Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

îñè, òî ïðîåêöèÿ âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà íà âåðòèêàëüíóþ îñü ðàâíà â èçáðàííîì

ìàñøòàáå ìãíîâåííîé ÝÄÑ

Ïóñòü èìååì ÝÄÑ e, ðàâíóþ ñóììå ÝÄÑ e

è e

îäíîé è òîé æå ÷àñòîòû:

ee e E t E t E t

mmm

=+ = + + + = +

12 1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( .wy wy wy)

Èçîáðàçèì ÝÄÑ e

è e

âðàùàþùèìèñÿ âåêòîðàìè (ðèñ. 4.8). Òàê êàê ïðîåê

öèÿ íà ëþáóþ îñü ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììû äâóõ âåêòîðîâ ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé

ñóììå èõ ïðîåêöèé íà ýòó îñü, òî ÝÄÑ e èçîáðàæàåòñÿ âðàùàþùèìñÿ âåêòîðîì,

êîòîðûé ðàâåí ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ ÝÄÑ e

è e

Ïðè ðàññìîòðåíèè óñòàíîâèâøèõñÿ ñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ íà÷àëüíóþ

ôàçó îäíîé èç âåëè÷èí ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî, íàïðèìåð íà÷àëüíóþ ôàçó

ÝÄÑ èëè ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî ïðîèçâîëüíî ìîæåò áûòü

ðàñïîëîæåí â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âåêòîð, èçîáðàæàþùèé ýòó âåëè÷èíó.

Âåêòîðû âñåõ îñòàëüíûõ âåëè÷èí ïðè ýòîì áóäóò ïîâåðíóòû ïî îòíîøåíèþ ê íå-

ìó íà óãëû, ðàâíûå ñäâèãàì ôàç.

Ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â òîé èëè

èíîé öåïè ïåðåìåííîãî òîêà, è ïîñòðîåííûõ ñ ñîáëþäåíèåì ïðàâèëüíîé îðèåí

òàöèè èõ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà, íàçûâàþò âåêòîðíîé äèàãðàììîé.

Òàê êàê îáû÷íî ìû èíòåðåñóåìñÿ äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ñèíóñîèäàëü

íûõ ôóíêöèé, êîòîðûå â

ìåíüøå èõ àìïëèòóä, òî öåëåñîîáðàçíî íà âåêòîðíîé

äèàãðàììå äëèíó âåêòîðîâ âûáèðàòü ðàâíîé â èçáðàííîì ìàñøòàáå äåéñòâóþ

ùèì ÝÄÑ, òîêàì è íàïðÿæåíèÿì. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 4.9 èçîáðàæåíà âåêòîðíàÿ

äèàãðàììà íàïðÿæåíèÿ u è òîêà i, ïðè÷åì òîê ñäâèíóò ïî îòíîøåíèþ ê íàïðÿæå

íèþ íà óãîë j.

Â äàëüíåéøåì âåêòîðû, èçîáðàæàþùèå ñèíóñîèäàëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè,

áóäåì îáîçíà÷àòü òåìè æå áóêâàìè, ÷òî è äåéñòâóþùèå èëè ìàêñèìàëüíûå çíà

÷åíèÿ ýòèõ ôóíêöèé, íî ñ ÷åðòîé íàä áóêâîé, â îòëè÷èå îò îáîçíà÷åíèÿ æèðíûì

øðèôòîì âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ õàðàêòåðèñòèêè ôèçè÷åñêèõ ïîëåé.

4.4. Óñòàíîâèâøèéñÿ ñèíóñîèäàëüíûé òîê â öåïè

ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ r, L è C

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷à

ñòêàìè r, L è C (ðèñ. 4.10), êàê áûëî ïîëó÷åíî â § 3.12, èìååò âèä

Ãëàâà 4. Ñâîéñòâà è ïàðàìåòðû öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 183

Ðèñ. 4.9

Ðèñ. 4.8

Ðèñ. 4.7

uu u u riL

dt C

idt u

rLC

=++ =+ + +

().

Îáùåå ðåøåíèå i(t) ýòîãî óðàâíåíèÿ, êàê âñÿêîãî ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëü

íîãî óðàâíåíèÿ, ñêëàäûâàåòñÿ èç ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ i¢(t), îïðåäåëÿåìîãî âèäîì

ôóíêöèè u(t), è ïîëíîãî èíòåãðàëà i²(t) îäíîðîäíîãî äèôôåðåí

öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåìîãî, åñëè ïðèíÿòü u(t) = 0. Êàê

áóäåò ïîêàçàíî â ãë. 9, ïîñëå âêëþ÷åíèÿ öåïè ïîä äåéñòâèå íà

ïðÿæåíèÿ u(t) ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà i²(t) áûñòðî çàòóõàåò, óìåíü

øàÿñü äî íóëÿ ïðàêòè÷åñêè çà äîëè ñåêóíäû èëè çà íåñêîëüêî

ñåêóíä. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè u = 0, r ¹ 0 ïðîöåññ â öåïè ìîæåò ñó

ùåñòâîâàòü òîëüêî çà ñ÷åò çàïàñîâ ýíåðãèè â ïîëÿõ öåïè è áóäåò çàòóõàòü âñëåä

ñòâèå ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì r.

Òàêèì îáðàçîì, ñïóñòÿ íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïîñëå âêëþ÷åíèÿ

â öåïè óñòàíàâëèâàåòñÿ òîê i(t), îïðåäåëÿåìûé ÷àñòíûì ðåøåíèåì i¢(t) óðàâ

íåíèÿ öåïè. Âåëè÷èíà i¢(t) ÿâëÿåòñÿ òîêîì óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà

â öåïè. Ïåðâûå ïÿòü ãëàâ íàñòîÿùåé ÷àñòè ïîñâÿùåíû èññëåäîâàíèþ óñòàíî-

âèâøèõñÿ ðåæèìîâ.

Ïóñòü ïðèëîæåííîå ê öåïè íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çà-

êîíó u = U

sin (wt+y

). Ïðè ýòîì òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà òàêæå áóäåò ñè-

íóñîèäàëüíûì ñ òîé æå ÷àñòîòîé w è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü âûðàæåí â âèäå

i = I

sin (wt+y

) = I

sin (wt+y

– j). Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îòûñêàíèè âåëè÷èí

è j ïðè çàäàííûõ âåëè÷èíàõ U

, w è y

Êàê áûëî ñêàçàíî ðàíüøå, ïðè èññëåäîâàíèè óñòàíîâèâøåãîñÿ ñèíóñîèäàëü-

íîãî ïðîöåññà íà÷àëüíàÿ ôàçà y

ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ ìîæåò áûòü âûáðà-

íà ïðîèçâîëüíî. Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå îáùèì äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ ÿâëÿåòñÿ òîê,

òî öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü y

=j, ÷òîáû íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà áûëà ðàâíà íóëþ,

ò. å. y

= 0. Òîãäà

() ()

uU t U t iI t

mum m

=+=+=sin sin sin .wy wj wè

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ i è u â óðàâíåíèå

ri L

dt C

idt u u

++ + =

() ,

íàéäåì

rI t LI t

Iu U t

mmmmCm

sin cos cos ( ) sinww w

w+- ++=+

()

j .

Òàê êàê âñå ÷ëåíû, êðîìå äâóõ ïîñëåäíèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, íå ñîäåð

æàò ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ, òî

+ u

(0) = 0.

Ýòî óðàâíåíèå äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè t.Ïî

ëàãàÿ, â ÷àñòíîñòè, wt =p/2 è wt = 0, ïîëó÷àåì

rI U L

mm mm

=cos ; sin .jw

184 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 4.10

Âîçâåäÿ ïåðâîå è âòîðîå ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ñëîæèâ, áóäåì èìåòü

îòêóäà íàõîäèì ñâÿçü ìåæäó àìïëèòóäàìè òîêà è íàïðÿæåíèÿ:

Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ íà

, ïîëó÷èì àíàëîãè÷íóþ ñâÿçü ìåæ

äó äåéñòâóþùèìè òîêîì è íàïðÿæåíèåì:

Êîðåíü ñëåäóåò áðàòü âñåãäà ñî çíàêîì «ïëþñ», òàê êàê àìïëèòóäû è äåéñò-

âóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ñ÷èòàåì ïîëîæèòåëüíûìè âåëè÷èíàìè.

Ïîäåëèâ âòîðîå ðàâåíñòâî íà ïåðâîå, íàõîäèì

()

tg j

-LC

Â âûðàæåíèÿõ, ñâÿçûâàþùèõ àìïëèòóäû U

è I

èëè äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ

U è I íàïðÿæåíèÿ è òîêà, â çíàìåíàòåëå ñòîèò âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü

ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Åå îáîçíà÷àþò ÷åðåç z è íàçûâàþò ïîëíûì

ñîïðîòèâëåíèåì öåïè. Äëÿ ðàññìîòðåííîé öåïè

=== +-

Â îáùåì ñëó÷àå â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå z áîëüøå ñî

ïðîòèâëåíèÿ r è ìîæåò áûòü åìó ðàâíî òîëüêî â ÷àñòíîì ñëó÷àå. Ïðè÷èíà ýòîãî

ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé öåïè ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå èìååò íå

òîëüêî ñîñòàâëÿþùóþ ir, íî òàêæå ñîñòàâëÿþùóþ L

, ïðåîäîëåâàþùóþ ÝÄÑ

ñàìîèíäóêöèè, è ñîñòàâëÿþùóþ q/C, ðàâíóþ íàïðÿæåíèþ íà êîíäåíñàòîðå.

Ñîïðîòèâëåíèå r íàçûâàþò àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè, òàê

êàê òîëüêî èì îïðåäåëÿþòñÿ íåîáðàòèìûå àêòèâíûå ïðîöåññû â öåïè, â äàííîì

ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ. Âåëè÷èíó

wL – 1/(wC), ó÷èòûâàþùóþ ðåàêöèþ ñàìîèíäóêöèè è åìêîñòè è èìåþùóþ ðàç

ìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ, íàçûâàþò ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì

öåïè è îáîçíà÷àþò x. Ïðè ýòîì ÷ëåí wL, ó÷èòûâàþùèé ðåàêöèþ ñàìîèíäóê

öèè, íàçûâàþò èíäóêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè è îáîçíà÷àþò x

à ÷ëåí 1/(wC), ó÷èòûâàþùèé ðåàêöèþ åìêîñòè, íàçûâàþò åìêîñòíûì ñî

ïðîòèâëåíèåì öåïè è îáîçíà÷àþò x

Ãëàâà 4. Ñâîéñòâà è ïàðàìåòðû öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 185

Èòàê, èìååì

xLx

zr L

LC LC

===-=-

=+-

;; ;

Çàìåòèì, ÷òî âîçðàñòàíèå x

ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî

ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ òîêà, è ñëåäîâàòåëü

íî, åå àìïëèòóäà ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû ïðè

íåèçìåííîé àìïëèòóäå òîêà. Óáûâàíèå âåëè÷èíû x

ïðè

óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì òîãî, ÷òî òîê

ñìåùåíèÿ â êîíäåíñàòîðå ïðîïîðöèîíàëåí ñêîðîñòè èç

ìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà è, ñëåäî

âàòåëüíî, åãî àìïëèòóäà ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû

ïðè íåèçìåííîé àìïëèòóäå íàïðÿæåíèÿ.

Ñòðóêòóðà âûðàæåíèÿ äëÿ z ìîæåò áûòü óÿñíåíà,

åñëè ðàññìîòðåòü ñäâèãè ôàç íàïðÿæåíèé íà îòäåëü-

íûõ ó÷àñòêàõ öåïè ïî îòíîøåíèþ ê òîêó. Ñ öåëüþ íà-

ãëÿäíîñòè ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó äëÿ ðàñ-

ñìàòðèâàåìîé öåïè. Çäåñü è â ïîñëåäóþùåì äèàãðàììó áóäåì ñòðîèòü äëÿ

äåéñòâóþùèõ âåëè÷èí. Äëÿ êðàòêîñòè âåêòîðû, èçîáðàæàþùèå òîê, íàïðÿæåíèå

è ÝÄÑ, áóäåì íàçûâàòü ïðîñòî âåêòîðîì òîêà, âåêòîðîì íàïðÿæåíèÿ è âåêòîðîì

ÝÄÑ

Íàïðàâèì âåêòîð òîêà

ïî âåðòèêàëüíîé îñè (ðèñ. 4.11).

Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì r

urirI t

== sinw

ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ òîêîì, è ïîýòîìó âåêòîð ýòîãî íàïðÿæåíèÿ

íàïðàâëåí

âäîëü âåêòîðà òîêà.

Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ñ èíäóêòèâíîñòüþ L

LI t LI t

Lmm

== = +

www w

cos sin

îïåðåæàåò òîê íà óãîë p/2, è âåêòîð ýòîãî íàïðÿæåíèÿ

äîëæåí áûòü ïîâåð

íóò îòíîñèòåëüíî âåêòîðà òîêà íà óãîë p/2 â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.

Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ñ åìêîñòüþ Ñ

idt u

Cm m

== + =- = -

() cos sin

îòñòàåò îò òîêà íà óãîë p/2, è âåêòîð ýòîãî íàïðÿæåíèÿ

äîëæåí áûòü ïîâåð

íóò îòíîñèòåëüíî âåêòîðà òîêà íà óãîë p/2 â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè.

Ñêëàäûâàÿ ãåîìåòðè÷åñêè âåêòîðû íàïðÿæåíèé íà ó÷àñòêàõ öåïè

ïîëó÷àåì âåêòîð íàïðÿæåíèÿ

íà çàæèìàõ âñåé öåïè, êîòîðûé ñäâèíóò ïî îòíî

øåíèþ ê âåêòîðó òîêà

íà óãîë j. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âåëè÷èíû x

=wL

è x

= 1/(wC) âõîäÿò â âûðàæåíèå äëÿ ðåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñ ðàçíûìè

çíàêàìè, îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî íàïðÿæåíèÿ u

è u

ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî

186 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 4.11

äðóãà íà óãîë p è, ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ïðîòèâîïîëîæíû

äðóã äðóãó, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, âèäíî èç âåêòîðíîé äèàãðàììû.

Íàïðÿæåíèÿ u

è(u

+ u

) ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà óãîë p/2. Ïî

ýòîìó ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè z íåëüçÿ îïðåäåëÿòü ïóòåì àðèôìåòè÷åñêîãî

ñëîæåíèÿ r è x, à ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå

zrx=+

Çàôèêñèðóåì îñîáî âíèìàíèå íà ñëåäóþùèõ âåñüìà âàæíûõ ðåçóëüòàòàõ:

íà ó÷àñòêå ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì òîê ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ íàïðÿæå

íèåì íà ýòîì ó÷àñòêå;

â èíäóêòèâíîé êàòóøêå òîê îòñòàåò ïî ôàçå íà óãîë p/2 îò íàïðÿæåíèÿ

íà êàòóøêå;

â êîíäåíñàòîðå òîê îïåðåæàåò ïî ôàçå íà óãîë p/2 íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ

êîíäåíñàòîðà.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñäâèã ôàç j ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì íà çàæèìàõ âñåé

öåïè. Òîê ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì òîëüêî ïðè x = 0, ò. å.

èëè ïðè îòñóòñòâèè â öåïè ðåàêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé, èëè ïðè èõ âçàèìíîé

êîìïåíñàöèè. Ïîñëåäíåå èìååò ìåñòî ïðè ðåçîíàíñå,ÿâëåíèå êîòîðîãî áóäåò

ðàññìîòðåíî â ãë. 6. Äåéñòâèòåëüíî, èç âåêòîðíîé äèàãðàììû (ðèñ. 4.12) âèäíî,

÷òî ïðè x =wL –1/wC = 0 ñóììà âåêòîðîâ

áóäåò ðàâíà íóëþ è âåêòîð

ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ ñîâïàäåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì

òîêà, ò. å. óãîë j

áóäåò ðàâåí íóëþ. Êðèâûå òîêà è íàïðÿæåíèÿ äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ èçîáðàæåíû òàê

æå íà ðèñ. 4.12. Åñëè wL > 1/(wC), òî x >0,p/2 ³j>0èòîê îòñòàåò ïî ôàçå

îò íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ öåïè. Ýòîò ñëó÷àé èçîáðàæåí íà ðèñ. 4.13. Åñëè æå

1/(wC)>wL,òîx <0,–p/2 £j<0èòîê îïåðåæàåò ïî ôàçå íàïðÿæåíèå íà çà

æèìàõ öåïè. Ýòîò ñëó÷àé èçîáðàæåí íà ðèñ. 4.14.Òàêèì îáðàçîì, ïðåäåëàìè, ìå

æäó êîòîðûìè ëåæèò j, ÿâëÿþòñÿ +p/2è–p/2.

4.5. Óñòàíîâèâøèéñÿ ñèíóñîèäàëüíûé òîê â öåïè

ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ g, L è C

Ðàññìîòðèì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 4.15, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ ïàðàëëåëüíî

ñîåäèíåííûõ ó÷àñòêîâ; ïðè÷åì ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðâûé ó÷àñòîê îáëàäàåò

òîëüêî ïðîâîäèìîñòüþ g, âòîðîé — òîëüêî åìêîñòüþ C è òðåòèé — òîëüêî èíäóê

òèâíîñòüþ L.

Ãëàâà 4. Ñâîéñòâà è ïàðàìåòðû öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 187

Ðèñ. 4.14Ðèñ. 4.13

Ðèñ. 4.12

Ïðèìåíÿÿ ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà, èìååì

iii i

gC L

++=.

Òîêè â âåòâÿõ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå. Òîê â ïåð

âîé âåòâè i

= gu, ãäå g — ïðîâîäèìîñòü ïåðâîãî ó÷àñòêà. Òîê âî âòîðîé âåòâè

dCu

== =

. Òîê â òðåòüåé âåòâè

Íî òàê êàê

,òî

udt=+

0()

è, ñëåäîâàòåëü

íî, i

udt

+ i

(0), ãäå i

(0) =

(0).

Òàêèì îáðàçîì, äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ðàññìàòðèâàåìîé öåïè èìååò

âèä

gu C

dt L

udt i i

++ +=

() .

Ïóñòü ê öåïè ïðèëîæåíî ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå u = U

sin wt . Ïðè ýòîì

òîê i òàêæå áóäåò ñèíóñîèäàëüíûì è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå

i = I

sin (wt–j). Â äàííîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî ïðèíÿòü íà÷àëüíóþ ôàçó ïðè-

ëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ ðàâíîé íóëþ (y

= 0), òàê êàê íàïðÿæåíèå ÿâëÿåòñÿ îá-

ùèì äëÿ âñåõ âåòâåé.

Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå öåïè, ïîëó÷èì

gU t CU t

Ui I t

mmmmLm

sin cos cos ( ) sinww w

w+-++=-

()

j .

Òàê êàê âñå ÷ëåíû, êðîìå äâóõ ïîñëåäíèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, íå ñîäåð

æàò ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ, òî

+ i

(0) = 0.

Óðàâíåíèå öåïè ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè t. Ïîëàãàÿ wt =p/2

è wt = 0, íàõîäèì

gU I

CU I

mm mm

=cos ; sin .j

-w j

Âîçâåäÿ ïåðâîå è âòîðîå ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ñëîæèâ, ïîëó÷èì

IUg

-w .

Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ íà

, ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó äåéñòâóþ

ùèìè òîêîì è íàïðÿæåíèåì:

IUg

CUy=+

-w .

188 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 4.15

Ïîäåëèâ âòîðîå ðàâåíñòâî íà ïåðâîå, íàéäåì

()

tgj

-1 LC

Âåëè÷èíó

C== +

-w

íàçûâàþò ïîëíîé ïðîâîäèìîñòüþ öåïè. Ïðîâîäèìîñòü g íàçûâàþò à ê

òèâíîé ïðîâîäèìîñòüþ. Âåëè÷èíó

-w

, èìåþùóþ òàêæå ðàçìåð

íîñòü ïðîâîäèìîñòè, íàçûâàþò ðåàêòèâíîé ïðîâîäèìîñòüþ öåïè è

îáîçíà÷àþò b. Ïðè ýòîì ÷ëåí 1/(wL) íàçûâàþò èíäóêòèâíîé ïðîâîäè

ìîñòüþ èîáîçíà÷àþò b

, à ÷ëåí wC íàçûâàþò åìêîñòíîé ïðîâîäèìî

ñòüþ èîáîçíà÷àþò b

. Èìååì

Cb b y g b

==-=+

-w ;.

Íà ðèñ. 4.16 èçîáðàæåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ ýòîé öåïè äëÿ ñëó÷àÿ

1/(wL)>wC. Òîê â ïåðâîì ó÷àñòêå ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ íàïðÿæåíèåì, òîê â êîí-

äåíñàòîðå îïåðåæàåò ïî ôàçå íà óãîë p/2 íàïðÿæåíèå,

à òîê â êàòóøêå îòñòàåò ïî ôàçå íà óãîë p/2 îò íàïðÿæå-

íèÿ. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî b îáðàçóåòñÿ êàê ðàçíîñòü b

è b

, îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî òîêè â êîíäåíñàòîðå è â êàòóø-

êå ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà óãîë p,ò.å.âëþ-

áîé ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåíû ïî îòíîøåíèþ ê îáùèì

çàæèìàì âòîðîé è òðåòüåé âåòâåé â ïðîòèâîïîëîæíûå

ñòîðîíû. Ýòè òîêè ñäâèíóòû îòíîñèòåëüíî òîêà â ïåðâîé

âåòâè íà óãîë p/2, âñëåäñòâèå ÷åãî ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü

îïðåäåëÿåòñÿ íå àðèôìåòè÷åñêèì ñëîæåíèåì g è b, à ôîð

ìóëîé

ygb=+

Ïðè b

= b

èìååò ìåñòî ðåçîíàíñ â öåïè è òîê i ðàâåí òîêó i

â ïåðâîé âåòâè.

Ïðè 1/(wL)>wC òîê ÷åðåç êàòóøêó áîëüøå òîêà ÷åðåç êîíäåíñàòîð (ðèñ. 4.16) è

îáùèé òîê i îòñòàåò ïî ôàçå íà óãîë j îò íàïðÿæåíèÿ, ïðè÷åì 0 < j£p/2. Ïðè

wC > 1/(wL) òîê ÷åðåç êîíäåíñàòîð áîëüøå òîêà ÷åðåç êàòóøêó è îáùèé òîê i

îïåðåæàåò ïî ôàçå íàïðÿæåíèå, ïðè÷åì –p/2 £j<0.

4.6. Àêòèâíàÿ, ðåàêòèâíàÿ è ïîëíàÿ ìîùíîñòè

Àêòèâíîé ìîùíîñòüþ P â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïðî

öåññàõ íàçûâàþò ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîùíîñòè çà ïîëíûé ïåðèîä:

pdt

ui dt

òò

ãäå p = ui —ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü.

Ãëàâà 4. Ñâîéñòâà è ïàðàìåòðû öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 189

Ðèñ. 4.16

Åñëè íàïðÿæåíèå u íà çàæèìàõ öåïè è òîê i â öåïè ÿâëÿþòñÿ ñèíóñîèäàëüíû

ìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè: u = U

sin wt; i = I

sin (wt–j), òî

ttdt

=-=--

sin sin( ) [cos cos( )]wwj j wj

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

cos( )20

wjtdt

, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ àêòèâíîé ìîùíî

ñòè ïðè ñèíóñîèäàëüíîì ïðîöåññå:

PUI= cos .j

Ìíîæèòåëü cosj íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ìîùíîñòè.Òàê êàê

cos j£1, òî P £ UI. Òîëüêî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà j=0 è cos j=1, èìååì

P = UI. Â äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà j=±p/2 è cos j=0, èìååì P = 0.

Ýëåêòðè÷åñêèå ìàøèíû, òðàíñôîðìàòîðû è äðóãèå ýëåêòðîòåõíè÷åñêèå óñò

ðîéñòâà ðàññ÷èòûâàþò íà îïðåäåëåííîå íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå U, îáóñëîâ

ëåííîå èçîëÿöèåé ýòèõ óñòðîéñòâ, è íà îïðåäåëåííûé íîìèíàëüíûé òîê I, îáó-

ñëîâëåííûé íàãðåâîì ïðîâîäíèêîâ ýòèõ óñòðîéñòâ. Ñîîòâåòñòâåííî, íàèâûñøåå

èñïîëüçîâàíèå ãåíåðèðóþùèõ è ïðåîáðàçóþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíóþ ýíåðãèþ

óñòðîéñòâ áóäåò â ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè ïðèåìíèêîâ, íà êîòî-

ðûå îíè ðàáîòàþò, ðàâåí åäèíèöå.

Ìàêñèìàëüíîå ïðèáëèæåíèå ê åäèíèöå êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè ïðåäïðè-

ÿòèé, ÿâëÿþùèõñÿ ïðèåìíèêàìè ýíåðãèè, ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ïóòåì

ðàöèîíàëüíîãî êîíñòðóèðîâàíèÿ îáîðóäîâàíèÿ ýòèõ ïðåäïðèÿòèé, à òàêæå ðà-

öèîíàëüíîé îðãàíèçàöèåé èõ ðàáîòû, íàïðèìåð ìàêñèìàëüíîé çàãðóçêîé äâèãà-

òåëåé, òàê êàê ïðè õîëîñòîì õîäå cos j äâèãàòåëåé îáû÷íî íèçîê.

Òàê êàê îáû÷íî äëÿ ïðåäïðèÿòèé j > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, òîê èìååò èíäóêòèâ-

íûé õàðàêòåð, òî ðàäèêàëüíîé ìåðîé ïîâûøåíèÿ cos j ìîæåò áûòü óñòàíîâêà

íà ýòèõ ïðåäïðèÿòèÿõ êîíäåíñàòîðîâ, âêëþ÷àåìûõ ïàðàëëåëüíî äðóãèì óñòðîé

ñòâàì.

Èç äèàãðàììû íà ðèñ. 4.11 èìååì U cos j=U

= Ir, è èç äèàãðàììû íà ðèñ. 4.16

ïîëó÷àåì I cos j=Ug. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ àêòèâíîé ìîùíîñòè ìîæåì íàïèñàòü

ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:

PUI IrUg===cos .j

Âåëè÷èíó S = UI íàçûâàþò ïîëíîé ìîùíîñòüþ.Ñìûñë ââåäåíèÿ ïîíÿ

òèÿ ïîëíîé ìîùíîñòè ÿñåí èç ñêàçàííîãî âûøå. Åñëè ïîä U è I ïîíèìàòü íî

ìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ, ò. å. äîïóñêàåìûå ïðè íîìèíàëüíîì ðåæèìå äåéñòâóþùèå

çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ýëåêòðè÷åñêîé ìàøèíû, òðàíñôîðìàòîðà èëè äðó

ãèõ ïðåîáðàçîâàòåëåé ýíåðãèé, òî ïðîèçâåäåíèå S = UI äàåò íàèáîëüøóþ âîçìîæ

íóþ àêòèâíóþ èõ ìîùíîñòü ïðè íàèáîëåå áëàãîïðèÿòíûõ óñëîâèÿõ, ò. å. ïðè

cos j=1.

Èìååì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëíîé ìîùíîñòè:

SUI IzU== =

Ââîäÿò â ðàññìîòðåíèå åùå òàê íàçûâàåìóþ ðåàêòèâíóþ ìîùíîñòü

Q = UI sin j.

190 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè âûòåêàåò, íà

ïðèìåð, èç ñëåäóþùåãî. Îáû÷íûé ñ÷åò÷èê ýíåðãèè äàåò çíà÷åíèå ýíåðãèè, îò

äàííîé ïðèåìíèêó çà íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t. Ýòó ýíåðãèþ ìîæíî çà

ïèñàòü â ôîðìå

Pdt UI dt

òò

= cos ,

åñëè çàìåòíîå èçìåíåíèå P ïðîèñõîäèò òîëüêî çà áîëüøîå ÷èñëî ïåðèîäîâ T òîêà

è åñëè, ñîîòâåòñòâåííî, t âî ìíîãî ðàç ïðåâîñõîäèò T. Îäíàêî ïîêàçàíèÿ òàêî

ãî ñ÷åò÷èêà íå äàþò âîçìîæíîñòè ñóäèòü î òîì, ïðè êàêîì êîýôôèöèåíòå ìîù

íîñòè cos j ðàáîòàåò ïîòðåáèòåëü ýíåðãèè. Òàêàÿ îöåíêà âîçìîæíà, åñëè íàðÿäó

ñ îáû÷íûì ñ÷åò÷èêîì, ïîêàçûâàþùèì äåéñòâèòåëüíóþ ýíåðãèþ, ïåðåäàâàåìóþ

ïðèåìíèêó, âêëþ÷èòü íà çàæèìû ïðèåìíèêà ñ÷åò÷èê, ïîêàçûâàþùèé âåëè÷èíó

èíòåãðàëà ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè Q çà òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè t:

Qdt UI dt

òò

= sin .

Î÷åâèäíî, ÷åì áîëüøå ïîêàçàíèå ýòîãî ñ÷åò÷èêà ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîêàçàíèåì

îáû÷íîãî ñ÷åò÷èêà, òåì íèæå ñðåäíåå çíà÷åíèå cos j ïðèåìíèêà çà ðàññìàòðè-

âàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.

Âåëè÷èíó P ìîæíî èçìåðèòü ñ ïîìîùüþ îáû÷íîãî âàòòìåòðà, à âåëè÷èíó Q—

ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíî ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ ýòîé öåëè ýëåêòðîèçìåðèòåëüíîãî

ïðèáîðà. Çíàÿ P è Q, ìîæíî îïðåäåëèòü sin j è cos j ïîòðåáèòåëÿ ýíåðãèè â ìî-

ìåíò èçìåðåíèÿ. Îäíàêî ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èìåííî çíàòü õàðàêòåð ðàáîòû

ïîòðåáèòåëÿ çà äëèòåëüíûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ñ ýòîé öåëüþ è èñïîëüçóþòñÿ

ñ÷åò÷èêè, äàþùèå íàçâàííûå èíòåãðàëüíûå âåëè÷èíû.

Ïîíÿòèåì ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè Q øèðîêî ïîëüçóþòñÿ òàêæå ïðè ðàñ÷åòå

ýëåêòðè÷åñêèõ ñåòåé ïåðåìåííîãî òîêà.

Èç äèàãðàììû íà ðèñ. 4.11 èìååì U sin j=Ix, è èç äèàãðàììû ðèñ. 4.16 ïîëó

÷àåì I sin j=Ub. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè ñóùåñòâóþò âûðàæå

íèÿ

QUI IxUb===sin .j

Äëÿ ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè P è S âñåãäà ïîëîæèòåëüíû, íî ðåàêòèâíàÿ ìîù

íîñòü Q ïîëîæèòåëüíà ëèøü ïðè j > 0, ò. å. äëÿ èíäóêòèâíûõ öåïåé, à ïðè j <0,

ò. å. äëÿ åìêîñòíûõ öåïåé, îíà îòðèöàòåëüíà.

Çàìåòèì, ÷òî ïðè j=±p/2, íàïðèìåð äëÿ êîíäåíñàòîðîâ èëè êàòóøåê áåç ïî

òåðü, àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè ñîâïàäàåò ñ ïîëíîé ìîùíîñòüþ.

Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïîíÿòèå àêòèâíîé ìîùíîñòè êàê ñðåäíåé çà ïåðèîä T

ìîùíîñòè ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ ïåðèîäè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ îïðåäå

ëåííîé ÷àñòîòû f = 1/T è íå îáÿçàòåëüíî ñèíóñîèäàëüíûõ. Ïîíÿòèå æå ðåàêòèâ

íîé ìîùíîñòè Q â âèäå Q = UI sin j, òàê æå êàê è âûðàæåíèå àêòèâíîé ìîùíîñòè

â ôîðìå P = UI cos j, ñïðàâåäëèâî ëèøü ïðè ñèíóñîèäàëüíîì ïðîöåññå.

Ïðè âûâîäå âñåõ âûøåïðèâåäåííûõ ñîîòíîøåíèé ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî íà çà

æèìàõ öåïè äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå U. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ê çàæèìàì öåïè

Ãëàâà 4. Ñâîéñòâà è ïàðàìåòðû öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 191

ïðèêëþ÷åí èäåàëüíûé èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ, èìåþùåé äåéñòâóþùåå

çíà÷åíèå E, òî âñå ñîîòíîøåíèÿ îñòàíóòñÿ â ñèëå ñ çàìåíîé U íà Å, íàïðèìåð:

IEzE SEIIzEy

PEI IrEg QEI Ix

== ===

=== ==

22 2

;

cos ; sinjj=Eb

4.7. Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü è êîëåáàíèÿ ýíåðãèè

â öåïè ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà

Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü p = ui öåïè ïåðåìåííîãî òîêà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè.

Ðàññìîòðèì ýíåðãåòè÷åñêèå ïðîöåññû â öåïè, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî

ñîåäèíåííûõ ó÷àñòêîâ r, L è C (ðèñ. 4.17). Óðàâíåíèå äëÿ íàïðÿæåíèé â ýòîé

öåïè èìååò âèä

uu u u riL

rLC

=++ =+ +.

Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ìãíîâåííûõ ìîùíîñòåé íà çàæèìàõ öåïè è íà îòäåëü-

íûõ ó÷àñòêàõ öåïè ïîëó÷èì óðàâíåíèå

pui p p p uiuiuiirLi

rLC r LC

==++=++ =+ + =

() ()

Li d

=+ +

ìý

Èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ âèäèì, ÷òî ìîùíîñòü p

= i

r íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâ-

ëåíèåì r ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé âñåãäà ïîëîæèòåëüíîé è õàðàêòåðèçóåò íåîáðàòè-

ìûé ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ ýíåðãèè. Ìîùíîñòü p

)

îïðåäåëÿåò ïðè p

> 0 ñêîðîñòü ïîñòóïëåíèÿ ýíåðãèè â ìàã

íèòíîå ïîëå êàòóøêè è ïðè p

< 0 — ñêîðîñòü âîçâðàùåíèÿ

ýíåðãèè èç ýòîãî ïîëÿ. Ìîùíîñòü p

) îïðåäåëÿåò

ïðè p

> 0 ñêîðîñòü ïîñòóïëåíèÿ ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå êîíäåíñàòîðà,

à ïðè p

< 0 — ñêîðîñòü âîçâðàùåíèÿ ýíåðãèè èç ýòîãî ïîëÿ.

Ïóñòü íàïðÿæåíèå u è òîê i ÿâëÿþòñÿ ñèíóñîèäàëüíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè:

()

uU t iI t

=+=sin ; sin .wj w

Çäåñü, òàê æå êàê è â § 4.4, íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà ïðèíÿòà ðàâíîé íóëþ (y

= 0),

÷òî óäîáíî, òàê êàê òîê ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ öåïè. Ïðè ýòîì íà

÷àëüíàÿ ôàçà íàïðÿæåíèÿ u îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé j (y

=j). Ìãíîâåííûå íàïðÿ

æåíèÿ íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ ïðè ýòîì ðàâíû (ñì. § 4.4):

urirI tu LI tu

rm Lm C

== = =-sin ; cos ; cos .www

Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ìãíîâåííûõ ìîùíîñòåé íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè ïî

ëó÷àåì âûðàæåíèÿ

192 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 4.17