Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

ñòâåííî îòìåòèòü, ÷òî è â êâàíòîâîé òåîðèè ôîðìàëüíîå ðàññìîòðåíèå ìàãíèò

íîãî ïîëÿ, îáóñëîâëåííîãî ìàãíèòíûìè ìîìåíòàìè ýëåêòðîíîâ, ïðèâîäèò ê íå

êîòîðîìó îáùåìó âûðàæåíèþ äëÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ.

Òàêèì îáðàçîì, èìåþòñÿ âñå îñíîâàíèÿ ïîíÿòèåì «ýëåìåíòàðíûå òîêè â âå

ùåñòâå» îõâàòûâàòü âñå ÿâëåíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê íàìàãíè÷åííîñòè âåùåñòâà, è â

ýòîì øèðîêîì ñìûñëå ñîõðàíÿòü óòâåðæäåíèå, ÷òî âî âñåõ áåç èñêëþ÷åíèÿ ñëó

÷àÿõ ìàãíèòíîå ïîëå ñâÿçàíî ñ ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè.

1.15. Çàêîí ïîëíîãî òîêà

Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, äàííûì â ïðå

äûäóùåì ïàðàãðàôå, ëèíåéíûé èíòåãðàë íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ âäîëü

çàìêíóòîãî êîíòóðà ðàâåí ýëåêòðè÷åñêîìó òîêó, îõâàòûâàåìîìó ýòèì êîíòóðîì,

ò. å. òîêó ñêâîçü ïîâåðõíîñòü s, îãðàíè÷åííóþ ýòèì êîíòóðîì:

Hldi=

Â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà òîê i ðàñïðåäåëåí ïî ïîâåðõíîñòè s ñ ïëîòíîñòüþ d,

ðàçëè÷íîé â ðàçíûõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè, èìååì ñîîòíîøåíèå

Hl sddi

òò

Íàïðèìåð, åñëè êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ îõâàòûâàåò ÷àñòü ñå÷åíèÿ ïðîâîäíè-

êà ñ òîêîì (ðèñ. 1.44), òî â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ äîëæíà áûòü

ó÷òåíà òîëüêî òà ÷àñòü òîêà â ïðîâîäíèêå, êîòîðàÿ îõâàòûâàåòñÿ

êîíòóðîì èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ñîãëàñíî Ìàêñâåëëó, â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ

Hldi=

ïîä

âåëè÷èíîé i ñëåäóåò ïîäðàçóìåâàòü íå òîëüêî òîêè ïðîâîäèìîñòè,

íî è òîêè ïåðåíîñà, à òàêæå è òîêè ñìåùåíèÿ ñêâîçü ïîâåðõíîñòü,

îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñóììà òîêîâ ïðîâîäè

ìîñòè, ïåðåíîñà è ñìåùåíèÿ ìîæåò áûòü íàçâàíà ïîëíûì òî

ê î ì ñêâîçü ðàññìàòðèâàåìóþ ïîâåðõíîñòü. Ñîîòâåòñòâåííî, ñîîòíîøåíèå

Hldi=

èìåíóþò ç à êîíîì ïîëíîãî òîêà.

Ëèíåéíûé èíòåãðàë íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ âäîëü íåêîòîðîãî êîí

òóðà íàçûâàþò ìàãíèòîäâèæóùåé ñèëîé (ÌÄÑ) âäîëü ýòîãî êîíòóðà.

Ìàãíèòîäâèæóùóþ ñèëó ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü áóêâîé F.

Èñïîëüçóÿ òåðìèí «ìàãíèòîäâèæóùàÿ ñèëà», çàêîí ïîëíîãî òîêà ìîæíî âû

ðàçèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìàãíèòîäâèæóùàÿ ñèëà âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà

ðàâíà ïîëíîìó òîêó, îõâàòûâàåìîìó ýòèì êîíòóðîì.

Óðàâíåíèå

Hldi=

ïðè îòìå÷åííîé øèðîêîé òðàêòîâêå åãî ïðàâîé ÷àñòè ñòà

íîâèòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî òîêè ïðîâîäèìîñòè è ïåðåíîñà îòñóòñòâó

þò è èìåþòñÿ òîëüêî òîêè ñìåùåíèÿ. Íî òîêè ñìåùåíèÿ â äèýëåêòðèêå âîçíèêà

þò òîëüêî ïðè èçìåíåíèè âî âðåìåíè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,

óðàâíåíèå

Hldi=

Ãëàâà 1. Îáîáùåíèå ïîíÿòèé è çàêîíîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ 73

Ðèñ. 1.44

ñâèäåòåëüñòâóåò, ÷òî ïðè âñÿêîì èçìåíåíèè âî âðåìåíè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîç

íèêàåò â òîì æå ïðîñòðàíñòâå ïîëå ìàãíèòíîå, òåñíûì îáðàçîì ñâÿçàííîå ñ

ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì è ñ åãî èçìåíåíèÿìè è, ïî ñóòè, ïðåäñòàâëÿþùåå ñ íèì åäè

íîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.

Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå «ìàãíèòîäâèæóùàÿ ñèëà» ìîæåò áûòü ïðèìåíåíî è ê

îòðåçêó ëèíèè îò òî÷êè A äî òî÷êè B. Ïðè ýòîì

Hl.

Ïîëüçóÿñü ïîíÿòèåì «ìàãíèòîäâèæóùàÿ ñèëà», ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé

ñìûñë âåëè÷èíå, êîòîðóþ íàçûâàåì íàïðÿæåííîñòüþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Íàïðÿ

æåííîñòü ïîëÿ îêàçûâàåòñÿ ÷èñëåííî ðàâíîé ìàãíèòîäâèæóùåé ñèëå, ïðèõîäÿ

ùåéñÿ íà åäèíèöó äëèíû â íàïðàâëåíèè ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ:

H = dF/dl.

Îòñþäà âèäíî, ÷òî åäèíèöåé íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ àìïåð

íà ìåòð (À/ì).

Èç èçëîæåííîãî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ñëåäóåò, ÷òî åäèíèöåé íàìàãíè÷åí-

íîñòè âåùåñòâà òàêæå ÿâëÿåòñÿ àìïåð íà ìåòð (À/ì).

1.16. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Âåñüìà âàæíî ïðè ïîñòðîåíèè ëþáîãî ðàçäåëà ôèçèêè ïîëîæèòü â åãî îñíîâó

ìèíèìàëüíîå íåîáõîäèìîå ÷èñëî ñîîòíîøåíèé, ïðèíèìàåìûõ êàê îïûòíûå ôàê-

òû, ðàññìàòðèâàåìûõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè èõ îáîáùåíèÿìè â êà÷åñòâå àêñèîì.

Îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ äîëæíû âûâîäèòüñÿ èç íèõ êàê ñëåäñòâèÿ, ò. å. ÿâëÿòü-

ñÿ òåîðåìàìè.

Âûøå â îñíîâó ïîëîæåíû, êàê âûòåêàþùèå èç îïûòà è ñîîòâåòñòâóþùèõ åãî

îáîáùåíèé, ìàêñâåëëîâ ïîñòóëàò, ïðèíöèï íåïðåðûâíîñòè ìàãíèòíîãî ïîòîêà,

çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè è çàêîí ïîëíîãî òîêà.

Íà îñíîâàíèè îïûòíîãî çàêîíà Êóëîíà è âûòåêàþùåé èç íåãî äëÿ îäíîðîä

íîé è èçîòðîïíîé ñðåäû è ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ òåîðåìû Ãàóññà, îáîáùåí

íîé çàòåì äëÿ ëþáîé ñðåäû è äëÿ ëþáîãî èçìåíÿþùåãîñÿ âî âðåìåíè ýëåêòðè÷å

ñêîãî ïîëÿ, ïîëó÷èëè ïîñòóëàò Ìàêñâåëëà:

Dsdq

ñâÿçûâàþùèé ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñ ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè ÷àñòèö èëè òåë.

Îïûòíûé ôàêò íåïðåðûâíîñòè ëèíèé ìàãíèòíîé èíäóêöèè, íåïîñðåäñòâåííî

ïðîâåðÿåìûé âñþäó, ãäå ýòî äîñòèæèìî â ìàãíèòíîì ïîëå, îêðóæàþùåì ýëåê

òðè÷åñêèå òîêè, îáîáùåííûé íà îñíîâå ñîâðåìåííûõ ôèçè÷åñêèõ ïðåäñòàâëå

íèé îá ýëåìåíòàðíûõ òîêàõ â âåùåñòâå è î ìàãíèòíûõ ìîìåíòàõ ýëåìåíòàðíûõ

÷àñòèö âåùåñòâà äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âíóòðè ëþáîãî òâåðäîãî òåëà, ãäå íåïî

ñðåäñòâåííûé ýêñïåðèìåíò íåâîçìîæåí, ñôîðìóëèðîâàí íàìè â êà÷åñòâå ôóíäà

ìåíòàëüíîãî ïðèíöèïà íåïðåðûâíîñòè ìàãíèòíîãî ïîòîêà:

Bsd

74 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ýòîò ïðèíöèï ãëàñèò, ÷òî ìàãíèòíûõ ìàññ êàê èñòî÷íèêîâ ëèíèé ìàãíèòíîãî

ïîëÿ, àíàëîãè÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäàì ÷àñòèö èëè òåë, ÿâëÿþùèõñÿ èñòî÷

íèêàìè ëèíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò.

Óñòàíîâëåííûé îïûòíûì ïóòåì äëÿ ïðîâîäíèêîâîé çàìêíóòîé ýëåêòðè÷å

ñêîé öåïè çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, îáîáùåííûé äëÿ ëþáîãî ìûñëåí

íî âçÿòîãî êîíòóðà â èçìåíÿþùåìñÿ ìàãíèòíîì ïîëå â ëþáîé ñðåäå,

Eld

äàåò îäíî èç âàæíåéøèõ óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñâÿçûâàþùåå èç

ìåíÿþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå ñ âîçíèêàþùèì ïðè ýòîì ïîëåì ýëåêòðè÷åñêèì.

Ëèíèè òàêîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè, ò. å. çàìêíóòûìè.

Òàêæå óñòàíîâëåííûé îïûòíûì ïóòåì äëÿ òîêîâ ïðîâîäèìîñòè è ïåðåíîñà

çàêîí ïîëíîãî òîêà, îáîáùåííûé íà âñå âèäû ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, âêëþ÷àÿ è

òîêè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ,

Hldi=

äàåò äðóãîå âàæíåéøåå óðàâíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñâÿçûâàþùåå äâè-

æåíèå ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è òåë è èçìåíÿþùååñÿ ýëåêòðè÷åñêîå

ïîëå ñ âîçíèêàþùèì ïðè ýòîì ìàãíèòíûì ïîëåì.

Ïðèíÿâ ýòè ñîîòíîøåíèÿ çà îñíîâíûå, ïîëó÷àåì îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ êàê

èõ ñëåäñòâèå.

Â îáùåì ñëó÷àå ýòè óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî äîïîëíèòü ñâÿçÿìè ìåæäó âåêòî-

ðàìè D è E è ìåæäó âåêòîðàìè B è H. Äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû ýòè ñâÿçè èìåþò

âèä D =eE è B =mH. Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå

òîê i ìîæåò áûòü òîêîì ïðîâîäèìîñòè â ïðîâîäíèêå, òîêîì ïåðåíîñà èëè òîêîì

ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ, ïëîòíîñòè êîòîðûõ èìåþò, ñîîòâåòñòâåííî, âûðàæå-

íèÿ:

dgrrd=JJJJJJ+

,=+,

Evv

ãäå

ïð ïåð ïð ïåð

==+

++ - -

;;= J

ñì

Â ïåðâûõ æå ïàðàãðàôàõ ïîñëåäíåé ÷àñòè, ïîñâÿùåííîé òåîðèè ýëåêòðîìàã

íèòíîãî ïîëÿ, óâèäèì, ÷òî äëÿ ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ëþáîãî âåêòîðà íåîá

õîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ ýòîãî âåêòîðà ïî âñåì âîçìîæíûì çàìêíóòûì

êîíòóðàì, à òàêæå èñòîêè ëèíèé âåêòîðà, ò. å. çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ ýòîãî âåêòîðà

ïî âñåì âîçìîæíûì çàìêíóòûì ïîâåðõíîñòÿì. Ýòî è îñóùåñòâëÿåòñÿ â èçáðàí

íûõ âûøå îñíîâíûõ ñîîòíîøåíèÿõ. Òàêèì îáðàçîì, èõ âûáîð íå ÿâëÿåòñÿ ñëó

÷àéíûì. Îí òåñíî ñâÿçàí ñ ñóùíîñòüþ èññëåäóåìûõ ÿâëåíèé. Âûðàçèâ ýòè ñî

îòíîøåíèÿ â ïîñëåäíåé ÷àñòè êóðñà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå, ïîëó÷èì

âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòûâàòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå äëÿ ðàçëè÷íûõ êîíêðåòíûõ

çàäà÷ ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Äëÿ ðàñ÷åòà ýíåðãèè, ïåðåíîñè

ìîé ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, íåîáõîäèìî äîïîëíèòåëüíî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå

ýíåðãèè â ïîëå, ÷òî áóäåò ðàññìîòðåíî â ñëåäóþùåé ãëàâå.

Ãëàâà 1. Îáîáùåíèå ïîíÿòèé è çàêîíîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ 75

Ãëàâà âòîðàÿ

Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ

ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé

2.1. Ýíåðãèÿ ñèñòåìû çàðÿæåííûõ òåë. Ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè

â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå

Ñèñòåìà çàðÿæåííûõ òåë ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì îïðåäåëåííîãî çàïàñà ýíåðãèè. Ýòà

ýíåðãèÿ ñîîáùàåòñÿ ñèñòåìå âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè â ïðîöåññå îáðàçîâàíèÿ çà

ðÿäîâ è ìîæåò áûòü âíîâü âîçâðàùåíà èñòî÷íèêàì èëè ïðåîáðàçîâàíà â äðóãèå

âèäû ýíåðãèè ïðè óìåíüøåíèè çàðÿäîâ.

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ýíåðãèè, çàïàñåííîé â ñèñòåìå çàðÿæåííûõ

ïðîâîäÿùèõ òåë, ðàññìîòðèì ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè ïðè

îáðàçîâàíèè çàðÿäîâ ñèñòåìû. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà, ïðîèçâîäèìàÿ âíåøíè

ìè ñèëàìè ïðè óâåëè÷åíèè çàðÿäà q

íåêîòîðîãî òåëà íà âåëè÷èíó dq

, ðàâíà

= U

, ãäå U

— ïîòåíöèàë òåëà. Ïîëíàÿ ðàáîòà ïðè èçìåíåíèè çàðÿäîâ âñåõ

n òåë ñèñòåìû îò íóëÿ äî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ èìååò âûðàæåíèå

AA Udq.

k=n

Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñèñòåìà çàðÿæàåòñÿ âåñüìà ìåäëåííî, òåîðåòè÷å-

ñêè — áåñêîíå÷íî ìåäëåííî. Ïðè ýòîì ýëåêòðè÷åñêèå òîêè, âîçíèêàþùèå ïðè

ïåðåíîñå çàðÿäîâ íà ïîâåðõíîñòü çàðÿæàåìûõ òåë, áåñêîíå÷íî ìàëû, à ñëåäîâà-

òåëüíî, áåñêîíå÷íî ìàëû è ïîòåðè â ïðîâîäíèêàõ êîíå÷íîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Äî-

ïóñòèì òàêæå, ÷òî â ñàìîì äèýëåêòðèêå ïðè èçìåíåíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íå

ñîâåðøàåòñÿ íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ. Â òàêîì ñëó÷àå íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðà

íåíèÿ ýíåðãèè ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî âñÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ èñòî÷íèêàìè ïðè

îáðàçîâàíèè çàðÿäîâ, èäåò íà ñîçäàíèå çàïàñà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè W

â ñèñòå

ìå: A = W

. Ïîòåíöèàë U

k-ãî òåëà çàâèñèò îò çàðÿäîâ q

, q

,...,q

âñåõ òåë. Ïðè ïî

ñòîÿííîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû ýòà çàâèñèìîñòü èìååò ëèíåé

íûé õàðàêòåð è, ñîãëàñíî ïðèíöèïó íàëîæåíèÿ, äîëæíà áûòü âûðàæåíà â âèäå

Uqq q q.

kk k kkk knn

=+++++aa a a

11 12

... ...

Êîýôôèöèåíòû a íàçûâàþò ïîòåíöèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ýòî âûðàæå

íèå ñëåäóåò ïîäñòàâèòü ïîä çíàê èíòåãðàëà â âûðàæåíèè äëÿ ðàáîòû A.

Íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ðàáîòà, ñî

âåðøàåìàÿ âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè ïðè óâåëè÷åíèè çàðÿäîâ òåë îò íóëÿ äî èõ

êîíå÷íûõ çíà÷åíèé, íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà óñòàíîâëåíèÿ çàðÿäîâ. Èíà÷å ìû âñå

ãäà ìîãëè áû âûáðàòü òàêîé ïîðÿäîê óñòàíîâëåíèÿ çàðÿäîâ è îòëè÷íûé îò íåãî

òàêîé ïîðÿäîê óìåíüøåíèÿ çàðÿäîâ, ÷òîáû ýíåðãèÿ, çàòðà÷åííàÿ âíåøíèìè èñ

òî÷íèêàìè, áûëà ìåíüøå ýíåðãèè, èì âîçâðàùåííîé, ÷òî ÿâèëîñü áû íàðóøåíè

åì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ïîýòîìó ìû âïðàâå âûáðàòü ïîðÿäîê óñòàíîâëå

íèÿ çàðÿäîâ ïî ñâîåìó óñìîòðåíèþ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå çàðÿäû âîçðàñòàþò

ïðîïîðöèîíàëüíî äðóã äðóãó, ò. å. q

, ãäå g

= const. Òîãäà ïîòåíöèàë êàæäî

ãî òåëà áóäåò âîçðàñòàòü ïðîïîðöèîíàëüíî åãî çàðÿäó:

()

Uq=mq,

kkkkk knknkkk

=+++aa a

11 2 2

gg g...

ïðè÷åì m

= const. Èñêîìàÿ ðàáîòà

A U dq m q dq

kkk

== =

åå

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî A = W

, ïîëó÷àåì

WUq

Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ ñèñòåìû çàðÿæåííûõ òåë ðàâíà ïîëóñóììå ïðîèçâåäå

íèé ïîòåíöèàëîâ òåë íà èõ çàðÿäû.

Åäèíèöåé ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ äæîóëü (Äæ).

Â âåñüìà âàæíîì ÷àñòíîì ñëó÷àå äëÿ çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà èìååì äâà

çàðÿæåííûõ òåëà ñ çàðÿäàìè q

è q

, ðàâíûìè ïî çíà÷åíèþ è ïðîòèâîïîëîæíûìè

ïî çíàêó. Ïðèíÿâ q = q

= – q

, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè çàðÿæåííîãî

êîíäåíñàòîðà:

()

Uq U q

UUq

=+ =

11 2 2

22 2

Îáîçíà÷àÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U

è U

îáêëàäîê ÷åðåç u è ïîëüçóÿñü ñîîò-

íîøåíèåì q = Cu, ãäå C — åìêîñòü êîíäåíñàòîðà, ïîëó÷àåì

== =

222

Ïîêàæåì, ÷òî ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ òåë ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü

êàê ðàñïðåäåëåííóþ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, îêðóæàþùåì çàðÿæåííûå òåëà, ÷òî

ñîîòâåòñòâóåò âçãëÿäó íà ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êàê íà îñîáûé âèä ìàòåðèè.

Ïðåäïîëîæèâ ýòî, ìû äîëæíû ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò îáúåìà äèýëåêòðèêà

ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì îïðåäåëåííîãî çàïàñà ýíåðãèè, è ñëåäóåò ãîâîðèòü îá îáúåì

íîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè â êàæäîé òî÷êå ïîëÿ. Îáîçíà÷àÿ îáúåìíóþ ïëîòíîñòü

ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç

, ìîæåì âûðàçèòü ýíåðãèþ ñèñòåìû çàðÿ

æåííûõ òåë êàê ýíåðãèþ âñåãî îêðóæàþùåãî èõ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â âèäå èí

òåãðàëà:

WWdV

ýý

ðàñïðîñòðàíåííîãî ïî âñåìó ýëåêòðè÷åñêîìó ïîëþ.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèé ñëó÷àé — îäíîðîäíîå ïîëå. Òàêèì ÿâëÿåòñÿ

ïîëå â ñðåäíåé ÷àñòè ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëàñòèíàìè (ðèñ. 2.1). Âûäåëèì èç îáå

èõ ïëàñòèí ïðîòèâîïîëîæíûå äðóã äðóãó ÷àñòè ñ ïî

âåðõíîñòÿìè s. Ïóñòü çàðÿäû, ðàñïîëîæåííûå íà

ýòèõ ÷àñòÿõ ïëàñòèí, ðàâíû: q

= – q

= q. Ñîîòâåòñò

âóþùàÿ èì ýíåðãèÿ èìååò âûðàæåíèå W

= uq/2,

ïðè÷åì u—ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ïëàñòèí. Òàê êàê

ïîëå îäíîðîäíî, òî u = Ed, ãäå d—ðàññòîÿíèå ìåæäó

ïëàñòèíàìè. Ïîòîê ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ

ñêâîçü ëþáóþ ïîâåðõíîñòü s, ïðîâåäåííóþ â äèýëåê

Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé 77

Ðèñ. 2.1

òðèêå ìåæäó ïëàñòèíàìè ïàðàëëåëüíî ïîâåðõíîñòÿì ïëàñòèí è ðàññåêàþùóþ

âñå òðóáêè ñìåùåíèÿ, íà÷èíàþùèåñÿ íà çàðÿäå q

= q, ðàâåí ýòîìó çàðÿäó

(ñì. § 1.5). Ââèäó îäíîðîäíîñòè ïîëÿ èìååì Ds = q. Ñëåäîâàòåëüíî,

W DEsd DEV

ãäå V = sd — îáúåì äèýëåêòðèêà, â êîòîðîì ñîñðåäîòî÷åíî ïîëå çàðÿäîâ q

è q

Ýíåðãèÿ, îòíåñåííàÿ ê åäèíèöå îáúåìà ïîëÿ, ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé

== = =W

222

Ýíåðãèÿ âñåãî ïîëÿ, òàêèì îáðàçîì, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòå

ãðàëà:

Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî

ïîëÿ ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû, â êîòîðîé âåêòîðû Å è D ñîâ-

ïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ àíèçîòðîïíîé ñðåäû îáúåìíàÿ ïëîò-

íîñòü ýíåðãèè ðàâíà

ãäå ED = ED cos a åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ Å è D, ñîñòàâëÿþùèõ

äðóã ñ äðóãîì óãîë a. Ñîîòâåòñòâåííî, ýíåðãèÿ âñåãî ïîëÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-

ëåíà âûðàæåíèåì

WdV

Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ äëÿ

îáùåãî ñëó÷àÿ — äëÿ íåîäíîðîäíîãî ïîëÿ â àíèçî

òðîïíîé ñðåäå. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì äâà ïðîâîäÿ

ùèõ òåëà, èìåþùèõ ðàâíûå çàðÿäû ïðîòèâîïîëîæíûõ

çíàêîâ: q

= –q

= q (ðèñ. 2.2). Âûäåëèì â ýëåêòðè÷å

ñêîì ïîëå áåñêîíå÷íî òîíêóþ òðóáêó ñìåùåíèÿ.

Â îáúåìå áåñêîíå÷íî ìàëîãî îòðåçêà dl òðóáêè ïîëå

ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì. Ýíåðãèÿ ïîëÿ â îáúåìå

ýòîãî îòðåçêà òðóáêè

=W dsdl DE dsdl

cosa

ãäå ds — íîðìàëüíîå ñå÷åíèå òðóáêè. Èíòåãðèðóÿ âäîëü âñåé òðóáêè è âñïîìè

íàÿ, ÷òî ïîòîê ñìåùåíèÿ Dds îäèíàêîâ âî âñåõ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèÿõ òðóáêè

è ðàâåí çàðÿäó dq íà êîíöå òðóáêè (ñì. § 1.5), ïîëó÷àåì

()

dW U U dq

===-

òò

DdsE dl Dds E dl

cos cos ,aa

òàê êàê èíòåãðàë

Edl

cosa

ðàâåí ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ íà êîíöàõ òðóáêè.

78 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 2.2

Äëÿ òðóáêè êîíå÷íîãî ñå÷åíèÿ, åñëè çàðÿäû íà åå êîíöàõ ðàñïîëîæåíû íà

ïîâåðõíîñòÿõ ðàâíîãî ïîòåíöèàëà, íàïðèìåð íà ïîâåðõíîñòè äâóõ çàðÿæåííûõ

ïðîâîäÿùèõ òåë, áóäåì èìåòü

()

DDWUUq

ãäå Dq—çàðÿä íà êîíöå òðóáêè.

Ñóììèðóÿ ýíåðãèþ ïî âñåì òðóáêàì ñìåùåíèÿ è çàìå÷àÿ, ÷òî äëÿ âñåõ òðóáîê

âåëè÷èíà U

–U

èìååò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå, ïîëó÷àåì

()

WUUqUqUq

=-= +

12 11 22

Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå ýíåðãèè â âèäå èíòåãðàëà ïî âñåìó îáúåìó ïîëÿ

WdV

ýêâèâàëåíòíî âûðàæåíèþ

, êîòîðîå áûëî ïîëó÷åíî

íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïîëå ñîçäàåòñÿ íå-

ïîäâèæíûìè çàðÿäàìè, ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ áåçðàçëè÷íî, êàêèì èç ýòèõ

âûðàæåíèé ïîëüçîâàòüñÿ ïðè âû÷èñëåíèè ýíåðãèè. Îäíàêî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå

ìîæåò âîçíèêàòü ïðè èçìåíÿþùåìñÿ âî âðåìåíè ìàãíèòíîì ïîëå è ïðè ïîëíîì

îòñóòñòâèè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Òàêîå ïîëå, íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò â ýëåêòðî-

ìàãíèòíîé âîëíå, èçëó÷åííîé ðàäèîàíòåííîé. Â ýòîì ñëó÷àå ïðè âû÷èñëåíèè

ýíåðãèè îñòàåòñÿ åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü ðàññìàòðèâàòü åå êàê ýíåðãèþ ïîëÿ

è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì

WdV

Òî÷íî òàê æå ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äâèæóùåãîñÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà

ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èìåííî èç ýòîãî âûðàæåíèÿ. Ïîëüçóÿñü èì, âî âñåõ

ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì âåëè÷èíû, ñîãëàñóþùèåñÿ ñ îïûòîì. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî

ïðèçíàòü, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå î ðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå

ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ 1/2 ED îòâå÷àåò ñóùíîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî ôèçè÷å

ñêîãî ÿâëåíèÿ.

2.2. Ýíåðãèÿ ñèñòåìû êîíòóðîâ ñ ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè.

Ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè â ìàãíèòíîì ïîëå

Â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðè óñòàíîâëåíèè â íèõ òîêîâ âîçíèêàþò ÝÄÑ èíäóê

öèè. Âíåøíèå èñòî÷íèêè ýíåðãèè, ê êîòîðûì ïîäêëþ÷åíû ýëåêòðè÷åñêèå öåïè,

ïðè ýòîì ñîâåðøàþò ðàáîòó, òàê êàê ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ äîëæíû ïðåîäîëåâàòü

ÝÄÑ èíäóêöèè, âîçíèêàþùèå â êîíòóðàõ öåïåé. ×àñòü ýíåðãèè, îòäàâàåìîé èñ

òî÷íèêàìè, çàïàñàåòñÿ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ è ìîæåò áûòü âíîâü ïîëíîñòüþ

èëè ÷àñòè÷íî âîçâðàùåíà ïðè óìåíüøåíèè òîêîâ â êîíòóðàõ öåïåé.

Íàïðÿæåíèå u

, ñîçäàâàåìîå âíåøíèì èñòî÷íèêîì ýíåðãèè íà çàæèìàõ k-é

öåïè, äîëæíî èìåòü ñîñòàâëÿþùóþ, ðàâíóþ ïàäåíèþ íàïðÿæåíèÿ â ñîïðîòèâëå

íèè öåïè, è ñîñòàâëÿþùóþ, óðàâíîâåøèâàþùóþ ÝÄÑ, èíäóöèðóåìóþ â ýòîé

öåïè:

Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé 79

uir

kkk

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýíåðãèè ðàâíî íóëþ

èëè æå ÷òî îíî ó÷òåíî â ñîïðîòèâëåíèè öåïè. Â òàêîì ñëó÷àå ÝÄÑ e

èñòî÷íèêà,

ïîäêëþ÷åííîãî ê çàæèìàì öåïè, ðàâíà íàïðÿæåíèþ u

, è ðàáîòà èñòî÷íèêà ýíåðãèè,

ñîâåðøàåìàÿ çà âðåìÿ dt,

u i dt i r dt i d

kk k k k k

Y .

Ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýíåðãèþ, òåðÿåìóþ â ïðîâîäíèêàõ öåïè

â ñâÿçè ñ íåîáðàòèìûì ïðîöåññîì âûäåëåíèÿ òåïëîòû.

Âòîðîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü ðàáîòû èñòî÷íèêà, ñâÿçàííóþ ñ

èçìåíåíèåì ïîòîêîñöåïëåíèÿ Y

. Ýòà ÷àñòü ðàáîòû íàñ íåïîñðåäñòâåííî è áóäåò

èíòåðåñîâàòü. Îáîçíà÷èì åå

id dA

kk k

Y= .

Ïóñòü â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå öåïåé èìååòñÿ n îòäåëüíûõ êîíòóðîâ. Ïîë

íàÿ ðàáîòà âñåõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, çàòðà÷èâàåìàÿ èìè â ñâÿçè ñ èçìåíåíèåì

ïîòîêîñöåïëåíèé âî âñåõ n êîíòóðàõ ñèñòåìû îò íóëÿ äî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ,

èìååò âûðàæåíèå

AA id

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû íå çàâèñèò îò íàïðÿæåí-

íîñòè ïîëÿ è ÷òî òîêè óñòàíàâëèâàþòñÿ âåñüìà ìåäëåííî. Ïðè ýòîì â ñðåäå,

îêðóæàþùåé ïðîâîäíèêè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, íå ñîâåðøàåòñÿ íèêàêèõ íåîáðà-

òèìûõ ïðîöåññîâ. Âñå êîíòóðû áóäåì ñ÷èòàòü ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìûìè è

íåïîäâèæíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèñòåìå íå ñîâåðøàåòñÿ ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû

ïî ïåðåìåùåíèþ êîíòóðîâ. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ ìîæåì óòâåðæäàòü íà îñíîâà

íèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ÷òî âñÿ ðàáîòà À èäåò íà ñîçäàíèå çàïàñà ìàã

íèòíîé ýíåðãèè W

â ñèñòåìå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ò. å. À = W

Ïðè áåñêîíå÷íî ìåäëåííîì óñòàíîâëåíèè òîêîâ ìàãíèòíîå ïîëå, îêðóæàþ

ùåå êîíòóðû ñ òîêàìè, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êàæäûé îòäåëüíûé ìîìåíò âðå

ìåíè êàê ïîñòîÿííîå ïîëå. Ïîýòîìó òîêè â êîíòóðàõ è ïîòîêè, ñ íèìè ñöåïëÿþ

ùèåñÿ, ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîáñòâåííûìè è âçàèìíûìè èíäóêòèâíîñòÿìè,

îïðåäåëÿåìûìè ïðè ïîñòîÿííûõ òîêàõ. Ýòè èíäóêòèâíîñòè çàâèñÿò òîëüêî îò

ãåîìåòðè÷åñêèõ êîîðäèíàò ñèñòåìû è îò çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè.

Ïîñêîëüêó ïðèíÿòî, ÷òî âåëè÷èíà m íå çàâèñèò îò íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, ìîæ

íî ïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ è ðàññìàòðèâàòü ïîòîêîñöåïëåíèå Y

ñ k-ì êîíòóðîì êàê ñóììó ïîòîêîñöåïëåíèÿ ñàìîèíäóêöèè, îïðåäåëÿåìîãî òî

êîì â ýòîì æå êîíòóðå, è ïîòîêîñöåïëåíèé âçàèìíîé èíäóêöèè, îïðåäåëÿåìûõ

òîêàìè â îñòàëüíûõ êîíòóðàõ:

()

kkk kpp

pk=+ ¹

Li M i

Íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðàáîòà À íå

çàâèñèò îò ïîðÿäêà óñòàíîâëåíèÿ òîêîâ. Èíà÷å âñåãäà ìîæíî áûëî áû âûáðàòü

80 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

òàêîé ïîðÿäîê óñòàíîâëåíèÿ òîêîâ è îòëè÷íûé îò íåãî òàêîé ïîðÿäîê óìåíüøå

íèÿ òîêîâ âíîâü äî íóëÿ, ÷òîáû ýíåðãèÿ, çàòðà÷åííàÿ âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè,

áûëà ìåíüøå ýíåðãèè, èì âîçâðàùåííîé, ÷òî ÿâèëîñü áû íàðóøåíèåì çàêîíà ñî

õðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ïîýòîìó èìååì ïðàâî âûáðàòü ïîðÿäîê óñòàíîâëåíèÿ òîêîâ

ïî ñâîåìó óñìîòðåíèþ. Èíòåãðèðîâàíèå â âûðàæåíèè äëÿ ðàáîòû À ïðîùå âñåãî

âûïîëíèòü, åñëè ïðèíÿòü, ÷òî âñå òîêè âîçðàñòàþò ïðîïîðöèîíàëüíî äðóã äðóãó,

ò. å. i

, ãäå a

= const. Ïðè ýòîì âûðàæåíèå äëÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ ìîæíî

ïðèâåñòè ê âèäó

Ya a

kkk kpkpk

kkpkp

=+ =+

åå

Li M i L M i

= mi

ãäå

k è

mL M

kk kpkp

=+ =

const.

Èñêîìàÿ ðàáîòà ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé

Aid midi

kk kkk

== ==

òò

åå

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî

AW=

íàõîäèì

Y .

Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ ñèñòåìû êîíòóðîâ ñ òîêàìè ðàâíà ïîëóñóììå ïðîèç-

âåäåíèé òîêîâ â êîíòóðàõ íà ïîòîêîñöåïëåíèÿ êîíòóðîâ.

Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííîå íàìè âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè W

âûðàæåíèÿ ïîòî-

êîñöåïëåíèé Y

÷åðåç òîêè â êîíòóðàõ è ñîáñòâåííûå è âçàèìíûå èíäóêòèâíî

ñòè êîíòóðîâ. Çàìå÷àÿ, ÷òî M

= M

, ïîëó÷èì

WLiLi Li MiiMii

kkì

= + ++ ++ +

12 1 2 13 1 3

... ... ++ +... ...Mii

kp k p

Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ ñèñòåìû êîíòóðîâ ñ òîêàìè åñòü êâàäðàòè÷íàÿ ôóíê

öèÿ òîêîâ â êîíòóðàõ.

Ðàâåíñòâî M

= M

ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ïðèíöèïà âçàèìíîñòè äëÿ ðàñ

ñìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ. Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà M

= M

ìîæíî ïîêàçàòü, ðàñ

ñìàòðèâàÿ äâà êîíòóðà. Óñòàíàâëèâàÿ ñíà÷àëà òîê i

, à çàòåì òîê i

, ïîëó÷èì âû

ðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè

Li L i M ii

12 1 2

22++

. Óñòàíàâëèâàÿ òîê i

, à çàòåì òîê i

ïîëó÷èì

2 + Li M ii

21 1 2

2 +

. Òàê êàê ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ êîíòóðîâ íå

çàâèñèò îò ïîðÿäêà óñòàíîâëåíèÿ òîêîâ, òî M

= M

Ýíåðãèþ ñèñòåìû òîêîâ ïðåäñòàâëÿåì ðàñïðåäåëåííîé â ìàãíèòíîì ïîëå

ýòèõ òîêîâ. Ñîãëàñíî ýòîìó, ýíåðãèþ ñèñòåìû òîêîâ âñåãäà ìîæíî âûðàçèòü â

âèäå îáúåìíîãî èíòåãðàëà:

WWdV

ìì

Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé 81

82 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

ðàñïðîñòðàíåííîãî ïî âñåìó ïîëþ, ïðè÷åì

— îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè

ìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèé ñëó÷àé, êîãäà ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîä

íûì, à èìåííî, ðàññìîòðèì òîíêèé êîëüöåâîé ñîëåíîèä ñ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäå

ëåííîé îáìîòêîé, èìåþùåé w âèòêîâ (ðèñ. 2.3). Ïóñòü s —

ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñåðäå÷íèêà, l — åãî äëèíà è m — àáñî

ëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàòåðèàëà ñåðäå÷íèêà.

Âåëè÷èíó m áóäåì ïðåäïîëàãàòü ïîñòîÿííîé. Ïðè ïëîòíîé

îáìîòêå âñå ïîëå ñîñðåäîòî÷åíî âíóòðè ñåðäå÷íèêà è êàæ

äàÿ ëèíèÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ñöåïëÿåòñÿ ñî âñåìè âèò

êàìè îáìîòêè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîêîñöåïëåíèå Yñ îáìîò

êîé ñâÿçàíî ñ ïîòîêîì ñêâîçü ñå÷åíèå ñåðäå÷íèêà

ñîîòíîøåíèåì Y = wF.

Ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â òàêîé öåïè, ðàâíà W

= Yi/2 = Fwi/2. Òàê êàê â ïðå

äåëàõ ñå÷åíèÿ s ìîæíî ñ÷èòàòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ ïîñòîÿííîé, òî ìîæíî

íàïèñàòü F = Âs. Êðîìå òîãî, íà îñíîâàíèè çàêîíà ïîëíîãî òîêà èìååì

wi d Hl==

, òàê êàê H = const âäîëü ñåðäå÷íèêà. Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå

äëÿ ýíåðãèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå W

= BHsl/2. Âåëè÷èíà sl = V åñòü

îáúåì ïðîñòðàíñòâà, çàíÿòîãî ìàãíèòíûì ïîëåì. Ñëåäîâàòåëüíî, îáúåìíàÿ ïëîò-

íîñòü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ èìååò âûðàæåíèå

=== =W

222

Äëÿ àíèçîòðîïíîé ñðåäû îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïîëÿ äîëæíà èìåòü

âûðàæåíèå

ãäå ÂÍ = ÂÍ cos a — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ Â è Í, èìåþùèõ â îáùåì

ñëó÷àå â àíèçîòðîïíîé ñðåäå ðàçëè÷íûå íàïðàâëåíèÿ. Óãîë a åñòü óãîë ìåæäó

âåêòîðàìè Â è Í.

Ïîêàæåì, ÷òî ýòî âûðàæåíèå äëÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ïîëÿ ñïðà

âåäëèâî â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ïîëå íåîäíîðîäíîå â àíèçîòðîïíîé ñðåäå,

ò. å. ÷òî ýíåðãèÿ ïîëÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ

ëåíà â âèäå èíòåãðàëà

WdV

ðàñïðîñòðàíåííîãî ïî âñåìó ïîëþ.

Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì ïîëå êàòóøêè,

èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.4. Ïðåäñòàâèì âñå

ïîëå ðàçäåëåííûì íà ýëåìåíòàðíûå òðóáêè

ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Âûäåëèì â îäíîé èç

òàêèõ òðóáîê ýëåìåíòàðíûé îòðåçîê äëè

íîé dl. Ïóñòü ds åñòü ñå÷åíèå òðóáêè, íîð

Ðèñ. 2.3

Ðèñ. 2.4