óçëà ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà.
Äëÿ k-é îáîáùåííîé âåòâè ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå
~
,ii
kk k
=+Á
ãäå i
k
— òîê â ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ âåòâè k,àÁ
k
— òîê èñòî÷íèêà òîêà â âåòâè k,
åñëè i
k
è Á
k
íàïðàâëåíû îò îäíîãî è òîãî æå óçëà (ñì. ðèñ. 3.26).
Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà
äëÿ òîêîâ â ýëåìåíòàõ âåòâåé ñõåìû áóäåò èìåòü âèä
Ai Ai A 0
~
,=+ÁÁ=
ãäå
~
~
~
()
() ()
(
ii 0==ÁÁ=
Á
Á
=
´
´´
i
i
i
i
11 1
;; ;MM M M
p
p
p
p
p
p
q
1
11
0
0
-´11)
.
Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå
162 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè