Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1
Подождите немного. Документ загружается.
ìàëüíîå ê åå îñè.  ïðåäåëàõ áåñêîíå÷íî ìàëîãî îáúåìà dV = dsdl îòðåçêà òðóáêè
ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì. Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèåì äëÿ îáúåìíîé ïëîòíî
-
ñòè ýíåðãèè, ïîëó÷àåì ýíåðãèþ ïîëÿ â îáúåìå dV:
¢
==WdV dV
BH dl ds
ì
BH
22
cos
.
a
Âû÷èñëèì òåïåðü ýíåðãèþ dW
ì
â îáúåìå âñåé ýëåìåíòàðíîé òðóáêè. Ñ ýòîé
öåëüþ ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå âäîëü îñè òðóáêè. Ïîòîê dF=Bds
ñêâîçü ñå÷åíèå òðóáêè èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå âäîëü âñåé òðóáêè è ìîæåò
áûòü âûíåñåí çà çíàê èíòåãðàëà. Ïîëó÷àåì
dW dsdl
d
dl
ll
ì
cos
cos==
òò
BH
H
aF
a
22
.
Íà îñíîâàíèè çàêîíà ïîëíîãî òîêà èìååì
H cos a dl wi
ò
= ,
ãäå w — ÷èñëî âèòêîâ, ñ êîòîðûìè ñöåïëÿåòñÿ äàííàÿ òðóáêà. Çàìå÷àÿ, ÷òî
wdF=d Y åñòü äîëÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ, âíîñèìàÿ äàííîé òðóáêîé â çíà÷åíèå ïî-
òîêîñöåïëåíèÿ âñåé öåïè, ïîëó÷àåì
dW
d
wi
id
ì
==
FY
22
.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýíåðãèè W
ì
âñåãî ïîëÿ íåîáõîäèìî ïðîñóììèðîâàòü ýíåðãèè
âñåõ ýëåìåíòàðíûõ òðóáîê. Âûïîëíÿÿ òàêîå ñóììèðîâàíèå, íàõîäèì
W
id
i
d
i
ì
== =
òò
Y
Y
Y
22 2
,
ò. å. ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ, ïîëó÷åííîìó íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè.
Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ âñåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòåãðàëà:
WdV
V
ì
=
ò
BH
2
,
ãäå èíòåãðèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî îáúåìó âñåãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì
ñóùåñòâóåò ìàãíèòíîå ïîëå.
2.3. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà çàðÿæåííûå òåëà
Ìåõàíè÷åñêèå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷å÷íûõ çàðÿæåííûõ òåë ìîãóò áûòü âû
-
÷èñëåíû ïðè ïîìîùè çàêîíà Êóëîíà.  ñëó÷àÿõ, êîãäà çàðÿæåííûå òåëà íåëüçÿ
ðàññìàòðèâàòü êàê òî÷å÷íûå, íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå çàêîíà Êóëîíà íå
-
âîçìîæíî.  îáùåì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà
äàííîå çàðÿæåííîå òåëî, ìîæåò áûòü âûïîëíåíî äîñòàòî÷íî ïðîñòî, åñëè èçâåñò
-
íû åìêîñòè òåë èëè åìêîñòè ìåæäó òåëàìè êàê ôóíêöèè ãåîìåòðè÷åñêèõ êîîð
-
äèíàò.
Ðàíåå áûëî óêàçàíî, ÷òî åìêîñòü çàâèñèò îò äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
ñðåäû è îò ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí, îáîçíà÷åííûõ ÷åðåç g è îïðåäåëÿþùèõ
Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé 83
ôîðìó, ðàçìåðû è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå òåë. Â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü âå
-
ëè÷èíû g îáîáùåííûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè ñèñòå
-
ìû. Ýòî ìîãóò áûòü ëèíåéíûå ïåðåìåùåíèÿ òåë ïî çàäàííîìó ïóòè, ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó òåëàìè, óãëû ïîâîðîòà òåë âîêðóã íåêîòîðîé îñè, ïîâåðõíîñòè èëè îáúå
-
ìû òåë è ò. ä. Ïðè òàêîì îáîáùåííîì ïîíèìàíèè êîîðäèíàò g òî÷íî òàê æå è ñè
-
ëû f, ñòðåìÿùèåñÿ èçìåíèòü êîîðäèíàòû, äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îáîá
-
ùåííûå ñèëû. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ îáîáùåííàÿ ñèëà f äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
îñíîâíîìó òðåáîâàíèþ, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå ñèëû íà ïðîèçâîäèìîå åþ èçìåíå
-
íèå êîîðäèíàòû ðàâíÿëîñü ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëîé ïðè ýòîì èçìåíåíèè êî
-
îðäèíàòû. Â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà îáîáùåííîé êîîðäèíàòû g è îáîáùåííàÿ
ñèëà ïîëó÷àåò òîò èëè èíîé ñìûñë. Òàê, åñëè g — ëèíåéíîå ïåðåìåùåíèå, òî f —
îáû÷íàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà; åñëè g — óãîë ïîâîðîòà, òî f — ìîìåíò ïàðû ñèë;
åñëè g — ïîâåðõíîñòü, òî f — ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå; åñëè g — îáúåì, òî f —
äàâëåíèå.
Íàèìåíüøåå ÷èñëî îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, íåîáõîäèìîå äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû, ðàâíî, êàê èçâåñòíî èç ìåõàíèêè, ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû
ñèñòåìû. Òàê, äëÿ òåëà, ïåðåìåùàþùåãîñÿ ïî íåêîòîðîé íà-
ïðàâëÿþùåé, äîñòàòî÷íî çíàòü ïóòü, ïðîéäåííûé òåëîì
âäîëü íàïðàâëÿþùåé îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Äëÿ îäíîãî
òåëà, çàêðåïëåííîãî íà îñè, äîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî óãîë
ïîâîðîòà òåëà âîêðóã ýòîé îñè. Åñëè òåëî çàêðåïëåíî â òî÷-
êå, òî åãî ïîëîæåíèå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî òðåìÿ óãëàìè
ïîâîðîòà, è ò. ä. Êàæäîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòå ñîîòâåòñò-
âóåò ñâîÿ îáîáùåííàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü èìåííî
ýòó êîîðäèíàòó.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ñèñòåìó n çàðÿæåííûõ òåë (ðèñ. 2.5). Ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî âñå çàðÿæåííûå òåëà, êðîìå òåëà A
p
, íåïîäâèæíî çàêðåïëåíû è òîëüêî
òåëî A
p
ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ òàê, ÷òî èçìåíÿåòñÿ îäíà åãî êîîðäèíàòà g. Ýòî èç
-
ìåíåíèå êîîðäèíàòû g ñîâåðøàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû f, ÿâëÿþùåéñÿ ðåçóëü
-
òàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîãî òåëà A
p
ñî âñåìè äðóãèìè çàðÿæåííûìè òå
-
ëàìè ñèñòåìû.
Áóäåì èñõîäèòü èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî êàê âîçìîæíûå èçìåíåíèÿ çàðÿäîâ
òåë, òàê è ïåðåìåùåíèå òåëà A
p
ïðîèñõîäÿò âåñüìà ìåäëåííî, òåîðåòè÷åñêè —
áåñêîíå÷íî ìåäëåííî. Ïðè ýòîì ýëåêòðè÷åñêèå òîêè, âîçíèêàþùèå íà ïîâåðõ
-
íîñòè òåë âñëåäñòâèå ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ, áåñêîíå÷íî ìàëû, è, ñëåäîâà
-
òåëüíî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè â ïðîâîäíèêàõ îòñóòñòâóþò. Ïðåäïî
-
ëîæèì òàêæå, ÷òî èçìåíåíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â äèýëåêòðèêå íå ñîïðîâîæäà
-
åòñÿ ïîòåðåé ýíåðãèè â íåì. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ðàáîòà, çàòðà÷èâàåìàÿ âíåøíèìè
èñòî÷íèêàìè ýíåðãèè íà èçìåíåíèÿ dq
k
çàðÿäîâ òåë, äîëæíà ïîêðûâàòü ïðèðà
-
ùåíèå ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ìåõàíè÷åñêóþ ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ñè
-
ëîé f, èçìåíÿþùåé ïîëîæåíèå òåëà A
p
:
Udq
kk
k
kn
=+
=
=
å
dW fdg
g ý
1
.
Èíäåêñ g ó âåëè÷èíû d
g
W
ý
óêàçûâàåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèðàùåíèå ýíåðãèè,
ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèþ òîëüêî îäíîé êîîðäèíàòû g ñèñòåìû. Ýòî óðàâíå
-
84 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 2.5
íèå ñïðàâåäëèâî íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêèì îáðàçîì èçìåíÿþòñÿ çàðÿäû è ïî
-
òåíöèàëû òåëà. Îíî ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðèìåíè
-
òåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîìó íàìè ñëó÷àþ.
×òîáû ïîëó÷èòü íàèáîëåå ïðîñòîå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû f, ïðåäïîëîæèì, ÷òî
çàðÿäû âñåõ òåë îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè: q
k
= const. Ýòî óñëîâèå óäîâëåòâîðÿåò
-
ñÿ, åñëè âñå òåëà îòêëþ÷åíû îò èñòî÷íèêîâ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû. Íî òîãäà
dq
k
= 0 è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíà íóëþ ðàáîòà âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ:
Udq
kk
k
kn
=
=
=
å
0
1
.
 ýòîì ñëó÷àå
()
0 =+
=
dW fdg
g
q
k
ý
const
èëè
()
fdg d W
g
q
k
=-
=
ý
const
.
(*)
Îáùèé èíäåêñ q
k
= const ó ïðèðàùåíèÿ ýíåðãèè óêàçûâàåò, ÷òî çàðÿäû ñîõðàíÿ-
þòñÿ íåèçìåííûìè.
Åñëè dg åñòü ïåðåìåùåíèå, ïðîèñõîäÿùåå ïîä äåéñòâèåì ñèëû f,òîfdg >0.
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî d
g
W
ý
< 0, ò. å. ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
óáûâàåò. Äåéñòâèòåëüíî, ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà ïðè îòêëþ÷åííûõ âíåøíèõ èñ-
òî÷íèêàõ ýíåðãèè ìîæåò ñîâåðøàòüñÿ òîëüêî çà ñ÷åò âíóòðåííèõ çàïàñîâ ýíåð-
ãèè â ñèñòåìå, â äàííîì ñëó÷àå çà ñ÷åò ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Èç ðàâåíñòâà (*) ïîëó÷àåì
f
dW
dg
W
g
g
q
q
k
k
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
ý
ý
const
const
¶
¶
,
ò. å. ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü äàííóþ êîîðäèíàòó ñèñòåìû,
ðàâíà óìåíüøåíèþ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, îòíåñåííîìó ê åäèíèöå ïðîèçâî
-
äèìîãî ñèëîé èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî çàðÿäû âñåõ òåë ñî
-
õðàíÿþòñÿ íåèçìåííûìè.
Åäèíèöåé ñèëû ÿâëÿåòñÿ íüþòîí (Í).
Ðàññìîòðèì åùå äðóãîé, òàêæå âåñüìà âàæíûé ñëó÷àé, êîãäà âî âðåìÿ äâè
-
æåíèÿ ñèñòåìû ïîääåðæèâàþòñÿ íåèçìåííûìè ïîòåíöèàëû âñåõ òåë, ò. å. êîãäà
U
k
= const. Òàêîé ðåæèì èìååò ìåñòî, êîãäà âñå òåëà ïîäêëþ÷åíû ê çàæèìàì
âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êîòîðûõ îñòàþòñÿ íåèçìåí
-
íûìè. Òàê êàê ïðè èçìåíåíèè ãåîìåòðè÷åñêîé êîíôèãóðàöèè ñèñòåìû áóäóò èç
-
ìåíÿòüñÿ åìêîñòè ìåæäó òåëàìè, òî ïðè ïîñòîÿíñòâå ïîòåíöèàëîâ òåë äîëæíû
èçìåíÿòüñÿ èõ çàðÿäû. Äîïîëíèòåëüíûå çàðÿäû ìîãóò ñîîáùàòüñÿ ñèñòåìå òîëü
-
êî îò âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ, êîòîðûå äîëæíû íà ýòî çàòðàòèòü íåêîòîðóþ ðàáîòó.
Òàêèì îáðàçîì, âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ
Udq
kk
k
kn
=+
=
=
å
dW fdg
g ý
1
òåïåðü îòëè÷íû îò íóëÿ. Îäíàêî åñëè U
k
= const è äèýëåêòðè÷åñêèå ïðîíèöàå
-
ìîñòè ñðåä íå çàâèñÿò îò íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, òî ñóùåñòâóåò ïðîñòîå ñîîòíîøå
-
Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé 85
íèå ìåæäó ðàáîòîé âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ è ïðèðàùåíèåì ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêî
-
ãî ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñèñòåìû çàðÿæåííûõ òåë
ïðè ýòîì ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà âûðàæåíèåì
WUq
kk
k
kn
ý
=
=
=
å
1
2
1
,
è, ñëåäîâàòåëüíî, åå ïðèðàùåíèå ïðè ïîñòîÿíñòâå ïîòåíöèàëîâ
()
dW U dq
g
U
k
kk
k
kn
ý
const=
=
=
=
å
1
2
1
,
ò. å. â òî÷íîñòè ðàâíî ïîëîâèíå ðàáîòû âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ. Îñòàëüíàÿ ïîëîâè
-
íà ðàáîòû âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ èäåò íà ñîâåðøåíèå ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû fdg.
Òàêèì îáðàçîì, ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà ðàâíà ïðèðàùåíèþ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêî
-
ãî ïîëÿ:
()
fdg d W
g
U
k
=
=
ý
const
.
Åñëè â ñèñòåìå ïðîèñõîäèò ïåðåìåùåíèå ïîä äåéñòâèåì ñèëû f,òîfdg >0.
Ïðèðàùåíèå ýíåðãèè ïðè U
k
= const òàêæå îêàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, è ýíåð-
ãèÿ ïîëÿ âîçðàñòàåò.
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì åùå îäíî âûðàæåíèå äëÿ ìåõàíè÷åñêîé
ñèëû:
f
W
g
U
k
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
¶
¶
ý
const
,
ò. å. ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü äàííóþ êîîðäèíàòó ñèñòåìû,
ðàâíà óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, îòíåñåííîìó ê åäèíèöå ïðîèçâî
-
äèìîãî ñèëîé èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïîòåíöèàëû âñåõ òåë
ïîääåðæèâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè.
Îáà âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû (è ýòî íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü) òîæäåñòâåííî ðàâ
-
íû äðóã äðóãó, ò. å. ìîæíî íàïèñàòü
f
W
g
W
g
q
k
U
k
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
==
¶
¶
¶
¶
ý
const
ý
const
.
Ñèëà çàâèñèò òîëüêî îò ïîëîæåíèÿ òåë è çíà÷åíèé èõ çàðÿäîâ â äàííûé ìî
-
ìåíò è íå ìîæåò çàâèñåòü îò òîãî, êàê áóäåò ðàçâèâàòüñÿ ýíåðãåòè÷åñêèé ïðîöåññ
â òîì ñëó÷àå, åñëè ñèñòåìà ïðèäåò â äâèæåíèå ïîä äåéñòâèåì ñèëû.
Ïðîäåìîíñòðèðóåì òîæäåñòâåííîñòü îáîèõ âûðàæåíèé äëÿ ñèëû f íà ïðèìåðå
ñèëû ïðèòÿæåíèÿ îáêëàäîê êîíäåíñàòîðà. Ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà
W
Cu
q
C
ý
==
2
2
22
,
ãäå u = U
1
–U
2
— ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ îáêëàäîê êîíäåíñàòîðà. Îò êîîðäèíàò
ÿâíî çàâèñèò åìêîñòü Ñ êîíäåíñàòîðà. Îïðåäåëÿÿ ñèëó ïî ôîðìóëå ïðè q
k
= const,
âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì ýíåðãèè ÷åðåç çàðÿä êîíäåíñàòîðà. Ïîëó÷àåì
86 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
f
g
q
Ñ
q
gÑ
q
Ñ
Ñ
q
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=-
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
222
2
22
1
2
const
g
uÑ
g
=
2
2
¶
¶
.
Ïðè îïðåäåëåíèè ñèëû ïî ôîðìóëå ïðè U
k
= const âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíè
-
åì ýíåðãèè ÷åðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Íàõîäèì
f
g
Cu u Ñ
g
u
=+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
¶
¶
¶
¶
22
22
const
.
Èòàê, äåéñòâèòåëüíî, îáà âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû ñîâåðøåííî îäèíàêîâû. Òîëü
-
êî ïðè âçÿòèè ïðîèçâîäíîé ñëåäóåò ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûìè â îäíîì ñëó÷àå çàðÿ
-
äû, à â äðóãîì — ïîòåíöèàëû.
Òàê êàê ïðè äâèæåíèè îáêëàäîê êîíäåíñàòîðà ïîä äåéñòâèåì ñèëû f èìååì
fdg > 0, òî èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè òàêîì äâèæåíèè dÑ >0,
ò. å. åìêîñòü âîçðàñòàåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ìåõàíè÷åñêèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà îá
-
êëàäêè êîíäåíñàòîðà, ñòðåìÿòñÿ óâåëè÷èòü åìêîñòü êîíäåíñàòîðà.
Öåííîñòü ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé — â èõ îáùíîñòè: äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñèëû
íàì äîñòàòî÷íî òîëüêî çíàòü, êàê çàâèñÿò îò êîîðäèíàò ýëåêòðè÷åñêèå åìêîñòè
Ñ, âõîäÿùèå â âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñèëû âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ îáêëàäîê çàðÿ-
æåííîãî ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Áóäåì îïðåäåëÿòü ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà âûðå-
çàííóþ öåíòðàëüíóþ ÷àñòü îáêëàäêè, îêðóæåííóþ îõðàííûì êîëüöîì, äîñòàòî÷-
íî øèðîêèì, ÷òîáû ïîëå ïîä öåíòðàëüíîé ÷àñòüþ îáêëàäêè ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü
îäíîðîäíûì (ñì. ðèñ. 2.1). Åìêîñòü ýòîé öåíòðàëüíîé ÷àñòè êîíäåíñàòîðà ðàâíà
C = es/d (ñì. § 3.5), ïðè÷åì s — âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü âûðåçàííîé ÷àñòè îá-
êëàäêè è d — ðàññòîÿíèå ìåæäó îáêëàäêàìè. Ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü ðàñ-
ñòîÿíèå,
f
uÑ
d
us
d
==-
22
2
22
¶
¶
e
.
Ââèäó îäíîðîäíîñòè ïîëÿ â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå èìååì
u
d
E
2
2
2
=
è, ñòàëî
áûòü,
f
E
s
ED
s=- =-
e
2
22
. Çíàê «ìèíóñ» óêàçûâàåò, ÷òî ñèëà äåéñòâóåò â ñòîðî
-
íó óìåíüøåíèÿ ðàññòîÿíèÿ d, ò. å. ñòðåìèòñÿ ñáëèçèòü îáêëàäêè. Àáñîëþòíîå
çíà÷åíèå ñèëû, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè îáêëàäêè,
f
f
s
ED
' ==
2
÷èñëåííî ðàâíî ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â åäèíèöå îáúåìà äèýëåêòðèêà.
2.4. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà
Ïðîâîäíèêè ñ ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè, ðàñïîëîæåííûå â ìàãíèòíîì ïîëå, èñïû
-
òûâàþò ìåõàíè÷åñêèå ñèëû. Ýòè ìåõàíè÷åñêèå ñèëû íàçûâàþò ýëåêòðîìàã
-
íèòíûìè ñèëàìè èëè ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèìè ñèëàìè. Ýëåê
-
òðîìàãíèòíûå ñèëû âîçíèêàþò íå òîëüêî â êîíòóðå ñ òîêîì, ðàñïîëîæåííîì
Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé 87
âî âíåøíåì ïîëå, íî è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòîò êîíòóð óåäèíåí è ïîëå, åãî îêðó
-
æàþùåå, îïðåäåëÿåòñÿ òîêîì â ñàìîì êîíòóðå.
Ê ýëåêòðîìàãíèòíûì ñèëàì îòíîñèì òàêæå ìåõàíè÷åñêèå ñèëû, äåéñòâóþùèå
íà òåëà èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà, ðàñïîëîæåííûå â ìàãíèòíîì ïîëå, òàê
êàê, ïî ñóùåñòâó, è â ýòîì ñëó÷àå èìååì äåëî ñ ìåõàíè÷åñêèìè ñèëàìè, êîòîðûå
èñïûòûâàþò â ìàãíèòíîì ïîëå ýëåêòðè÷åñêèå òîêè.  äàííîì ñëó÷àå ýòî ýëåìåí
-
òàðíûå òîêè, ñóùåñòâóþùèå â òåëå èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç n êîíòóðîâ ñ òîêàìè. Ïîëîæåíèå êîí
-
òóðîâ îïðåäåëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì ÷èñëîì îáîáùåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ êîîðäè
-
íàò g. Îáîáùåííîé ãåîìåòðè÷åñêîé êîîðäèíàòîé, êàê áûëî ðàçúÿñíåíî â § 2.3,
ìîæåò áûòü ëþáàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿþùàÿ ïîëîæåíèå ñèñ
-
òåìû â ïðîñòðàíñòâå. Ìåõàíè÷åñêèå ñèëû, ñòðåìÿùèåñÿ èçìåíèòü êîîðäèíàòû
ñèñòåìû, ïðè ýòîì òàêæå äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îáîáùåííûå ñèëû.
Ïóñòü ïîä äåéñòâèåì ñèëû f íåêîòîðàÿ êîîðäèíà
-
òà g ñèñòåìû ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå dg â íàïðàâëåíèè
äåéñòâèÿ ñèëû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå îñòàëüíûå êî
-
îðäèíàòû ñèñòåìû îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Íàïðè-
ìåð, îäèí èç êîíòóðîâ ñèñòåìû (ðèñ. 2.6) ïåðåìåùà-
åòñÿ â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè, âñå æå îñòàëüíûå
êîíòóðû îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè. Ñèëà f ïðè ýòîì
ñîâåðøàåò ðàáîòó fdg. Â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ êîîð-
äèíàòû g â îáùåì ñëó÷àå ïðîèçîéäåò èçìåíåíèå ýíåð-
ãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ êîíòóðîâ ñ òîêàìè íà âåëè÷è-
íó d
g
W
ì
. Èíäåêñîì g îòìå÷àåì, ÷òî èçìåíÿåòñÿ òîëüêî
îäíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîîðäèíàòà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ñðåäå, îêðóæàþùåé ïðîâîäíèêè, îòñóòñòâóþò íåîáðàòè-
ìûå ïðîöåññû.  òàêîì ñëó÷àå ðàáîòà âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, äåéñòâóþ-
ùèõ íà çàæèìàõ êîíòóðîâ ñèñòåìû, áóäåò ðàñõîäîâàòüñÿ íà âûäåëåíèå òåïëîòû
â êîíòóðàõ, íà èçìåíåíèå çàïàñà ýíåðãèè â ìàãíèòíîì ïîëå è íà ìåõàíè÷åñêóþ
ðàáîòó fdg, ñîâåðøàåìóþ ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèëîé:
u i dt i r dt d W fdg
kk
k
kn
kk
k
kn
g
=
=
=
=
åå
=++
1
2
1
ì
.
Äëÿ íàïðÿæåíèÿ u
k
, ñîçäàâàåìîãî âíåøíèì èñòî÷íèêîì ýíåðãèè íà çàæèìàõ
k-ãî êîíòóðà, èìååì
uir
d
dt
kkk
k
=+
Y
,
ãäå Y
k
— ïîòîêîñöåïëåíèå ñ ýòèì êîíòóðîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà ðàáîò âñåõ èñ
-
òî÷íèêîâ ýíåðãèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òàêæå â âèäå
u i dt i r dt i d
kk
k
kn
kk
k
kn
kk
k
kn
=
=
=
=
=
=
ååå
=+
1
2
11
Y .
Ñðàâíèâàÿ ìåæäó ñîáîé îáà âûðàæåíèÿ äëÿ ñóììû ðàáîò èñòî÷íèêîâ ýíåð
-
ãèè, èìååì
88 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 2.6
id dW fdg
kk
k
kn
g
Y
=
=
å
=+
1
ì
,
ò. å. ÷àñòü ðàáîòû èñòî÷íèêîâ, ñâÿçàííàÿ ñ èçìåíåíèåì ïîòîêîâ â êîíòóðàõ, çà
-
òðà÷èâàåòñÿ íà èçìåíåíèå ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ è íà ìåõàíè÷åñêóþ ðàáîòó.
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêèì îáðàçîì èçìå
-
íÿþòñÿ âî âðåìåíè òîêè â êîíòóðàõ è ïîòîêîñöåïëåíèÿ êîíòóðîâ. Îíî ÿâëÿåòñÿ
âûðàæåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîìó
ñëó÷àþ.
Íàèáîëåå ïðîñòûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû f ïîëó÷àþòñÿ, åñëè ïðåäïîëîæèòü,
÷òî ëèáî ïîòîêîñöåïëåíèÿ ñî âñåìè êîíòóðàìè, ëèáî òîêè âî âñåõ êîíòóðàõ îñòà
-
þòñÿ íåèçìåííûìè.
Ïóñòü ïðè äâèæåíèè êîíòóðà ïîòîêîñöåïëåíèÿ ïîääåðæèâàþòñÿ íåèçìåííû
-
ìè, ò. å. Y
k
= const. Òàê êàê ïðè èçìåíåíèè êîîðäèíàòû èçìåíÿþòñÿ çàâèñÿùèå îò
íåå èíäóêòèâíîñòè, òî, î÷åâèäíî, äëÿ ïîääåðæàíèÿ ïîñòîÿíñòâà ïîòîêîñöåïëå
-
íèé íåîáõîäèìî ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì èçìåíÿòü òîêè â êîíòóðàõ. Ýòîò ÷à
-
ñòíûé ðåæèì èíòåðåñåí òåì, ÷òî èñòî÷íèêè ýíåðãèè ñîâåðøàþò ðàáîòó òîëüêî íà
âûäåëåíèå òåïëîòû â êîíòóðàõ, òàê êàê d Y
k
= 0è
id
kk
k
kn
Y
=
=
å
=
1
0
.  ÷àñòíîñòè, åñëè
áû ñîïðîòèâëåíèÿ r
k
âñåõ êîíòóðîâ áûëè ðàâíû íóëþ, òî èñòî÷íèêè ýíåðãèè
áûëè áû ñîâåðøåííî íå íóæíû, òàê êàê â ñâåðõïðîâîäÿùèõ êîíòóðàõ ïîòîêè ñî-
õðàíÿþòñÿ íåèçìåííûìè ñîãëàñíî ïðèíöèïó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíåðöèè. Â ñëó-
÷àå Y
k
= const èìååì
()
0 =+
=
dW fdg
g
k
ì
constY
.
Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ïåðåìåùåíèå dg ïîä äåéñòâèåì ñèëû f,òîfdg >0è,
ñëåäîâàòåëüíî, d
g
W
ì
< 0, ò. å. ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ óáûâàåò. Ýòîãî è ñëåäîâà
-
ëî îæèäàòü, òàê êàê ïîëîæèòåëüíàÿ ðàáîòà ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèëû ìîæåò ñîâåð
-
øàòüñÿ â äàííîì ñëó÷àå òîëüêî çà ñ÷åò ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èç ïîñëåäíåãî
óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì
f
dW
dg
W
g
g
k
k
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
ì
const
ì
const
Y
Y
¶
¶
,
ò. å. ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü äàííóþ êîîðäèíàòó ñèñòå
-
ìû, ðàâíà óìåíüøåíèþ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îòíåñåííîìó ê åäèíèöå ïðîèçâî
-
äèìîãî ñèëîé èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïîòîêîñöåïëåíèÿ êîí
-
òóðîâ ñîõðàíÿþòñÿ íåèçìåííûìè.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âî âñåõ êîíòóðàõ òîêè ïîääåðæèâàþòñÿ íåèçìåí
-
íûìè. Ïðè äâèæåíèè ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèëû îäíîãî èç êîíòó
-
ðîâ áóäóò èçìåíÿòüñÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ Y
k
è ÷àñòü ðàáîòû èñòî÷íèêîâ, ñâÿçàí
-
íàÿ ñ èçìåíåíèåì ïîòîêîñöåïëåíèé êîíòóðîâ, íå áóäåò ðàâíà íóëþ, ò. å.
id
kk
k
kn
Y
=
=
å
¹
1
0.
Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé 89
Ìåæäó çíà÷åíèåì ýòîé ðàáîòû è ïðèðàùåíèåì ýíåðãèè W
ì
ìàãíèòíîãî ïîëÿ â
ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå. Ìû èìåëè âûðàæå
-
íèå äëÿ ýíåðãèè
Wi
kk
k
kn
ì
=
=
=
å
1
2
1
Y .
Ïðè i
k
= const ïîëó÷àåì
()
dW id
g
i
kk
k
kn
k
ì
const=
=
=
=
å
1
2
1
Y .
Ïðèõîäèì ê çàìå÷àòåëüíîìó âûâîäó: ïðè ïîñòîÿíñòâå òîêîâ ïðèðàùåíèå
ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷íîñòè ðàâíî ïîëîâèíå ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòè ðà
-
áîòû, ñîâåðøàåìîé èñòî÷íèêàìè ýíåðãèè. Îñòàëüíàÿ ïîëîâèíà ýòîé ÷àñòè ðàáî
-
òû èñòî÷íèêîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì
id dW fdg
kk
k
kn
g
Y
=
=
å
=+
1
ì
èäåò íà ñîâåðøåíèå ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû. Ïîýòîìó
()
fdg d W
g
i
k
=+
=
ì
const
.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñòîÿíñòâå òîêîâ ïîëó÷åíèå ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû ñâÿ-
çàíî ñ íåèçáåæíûì óâåëè÷åíèåì çàïàñà ýíåðãèè â ñèñòåìå, â òî÷íîñòè ðàâíûì
ñîâåðøåííîé ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòå.
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì åùå îäíî âûðàæåíèå äëÿ ýëåêòðîìàãíèò-
íîé ñèëû:
f
W
g
i
k
=+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
¶
¶
ì
const
,
ò. å. ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü äàííóþ êîîðäèíàòó ñèñòå
-
ìû, ðàâíà óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îòíåñåííîìó ê åäèíèöå ïðîèçâî
-
äèìîãî ñèëîé èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî òîêè â êîíòóðàõ ïîä
-
äåðæèâàþòñÿ íåèçìåííûìè.
Íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî îáà ïîëó÷åííûå íàìè âûðàæåíèÿ îïðåäåëÿþò
ñîáîé îäíó è òó æå ñèëó, ò. å. ìîæíî íàïèñàòü
f
W
g
W
g
k
i
k
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
==
¶
¶
¶
¶
ì
const
ì
constY
.
Ðàññìîòðèì ñèëó f, äåéñòâóþùóþ íà ñðåäíþþ
÷àñòü ïîëþñà ýëåêòðîìàãíèòà, èçîáðàæåííîãî íà
ðèñ. 2.7, è ñòðåìÿùóþñÿ èçìåíèòü ðàññòîÿíèå d
ìåæäó ïîëþñàìè. Èç âñåãî ïîëþñà âûðåçàåì òîëüêî
åãî ñðåäíþþ ÷àñòü, îêîëî êîòîðîé ïîëå ìîæíî ñ÷è
-
òàòü îäíîðîäíûì. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñèëû âîñïîëü
-
çóåìñÿ âûðàæåíèåì
90 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
Ðèñ. 2.7
f
W
g
k
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
¶
¶
ì
constY
.
Ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïåðåìåùåíèè ñðåäíåé ÷àñòè ïîëþñà ïîëå îñòàåòñÿ îä
-
íîðîäíûì. Òàê êàê Y=const, òî íåèçìåííîé îñòàåòñÿ è ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ B,
à òàêæå îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïîëÿ
()
¢
=WB
ì
2
2m
. Ïîýòîìó èçìåíåíèå
ýíåðãèè ïîëÿ ïðîèñõîäèò òîëüêî âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ îáúåìà ïðîñòðàíñòâà
ìåæäó âûðåçàííîé ÷àñòüþ ñåâåðíîãî ïîëþñà è þæíûì ïîëþñîì. Ýíåðãèÿ,
çàêëþ÷åííàÿ â ýòîì îáúåìå, ðàâíà
WWsd
ìì
=
¢
, ãäå s — ïîâåðõíîñòü âûðåçàííîé
÷àñòè ïîëþñà. Òàêèì îáðàçîì, èìååì
f
W
d
Ws
B
s
BH
s=- =-
¢
=- =-
¶
¶
ì
ì
2
0
22m
,
ïðè÷åì àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü âîçäóõà ïðèíÿòà ðàâíîé m
0
. Çíàê
«ìèíóñ» óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ñèëû ñòðåìÿòñÿ óìåíüøèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïî
-
ëþñàìè. Àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ñèëû, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè
ïîëþñà,
¢
==f
f
s
BH
2
,
ò. å. ÷èñëåííî ðàâíî ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â åäèíèöå îáúåìà ïðîñòðàíñòâà
ìåæäó ïîëþñàìè ýëåêòðîìàãíèòà.
 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå äëÿ îäíîãî êîíòóðà ñ òîêîì ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
W
Li
ì
=
2
2
.
Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèëû âûðàæåíèåì, ïîëó-
÷åííûì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî i
k
= const. Èìååì
f
W
g
iL
g
i
k
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
¶
¶
¶
¶
ì
const
2
2
.
Åñëè ïåðåìåùåíèå dg ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì ñèëû f,òîfdg> 0 è, ñòàëî
áûòü, dL > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â êîíòóðå âîçíèêàþò òàêèå ñèëû, êîòîðûå ñòðåìÿò
-
ñÿ òàê äåôîðìèðîâàòü êîíòóð, ÷òîáû åãî èíäóêòèâíîñòü óâåëè÷èëàñü.
Çàìåòèì çäåñü, ÷òî ïîñëåäíåå âûðàæåíèå óæå íå òðåáóåò íèêàêèõ îãîâîðîê
î ïîñòîÿíñòâå òîêà. Ýòà îãîâîðêà ïîëíîñòüþ èñïîëüçîâàíà ïðè âûíåñåíèè i
2
çà çíàê ïðîèçâîäíîé. Ýòî âûðàæåíèå ïðèãîäíî è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìãíîâåííîé
ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèëû ïðè äàííîì ìãíîâåííîì ïåðåìåííîì òîêå.
Âûøå óêàçûâàëîñü, ÷òî îáå ôîðìóëû, ïîëó÷åííûå â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
Y
k
= const, è â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî i
k
= const, òîæäåñòâåííû, ò. å. ìîæíî íàïèñàòü
f
W
g
W
g
k
i
k
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
==
¶
¶
¶
¶
ì
const
ì
constY
.
Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå îäíîãî êîíòóðà. ×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ
ïåðâîé ôîðìóëîé äëÿ ñèëû, ñëåäóåò âûðàçèòü ýíåðãèþ ÷åðåç ïîòîêîñöåïëåíèå
ñàìîèíäóêöèè. Èìååì
Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé 91
()
W
Li
Li
LL
L
ì
== =
2
2
2
22 2
Y
.
Ïîëó÷àåì
f
W
ggL
L
L
L
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=-
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
=
¶
¶
¶
¶
¶
ì
constY
YY
LL
22
2
2
1
2
¶
¶
¶g
iL
g
=
2
2
,
÷òî ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì èç âûðàæåíèÿ
f
W
g
i
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
¶
¶
ì
const
.
Ðàññìîòðèì äâà êîíòóðà ñ òîêàìè. Äëÿ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñèñòåìû, ñî
-
ñòîÿùåé èç äâóõ êîíòóðîâ ñ òîêàìè, èìååì âûðàæåíèå
WLiLiMii
ì
=++
1
2
1
2
11
2
22
2
12
.
Íàéäåì ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñèëó, ñòðåìÿùóþñÿ èçìåíèòü êîîðäèíàòó g, îïðå
-
äåëÿþùóþ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîíòóðîâ. Îò ýòîé êîîðäèíàòû çàâèñèò òîëü-
êî âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü. Ïîýòîìó èñêîìàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà
f
W
g
ii
M
g
i
k
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
¶
¶
¶
¶
ì
const
12
.
 ýòîì âûðàæåíèè âûíåñåíû çà çíàê ïðîèçâîäíîé îáà òîêà. Âûíîñÿ çà çíàê
ïðîèçâîäíîé òîëüêî òîê â îäíîì èç êîíòóðîâ, ïîëó÷èì
fi
Mi
g
i
g
i
M
i
=
é
ë
ê
ù
û
ú
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
==
1
2
2
1
1
2
¶
¶
¶
¶
()
const cons
Y
t
èëè
fi
Mi
g
i
g
i
M
i
=
é
ë
ê
ù
û
ú
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
==
2
1
1
2
2
1
¶
¶
¶
¶
()
const cons
Y
t
.
Åñëè êîíòóðû ïåðåìåùàþòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû f,òîfdg > 0.  òàêîì ñëó÷àå
èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà èìååì i
1
d Y
1Ì
> 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðè i
1
>0èd Y
1Ì
>0,ò.å.
ïîòîêîñöåïëåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè Y
1Ì
óâåëè÷èâàåòñÿ. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè
ïîòîêîñöåïëåíèå ñàìîèíäóêöèè L
1
i
1
ïîëîæèòåëüíî, òî ïîòîêîñöåïëåíèå âçàèì
-
íîé èíäóêöèè Ìi
2
ñòðåìèòñÿ ïðèíÿòü íàèáîëüøåå âîçìîæíîå ïîëîæèòåëüíîå
çíà÷åíèå. Ïðè i
1
< 0 èìååì d Y
1Ì
<0,ò.å.Y
1Ì
óìåíüøàåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè
ïîòîêîñöåïëåíèå ñàìîèíäóêöèè L
1
i
1
îòðèöàòåëüíî, òî è ïîòîêîñöåïëåíèå âçàèì
-
íîé èíäóêöèè Y
1Ì
ñòðåìèòñÿ ñòàòü îòðèöàòåëüíûì è ïðèòîì íàèáîëüøèì ïî àá
-
ñîëþòíîìó çíà÷åíèþ. Àíàëèçèðóÿ âòîðîå ðàâåíñòâî, ïðèäåì ê àíàëîãè÷íûì âû
-
âîäàì ïî îòíîøåíèþ ê ïîòîêîñöåïëåíèþ âçàèìíîé èíäóêöèè Ìi
1
âòîðîãî
êîíòóðà.
Èòàê, ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèëû ñòðåìÿòñÿ ðàñïîëîæèòü æåñòêèå êîíòóðû
ñèñòåìû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè âíåøíåãî ïîòîêà
âíóòðè êîíòóðîâ ïðîõîäèëè â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è ëèíèè ìàãíèòíîé èí
-
äóêöèè ïîòîêîâ ñàìîèíäóêöèè.
92 ×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè