Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

()

Ai A=- ÁÁ=-Á-

åå

èëè , = 1 1 .ai a

jk k

jqK

Â òàêîé ôîðìå çàïèñè ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà èñòî÷íèêè òîêà ñïåöèàëüíî

âûäåëåíû.

3.14. Êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ öåïè. Ìàòðèöà êîíòóðîâ

Ïðèìåíÿÿ âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà, ìîæíî ñîñòàâèòü ñòîëüêî óðàâíåíèé, ñêîëü

êî èìååòñÿ êîíòóðîâ â öåïè. Îäíàêî ïðè ýòîì îäíè óðàâíåíèÿ ìîãóò îêàçàòüñÿ

ñëåäñòâèÿìè äðóãèõ. Íåçàâèñèìîñòü óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ, èëè, êàê ãîâîðÿò,

íåçàâèñèìîñòü êîíòóðîâ, áóäåò îáåñïå÷åíà, åñëè ýòè êîíòóðû âûáèðàòü òàê, ÷òî

áû êàæäûé ïîñëåäóþùèé îòëè÷àëñÿ îò ïðåäûäóùèõ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíîé

íîâîé âåòâüþ. Íàèáîëåå ïðîñòî òàêîé âûáîð ìîæíî îñóùåñòâèòü, åñëè âîñïîëü

çîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè äåðåâà ãðàôà, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàêóþ ñîâîêóï

íîñòü âåòâåé, êîòîðàÿ íå îáðàçóåò êîíòóðîâ. Äîáàâëåíèå ëþáîé ñâÿçè ãðàôà ñõå

ìû ñîçäàåò êîíòóð, êîòîðûé îáðàçóåòñÿ îäíîé ñâÿçüþ è âåòâÿìè äåðåâà ãðàôà

ñõåìû.

Íà ðèñ. 3.28, à äîáàâëåíèå ñâÿçè 4 îáðàçóåò êîíòóð 4, êóäà âõîäÿò âåòâè äåðå-

âà 1 è 3. Íà ðèñ. 3.28, á äîáàâëåíèå ñâÿçè 5 îáðàçóåò êîíòóð 5, êóäà âõîäÿò âåòâè

äåðåâà 1, 2 è 3. Íà ðèñ. 3.28, â äîáàâëåíèå ñâÿçè 6 îáðàçóåò êîíòóð 6, êóäà âõîäÿò

âåòâè äåðåâà 1 è 2. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ îïðåäåëÿåòñÿ

÷èñëîì ñâÿçåé â êàæäîì ñâÿçíîì ãðàôå ñõåìû,ò.å.n = p –(q – 1).

Çàïèøåì êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ãðàôà ñõåìû. Îáîçíà÷èì íàïðÿæåíèÿ âåò

âåé ãðàôà ñõåìû ÷åðåç

. Êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ ïðîíóìåðóåì ñîãëàñíî íîìåðàì

âåòâåé-ñâÿçåé. Îáõîä êîíòóðà ïðîèçâåäåì òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàïðàâëåíèå

ñâÿçè ñîâïàëî ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà. Â êîíòóðíîå óðàâíåíèå íàïðÿæåíèå âåòâè

âîéäåò ñî çíàêîì «ïëþñ», åñëè íàïðàâëåíèÿ îáõîäà è ñòðåëêè âåòâè ñîâïàäàþò,

â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå âîéäåò ñî çíàêîì ìèíóñ. Ó÷òåì ýòî îáñòîÿòåëü

ñòâî â çàïèñè óðàâíåíèé ââåäåíèåì êîýôôèöèåíòîâ ñ

, ãäå s — íîìåð ñâÿçè; k —

íîìåð âåòâè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñ

= 1, åñëè k-ÿ âåòâü âõîäèò â s-é êîíòóð ñîãëàñ

íî åãî îáõîäó; ñ

= –1, åñëè k-ÿ âåòâü âõîäèò â s-é êîíòóð ïðîòèâ îáõîäà; ñ

= 0,

åñëè k-ÿ âåòâü íå âõîäèò â s-é êîíòóð. Ïðè òàêîì ïîäõîäå âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà

äëÿ ãðàôà ñõåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

cu s q p

sk k

0 K

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 163

Ðèñ. 3.28

Äëÿ êîíòóðà 4 (ðèñ. 3.28, à) èìååì

-+ + = =- = =

~~ ~

;,,.uu u c c c

134 41 43 44

0111

Äëÿ êîíòóðà 5 (ðèñ. 3.28, á)

~~~~

;, , .uu u u c c c c

1 2 3 5 51 52 53 55

011 11+-+====-=

Äëÿ êîíòóðà 6 (ðèñ. 3.28, â)

~~ ~

;, ,.uu u c c c

126 61 62 66

0111++====

Ñîñòàâèì òàáëèöó èç êîýôôèöèåíòîâ ñ

. Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè ýòîé òàáëèöû

íîìåðàìè ñâÿçåé ãðàôà öåïè, à ñòîëáöû — íîìåðàìè âåòâåé ãðàôà öåïè. Òàêóþ

ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó, ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò ñâÿçÿì, à ñòîëáöû —

âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû

íóëþ, åäèíèöå èëè ìèíóñ åäèíèöå, åñëè ïðè îáõîäå êîíòóðà, îáðàçîâàííîãî äàííîé

ñâÿçüþ è âåòâÿìè äåðåâà, âäîëü ñâÿçè âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå âõîäèò â êîíòóð,

âõîäèò â êîíòóð ñîãëàñíî îáõîäó, âõîäèò â êîíòóð ïðîòèâ îáõîäà, íàçûâàþò

ìàòðèöåé êîíòóðîâ.

Îáîçíà÷èì ìàòðèöó êîíòóðîâ áóêâîé Ñ.

Ïðåäñòàâèì íàïðÿæåíèÿ âåòâåé ãðàôà ñõåìû â âèäå ìàòðèöû, ñîñòîÿùåé èç

ð ñòðîê è îäíîãî ñòîëáöà:

.u ==u

Êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû êîíòóðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîýôôèöèåíòû ó íà-

ïðÿæåíèé âåòâåé ãðàôà â óðàâíåíèè, çàïèñàííîì ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó

Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà, êîòîðûé îáðàçîâàí ñâÿçüþ, íîìåð êîòîðîé îïðåäåëÿåò

íîìåð ñòðîêè ìàòðèöû êîíòóðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ïðàâèëàì ìàòðè÷íîãî

óìíîæåíèÿ, êàæäîå êîíòóðíîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

sk k

=++++cu cu cu

sskkspp11

...

âåêòîð-ñòðîêà (1 ´ ð)

ìàòðèöà (1 ´ 1)

âåêòîð-ñòîëáåö (ð ´ 1)

Òàêèå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæåì çàïèñàòü äëÿ âñåõ ï ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû.

Â ìàòðè÷íîé ôîðìå ïîëó÷åííóþ â èòîãå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü

â âèäå

Cu 0

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ñì. ðèñ. 3.23, â) èìååì

164 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

12 3456

4–1 1 1

-+ +

~~ ~

uu u

134

511–1 1

~~~~

uuuu

1235

+-+

611 1

~~ ~

uu u

126

Çäåñü êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ

îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äëÿ

ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòóðà ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà.

Äëÿ k-é îáîáùåííîé âåòâè ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå

,uue

kkk

ãäå u

— íàïðÿæåíèå â ïàññèâíîé ÷àñòè âåòâè k,àå

— ÝÄÑ â âåòâè k, ïðè÷åì u

íàïðàâëåíû ñîãëàñíî íàïðàâëåíèþ âåòâè ãðàôà.

Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü êîíòóðíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ â âåòâÿõ

ñõåìû áóäåò èìåòü âèä

Cu Cu Ce 0

,=-=

ãäå

() () ()

(

uue0====

´´´

111

;;;MMMM

111

Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå è â âèäå

Cu Ce===

åå

èëè cu ce s q p

sk k

,....

÷òî ÿâëÿåòñÿ óæå íàïèñàííûì â § 3.12 óðàâíåíèåì äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòó

ðà öåïè.

3.15. Óðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ â ñå÷åíèÿõ öåïè. Ìàòðèöà ñå÷åíèé

Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàí íå òîëüêî ïðèìåíèòåëüíî

ê îòäåëüíûì óçëàì öåïè, íî è ê ñîâîêóïíîñòè óçëîâ. Â ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü,

äëÿ êîòîðîé çàïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèå

J di

s ==

áóäåò îõâàòûâàòü ñîâîêóïíîñòü óçëîâ è ðàññå÷åò (ðàçðåæåò) öåïü èëè ãðàô ñõå

ìû íà äâå ÷àñòè. Ñå÷åíèÿ íà ðèñóíêàõ îáîçíà÷èì øòðèõîâûìè çàìêíóòûìè ëè

íèÿìè, ïðåäñòàâëÿþùèìè ñîáîé ñëåäû çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé. Íà ðèñ. 3.27

è 3.30 øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû ñëåäû òàêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ñå÷åíèé

â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èëè â ãðàôå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ìîæåò áûòü ìíîæåñòâî.

Êàæäîìó ñå÷åíèþ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü îäíî óðàâíåíèå, âûðàæàþùåå ðàâåíñò

âî íóëþ ñóììû òîêîâ âåòâåé, ðàññåêàåìûõ äàííûì ñå÷åíèåì.

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 165

Ðàíåå ìû âûÿñíèëè, ÷òî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñîãëàñíî ïåðâîìó çà

êîíó Êèðõãîôà, ðàâíî q – 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äëÿ

ñå÷åíèé òàêæå äîëæíî áûòü ðàâíî q – 1, òàê êàê êàæäîå óðàâíåíèå äëÿ ñå÷åíèÿ

ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñóììèðîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâûõ óðàâíåíèé äëÿ

óçëîâ, îõâà÷åííûõ ñå÷åíèåì. ×òîáû óïðîñòèòü âûáîð ñå÷åíèé, öåëåñîîáðàçíî

ïðîâîäèòü èõ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êàæäîå ñå÷åíèå ðàçðåçàëî òîëüêî îäíó âåòâü

äåðåâà. Ïðè ýòîì ÷èñëî ñå÷åíèé áóäåò ðàâíî ÷èñëó âåòâåé äåðåâà. Óñëîâèìñÿ íó

ìåðîâàòü ñå÷åíèÿ íîìåðàìè âåòâåé äåðåâà. Óñëîâèìñÿ òàêæå òåðìèí íàïðàâëå

íèå âåòâè ïðèìåíÿòü â êà÷åñòâå ñèíîíèìà òåðìèíà íàïðàâëåíèå òîêà â âåòâè.

Íàïðàâèì íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ñå÷åíèÿ âíóòðü èëè íàðóæó â çàâèñèìîñòè îò

íàïðàâëåíèÿ âåòâè äåðåâà. Òîãäà â óðàâíåíèå äëÿ òîêîâ â ñå÷åíèè òîê âåòâè äå

ðåâà è òîêè âåòâåé, îðèåíòèðîâàííûå ïî îòíîøåíèþ ê ñå÷åíèþ òàê æå, êàê è òîê

âåòâè äåðåâà, âîéäóò ñî çíàêîì «ïëþñ». Âñå îñòàëüíûå òîêè âîéäóò â óðàâíåíèå

ñî çíàêîì «ìèíóñ». Òîêè âåòâåé, íå ðàçðåçàåìûõ ñå÷åíèåì, íå âîéäóò â óðàâíå

íèå. Ó÷òåì ýòî îáñòîÿòåëüñòâî â çàïèñè óðàâíåíèé ââåäåíèåì êîýôôèöèåí

òîâ d

, ãäå m — íîìåð âåòâè äåðåâà, îïðåäåëÿþùèé íîìåð ñå÷åíèÿ; k — íîìåð

âåòâè. Ïðè÷åì d

= ±1, åñëè k-ÿ âåòâü ðàçðåçàåòñÿ m-ì ñå÷åíèåì, è d

= 0, åñëè

k-ÿ âåòâü íå âõîäèò â m-å ñå÷åíèå. Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ òîêîâ ñå÷åíèé ìîæíî çà-

ïèñàòü â âèäå

()

di m q

mk k

,....

== -

01 1

Äëÿ ãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.29, äëÿ ñå÷åíèÿ 1, ãäå òîê

âûõî-

äèò èç ñå÷åíèÿ, èìååì

~~~~

;,,,.iiii d d d d

1 4 5 6 11 14 15 16

01111+--====-=-

Äëÿ ñå÷åíèÿ 2, ãäå òîê

âõîäèò â ñå÷åíèå,

~~~

;,,.iii d d d

256 22 25 26

0111- - = = =- =-

Äëÿ ñå÷åíèÿ 3, ãäå òîê

âõîäèò â ñå÷åíèå,

~~~

;, ,.iii d d d

3 4 5 33 34 35

01 11-+= = =- =

Ñîñòàâèì òàáëèöó èç êîýôôèöèåíòîâ d

. Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè ýòîé òàáëèöû

ñîãëàñíî íîìåðàì âåòâåé äåðåâà, à ñòîëáöû — ñîãëàñíî íîìåðàì âåòâåé ãðàôà

ñõåìû. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò âåòâÿì äåðåâà,

à ñòîëáöû — âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôà ýëåêòðè

÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ, åäè

íèöå, ìèíóñ åäèíèöå, åñëè ïðè îáðàçîâàíèè çàìêíó

òîé ïîâåðõíîñòè, ðàçðåçàþùåé òîëüêî îäíó âåòâü

äåðåâà è ñâÿçè ãðàôà, âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå ðàç

ðåçàåòñÿ, ðàçðåçàåòñÿ è íàïðàâëåíà ê ïîâåðõíîñòè

ñîãëàñíî äàííîé âåòâè äåðåâà, ðàçðåçàåòñÿ è íà

ïðàâëåíà ê ïîâåðõíîñòè ïðîòèâ äàííîé âåòâè

ãðàôà, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñå÷åíèé.

Îáîçíà÷èì ìàòðèöó ñå÷åíèé áóêâîé D. Ïðåä

ñòàâèì òîêè âåòâåé ãðàôà ñõåìû â âèäå ìàòðèöû,

ñîñòîÿùåé èç p còðîê è îäíîãî ñòîëáöà.

166 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 3.29

Êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû ñå÷åíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîýôôèöèåíòû ó òîêîâ

âåòâåé â óðàâíåíèè äëÿ ñå÷åíèÿ, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ íîìåðîì âåòâè

äåðåâà. Ñîãëàñíî ïðàâèëàì ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ, êàæäîå óðàâíåíèå ñå÷åíèÿ

ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

mk k

=++ ++di di di

mmkkmpp11

~~ ~

âåêòîð-ñòðîêà (1´ð)

ìàòðèöà (1´1)

âåêòîð-ñòîëáåö (ð´1)

Òàêèå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü äëÿ âñåõ q – 1 âåòâåé äåðåâà ãðà

ôà ñõåìû. Â ìàòðè÷íîé ôîðìå ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòà

âèòü â âèäå

Di 0

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.29) èìååì

12 3456

11 1–1–1

iiii

~~~~

1456

+--

2 1 –1 –1

iii

~~~

256

= 0.

3 1 –1 1

iii

~~~

345

Çäåñü êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äëÿ òîêîâ

ñå÷åíèÿ ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà.

Äëÿ k-é îáîáùåííîé âåòâè ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå

,ii

kk k

=+Á

ãäå i

— òîê â ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ k-é âåòâè, à Á

— çíà÷åíèå òîêà èñòî÷íèêà

òîêà â k-é âåòâè ïðè óñëîâèè, ÷òî i

è Á

íàïðàâëåíû îò îäíîãî è òîãî æå óçëà (ñì.

ðèñ. 3.26).

Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü óðàâíåíèé òîêîâ ñå÷åíèé â ýëåìåíòàõ âåòâåé ñõåìû áóäåò

èìåòü âèä

Di Di D

,=+ÁÁ=0

ãäå

()

() ()

(

ii 0==ÁÁ=

´´

MM M M;; ;

q-´11)

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 167

Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê, ÷òî èñòî÷íèêè òîêà áóäóò âûäåëåíû

îñîáî, à èìåííî:

Di D=- ÁÁ.

3.16. Ñâÿçè ìåæäó ìàòðèöàìè ñîåäèíåíèé, êîíòóðîâ è ñå÷åíèé

Äëÿ âûÿñíåíèÿ ñâÿçåé ìåæäó ìàòðèöàìè ïðîèçâåäåì íåêîòîðîå óïîðÿäî÷åíèå

â íóìåðàöèè âåòâåé ãðàôà ñõåìû. Óñëîâèìñÿ âïðåäü íîìåðà îò 1 äî q – 1 ïðèïè

ñûâàòü âåòâÿì äåðåâà è íîìåðà îò q äî p — ñâÿçÿì ãðàôà. Ïðè òàêîé íóìåðàöèè

ìàòðèöû À, Ñ è D áóäóò ñîñòîÿòü èç äâóõ ïîäìàòðèö (èç äâóõ áëîêîâ):

11K q - , qpK

A =

; C =

;

()(),qq-´-11()qn-´1 nq´-(),1()nn´

11K q - , qpK

D =

()(),qq-´-11()qn-´1

Ñîîòâåòñòâåííî, òîêè (íàïðÿæåíèÿ) ãðàôà ñõåìû òàêæå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëå-

íû äâóìÿ ñòîëáöîâûìè áëîêàìè — äâóìÿ ïîäìàòðèöàìè. Â ïåðâîì áëîêå-ñòîëáöå

áóäóò ðàñïîëîæåíû òîêè (íàïðÿæåíèÿ) âåòâåé äåðåâà ñ íîìåðàìè îò 1 äî q –1,àâî

âòîðîì áëîêå-ñòîëáöå — òîêè (íàïðÿæåíèÿ) ñâÿçåé ñ íîìåðàìè îò q äî p:

()q -´11

;

()q -´11

()n ´1

Ïðè òàêîì ðàçáèåíèè ìàòðèö ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû

â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ áëî÷íûõ ìàòðèö. Ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïðèìåíè

òåëüíî ê óçëàì ñõåìû èìååì

Çäåñü A

— êâàäðàòíàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà (q –1)´ (q – 1), òàê êàê îíà èìååò

q – 1 ñòîëáöîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ q – 1 âåòâÿì äåðåâà ãðàôà ñõåìû, q – 1 ñòðîê,

ñîîòâåòñòâóþùèõ q – 1 óçëàì. Ïîäìàòðèöà-ñòîëáåö

òàêæå èìååò q – 1 ñòðîê,

ñîîòâåòñòâóþùèõ òîêàì âåòâåé äåðåâà. Ñîîòâåòñòâèå ÷èñëà ñòîëáöîâ ïîäìàò

ðèöû A

÷èñëó ñòðîê ïîäìàòðèöû

ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ìàòðè÷íîå ïðîèçâåäå

íèå

. Òî÷íî òàê æå èìååò ñìûñë ïðîèçâåäåíèå

, òàê êàê A

èìååò n ñòîëá

öîâ, à

èìååò n ñòðîê, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûõ ÷èñëó ñâÿçåé â ãðàôå ñõåìû.

168 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìåþò ñìûñë ñëåäóþùèå ìàò

ðè÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ:

Çäåñü, êàê è ðàíåå,

— ïîäìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ è íàïðÿæåíèé âåòâåé

äåðåâà, à

— ïîäìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ è íàïðÿæåíèé ñâÿçåé ãðàôà öåïè.

Â ìàòðèöå êîíòóðîâ C íîìåð ñòðîêè îïðåäåëÿåòñÿ íîìåðîì ñâÿçè, è ïîñêîëü

êó â êîíòóð âõîäèò òîëüêî îäíà ñâÿçü, òî î÷åâèäíî, ÷òî â ïîäìàòðèöå C

êàæäàÿ

ñòðîêà áóäåò èìåòü òîëüêî îäèí ïîëîæèòåëüíûé íåíóëåâîé ýëåìåíò. Ýòîò ýëå-

ìåíò áóäåò â òîì ñòîëáöå, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ñâÿçüþ, îáðàçóþùåé äàí-

íûé êîíòóð. Ïî ýòîé ïðè÷èíå âñå íåíóëåâûå ýëåìåíòû ïîäìàòðèöû C

, ðàâíûå 1,

áóäóò ðàñïîëîæåíû ïî äèàãîíàëè ïîäìàòðèöû C

. Òàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ

åäèíè÷íîé,áóäåì îáîçíà÷àòü åå ÷åðåç 1. Ïîðÿäîê ïîäìàòðèöû C

= 1 ðàâåí

n ´ n. Îáû÷íî â ëèòåðàòóðå äëÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïðèìåíÿåòñÿ îáîçíà÷åíèå E;

îäíàêî, ÷òîáû íå ïóòàòü åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ñ ìàòðèöåé ÝÄÑ, áóäåì èñïîëüçî-

âàòü ñèìâîë 1.

Ïðè ñîñòàâëåíèè ìàòðèöû ñå÷åíèé ñòðîêè íóìåðóþòñÿ ñîãëàñíî íîìåðàì

âåòâåé äåðåâà. Ïîñêîëüêó êàæäàÿ âåòâü äåðåâà âõîäèò òîëüêî â îäíî îïðåäåëÿå-

ìîå íîìåðîì ýòîé âåòâè ñå÷åíèå, ïîäìàòðèöà D

áóäåò èìåòü ñòðîêè ñ îäíèì ïî-

ëîæèòåëüíûì íåíóëåâûì ýëåìåíòîì. Ýòè ýëåìåíòû áóäóò ðàñïîëîæåíû ïî äèà

ãîíàëè ïîäìàòðèöû D

. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîäìàòðèöà D

ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîé

ìàòðèöåé ïîðÿäêà (q –1)´ (q – 1).

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü

11K q - , qpK

C =

; D =

Êàæäîå ñå÷åíèå ðàçðåçàåò îäíó âåòâü äåðåâà è íåêîòîðûå ñâÿçè ãðàôà ñõåìû

(ðèñ. 3.30). Èç ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà âûòåêàåò, ÷òî âåòâü (m íà ðèñ. 3.30), îïðåäå

ëÿþùàÿ ñå÷åíèå, íåïðåìåííî âõîäèò â êîíòóðû (j è s), îáðàçîâàííûå òåìè ñâÿçÿ

ìè (j è s) ãðàôà, êîòîðûå ðàçðåçàþòñÿ ñå÷åíèåì, òàê êàê ðàçðåçàíèå äàííîé âåòâè

äåðåâà ãðàôà ïðèâåäåò ê ðàçðåçàíèþ âñåõ êîíòóðîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû ñâÿçÿ

ìè ñå÷åíèÿ.

Íà ðèñ. 3.30 ïîêàçàíû äâà ïîäãðàôà, êîòîðûå îáðàçóþòñÿ ñå÷åíèåì âåòâè m.

Â êîíòóðû, îáðàçîâàííûå ñâÿçÿìè s è j, âåòâü m âõîäèò, ñîîòâåòñòâåííî, ñî çíàêà

ìè c

= –1èc

= 1. Â òî æå âðåìÿ âåòâè s è j âõîäÿò â m-å ñå÷åíèå, ñîîòâåòñòâåí

íî, ñî çíàêàìè d

= 1èd

= – 1. Äëÿ âñåõ êîíòóðîâ è ñå÷åíèé, ñëåäîâàòåëüíî,

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 169

ìîæíî çàìåòèòü ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü.

Ñòîëáöû ïîäìàòðèöû C

ìîãóò áûòü îáðàçîâà

íû ñòðîêàìè ïîäìàòðèöû D

, åñëè ó âñåõ íåíó

ëåâûõ ýëåìåíòîâ èçìåíèòü çíàêè.

Åñëè ó äâóõ ìàòðèö ñòðîêàì îäíîé ìàòðèöû

ñîîòâåòñòâóþò ñòîëáöû äðóãîé (è íàîáîðîò),

òî òàêèå ìàòðèöû ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì âçàèì

íîãî òðàíñïîíèðîâàíèÿ — ïåðåñòàíîâêè ìåñòàìè

ñòðîê è ñòîëáöîâ. Îáîçíà÷èì ïðîöåäóðó òðàíñ

ïîíèðîâàíèÿ âåðõíèì èíäåêñîì t (èëè «ò»).

Òîãäà èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ

CD D C

12 21

=- =-

èëè .

×òîáû íå ïèñàòü èíäåêñû ó ïîäìàòðèö C

, ââåäåì îáîçíà÷åíèå C

= F. Òîãäà

C =

; D =

1 –F

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö C è D äîñòàòî÷íî ñîñòàâèòü îäíó

ïîäìàòðèöó F. Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.31, èìååì

1234 5 6 7 8 910

11 1–1–1

D =

21 –111 11

1 –F

31 1–11

4 1 1 –1 1 –1 –1

ò. å.

1234

5–1 1 –1

6 1 –1 –1 1

14K ,510K

F =

71–1

C =

81–1

9–1 1

10 –1 –1 1

Èç çàêîíîâ öåïåé èìååì

Ai A i

Di D i

.ÍîD

= 1, ïîýòîìó

iDi

170 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 3.30

Ïîäìàòðèöà A

ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé ïîäìàòðèöåé. Åñëè îïðåäåëèòåëü A

íå

ðàâåí íóëþ, òî ìîæíî íàéòè òàêóþ ìàòðèöó

, ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðóþ

ìàòðèöû A

ñëåâà ïîëó÷èì åäèíè÷íóþ ìàòðèöó. Ìàòðèöó

íàçûâàþò îáðàò

íîé ìàòðèöåé A

. Óìíîæèì ïåðâîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ñëåâà íà

, òîãäà

AAi 1i i AAi Di

–1

~~~ ~ ~

111 2 2

= = =- =-

ò. å.

DAA

–1

, îòêóäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî

-=FAA

–1

Ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ âàæíû â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè ïîçâîëÿþò ïî ìàòðèöå

ñîåäèíåíèé ïóòåì ìàòðè÷íûõ îïåðàöèé ñîñòàâëÿòü ìàòðèöû êîíòóðîâ è ñå

÷åíèé, ÷òî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíî ïðè èñïîëü

çîâàíèè âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, ðàñ÷åòû íà

êîòîðûõ òðåáóþò ôîðìàëèçàöèè ïðîöåäóðû ñî

ñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé. Äëÿ ãðàôà ñõå

ìû âñåãäà ñóùåñòâóåò ïîäìàòðèöà D

, ïîýòîìó

èç ðàâåíñòâà

DAA

–1

è ñóùåñòâîâàíèÿ A

âûòåêàåò è ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ìàòðèöû

Ìîæíî ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàò-

ðèöû A

ñóùåñòâóåò âñåãäà è, áîëåå òîãî, îí ðà-

âåí ±1. Ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì

íåêîòîðîé ñòðîêè (èëè ñòîëáöà). Â îïðåäåëèòå-

ëå A

âñåãäà ìîæíî íàéòè ñòðîêó, ãäå èìååòñÿ

òîëüêî îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò, òàê êàê â äåðå-

âå ãðàôà ñõåìû ìîæíî íàéòè âåòâü, êîòîðàÿ çàêàí÷èâàåòñÿ íà òîì óçëå, êîòîðûé

â êà÷åñòâå ëèøíåãî èñêëþ÷åí èç ðàññìîòðåíèÿ (òàêîé èñêëþ÷åííûé óçåë, êàê

ïðàâèëî, íàçûâàþò áàçèñíûì). Ïðè ðàçëîæåíèè ïîëó÷èì äëÿ îïðåäåëèòåëÿ ïðî-

èçâåäåíèå ±1 è ìèíîðà îïðåäåëèòåëÿ A

. Ìèíîð îïðåäåëèòåëÿ A

ñîîòâåòñòâóåò

äåðåâó, èç êîòîðîãî èñêëþ÷åíû îäèí óçåë è îäíà âåòâü. Ïîýòîìó äëÿ îñòàâøåéñÿ

÷àñòè äåðåâà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìèíîðà îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû A

ìîãóò áûòü

ïðèìåíåíû òå æå ñàìûå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ðàíåå äëÿ ìàòðèöû A

. Òàêèì îáðà

çîì, îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A

áóäåò ñîñòîÿòü èç ïðîèçâåäåíèÿ (q – 1) ýëåìåíòîâ

±1, ò. å. áóäåò ðàâåí ëèáî +1, ëèáî –1.

3.17. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïðîöåññîâ

â öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè

Çàêîíû Êèðõãîôà ïðèìåíèòåëüíî ê ãðàôó ñõåìû èëè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè õàðàê

òåðèçóþò ñèñòåìó â öåëîì áåç ó÷åòà õàðàêòåðèñòèê åå ýëåìåíòîâ. Ìàòðè÷íûå

óðàâíåíèÿ

Ai A Di Cu Ce=- ÁÁ=-ÁÁ=()èëè èD

îïðåäåëÿþò ñèñòåìó èç p îòäåëüíûõ óðàâíåíèé. Òàêàÿ ñèñòåìà íåäîñòàòî÷íà äëÿ

îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, òàê êàê íå èçâåñòíû p òîêîâ è p íà

ïðÿæåíèé.

×òîáû äîïîëíèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé, íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü (èëè çàäàòü)

åùå p óðàâíåíèé. Ýòè óðàâíåíèÿ äîëæíû îòðàæàòü ñâîéñòâà ýëåìåíòîâ ñèñòå

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 171

Ðèñ. 3.31

ìû — âåòâåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèå ñâÿçè äîëæíû áûòü çàïè

ñàíû äëÿ ð âåòâåé öåïè. Â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ â âèäå

() ()

ifu u i==èëè jj ,

ò. å.

i ==

fu u

(, , )

........

(, , )

........

èëè u ==

ii(, , )

Â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà ôóíêöèé f

()

kp= 1K

ñèñòåìû óðàâíåíèé

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ìîãóò áûòü ëèíåéíûìè—äëÿëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ

öåïåé, ò. å. äëÿ öåïåé, ó êîòîðûõ r, L, C è M íå çàâèñÿò îò çíà÷åíèé è íàïðàâëåíèé

òîêîâ è íàïðÿæåíèé â öåïè, è íåëèíåéíûìè — äëÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ

öåïåé, ò. å. äëÿ öåïåé, ó êîòîðûõ r, L, C èëè M õîòÿ áû îäíîãî èç ó÷àñòêîâ çàâèñÿò

îò çíà÷åíèé èëè îò íàïðàâëåíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé â ýòîì ó÷àñòêå öåïè. Çàìå-

òèì, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè â çàâèñèìîñòè îò

òîãî, êàêèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ âõîäÿò â óðàâíåíèÿ

ãðàôà ñõåìû, îäíà è òà æå öåïü ìîæåò áûòü ëèáî

ëèíåéíîé, ëèáî íåëèíåéíîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè

äëÿ öåïè (ðèñ. 3.32), ãäå èìåþòñÿ äâå âåòâè ñ èäå-

àëüíûìè äèîäàìè (ÂÀÕ òàêîãî ýëåìåíòà ñì. íà

ðèñ. 3.19, á), óðàâíåíèÿ çàïèñàíû äëÿ òîêîâ i, i

è i

òî ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò íåëèíåéíîé. Â òî æå

âðåìÿ, åñëè â ñèñòåìó óðàâíåíèé öåïè âõîäÿò òîëü-

êî i è u, òî ýòîò æå ó÷àñòîê ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí

êàê ëèíåéíàÿ öåïü.

Åñëè â ôóíêöèè f

è j

âõîäÿò ïðîèçâîäíûå òîêîâ è íàïðÿæåíèé, òî ïðîöåññû

â ýòîé ëèíåéíîé èëè íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè áóäóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ

ñèñòåìîé, ñîîòâåòñòâåííî, ëèíåéíûõ èëè íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ

íåíèé. Ïðè îòñóòñòâèè ïðîèçâîäíûõ â ôóíêöèÿõ f

è j

ïðîöåññû â ýòîé ëèíåé

íîé èëè íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè áóäóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ñèñòåìîé, ñî

îòâåòñòâåííî, ëèíåéíûõ èëè íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.

Ñèñòåìà èç 2p óðàâíåíèé, âêëþ÷àþùàÿ â ñåáÿ óðàâíåíèÿ, çàïèñàííûå ñîãëàñ

íî çàêîíàì Êèðõãîôà, è óðàâíåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå ñâÿçè ìåæäó òîêàìè è íà

ïðÿæåíèÿìè ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, è åñòü ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, èëè ïîëíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ýòîé öåïè.

Óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè

÷åñêîé öåïè, ìîãóò áûòü ó÷òåíû ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñîãëàñíî çàêîíàì

Êèðõãîôà. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñîñòàâëåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöè

àëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ëèíåéíîé öåïè (ñì. ðèñ. 3.23) ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðà

ìåòðàìè.

Èìååì (ñì. § 3.13, 3.14)

172 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 3.32