Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

òàê êàê

¶j

¶x

¶y

¶hxx

==è,

è, ïðîèíòåãðèðîâàâ, íàéäåì

xvt xvt ft

=--++[( ) ( ) ()].jy

Â âûðàæåíèè äëÿ i

ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ ôóíêöèÿ f(t) òîëüêî îò t, òàê êàê

¶x

ft() .= 0

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ f(t) ïîäñòàâèì íàéäåííûå äëÿ u

è i

çíà÷åíèÿ

â óðàâíåíèå

è òîãäà ïîëó÷èì

f(t)

= 0

. Ñëåäîâàòåëüíî, f(t) = A =

= const. Îäíàêî ìîæíî ïîëîæèòü A = 0, òàê êàê ïðè A ¹ 0 ìû ìîãëè áû ââåñòè

âìåñòî j è y ôóíêöèè j

=j+ A/2 è y

=y– A/2, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èëèñü áû âû

ðàæåíèÿ äëÿ u

è i

, â êîòîðûå ïîñòîÿííàÿ A íå âõîäèò ÿâíî. Ïîýòîìó ìîæåì íà

ïèñàòü

xvt xvt

=--+[( ) ( )]jy

è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òîêà i â ëèíèè ïîëó÷èì

xvt xvte

=--+

[( ) ( )] ,jy

ãäå

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, êàê èçâåñòíî èç ïðåäûäóùåãî, âîëíîâîå ñîïðîòèâ-

ëåíèå íåèñêàæàþùåé ëèíèè.

Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèÿ u è òîêà i ìîæíî ïðèâåñòè ê èíîìó

âèäó, ïðèíÿâ âî âíèìàíèå, ÷òî

dada

222

== =

vtvtè ,

ãäå a=

— êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ íåèñêàæàþùåé ëèíèè (ñì. § 17.6), è ÷òî,

ñëåäîâàòåëüíî,

ee ee e e

tvt

xvt

x--

== =

() ()

Íà îñíîâàíèè ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ âûðàæåíèÿ äëÿ u è i ìîæíî ïðåäñòàâèòü

â âèäå

u x vt e x vt e

xvte xvte

=- ++

=--+

() ();

[( ) ( )

ïðè÷åì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ôóíêöèè j è y â ýòèõ âûðàæåíèÿõ îòëè÷àþòñÿ

îò j è y â ïðåäûäóùèõ âûðàæåíèÿõ äëÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà, ñîîòâåòñòâåííî,

ìíîæèòåëÿìè e

a(x–vt)

è e

–a(x+vt)

Çàìåòèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè òîëüêî îáùèé âèä ðåøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèé õàðàê

òåð ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè íàïðÿæåíèÿ è òîêà îò x è t. Êîíêðåòíûé âèä

Ãëàâà 18. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ 293

ôóíêöèé j(x – vt)èy(x + vt) áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êîíêðåòíûìè óñëîâèÿìè çàäà

÷è. Íåêîòîðûå ïðîñòûå ïðèìåðû áóäóò ðàññìîòðåíû äàëüøå. Âìåñòå ñ òåì óæå

èç ïîëó÷åííûõ îáùèõ âûðàæåíèé äëÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ìîæíî ñäåëàòü âàæ

íûå âûâîäû î ôèçè÷åñêîì ñìûñëå ÷ëåíîâ, îáðàçóþùèõ ýòè âûðàæåíèÿ, ÷òî è áó

äåò ñäåëàíî â § 18.4.

18.3. Ðåøåíèå óðàâíåíèé îäíîðîäíîé íåèñêàæàþùåé ëèíèè

ïðè ïåðåõîäíîì ïðîöåññå îïåðàòîðíûì ìåòîäîì

Ïîêàæåì òàêæå ïðèìåíåíèå îïåðàòîðíîãî ìåòîäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ óðàâ

íåíèé îäíîðîäíîé ëèíèè ïðè ïåðåõîäíîì ïðîöåññå.

Òàê êàê íàïðÿæåíèå è òîê ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè äâóõ ïåðåìåííûõ t è x,òîèõ

îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ áóäóò ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà p è x:

utx U px utxe dt

itx I px itx

(, ) ( , ) (, ) ;

(, ) ( , ) (, )

Þ=

edt

pt-

Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò íàïðÿæåíèÿ èçîáðàæàåòñÿ â âèäå

pU p x u xÞ-(, ) (, ),0

ãäå u(0, x) — ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ âäîëü ëèíèè ïðè t = 0. Ïðîèçâîäíàÿ

îò íàïðÿæåíèÿ ïî x

UpxÞ (, ).

Ñîîòâåòñòâåííî, èçîáðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ òîêà áóäóò

pI p x i x

IpxÞ- Þ(,) (,); (,).0

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ îäíîðîäíîé ëèíèè

-=+ -=+

ri L

gu C

;

â îïåðàòîðíîé ôîðìå ïðèíèìàþò âèä

-=+-

dU p x

rI p x pLI p x Li x

dI p x

(, )

(, ) (, ) (, );

(, )

(

px pCU px Cu x,) (,) (,).+-0

Ñóùåñòâåííî çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðíûõ èçîáðàæåíèé U(p, x)

è I(p, x) ÿâëÿþòñÿ îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, òàê êàê

îíè ñîäåðæàò ëèøü îäíó ïåðåìåííóþ x. Â ýòîì îòíîøåíèè èìååì îïðåäåëåííóþ

àíàëîãèþ ñ óðàâíåíèÿìè ëèíèè, çàïèñàííûìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå ïðè ñèíó

ñîèäàëüíîì ïðîöåññå.

294 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðåøàÿ ñîâìåñòíî ýòè óðàâíåíèÿ ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (ïðè x = 0

è x = l), ìîæåì íàéòè îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ U(p, x)èI(p, x),àïîíèìèîðè

ãèíàëû u(t, x)èi(t, x) íàïðÿæåíèÿ è òîêà.

Ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ [u(0, x) = 0èi(0, x) = 0] óðàâíåíèÿ ïðèíè

ìàþò âèä

-=+ -=+

dU p x

rpLIpx

dI p x

gpCUpx

(, )

()(,);

(, )

()(,).

Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå ïî x è èñïîëüçóÿ âòîðîå, íàõîäèì

dUpx

Upx r pL g pC

(, )

(, ), ( )( ).==++ggãäå

Ðåøåíèå ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä

Upx Ae Ae

(, ) ,=+

ãäå A

è A

íå çàâèñÿò îò x, íî ìîãóò áûòü ôóíêöèÿìè îò p,ò.å.A

= F

(p)

è A

= F

(p).

Äëÿ îïåðàòîðíîãî èçîáðàæåíèÿ òîêà ïîëó÷àåì

Ipx

rpL

dU p x

dx r pL

Ae A e

gpC

(, )

()=-

Ae A e

xx xx

()

().

12 12

-= -

gg gg

Âåëè÷èíà

rpL

gpC

()=

ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðíûì âîëíîâûì (õàðàêòåðèñòè÷å-

ñêèì) ñîïðîòèâëåíèåì ëèíèè.

Âåëè÷èíà

g= ()( )rpLgpC++

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïåðàòîðíîå âûðàæåíèå

êîýôôèöèåíòà ðàñïðîñòðàíåíèÿ.

Ðåøåíèå ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ äëÿ íåèñêàæàþùåé ëèíèè, äëÿ êîòîðîé

r/L = g/C, è, ñëåäîâàòåëüíî,

rg p LC

() .==+=+è ga

Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå äëÿ îïåðàòîðíûõ èçîáðàæåíèé íàïðÿ

æåíèÿ è òîêà ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

Upx F pe e F pe e

(, ) () ()=

;

(, ) () ()Ipx

Fpe e

Fpe

Îðèãèíàë ôóíêöèè îò p, ñòîÿùèé ïðè ìíîæèòåëå e

–ax

, ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðè

ìåíÿÿ ôîðìóëó Ðèìàíà—Ìåëëèíà (ñì. § 11.5)

Ãëàâà 18. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ 295

(, ) ( )tx

Fpe edp

-¥

+¥

() .

()

pe dp

xvt

-¥

+¥

Èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî j (t, x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé àðãóìåí

òà x – vt, òàê êàê x è t âõîäÿò ñîâìåñòíî òîëüêî â òàêîé êîìáèíàöèè, ò. å.

j (x, t) =j(x – vt). Àíàëîãè÷íî äëÿ ôóíêöèè îò p, ñòîÿùåé ïðè ìíîæèòåëå e

ïîëó÷àåì

(, ) ( ) (tx

Fpe edp

-¥

+¥

pe dp

xvt

()

-¥

+¥

ò. å.

yy(, ) ( ).tx x vt=+

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå âûðàæåíèå äëÿ u(t, x) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

u t x x vt e x vt e

(, ) ( ) ( ) .=- ++

Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ òîêà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå

itx

xvte xvte

(,) [() ()].=--+

Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ íàéäåííûìè â ïðåäûäóùåì

ïàðàãðàôå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì.

18.4. Âîëíû â íåèñêàæàþùåé ëèíèè

Ðàññìîòðèì òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ëèíèè.

Ïðè ýòîì äëÿ ïðîñòîòû ñíà÷àëà äîïóñòèì, ÷òî ïîòåðè â ëèíèè ïðåíåáðåæèìî

ìàëû, ò. å. ïðèìåì r = 0èg = 0. Òîãäà d=0, a=0, e

–dt

= 1, à òàêæå e

–ax

= e

= 1, è äëÿ

ëèíèè áåç ïîòåðü ïîëó÷èì

uxvt xvtuu

ixvt

xvt

=-++=+

++-

()() ;

() ()

Ïóñòü â ÷àñòíîì ñëó÷àå y (x + vt) = 0èu =j(x – vt) = u

. Ïðèíÿâ â ïîñëåäíåì

ðàâåíñòâå t = 0, íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ âäîëü ëèíèè â íà÷àëüíûé ìî

ìåíò âðåìåíè. Âîçüìåì íåêîòîðóþ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x è ïðåäïîëîæèì, ÷òî

îíà ïåðåìåùàåòñÿ âäîëü ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ v, ò. å. ÷òî åå ïîëîæåíèå îïðåäåëÿ

åòñÿ êîîðäèíàòîé x = x

+ vt. Òîãäà íàïðÿæåíèå â ýòîé äâèæóùåéñÿ òî÷êå

=j(x

+ vt – vt) =j(x

) íå áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåíè. Òàê êàê ýòî çàêëþ÷åíèå

ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ âäîëü ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ v, òî, ñëå

äîâàòåëüíî, ïðè u =j(x – vt) = u

íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ u ïåðå

ìåùàåòñÿ âäîëü ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ v. Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ u

=j(x – vt)

îïðåäåëÿåò ïðÿìóþ âîëíó íàïðÿæåíèÿ, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëü

ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ v, ò. å. âîëíó íàïðÿæåíèÿ, áåãóùóþ âïåðåä è íå ïðåòåð

ïåâàþùóþ èçìåíåíèÿ ôîðìû. Àíàëîãè÷íî ôóíêöèÿ u

=y(x + vt) îïðåäåëÿåò

296 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

îáðàòíóþ âîëíó íàïðÿæåíèÿ, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëü ëèíèè òàê

æå áåç èçìåíåíèÿ ôîðìû ñî ñêîðîñòüþ –v, èëè, ÷òî òî æå, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ

ñî ñêîðîñòüþ v â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè ñ÷åòà ðàññòîÿíèé, ò. å. áåãóùóþ

íàçàä.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè îòñóòñòâèè ïîòåðü â ëèíèè íàïðÿæåíèå, à òàêæå è òîê

â íåé ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàê ñóììû äâóõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ

âäîëü ëèíèè áåç èçìåíåíèÿ ôîðìû ñî ñêîðîñòüþ

vLC= 1

â ïðîòèâîïîëîæíûõ

íàïðàâëåíèÿõ. Ïðè ýòîì â ëþáîé òî÷êå ëèíèè îòíîøåíèå íàïðÿæåíèÿ è òîêà

äëÿ ïðÿìîé âîëíû ðàâíî

, ò. å. âîëíîâîìó ñîïðîòèâëåíèþ ëèíèè, çàâèñÿ

ùåìó òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ ëèíèè, à äëÿ îáðàòíîé âîëíû ýòî îòíîøåíèå ðàâíî

- LC

. Ïðè ðàññìîòðåíèè óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ óæå óêàçûâàëîñü, ÷òî

ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â íåèñêàæàþùåé îäíîðîäíîé ëèíèè

vLC= 1

äëÿ âîçäóøíûõ ëèíèé ðàâíà ñêîðîñòè ñâåòà â âîçäóõå.

Íàëè÷èå â âûðàæåíèÿõ äëÿ u è i ìíîæèòåëÿ e

–dt

èëè, ñîîòâåòñòâåííî, â äðóãèõ

èõ âûðàæåíèÿõ ìíîæèòåëåé e

–ax

è e

, ïðè÷åì

a= rg

, ïîêàçûâàåò, ÷òî îáå âîëíû

ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ èõ âäîëü ëèíèè çàòóõàþò ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó. Ïðè-

÷èíîé çàòóõàíèÿ âîëí ÿâëÿåòñÿ ïîñòåïåííîå ïðåâðàùåíèå íà÷àëüíîãî çàïàñà

ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, ñâÿçàííûõ ñ ëèíèåé, â òåïëîòó, âû-

äåëÿþùóþñÿ â ïðîâîäàõ, òàê êàê r ¹0, à òàêæå è â ñðåäå, îêðóæàþùåé ïðîâîäà,

òàê êàê g ¹ 0.

Â äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âîëíû ïðè äâèæåíèè èõ âäîëü ëèíèè

íå çàòóõàþò. Çàòóõàíèå âîëí âñëåäñòâèå ïîòåðü â ëèíèè ïðè íåîáõîäèìîñòè ìî-

æåò áûòü ó÷òåíî, ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ íåèñêàæàþùåé ëèíèè, òàê êàê íàìè óñòà-

íîâëåíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âîëíû çàòóõàþò ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ïîêàçà-

òåëåì

axrgx=

Ïðè íàëè÷èè òîëüêî îäíèõ ïðÿìûõ èëè òîëüêî îäíèõ îáðàòíûõ âîëí äëÿ

ýíåðãèè ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé íà ýëåìåíòå ëèíèè dx, ïðèíÿâ âî

âíèìàíèå, ÷òî u

= L/C, íàéäåì

dW i L dx u C dx dW

ìý

== =

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷å

ñêîãî ïîëåé íà ýëåìåíòå äëèíû ëèíèè, à ñëåäîâàòåëüíî, è íà âñåé ëèíèè ðàâíû

äðóã äðóãó, è äëÿ ñóììû ýòèõ ïîëåé íà ýëåìåíòå ëèíèè ïîëó÷èì

dW =+= = =dW dW i L dx u C dx ui LCdx

ìý

Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ìîùíîñòè íàéäåì

p = ui = i

= ,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè äàííîì çíà÷åíèè íàïðÿæåíèÿ ýòà ìîùíîñòü òåì áîëüøå,

÷åì ìåíüøå âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè.

Ãëàâà 18. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ 297

18.5. Î ïðîèñõîæäåíèè è õàðàêòåðå âîëí â ëèíèÿõ

Âîçíèêíîâåíèå âîëí â ëèíèÿõ îáû÷íî ñâÿçàíî èëè ñ àòìîñôåðíûìè ðàçðÿäàìè,

èëè ñ ïåðåêëþ÷åíèÿìè, ò. å. ñ âêëþ÷åíèåì è âûêëþ÷åíèåì èëè ñàìèõ ëèíèé, èëè

óñòðîéñòâ, ñâÿçàííûõ ñ íèìè.

Ïóñòü â ëèíèè íà íåêîòîðîì åå ïðîòÿæåíèè èíäóöèðîâàí çàðÿä âñëåäñòâèå

íàõîæäåíèÿ íàä ýòîé ÷àñòüþ ëèíèè çàðÿæåííîãî îáëàêà. Åñëè îáëàêî, èíäóêòè

ðîâàâøåå çàðÿä, ðàçðÿäèòñÿ, òî ýòîò çàðÿä îñâîáîäèòñÿ, è òîãäà íàïðÿæåíèå

âäîëü ëèíèè áóäåò ðàñïðåäåëåíî ïðîïîðöèîíàëüíî çàðÿäó, ïðèõîäÿùåìóñÿ íà

êàæäûé ýëåìåíò äëèíû ëèíèè. Â ðåçóëüòàòå îñâîáîæäåíèÿ èíäóöèðîâàííîãî

çàðÿäà âäîëü ëèíèè íà÷íóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âîëíû íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Ïóñòü

ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ âäîëü ëèíèè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàäàíî

ôóíêöèåé f

(x) (ðèñ. 18.1). Âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè, ÿâëÿþùååñÿ â íà

øåì ñëó÷àå âåùåñòâåííûì ÷èñëîì, ðàâíûì

, îáîçíà÷èì ÷åðåç z. Òîãäà, ïðè

íÿâ âî âíèìàíèå, ÷òî òîê â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâåí íóëþ, èìååì

uu u fx

ii i u u z

00 0

=+=

=+= - =

jy0

j0 y0 j y0

();

()

è, ñëåäîâàòåëüíî,

uu fx

jy000

== ().

Òàêèì îáðàçîì, â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè íàïðÿæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñî-

áîé ñóììó äâóõ ðàâíûõ âîëí, îäèíàêîâûõ ïî ôîðìå è èìåþùèõ îäèí è òîò æå

çíàê, à òîê — ñóììó äâóõ âîëí, îäèíàêîâûõ ïî ôîðìå, íî èìåþùèõ ïðîòèâîïî-

ëîæíûå çíàêè.

Ñ ìîìåíòà îñâîáîæäåíèÿ èíäóöèðîâàííîãî çàðÿäà ýòè âîëíû íàïðÿæåíèÿ,

à òàêæå è âîëíû òîêà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî ëèíèè â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâ

ëåíèÿõ, ïðè÷åì ñêîðîñòè âñåõ ýòèõ âîëí ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ ðàâíû ìåæäó

ñîáîé. Íà ðèñ. 18.1 ïðåäñòàâëåíî äâèæåíèå âîëí íàïðÿæåíèÿ è òîêà â ïåðâûå

298 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 18.1

ìîìåíòû âðåìåíè ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ èíäóöèðîâàííîãî çàðÿäà â ïðåäïîëîæå

íèè, ÷òî îíè íå çàòóõàþò.

Ïðè èçó÷åíèè ÿâëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ïåðåêëþ÷åíèÿìè, â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà

äëèíà ëèíèè ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âîëíû, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âíåø

íèå ÝÄÑ ïîñòîÿííû. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå äîïóñòèìî, òàê êàê ðàññìàòðèâàåìûå

ÿâëåíèÿ ïðîòåêàþò íàñòîëüêî áûñòðî, ÷òî ïðè ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ, èìåþùåé

÷àñòîòó ïîðÿäêà äåñÿòêîâ ãåðö, çíà÷åíèå ýòîé ÝÄÑ çà âðåìÿ ïðîáåãà âîëíû

âäîëü âñåé ëèíèè ìîæåò èçìåíèòüñÿ ëèøü î÷åíü íåçíà÷èòåëüíî. Êðîìå òîãî, áó

äåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîöåññû ïåðåêëþ÷åíèÿ îñóùåñòâëÿþòñÿ ìãíîâåííî. Â ñîîòâåò

ñòâèè ñ ýòèìè ïðåäïîëîæåíèÿìè â äàëüíåéøåì ïðèìåì, ÷òî âîëíû íàïðÿæåíèÿ

è òîêà, èäóùèå îò èñòî÷íèêà âíåøíåé ÝÄÑ, èìåþò ïðÿìîóãîëüíóþ ôîðìó.

18.6. Ïðåëîìëåíèå è îòðàæåíèå âîëí

â ìåñòå ñîïðÿæåíèÿ äâóõ îäíîðîäíûõ ëèíèé

Ïóñòü âîëíà j

, áåãóùàÿ îò èñòî÷íèêà ÝÄÑ ïî îäíîðîäíîé ëèíèè, èìåþùåé âîë

íîâîå ñîïðîòèâëåíèå z

, äîñòèãëà êîíöà ýòîé ëèíèè, â êîòîðîì ïîñëåäíÿÿ ñîåäè-

íåíà ñ äðóãîé îäíîðîäíîé ëèíèåé, èìåþùåé âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå z

. Îáî-

çíà÷èâ íàïðÿæåíèå è òîê â ïåðâîé ëèíèè ÷åðåç u

è i

, à âî âòîðîé — ÷åðåç u

è i

â ìåñòå ñîïðÿæåíèÿ îáåèõ ëèíèé èìååì u

= u

è i

= i

. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âî âòî-

ðîé ëèíèè äî ïðèõîäà âîëíû èç ïåðâîé ëèíèè íàïðÿæåíèÿ íå áûëî. Òîãäà íåïî-

ñðåäñòâåííî ïîñëå ïðèõîäà âîëíû ê ìåñòó ñîïðÿæåíèÿ ëèíèé âî âòîðîé ëèíèè

ìîæåò âîçíèêíóòü ëèøü âîëíà j

, áåãóùàÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è âîëíà j

è íàçûâàåìàÿ ïðåëîìëåííîé âîëíîé, â òî âðåìÿ êàê â ïåðâîé ëèíèè, êðîìå

âîëíû j

, íàçûâàåìîé ïàäàþùåé âîëíîé, ïðè z

¹ z

îáÿçàòåëüíî âîçíèêíåò

âîëíà y

, áåãóùàÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè è íàçûâàåìàÿ îòðàæåííîé âîë-

íîé, òàê êàê èíà÷å íå ìîãóò áûòü óäîâëåòâîðåíû óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íàïðÿæåíèé

èëè òîêîâ â ìåñòå ñîïðÿæåíèÿ ëèíèé. Ïîýòîìó, îòìå÷àÿ èíäåêñàìè j

, y

è j

ñîîòâåòñòâåííî, ïàäàþùèå, îòðàæåííûå è ïðåëîìëåííûå âîëíû, â ìåñòå ñîïðÿ

æåíèÿ ëèíèé èìååì

uu u u u

111 22

=+= =

jy j

;

îòêóäà

jjyj2

;;

jjyj2

Èç ýòèõ îòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ïðåëîìëåííûå è îòðàæåí

íûå âîëíû èìåþò òó æå ôîðìó, ÷òî è ïàäàþùèå âîëíû. Îòíîøåíèÿ u

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîýôôèöèåíòû ïðåëîìëåíèÿ,àîòíî

øåíèÿ u

= q

è i

= q

—êàê êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ.

Ãëàâà 18. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ 299

Èç âûðàæåíèé, ïîëó÷åííûõ äëÿ ïðåëîìëåííûõ è îòðàæåííûõ âîëí, ñëåäóåò,

÷òî ïðåëîìëåííûå âîëíû íàïðÿæåíèÿ è òîêà èìåþò òîò æå çíàê, ÷òî è ïàäàþ

ùèå, à èç îòðàæåííûõ âîëí îäíà ñîõðàíÿåò çíàê ïà

äàþùåé âîëíû, à äðóãàÿ èìååò îáðàòíûé çíàê.

Ïðè z

> z

, ÷òî, íàïðèìåð, èìååò ìåñòî ïðè ïå

ðåõîäå âîëíû èç êàáåëüíîé ëèíèè â âîçäóøíóþ,

ïðåëîìëåííàÿ âîëíà íàïðÿæåíèÿ áîëüøå ïàäàþùåé,

à ïðåëîìëåííàÿ âîëíà òîêà ìåíüøå ïàäàþùåé. ×òî

êàñàåòñÿ îòðàæåííûõ âîëí, òî âîëíà íàïðÿæåíèÿ îò

ðàæàåòñÿ áåç ïåðåìåíû çíàêà, à âîëíà òîêà — ñ ïåðå

ìåíîé çíàêà, ïðè÷åì ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ îáå

ýòè âîëíû ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàäàþùèõ âîëí.

Ïðè ýòîì âñëåäñòâèå íàëîæåíèÿ îòðàæåííûõ âîëí

íà ïàäàþùèå òîê â ïåðâîé ëèíèè óìåíüøàåòñÿ, à íà

ïðÿæåíèå âîçðàñòàåò, íî íå áîëåå ÷åì â äâà ðàçà. Íà

ðèñ. 18.2 ïîêàçàíû ïàäàþùèå, ïðåëîìëåííûå è îòðà-

æåííûå âîëíû ïðè z

< z

. Çàìåòèì, ÷òî äàæå ïðè î÷åíü áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ z

ïðåëîìëåííàÿ âîëíà íàïðÿæåíèÿ íå ìîæåò ïðåâûñèòü ïàäàþùóþ âîëíó áîëåå

÷åì â äâà ðàçà.

Ïðè z

> z

ïðåëîìëåííàÿ âîëíà íàïðÿæåíèÿ

ìåíüøå ïàäàþùåé, à ïðåëîìëåííàÿ âîëíà òîêà

áîëüøå ïàäàþùåé. Â ýòîì ñëó÷àå ïðè îòðàæåíèè

çíàê èçìåíÿåòñÿ äëÿ âîëíû íàïðÿæåíèÿ, à àáñîëþò-

íûå çíà÷åíèÿ îáåèõ îòðàæåííûõ âîëí îïÿòü áó-

äóò ìåíüøå çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàäàþùèõ

âîëí. Âñëåäñòâèå íàëîæåíèÿ îòðàæåííûõ âîëí íà

ïàäàþùèå íàïðÿæåíèå â ïåðâîé ëèíèè óìåíüøèò

ñÿ, à òîê âîçðàñòåò, íî íå áîëåå ÷åì â äâà ðàçà

(ðèñ. 18.3). Çàìåòèì, ÷òî äàæå ïðè î÷åíü ìàëûõ çíà

÷åíèÿõ z

ïðåëîìëåííàÿ âîëíà òîêà íå ìîæåò ïðå

âûñèòü ïàäàþùóþ âîëíó áîëåå ÷åì â äâà ðàçà.

Ðàññìàòðèâàÿ ìîùíîñòü p â ìåñòå ñîïðÿæåíèÿ ëèíèé, èìååì

pui ui==

11 2 2

èëè

()uu

=-=

è, ñëåäîâàòåëüíî,

ppp

jyj

112

=+ =+èëè ,

ãäå p

, p

— ìîùíîñòè ïàäàþùèõ, îòðàæåííûõ è ïðåëîìëåííûõ âîëí. Îòñþ

äà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòü ìîùíîñòè ïàäàþùèõ âîëí, ðàâíàÿ ìîùíîñòè ïðåëîìëåí

íûõ âîëí, ïåðåõîäèò âî âòîðóþ ëèíèþ, à îñòàëüíàÿ ÷àñòü, ðàâíàÿ ìîùíîñòè îò

ðàæåííûõ âîëí, âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî â ïåðâóþ ëèíèþ.

300 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 18.3

Ðèñ. 18.2

Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïåðåõîäå âîëíû íàïðÿæåíèÿ èç ëèíèè ñ ìåíü

øèì âîëíîâûì ñîïðîòèâëåíèåì â ëèíèþ ñ áîëüøèì âîëíîâûì ñîïðîòèâëåíèåì

íàïðÿæåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ è â ïðåäåëå ìîæåò óäâîèòüñÿ. Ïîýòîìó íàïðÿæåíèå

âîçðàñòàåò ïðè ïåðåõîäå âîëíû èç êàáåëüíîé ëèíèè â âîçäóøíóþ è èç ëèíèé

ïåðåäà÷è â îáìîòêè òðàíñôîðìàòîðîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öåïè, îáëà

äàþùèå çíà÷èòåëüíûì âîëíîâûì ñîïðîòèâëåíèåì, ïðåâîñõîäÿùèì âîëíîâîå ñî

ïðîòèâëåíèå âîçäóøíûõ ëèíèé.

Âîëíû, âîçíèêàþùèå â ëèíèÿõ, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ è

ìîãóò ïîýòîìó âûçûâàòü çíà÷èòåëüíûå ïåðåíàïðÿæåíèÿ ìåæäó ñîñåäíèìè òî÷

êàìè öåïè, â îäíó èç êîòîðûõ âîëíà íàïðÿæåíèÿ óæå ïðèøëà. Ýòè ïåðåíàïðÿæå

íèÿ òåì áîëüøå, ÷åì êðó÷å ôðîíò âîëíû, è íàèáîëåå çíà÷èòåëüíû ïðè îòâåñíîì

ôðîíòå âîëíû. Â ñâÿçè ñ ýòèì ïåðâûå âèòêè îáìîòîê òðàíñôîðìàòîðîâ â ñîîò

âåòñòâóþùèõ ñëó÷àÿõ âûïîëíÿþò ñî çíà÷èòåëüíî óñèëåííîé èçîëÿöèåé.

18.7. Îòðàæåíèå âîëí îò êîíöà ëèíèè

Ïóñòü áåãóùèå âîëíû íàïðÿæåíèÿ è òîêà äîñòèãëè êîíöà îäíîðîäíîé ëèíèè,

èìåþùåé âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå z è çàìêíóòîé íà ñêîëü óãîäíî ñëîæíóþ öåïü

ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè. Â ðåçóëüòàòå îòðàæåíèÿ ïàäàþùèõ âîëí j îò

êîíöà ëèíèè âîçíèêíóò îòðàæåííûå âîëíû y, è äëÿ íàïðÿæåíèÿ u è òîêà i â êîí-

öå ëèíèè, èëè, èíûìè ñëîâàìè, äëÿ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ îêîíå÷íîé öåïè

è òîêà â íåé, ïîëó÷èì

uu u ii i

zi u u=+ =+=

jy jy

;;,

îòêóäà

2uziu

=+.

Èç ýòîé ïðîñòîé çàâèñèìîñòè ñëåäóåò, ÷òî òîê i ìîæíî íàéòè êàê òîê, âîçíè

êàþùèé â ýêâèâàëåíòíîé ñõåìå, âêëþ÷àåìîé ïîä íàïðÿæåíèå 2u

è ñîñòîÿùåé

èç àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ðàâíîãî âîëíîâîìó ñîïðîòèâëåíèþ z ëèíèè, è ïî

ñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííîé ñ íèì îêîíå÷íîé öåïè.

Îïðåäåëèâ òîê i ïî çàäàííûì u

, z è ïàðàìåòðàì îêîíå÷íîé öåïè, ìîæåì íàé

òè îòðàæåííûå âîëíû íàïðÿæåíèÿ è òîêà èç ñîîòíîøåíèé

uuzii

yjy

=- =-;.

Ðàññìîòðèì, ïîëüçóÿñü ýòèì ñïîñîáîì, îòðàæåíèå âîëí îò ïðîñòåéøèõ îêî

íå÷íûõ öåïåé â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ÝÄÑ èñòî÷íèêà ïàäàþùèõ âîëí ïîñòîÿííà.

Ïóñòü îäíîðîäíàÿ ëèíèÿ ñ âîëíîâûì ñîïðîòèâëåíèåì z çàìêíóòà íà ñîïðî

òèâëåíèå r

. Òîãäà ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí

íûõ ñîïðîòèâëåíèé z è r

, è ïîëó÷èì

uuzi

=-=

=- =

yjj

;;

Ãëàâà 18. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ 301

Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èëè òàêèå æå ñîîòíîøå

íèÿ ìåæäó îòðàæåííûìè è ïàäàþùèìè âîëíàìè, êàê è â ñëó÷àå îòðàæåíèÿ âîëí

â ìåñòå ñîïðÿæåíèÿ äâóõ ëèíèé, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî âìåñòî âîëíîâîãî ñî

ïðîòèâëåíèÿ âòîðîé ëèíèè âîøëî ñîïðîòèâëåíèå r

, íà êîòîðîå çàìêíóòà ëèíèÿ.

Ïðè ýòîì äëÿ ìîùíîñòè p = ui â êîíöå ëèíèè èìååì

pui u u

pp== +

=-=-() ,

ò. å. ýòà ìîùíîñòü, ïîãëîùàåìàÿ ïðèåìíèêîì, ðàâíà ðàçíîñòè ìîùíîñòåé ïàäàþ

ùèõ è îòðàæåííûõ âîëí. Åñëè ñîïðîòèâëåíèå r

ðàâíî âîëíîâîìó ñîïðîòèâëå

íèþ ëèíèè z, òî îòðàæåííûå âîëíû íå âîçíèêàþò è âñÿ ìîùíîñòü ïàäàþùèõ

âîëí ïîãëîùàåòñÿ ïðèåìíèêîì.

Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé ìîæíî óñòàíîâèòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàäàþùè

ìè è îòðàæåííûìè âîëíàìè â ñëó÷àå îòðàæåíèÿ âîëí îò êîíöà ðàçîìêíóòîé èëè

êîðîòêîçàìêíóòîé ëèíèè. Ïðè ðàçîìêíóòîé ëèíèè, ïîëàãàÿ r

=¥, â êîíöå ëè

íèè èìååì

uui i

y jy j

==-;,

à ïðè êîðîòêîçàìêíóòîé ëèíèè, ïîëàãàÿ r

= 0, â êîíöå ëèíèè ïîëó÷èì

uuii

y jy j

=- =;,

ò. å. â ýòèõ ñëó÷àÿõ îòðàæåííûå âîëíû èìåþò òî æå çíà÷åíèå, ÷òî è ïàäàþùèå,

ïðè÷åì ïðè ðàçîìêíóòîé ëèíèè ñ ïåðåìåíîé çíàêà îòðàæàåòñÿ âîëíà òîêà, à ïðè

êîðîòêîçàìêíóòîé ëèíèè ñ ïåðåìåíîé

çíàêà îòðàæàåòñÿ âîëíà íàïðÿæåíèÿ

(ðèñ. 18.4). Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå

íàëîæåíèÿ îòðàæåííûõ âîëí íà ïàäàþ-

ùèå â ðàçîìêíóòîé ëèíèè íàïðÿæåíèå íà

åå êîíöå âîçðàñòàåò â äâà ðàçà, à â êîðîò

êîçàìêíóòîé ëèíèè òîê íà åå êîíöå âîç

ðàñòàåò òàêæå â äâà ðàçà, ÷òî ìîæíî ïîëó

÷èòü èç èññëåäîâàíèÿ îòðàæåíèÿ âîëí

â ìåñòå ñîïðÿæåíèÿ äâóõ ëèíèé, ïîëàãàÿ,

ñîîòâåòñòâåííî, èëè z

=¥, èëè z

= 0.

Ýòî ìîæíî ïîÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. È ïðè õîëîñòîì õîäå, è ïðè êîðîò

êîì çàìûêàíèè ïàäàþùèå âîëíû ñ ïðèñóùåé èì ýíåðãèåé ïîëíîñòüþ îòðàæàþò

ñÿ îò êîíöà ëèíèè, òàê êàê â êîíöå ëèíèè ýíåðãèÿ íå ïîòðåáëÿåòñÿ. Ïîýòîìó â

òîé ÷àñòè ëèíèè, äî êîòîðîé äîøëè îòðàæåííûå âîëíû, ýíåðãèÿ â äâà ðàçà áîëü

øå ýíåðãèè ïàäàþùèõ âîëí è, ñëåäîâàòåëüíî, â ÷åòûðå ðàçà áîëüøå ýíåðãèè ìàã

íèòíîãî ïîëÿ ïàäàþùåé âîëíû òîêà, à òàêæå â ÷åòûðå ðàçà áîëüøå ýíåðãèè ýëåê

òðè÷åñêîãî ïîëÿ ïàäàþùåé âîëíû íàïðÿæåíèÿ, òàê êàê ýòè ýíåðãèè ðàâíû äðóã

äðóãó.

Ïðè õîëîñòîì õîäå ëèíèè òîê íà åå êîíöå äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Ïîýòîìó,

êîãäà ïàäàþùàÿ âîëíà òîêà ïðèäåò ê êîíöó ëèíèè, òî âîçíèêàåò ðàâíàÿ åé ïî

çíà÷åíèþ è ïðîòèâîïîëîæíàÿ ïî çíàêó îòðàæåííàÿ âîëíà òîêà è òîê â êîíöå ëè

íèè óïàäåò äî íóëÿ, à ýíåðãèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé, ñâÿçàííûõ ñ ïàäàþùåé è îòðà

302 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 18.4