Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèêè ïàðàìåòðîâ Ï-îáðàçíîãî ÷åòûðåõ
-
ïîëþñíèêà îáîáùåííûì ìåòîäîì óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé â òîì ñëó÷àå, êîãäà
âàðüèðóåìàÿ ïðîâîäèìîñòü ìåæäó óçëàìè 2 è 0 ïðèíèìàåò ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ
(0 è ¥), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îïûòàì õîëîñòîãî õîäà (ðèñ. 16.5, à) è êîðîòêîãî çà
-
ìûêàíèÿ (ðèñ. 16.5, á).
 ïåðâîì äèàãíîñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå, êîãäà óçåë 2 íå ñîåäèíåí ñ áà
-
çèñíûì óçëîì (ðèñ. 16.5, à), èçìåðÿþòñÿ íàïðÿæåíèÿ
UUUU
1
1
12
1
2
==
õõ
,
è òîê
Á=
1
1
1
I
õ
, òîê
Á
2
1
ïðè ýòîì ðàâåí íóëþ.
Âî âòîðîì äèàãíîñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå, êîãäà óçëû 2 è 0 çàìêíóòû íàêî-
ðîòêî, èçìåðÿþòñÿ òîêè
Á= Á=
1
2
12
2
2
II
êê
,
è íàïðÿæåíèå
UU
1
2
1
=
ê
, íàïðÿæåíèå
U
2
2
ïðè ýòîì ðàâíî íóëþ. Èíäåêñû «õ» è «ê» ñîîòâåòñòâóþò îïûòàì õîëîñòîãî
õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ.
Ïî äàííûì äèàãíîñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ôîðìèðóåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé
YY
YY
UU
UU
11 12
21 22
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
=
ÁÁ
ÁÁ
,
UUUUU UU I I
1
1
12
1
21
2
12
2
1
1
12
1
1
2
1
00= = = = Á= Á= Á=
õõê õ
,,,,,,
êê
,.Á=
2
2
2
I
Ðåøåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé èìååò âèä:
YY
YY
II
I
U
U
U
UU
I
U
I
11 12
21 22
11
2
2
1
1
12
1
1
0
0
1
1
=
-
=
õê
ê
õ
ê
õ
êõ
ê
ê
1
2
11
12
2
1
21
12
õ
õ
êõ
êõ
ê
ê
êõ
êõ
U
IU
UU
I
U
IU
UU
-
-
.
Èñêîìûå ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà îïðåäåëèì ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà
Y
12
= Y
21
= I
2ê
/U
1ê
èç ñîîòíîøåíèé
Z
x
= 1/½Y
21
½=U
1ê
/I
2ê
, Y
1
= Y
11
+Y
12
= (I
1ê
+I
2ê
)/U
1ê
,
YY Y
I
U
U
U
22221
2
1
1
2
1=+= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ê
ê
õ
õ
.
Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ àíàëîãè÷íûìè âûðàæåíèÿìè èç òåîðèè
÷åòûðåõïîëþñíèêîâ. Íî çäåñü ïðîâåäåíèå îïûòîâ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî
çàìûêàíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà ÿâëÿåòñÿ ëèøü îä
-
íîé èç ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ðåàëèçàöèé îáîáùåííîãî ìåòîäà óçëîâûõ ñîïðî
-
òèâëåíèé.
Îñíîâíîå äîñòîèíñòâî ðàññìîòðåííîãî ìåòîäà äèàãíîñòèêè ñâÿçàíî ñ âîçìîæ
-
íîñòüþ âûáîðà ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ðåàëèçàöèè ýêñïåðèìåíòàëüíîé ÷àñòè ðàáî
-
òû, ÷òî ðàâíî âàæíî êàê äëÿ òåñòîâîé, òàê è äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé äèàãíîñòèêè.
Ãëàâà 16. Äèàãíîñòèêà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 263
Ðèñ. 16.5
 ñëó÷àå òåñòîâîé äèàãíîñòèêè ýòà âîçìîæíîñòü ïîçâîëÿåò îïòèìèçèðîâàòü âû
-
ïîëíåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé è/èëè ðàñ÷åòíîé ÷àñòè ðàáîòû, ïîâûñèòü òî÷íîñòü
îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ è ò. ä. Äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé æå äèàãíîñòèêè, ãäå âûáîð
ðåæèìà íå ïðîèçâîëåí, ýòà âîçìîæíîñòü ïîçâîëÿåò ñôîðìèðîâàòü íåîáõîäèìûå
äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ
YU×=ÁÁ.
16.4. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé
äëÿ äèàãíîñòèêè àêòèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
 äàííîì ïàðàãðàôå áóäåò ðàññìîòðåíà çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïðîâîäèìîñòåé âåò
-
âåé àêòèâíîé öåïè (ýëåìåíòîâ ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé Y) â òîì
ñëó÷àå, êîãäà îòñóòñòâóåò âîçìîæíîñòü îòêëþ÷åíèÿ åå
âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðîâå
-
äåì ñåðèþ èçìåðåíèé, ïåðâûì â êîòîðîé áóäåò èçìåðåíèå
íàïðÿæåíèé âñåõ óçëîâ àêòèâíîãî ìíîãîïîëþñíèêà À
n
(ðèñ. 16.6) áåç ïîäêëþ÷åíèÿ ê íèì êàêèõ-ëèáî äîïîëíè
-
òåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Äàííîìó îïûòó ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþ-
ùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííàÿ ïî ìåòîäó óçëîâûõ
íàïðÿæåíèé:
YU×=ÁÁ
0âíóòð
,
ãäå
ÁÁ
âíóòð
– âåêòîð çàäàþùèõ èñòî÷íèêîâ ìíîãîïîëþñíèêà
A
n
,àU
0
— ñòîëáåö
èçìåðåííûõ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé.
Ñëåäóþùèé îïûò ñîñòîèò â èçìåðåíèè íàïðÿæåíèé
U
()
,
1
1
1
2
11
= UU U
n
t
K
âñåõ
óçëîâ ìíîãîïîëþñíèêà, ïðèñîåäèíåííûõ ÷åðåç ïðîâîäèìîñòü g åãî ïåðâîãî è
íóëåâîãî óçëîâ (ðèñ. 16.6). Òîê
I
g
1
, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ïðîâîäèìîñòü g, èçìåðÿ-
åòñÿ ñ ïîìîùüþ àìïåðìåòðà.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàííîìó îïûòó, èìååò âèä
~
()
YU×=ÁÁ
1
âíóòð
.
Ìàòðèöû
~
Y
è Y ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî ýëåìåíòîì ñ èíäåêñàìè (1,1):
~
,,
YYg
11 11
=+
,
ãäå
YY
11 11,,
,
~
— ýëåìåíòû ìàòðèö Y è
~
Y
, ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ äàííûé îïûò, ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì
()
() ()
YeeU YU ee+g g
t t
×× × =ÁÁÞ×=ÁÁ-×××
11
11
11âíóòð âíóòð
U
()1
ãäå å
1
– ñòðîêà, ïåðâûé ýëåìåíò êîòîðîé ðàâåí åäèíèöå, à îñòàëüíûå íóëè. Ïðà
-
âàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå:
YU e YU e×=ÁÁ-××Þ× =ÁÁ-×
() ()1
1
1
1
1
1
1âíóòð âíóòð
gU I
t
g
t
,
U
1
1
– íàïðÿæåíèå ïåðâîãî óçëà,
I
g
1
– òîê, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ïðîâîäèìîñòü g,
ñîåäèíÿþùóþ ïåðâûé è íóëåâîé óçëû, èçìåðÿåìûé àìïåðìåòðîì À. Ïðèíèìàÿ
âî âíèìàíèå, ÷òî
~
YU×=ÁÁ
0âíóòð
, ïðåîáðàçóåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ê âèäó
YU e×=×
~
()1
1
1
I
g
t
, ãäå
~
() ()
UUU
1
0
1
=-
.
264 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 16.6
Ïðîäîëæàÿ ñåðèþ îïûòîâ, ñîåäèíÿÿ ïîî÷åðåäíî óçëû ìíîãîïîëþñíèêà ñ íó
-
ëåâûì óçëîì ÷åðåç ïðîâîäèìîñòü g è èçìåðÿÿ òîêè
I
g
k
(k = 2, 3, ..., n) ÷åðåç g èíà
-
ïðÿæåíèÿ óçëîâ ìíîãîïîëþñíèêà, ïîëó÷èì n ñèñòåì óðàâíåíèé âèäà
YU e×=×
~
,
()k
g
k
k
t
I
k = 1, 2, ..., n,
ãäå
~
,,, ,
() () ()
UUU U=
12
K
n
g
k
I
— òîê, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ïðîâîäèìîñòü g,ñî
-
åäèíÿþùóþ k-é è íóëåâîé óçëû,
e
k
t
— âåêòîð, k-é ýëåìåíò êîòîðîãî ðàâåí åäè
-
íèöå, à îñòàëüíûå íóëè. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â ìåòîäå óçëîâûõ
ñîïðîòèâëåíèé, îáúåäèíèì n ñèñòåì óðàâíåíèé â îäíî óðàâíåíèå âèäà
YU I×=
~
g
,
ãäå
~
(
~
,,
~
), { },UI==UU I
n
gg
k1
K diag
k = 1, 2, ..., n. Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòè
-
êè èìååò âèä
YIU=×
-
g
~
.
1
Òàêèì îáðàçîì, äèàãíîñòèêà àêòèâíîé öåïè ìåòîäîì óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé
ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò äèàãíîñòèêè ïàññèâíîé öåïè. ×èñëî îïûòîâ óâåëè÷èâàåòñÿ
íà åäèíèöó, îäíàêî ñàìè îïûòû íåñêîëüêî ïðîùå, òàê êàê íå òðåáóþò äîïîëíè-
òåëüíîãî èñòî÷íèêà ýíåðãèè.
16.5. Äèàãíîñòèêà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé â óñëîâèÿõ íåïîëíîòû
è ïðîòèâîðå÷èâîñòè èñõîäíûõ äàííûõ
 ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ðàññìàòðèâàëèñü ñèòóàöèè, êîãäà ýêñïåðèìåíòàëü-
íûå äàííûå ïîçâîëÿëè ñôîðìèðîâàòü íà ðàñ÷åòíîì ýòàïå ðàáîòû ñèñòåìó óðàâ-
íåíèé, èìåþùóþ åäèíñòâåííîå è óñòîé÷èâîå ðåøåíèå, ò. å. êîððåêòíî ïîñòàâèòü
ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ äè
-
àãíîñòèðóåìîé öåïè. Íà ïðàêòèêå æå âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòè ñâîáîäû â âà
-
ðèàöèè ðåæèìîâ, îñîáåííî ïðè ôóíêöèîíàëüíîé äèàãíîñòèêå, íåäîñòóïíîñòè
öåëûõ ïîäöåïåé äëÿ èçìåðåíèé (ïðè íåïîëíîé íàáëþäàåìîñòè öåïè), íåòî÷íî
-
ñòè, à ïîä÷àñ è ÿâíîé ãðóáîñòè ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé, ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàí
-
íûå çà÷àñòóþ îòëè÷àþòñÿ íåïîëíîòîé è ïðîòèâîðå÷èâîñòüþ. Ñèòóàöèÿ ìîæåò
óñóãóáèòüñÿ è âñëåäñòâèå íåâåðíîé èíôîðìàöèè î òîïîëîãè÷åñêîé ñòðóêòóðå
öåïè.  ñîâðåìåííûõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ è ñèñòåìàõ, êàê ïðàâèëî,
èñïîëüçóåòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ êëþ÷åâîé ïðèðîäû, èçìåíåíèå ñî
-
ñòîÿíèÿ êîòîðûõ (îòêðûò, çàêðûò), ïî ñóòè, ìåíÿåò òîïîëîãèþ öåïè. Ëîæíàÿ èí
-
ôîðìàöèÿ î ðåàëüíîì ñîñòîÿíèè òàêèõ ýëåìåíòîâ ïðèâîäèò ê íåâåðíûì âûâî
-
äàì î ñòðóêòóðå è äàæå î ðàçìåðíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, ôîðìèðóåìîé íà
ðàñ÷åòíîì ýòàïå äèàãíîñòèêè. Ïðè ýòîì çàäà÷à îáðàáîòêè òàêîé ìîäåëè ìîæåò
îêàçàòüñÿ íåêîððåêòíîé (íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé), ò. å. ðåøåíèå ñîîòâåòñò
-
âóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü, áûòü íå åäèíñòâåííûì èëè
íåóñòîé÷èâûì. Âñå ýòî ñóùåñòâåííî îñëîæíÿåò âûïîëíåíèå ðàñ÷åòíîé ÷àñòè
äèàãíîñòè÷åñêîé çàäà÷è, òàê êàê ìíîãîîáðàçèå âîçìîæíûõ ñèòóàöèé, íåïîëíîòà
èëè ïðîòèâîðå÷èâîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ çàòðóäíÿþò âûðàáîòêó åäè
-
íîãî àëãîðèòìà äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé çàäà÷è
Ãëàâà 16. Äèàãíîñòèêà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 265
ìàòåìàòè÷åñêîé îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Ñôîðìóëèðóåì ðÿä îá
-
ùèõ ðåêîìåíäàöèé ïî ôîðìèðîâàíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äëÿ ðàñ÷åòíûõ
ýòàïîâ äèàãíîñòèêè öåïåé â ýòèõ ñëó÷àÿõ. Ñóòü ýòèõ ðåêîìåíäàöèé ñâîäèòñÿ,
âî-ïåðâûõ, ê ñïîñîáàì ó÷åòà âñåé ïîëíîòû èíôîðìàöèè î äèàãíîñòèðóåìîì îáú
-
åêòå, à òàêæå óñëîâèÿõ è ñðåäñòâàõ îñóùåñòâëåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ýòàïà
ðàáîòû è, âî-âòîðûõ, ê ôîðìèðîâàíèþ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íå â âèäå ñèñòå
-
ìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ), à â âèäå çàäà÷è ìèíèìèçàöèè
ôóíêöèîíàëà ñ îãðàíè÷åíèÿìè äëÿ ÑËÀÓ.  ýòîì ñëó÷àå êîððåêòíîñòü ïîñòà
-
íîâêè äîñòèãàåòñÿ òåì, ÷òî âìåñòî ïîèñêà ðåøåíèÿ ÑËÀÓ, êîòîðîå ìîæåò íå ñó
-
ùåñòâîâàòü èëè áûòü íå åäèíñòâåííûì, íà ðàñ÷åòíîì ýòàïå çàäà÷è äèàãíîñòèêè
íàõîäÿò åäèíñòâåííîå ïñåâäîðåøåíèå ÑËÀÓ.
Ðàññìîòðèì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 16.7. Ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðîâ À
1
–À
3
îáîçíà÷èì êàê
~
,
~
,
~
,II I
123
à âîëüòìåòðîâ V
1
,V
2
— ñîîòâåòñòâåííî êàê
~
,
~
UU
12
. Öåïü
íàáëþäàåìà ïî òîêó è íå ïîëíîñòüþ íàáëþäàåìà ïî íàïðÿæåíèþ (íå èçâåñòíû
íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ r
3
, r
4
). Äëÿ ïðàêòèêè äîâîëüíî òèïè÷íà ñèòóà
-
öèÿ, êîãäà ïîêàçàíèÿ ïðèáîðîâ íå óäîâëåòâîðÿþò ñîîòâåòñòâóþùèì çàêîíàì
Êèðõãîôà, ïîýòîìó ïîëîæèì, ÷òî çäåñü
~
I
1
+
~
I
2
¹
~
I
3
.
Òàêèì îáðàçîì, ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å
äèàãíîñòèêè íåïîëíà (åå íåäîñòàòî÷íî äëÿ îïðåäåëåíèÿ r
3
, r
4
) è ïðîòèâîðå÷èâà
(
~~ ~
II I
12 3
+¹
). Äëÿ îäíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è è êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè
åå ðàñ÷åòíîãî ýòàïà, ïðèâëå÷åì äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ âñåãäà
åñòü ó èññëåäîâàòåëÿ. Ýòî ìîãóò áûòü ïàñïîðòíûå çíà÷åíèÿ èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ
ýëåìåíòîâ, ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïàðàìåòðàìè ýëåìåíòîâ, îáóñëîâëåííûå èõ ïðè-
ðîäîé, ðåçóëüòàòû ïðåäøåñòâóþùèõ òåñòîâûõ èñïûòàíèé.
Ïóñòü â íàøåì ñëó÷àå èçâåñòíî, ÷òî àìïåðìåòð À
3
– âûñîêîòî÷íûé, à àìïåð
-
ìåòðû À
1
,À
2
îäèíàêîâû è ïîêàçàíèÿ èõ ãîðàçäî ìåíåå äîñòîâåðíû. Òîãäà ìîæåò
áûòü ñîñòàâëåíà ñëåäóþùàÿ ïåðåîïðåäåëåííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëå
-
íèÿ òîêîâ I
1
, I
2
.
11
1
2
3
×=
I
I
I
~
,
äîïîëíåííàÿ óñëîâèåì ìèíèìèçàöèè îòêëîíåíèÿ èñêîìûõ ðåøåíèé I
1
, I
2
îò èõ
ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé
~
,
~
II
12
(
~
)(
~
)min.II I I
11
2
22
2
-+- ®
266 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 16.7
Òîãäà èñêîìûå ïñåâäîðåøåíèÿ ðàâíû
I
I
II I
II I
1
2
123
123
1
2
=×
-+
-+ +
~~ ~
~~ ~
Òîãäà
r UUIr UUI
11212 122
=- + =- +(
~~
), (
~~
)
.
Ïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíû ïàñïîðòíûå çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèé r
3
, r
4
, ðàâ
-
íûå
r
3
,
r
4
, à òàêæå òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ïî òèïó èñïîëíåíèÿ ðåçèñòîðîâ, óñëî
-
âèÿì ýêñïëóàòàöèè, ñîîòíîøåíèÿì íîìèíàëîâ r
3
, r
4
âîçìîæíîñòè îòêëîíåíèÿ ïà
-
ðàìåòðîâ ðåçèñòîðîâ îò íîìèíàëîâ áûëè îäèíàêîâû. Òîãäà íåäîîïðåäåëåííóþ
ñèñòåìó óðàâíåíèé
11
3
4
1
3
×= =
r
r
rr
U
I
~
,
~
~
~
ìîæíî äîîïðåäåëèòü óñëîâèåì
()()min,rr rr
33
2
44
2
-+-®
ñîâìåñòíîå ðåøåíèå
êîòîðûõ äàåò
r
rr r
3
34
2
=
+-
~
,
r
rr r
4
34
2
=
-+
~
.
 çàêëþ÷åíèè çàìåòèì, ÷òî äîñòîâåðíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷ ðàññìàòðèâàåìîãî
òèïà çàâèñèò îò îáúåìà è êà÷åñòâà ïðèâëåêàåìîé äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè,
êîòîðàÿ âñåãäà åñòü ó èññëåäîâàòåëÿ, ãëàâíîå — ïðàâèëüíî åå ôîðìàëèçîâàòü.
16.6. Äèàãíîñòèêè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, îáëàäàþùèõ
æåñòêèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè
Ïðè äèàãíîñòèêå öåïåé ìåòîäîì óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé ìîãóò âîçíèêàòü ñèòóà-
öèè, êîãäà ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì è ñèëüíî çàâèñèò îò ïîãðåøíîñòè
â èçìåðåíèÿõ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé. Òàêèå ñèòóàöèè âîçíèêàþò, êîãäà â öåïè,
äèàãíîñòèðóåìîé ìåòîäîì óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé, åñòü ñå÷åíèÿ, ïðîõîäÿùèå
òîëüêî ïî âåòâÿì ñ ïðîâîäèìîñòüþ, ìàëîé ïî îòíîøåíèþ ê ïðîâîäèìîñòÿì
îñòàëüíûõ âåòâåé. Òàêèì îáðàçîì, â ñõåìå öåïè ìîæåò áûòü âûäåëåíà ïîäñõåìà,
îòäåëåííàÿ îò îñòàëüíîé ñõåìû âåòâÿìè ñ ìàëîé ïðîâîäèìîñòüþ. Ñå÷åíèÿ, ïðî
-
õîäÿùèå ïî âåòâÿì ñ ìàëîé ïðîâîäèìîñòüþ, áóäåì íàçûâàòü äàëåå îñîáûìè.
Íàëè÷èå â öåïè îñîáûõ ñå÷åíèé ïðèâîäèò ê òàê íàçûâàåìûì ïëîõî îáóñëîâ
-
ëåííûì ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì öåïè.  ÷àñòíîñòè, ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà
óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé ïëîõî îáóñëîâëåííûìè áóäóò ìàòðèöà Y óçëîâûõ ïðî
-
âîäèìîñòåé öåïè è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ìàòðèöà Z óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé.
Ìàòðèöà ïëîõî îáóñëîâëåíà, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé îáðàòíàÿ ìàòðèöà íå
-
óñòîé÷èâà, ò. å. ìàëûì èçìåíåíèÿì ïàðàìåòðîâ èñõîäíîé ìàòðèöû ñîîòâåòñòâó
-
þò áîëüøèå èçìåíåíèÿ â îáðàòíîé ìàòðèöå.
Ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïëîõî îáóñëîâëåííîé ìàòðèöåé
ñèëüíî èçìåíÿåòñÿ ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû èëè âåêòîðà ïðà
-
âûõ ÷àñòåé. Òàêèå ñèñòåìû óðàâíåíèé íîñÿò íàçâàíèå æåñòêèõ.
Äëÿ îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû À ïðåäëîæåíû ðàçëè÷íûå êîëè÷åñòâåííûå
õàðàêòåðèñòèêè, íàçûâàåìûå ÷èñëàìè îáóñëîâëåííîñòè, îäíèì èç íèõ ÿâëÿåòñÿ
÷èñëî Òîääà (ñïåêòðàëüíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè):
Ãëàâà 16. Äèàãíîñòèêà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 267
Q=
max| ( )|
min| ( )|
l
l
i
i
A
A
,
ãäå l
i
– ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû À. ×åì áîëüøå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè,
òåì ìåíåå óñòîé÷èâà ñèñòåìà óðàâíåíèé.
 îáùåì ñëó÷àå â öåïè âîçìîæíî íàëè÷èå íåñêîëüêèõ îñîáûõ ñå÷åíèé. Ïðè
ýòîì ñõåìà êàê áû ðàçáèâàåòñÿ íà ðÿä ïîäñõåì, ãàëüâàíè÷åñêè ñëàáî ñâÿçàííûõ
ìåæäó ñîáîé. Ýòè ñå÷åíèÿ ìîãóò áûòü âëîæåííûìè äðóã â äðóãà. Áóäåì íàçûâàòü
äàëåå çàäà÷ó äèàãíîñòèêè öåïè, íå ñîäåðæàùåé îñîáûõ ñå÷åíèé, çàäà÷åé íóëåâî
-
ãî ïîðÿäêà ñëîæíîñòè, çàäà÷ó äèàãíîñòèêè öåïè, ñîäåðæàùåé îäíî îñîáîå ñå÷å
-
íèå, — çàäà÷åé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñëîæíîñòè. Çàäà÷à äèàãíîñòèêè âòîðîãî ïîðÿä
-
êà ñëîæíîñòè ñîîòâåòñòâóåò öåïè, ñîäåðæàùåé äâà îñîáûõ ñå÷åíèÿ, âëîæåííûõ
îäíî â äðóãîå è ò. ä. Öåïü m-ãî ïîðÿäêà ñëîæíîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
ìíîãîïîëþñíèêîâ Ï
i
,
im= 12,, ,K
, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé âåòâÿìè ñ ìàëîé ïðî
-
âîäèìîñòüþ, îáðàçóþùèìè îñîáûå ñå÷åíèÿ s
j
, j = 1, 2, ...,m– 1 (ðèñ. 16.8).
Êàæäîå ñå÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ïî âåòâÿì ñ ìàëîé ïðîâîäèìîñòüþ, âíîñèò â ñïåêòð
ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé Y öåïè ìàëîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷å-
íèå. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü â ðàññìàòðèâàåìîé öåïè
èìååòñÿ òàêîå ñå÷åíèå. Òîãäà â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèÿ ïðîâîäèìî
-
ñòåé âåòâåé, ïåðåñåêàåìûõ ñå÷åíèåì, ðàâíû íóëþ, öåïü ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ïîä
-
öåïè, íå ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè àíàëèçå öåïè ìåòîäîì óç
-
ëîâûõ íàïðÿæåíèé, ìîæíî áûëî áû ðàññìàòðèâàòü êàæäóþ ïîäöåïü îòäåëüíî è
â êàæäîé èç íèõ âûáðàòü ñâîé íóëåâîé óçåë. Òîãäà â ìàòðèöå óçëîâûõ ïðîâîäè
-
ìîñòåé Y öåïè, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ãàëüâàíè÷åñêè íå ñâÿçàííûõ ïîäöåïåé, áóäåò
ïðèñóòñòâîâàòü îäíà ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñòðîêà (è, ñîîòâåòñòâåííî, ñòîëáåö) è
îäíî åå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ðàâíî íóëþ. Åñëè ïðîâîäèìîñòè ýëåìåíòîâ âåòâåé,
ïåðåñåêàåìûõ ñå÷åíèåì, èìåþò ìàëûå, íî íå íóëåâûå çíà÷åíèÿ, òî öåïü ðàñïàäà
-
åòñÿ íà äâå ñëàáî ñâÿçàííûå ïîäöåïè. Â ñèëó íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ñîáñò
-
âåííûõ ÷èñåë îò âåëè÷èí ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ìàòðèöà Y òàêîé öåïè áóäåò èìåòü
îäíî ìàëîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå.
Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå íàëè÷èÿ â öåïè m îñîáûõ ñå÷åíèé ïî âåòâÿì ñ ìàëîé
ïðîâîäèìîñòüþ ìàòðèöà Y öåïè áóäåò èìåòü m ìàëûõ ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé. Ñîîòâåòñòâåííî, ìàòðèöà Z = Y
–1
áóäåò èìåòü m ñîáñòâåííûõ çíà÷å
-
íèé, çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùèõ ïî ìîäóëþ îñòàëüíûå.
Ðàññìîòðèì âëèÿíèå íà ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Y è, ñî
-
îòâåòñòâåííî, ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è äèàãíîñòèêè ÷èñëà îáóñëîâëåííî
-
268 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 16.8
ñòè Q ìàòðèöû U óçëîâûõ íàïðÿæåíèé (ìàòðèöû Z óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé),
îïðåäåëåííîé ýêñïåðèìåíòàëüíî. Èññëåäîâàíèå âûïîëíèì äëÿ öåïåé ïåðâîãî
(ðèñ. 16.9) è âòîðîãî (ðèñ. 16.10) ïîðÿäêà ñëîæíîñòè. Âåëè÷èíû ïðîâîäèìîñòåé
ýëåìåíòîâ óêàçàíû íà ðèñóíêàõ. Ïðîâîäèìîñòè e, e
1
, e
2
ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîâî
-
äèìîñòÿìè îñòàëüíûõ âåòâåé. Ïðè óìåíüøåíèè âåëè÷èí e, e
1
, e
2
ïðîèñõîäèò óâåëè÷å
-
íèå ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè Q ìàòðèöû U.
Ïóñòü, â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé, èçìåðèòåëüíàÿ ñèñ-
òåìà ñîñòîèò èç èñòî÷íèêà òîêà Á=1 À, ïîãðåøíîñòü çàäàíèÿ êîòîðîãî áóäåì
ñ÷èòàòü ïðåíåáðåæèìî ìàëîé, è âîëüòìåòðà V, èçìåðÿþùåãî íàïðÿæåíèÿ ñ îòíî-
ñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ D=dr, ãäå dÎ[10
–2
–10
–4
] — óðîâåíü ïîãðåøíîñòè èç-
ìåðåíèé, à r — ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ íà èíòåðâàëå [–1, 1] ñëó÷àéíàÿ âåëè-
÷èíà.
Íà ðèñ. 16.11 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ñðåäíåé îò
-
íîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè d
0
ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Y öåïè ðèñ. 16.9 (ðèñ. 16.11, à)
è öåïè ðèñ. 16.10 (ðèñ. 16.11, á) äëÿ ðàçëè÷íûõ óðîâíåé ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé d.
Ïîãðåøíîñòü d
0
îïðåäåëÿåòñÿ êàê
d
n
YY
Y
ij ij
ij
j
n
i
n
0
1
2
11
1
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
==
åå
()
,
ãäå
Y
ij
– ýëåìåíòû «òî÷íîé» ìàòðèöû Y,
Y
ij
()-1
– ýëåìåíòû ìàòðèöû U
–1
. Íåñìîòðÿ
íà «ëîìàíûé» õàðàêòåð çàâèñèìîñòåé, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 16.11, îíè õîðî
-
øî ïåðåäàþò òåíäåíöèþ íàðàñòàíèÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è äèàãíîñòèêè
ñ ðîñòîì ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè Q ìàòðèöû Y.  äàëüíåéøåì áóäåì ïîëüçîâàòü
-
ñÿ ñãëàæåííûìè êðèâûìè.
Ãëàâà 16. Äèàãíîñòèêà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 269
Ðèñ. 16.9
Ðèñ. 16.10
Ïðèâåäåííûå çàâèñèìîñòè ïîêàçûâàþò, ÷òî óæå ïðè lg Q > 4 äëÿ çàäà÷ ïåðâî
-
ãî ïîðÿäêà ñëîæíîñòè è lg Q > 3 äëÿ çàäà÷ âòîðîãî ïîðÿäêà ñëîæíîñòè ðåøåíèå
çàäà÷è äèàãíîñòèêè â äàííîé ïîñòàíîâêå (ïðè ïðîâåäåíèè îäíîé ñåðèè ýêñïåðè
-
ìåíòîâ) íåâîçìîæíî. Ýòîò ôàêò èìååò äîñòàòî÷íî ïðîñòîå îáúÿñíåíèå. Ïðè îï
-
ðåäåëåíèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû U ñ ïîãðåøíîñòüþ D áîëüøèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
ìàòðèöû U èñêàæàþòñÿ íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà D è èçìåíÿþòñÿ íåçíà÷èòåëüíî, â òî
âðåìÿ êàê èçìåíåíèå ìàëûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà D ïðèâîäèò
ê èõ çíà÷èòåëüíûì èõ èçìåíåíèÿì. Ïðè îïðåäåëåíèè ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìî
-
ñòåé êàê Y = U
–1
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû Y ðàâíû âåëè÷èíàì, îáðàòíûì ñîá
-
ñòâåííûì çíà÷åíèÿì ìàòðèöû U. Òî åñòü áîëüøèå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
ìàòðèöû Y îïðåäåëÿþòñÿ ïî ñèëüíî èñêàæåííûì ìàëûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì
ìàòðèöû U, ÷òî ñèëüíî èñêàæàåò ñàìè ýëåìåíòû ìàòðèöû Y.
Áîëüøîé âêëàä â ðàçðàáîòêó ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà îáðàáîòêè æåñòêèõ
ìîäåëåé âíåñ Þ. Â. Ðàêèòñêèé.  ÷àñòíîñòè, îí äîêàçàë, ÷òî â æåñòêîé ñèñòåìå
óðàâíåíèé ìåæäó êîìïîíåíòàìè ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò ëèíåéíûå ñâÿçè, è ïðåä
-
ëîæèë îáùèå àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ñâÿçåé, à òàêæå ìåòîäû èõ èñïîëüçîâà
-
íèÿ äëÿ ðåøåíèÿ æåñòêèõ çàäà÷. Îñíîâûâàÿñü íà ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ æåñò
-
êèõ ñèñòåì ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì îïðåäåëåíèè ïàðàìåòðîâ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìîäåëåé, Þ. Â. Ðàêèòñêèé ñôîðìóëèðîâàë ïðèíöèï ïîâòîðíûõ èçìåðåíèé (ÏÏÈ),
ïðèìåíåíèå êîòîðîãî ê çàäà÷àì äèàãíîñòèêè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïîçâîëÿåò îïðå
-
äåëÿòü ïàðàìåòðû öåïè ñ ïîãðåøíîñòüþ, áëèçêîé ê ïîãðåøíîñòè èñïîëüçóåìûõ
èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ âíå çàâèñèìîñòè îò æåñòêîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè.
Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ÏÏÈ äëÿ äèàãíîñòèêè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìåòî
-
äîì óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ ÏÏÈ æåñòêàÿ çàäà÷à äèàãíîñòè
-
êè ðåøàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïî ðåçóëüòàòàì ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ
îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ëèíåéíûå ñâÿçè ìåæäó ïàðàìåòðàìè çàäà÷è. Ñ ïîìîùüþ
ïîëó÷åííûõ ëèíåéíûõ ñâÿçåé èñõîäíàÿ çàäà÷à ðåäóöèðóåòñÿ, âñëåäñòâèå ÷åãî
ñòåïåíü åå æåñòêîñòè óìåíüøàåòñÿ. Äàëåå ïðîâîäèòñÿ ïîâòîðíàÿ ñåðèÿ ýêñïåðè
-
ìåíòîâ ñ íîâîé ðåäóöèðîâàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ, è èç ðåøåíèÿ ýòîé
çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòü ïàðàìåòðîâ èñõîäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Îñòàëü
-
íûå ïàðàìåòðû èñõîäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùü ëèíåé
-
íûõ ñâÿçåé.
270 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 16.11
Äëÿ ïîÿñíåíèÿ àëãîðèòìà ïîëó÷åíèÿ ëèíåéíûõ ñâÿçåé ðàññìîòðèì æåñòêóþ
ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
Ax b×=
,
ãäå À – ïëîõî îáóñëîâëåííàÿ ìàòðèöà ñ ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè
Q
A
>> 1
. Ïóñòü
êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû À îïðåäåëåíû â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ íåêîòîðîé ýêñ
-
ïåðèìåíòàëüíîé ïðîöåäóðû. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïëîõàÿ îáóñëîâëåííîñòü
ìàòðèöû ñâÿçàíà c íàëè÷èåì â åå ñïåêòðå áîëüøîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî çíà
-
÷åíèÿ l
1
, òàêîãî ÷òî
|l l l
12
||| ||>> ³ ³L
n
.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ëèíåéíûõ ñâÿçåé ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðà x ðàññìîòðèì
ñèñòåìó óðàâíåíèé
AxA b
ss
×= ×
-1
,
ïîëó÷åííóþ èç èñõîäíîé óìíîæåíèåì ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòåé íà
A
s-1
. Ñîáñòâåí
-
íûå çíà÷åíèÿ
l()A
s
ìàòðèöû
A
s
ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû âîçâåäåíèåì â ñòåïåíü s
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû À.
llll(){, ,, }A
sss
n
s
=
12
K
.
Ïîýòîìó, åñëè ìàòðèöà À ïëîõî îáóñëîâëåíà, òî ìàòðèöà
A
s
ñâåðõïëîõî îáó-
ñëîâëåíà. Áîëåå òîãî, åñëè
|l l
1
10 2 3
sK
m
s
mn|||,(,,,)>> = K
, ãäå K — êîíñòàíòà, îïðå-
äåëÿþùàÿ ÷èñëî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ ÝÂÌ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ
âû÷èñëåíèÿ (õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå K = 16), òî ñ ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå ÷åì 10
–K
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðàíã ìàòðèöû
A
s
ðàâåí åäèíèöå. Ñîîòâåòñòâåííî, âñå ñòðî-
êè â ñèñòåìå óðàâíåíèé
AxA b
ss
×= ×
-1
ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ îäèíàêîâû.
Ïîýòîìó ëþáàÿ ñòðîêà ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà êàê
ëèíåéíàÿ ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðà x. Ðåàëüíî äëÿ æåñòêèõ ñèñòåì âå
-
ëè÷èíà ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè s, äîñòàòî÷íàÿ äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ëþáîé ñòðîêè ñèñ
-
òåìû óðàâíåíèé
AxA b
ss
×= ×
-1
â êà÷åñòâå ëèíåéíîé ñâÿçè, ñîñòàâëÿåò 3–5.
Åñëè êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû À îïðåäåëåíû â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà ñ íå
-
êîòîðîé ïîãðåøíîñòüþ D, òî è êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ñâÿçè ìåæäó êîìïîíåí
-
òàìè âåêòîðà x îïðåäåëÿþòñÿ ñ òîé æå ïîãðåøíîñòüþ, òàê êàê îíè îïðåäåëÿþòñÿ
òîëüêî ìàêñèìàëüíûì ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû À. Òàêèì îá
-
ðàçîì, ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ëèíåéíîé ñâÿçè íå çàâèñèò îò îáóñëîâëåííîñòè
ìàòðèöû À. Ïîëó÷åííàÿ ëèíåéíàÿ ñâÿçü, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì ïîâòîð
-
íûõ èçìåðåíèé, äîëæíà èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ðåäóöèðîâàíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è.
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ýòî ñîîòâåòñòâóåò èñêëþ÷åíèþ èç ñèñòåìû óðàâíå
-
íèé îäíîãî óðàâíåíèÿ è âûïîëíåíèþ äàëåå ïîâòîðíûõ èçìåðåíèé êîýôôèöèåí
-
òîâ ðåäóöèðîâàííîé ìàòðèöû.
 ìåòîäå óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé óðàâíåíèå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ëèíåéíîé ñâÿçè
ìåæäó êîìïîíåíòàìè y
k
k-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû Y èìååò âèä
Uy U
s
k
s
k
×= ×ÁÁ
-1
,
(*)
ãäå U — ìàòðèöà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, èçìåðåííûõ â ìåòîäå óçëîâûõ ñîïðî
-
òèâëåíèé,
ÁÁ
k
— âåêòîð çàäàþùèõ òîêîâ, k-é ýëåìåíò êîòîðîãî ðàâåí åäèíèöå,
Ãëàâà 16. Äèàãíîñòèêà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 271
à îñòàëüíûå íóëè. Äëÿ äèàãíîñòèðîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ èñïîëüçîâàíèåì
ÏÏÈ áóäåì âûïîëíÿòü ýêñïåðèìåíòû è îáðàáîòêó èõ ðåçóëüòàòîâ â ñîîòâåòñò
-
âèè ñî ñëåäóþùèì àëãîðèòìîì.
1. Ïðîâîäèòñÿ ïåðâàÿ ñåðèÿ ýêñïåðèìåíòîâ ìåòîäà óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé, â ðå
-
çóëüòàòå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé U. Åñëè ìàòðè
-
öà U ïëîõî îáóñëîâëåíà èëè èìååòñÿ àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ î íàëè÷èè â äèàã
-
íîñòèðóåìîé öåïè îñîáûõ ñå÷åíèé, òî íåïîñðåäñòâåííîå îïðåäåëåíèå ïàðàìåò
-
ðîâ ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé Y ïî ìàòðèöå U íåâîçìîæíî.
2. Ïî ìàòðèöå óçëîâûõ íàïðÿæåíèé U (ìàòðèöå óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé Z)èç
óðàâíåíèÿ (*) îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâàÿ ëèíåéíàÿ ñâÿçü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàêñè
-
ìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ìàòðèöû U. Ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ êîýô
-
ôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ñâÿçè èìååò òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî è ïîãðåøíîñòü èñïîëüçóå
-
ìîé èçìåðèòåëüíîé àïïàðàòóðû è íå çàâèñèò îò îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû U.
3. Âûïîëíÿåòñÿ ðåäóêöèÿ èñõîäíîé çàäà÷è, äëÿ ÷åãî îäèí èç óçëîâ öåïè, íàõîäÿ
-
ùèéñÿ âíóòðè îñîáîãî ñå÷åíèÿ, ñîåäèíÿåòñÿ ñ íóëåâûì óçëîì, ýòèì îáåñïå÷èâà
-
åòñÿ èñêëþ÷åíèå îñîáîãî ñå÷åíèÿ. Åñëè èíôîðìàöèÿ îá óçëàõ, âõîäÿùèõ â èçî-
ëèðîâàííóþ ïîäñõåìó, îòñóòñòâóåò, òî îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå èí-
ñïåêöèè ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàòðèöû U. Âû÷åðêíåì èç ìàòðèöû U ñòðîêó è ñòîëáåö,
ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîìó èç óçëîâ, è âû÷èñëèì ïî ïîëó÷åííîé ìàòðèöå U
(–1)
ìàò-
ðèöó Y
(–1)
. Óçåë âõîäèò â îñîáîå ñå÷åíèå, åñëè íîðìà ìàòðèöû Y
(–1)
ñóùåñòâåííî
ìåíüøå íîðìû ìàòðèöû Y, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íîðìû ýòèõ ìàòðèö áëèçêè.
4. Ïðîâîäèòñÿ âòîðàÿ ñåðèÿ ýêñïåðèìåíòîâ ìåòîäà óçëîâûõ ñîïðîòèâëåíèé â öå-
ïè ñ çàêîðî÷åííûì óçëîì. Òàê êàê ðåäóöèðîâàííàÿ çàäà÷à ñîäåðæèò íà îäíî îñî-
áîå ñå÷åíèå ìåíüøå, òî ïîðÿäîê åå ñëîæíîñòè ïîíèæåí íà åäèíèöó.  ðåçóëüòàòå
ñåðèè ïîâòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöà U
1
.
5. Ïðîâåðÿåòñÿ ñòåïåíü îáóñëîâëåííîñòè
Q
U
1
ìàòðèöû óçëîâûõ íàïðÿæåíèé U
1
öåïè ñ çàêîðî÷åííûì óçëîì, ðàçìåðíîñòü êîòîðîé íà åäèíèöó ìåíüøå ðàçìåð
-
íîñòè U. Åñëè
Q
U
1
1>>
, òî îïðåäåëÿåòñÿ âòîðàÿ ëèíåéíàÿ ñâÿçü, ïîâòîðÿþòñÿ ïóíê
-
òû 3, 4 íàñòîÿùåãî àëãîðèòìà è îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöà U
2
, ðàçìåðíîñòü êîòîðîé
íà åäèíèöó ìåíüøå ðàçìåðíîñòè U
1
, è ò. ä. Åñëè çíà÷åíèå îáóñëîâëåííîñòè
Q
U
1
ïðèåìëåìî ïðè çàäàííîì óðîâíå ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé, òî îáðàùåíèåì ìàò
-
ðèöû U
1
îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöà Y
1
óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé öåïè ñ çàêîðî÷åííûì
óçëîì. Ïðè ýòîì îïðåäåëÿþòñÿ ïðîâîäèìîñòè âñåõ âåòâåé èñõîäíîé öåïè, çà èñ
-
êëþ÷åíèåì âåòâåé, èíöèäåíòíûõ çàêîðî÷åííîìó óçëó. Ïðîâîäèìîñòè ýòèõ âåò
-
âåé îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé ñâÿçè.
Ïðèìåíåíèå îïèñàííîãî àëãîðèòìà ïðè ðåøåíèè çàäà÷è äèàãíîñòèêè öåïåé
ïîçâîëÿåò ñíèçèòü ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû óçëîâûõ
ïðîâîäèìîñòåé äî óðîâíÿ ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé, íåçàâèñèìî îò ñòåïåíè îáó
-
ñëîâëåííîñòè çàäà÷è. Íà ðèñ. 16.12, à ïðåäñòàâëåíû ñãëàæåííûå çàâèñèìîñòè
îòíîøåíèÿ ïîãðåøíîñòåé ðåøåíèÿ çàäà÷è äèàãíîñòèêè ìåòîäîì óçëîâûõ ñîïðî
-
òèâëåíèé áåç èñïîëüçîâàíèÿ (d
0
) è ñ èñïîëüçîâàíèåì (d
ÏÏÈ
) ÏÏÈ îò ÷èñëà îáó
-
ñëîâëåííîñòè ìàòðèöû Y äëÿ öåïè ðèñ. 16.9. Ïîãðåøíîñòü d
ÏÏÈ
âû÷èñëÿëàñü
272 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé