Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Íàêîíåö, ñëàãàåìîå âèäà

ppAA

iiii

+dd

ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ó÷àñò

êà öåïè, ñîñòîÿùåãî èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ C

ðåçèñòîðà ñ ñîïðîòèâëåíèåì r

(ðèñ. 15.3). Äåéñòâèòåëüíî, îïåðàòîðíîå ñîïðî

òèâëåíèå òàêîãî ó÷àñòêà èìååò âèä Z

(p) =

1pC r

, è, ñëåäîâàòåëüíî, âûáðàâ

= 1/A

è r

= A

, îñóùåñòâèì òðåáóåìóþ ðåàëèçàöèþ.

Òàêèì îáðàçîì, â êîíêðåòíîì ñëó÷àå, êîãäà âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå èçîáðà

æàåòñÿ ôóíêöèåé

Zp Ap A

() ,=++

¥ 0

ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, åå ðåàëèçóþùåé, áóäåò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà

ðèñ. 15.4.

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèÿ F(p) äîëæíà âûðàæàòü âõîäíóþ îïåðàòîð

íóþ ïðîâîäèìîñòü öåïè, ò. å. F(p) = Y(p). Ïðè ýòîì ïåðâîå ñëàãàåìîå, ðàâíîå

p = Y

(p), ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ C

= A

, òàê êàê

îïåðàòîðíàÿ ïðîâîäèìîñòü äëÿ íåãî ðàâíà C

Âòîðîå ñëàãàåìîå, ðàâíîå A

= Y

(p), ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ó÷àñòêà ñ àêòèâ-

íîé ïðîâîäèìîñòüþ g

= A

Ñëàãàåìîå

ppBpB

kkkk

22 2

+ww()

ðåàëèçóåòñÿ ó÷àñòêîì öåïè,

ñîñòîÿùèì èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ êàòóøêè ñ èíäóêòèâíî-

ñòüþ L

= 1/B

è êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ C

= B

(ðèñ. 15.5), òàê êàê

îïåðàòîðíàÿ ïðîâîäèìîñòü òàêîãî ó÷àñòêà èìååò âèä

pL pC

()

Ñëàãàåìîå âèäà

ppAA

iiii

+dd

ðåàëèçóåòñÿ ó÷àñòêîì öåïè,

ñîñòîÿùèì èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ êàòóøêè ñ èíäóêòèâíî

ñòüþ L

= 1/A

è ðåçèñòîðà ñ ñîïðîòèâëåíèåì r

(ðèñ. 15.6), òàê

êàê îïåðàòîðíàÿ ïðîâîäèìîñòü òàêîãî ó÷àñòêà èìååò âèä

pL r

() .=

Òàêèì îáðàçîì, â êîíêðåòíîì ñëó÷àå, êîãäà âõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü èçîáðàæà

åòñÿ ôóíêöèåé

Yp Ap A

() ,=++

¥ 0

ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, åå ðåàëèçóþùåé, äîëæíà áûòü òàêîé, êàê ýòî ïîêàçà

íî íà ðèñ. 15.7.

Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 233

Ðèñ. 15.5

Ðèñ. 15.6

Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ ïðè îòðèöàòåëüíîì êîýôôèöèåí

òå A

âîçìîæíà ðåàëèçàöèÿ ñ ïîìîùüþ ïðèâåäåííîãî ðàíåå ðàçëîæåíèÿ F(p),

åñëè îíî ñîäåðæèò äîñòàòî÷íî áîëüøîé ÷ëåí A

. Ðàññìîòðèì ñóììó

+dd

Åñëè A

+ A

> 0, òî âòîðàÿ äðîáü ðåàëèçóåòñÿ ëèáî â âèäå ñõåìû íà ðèñ. 15.3,

ëèáî â âèäå ñõåìû íà ðèñ. 15.6. Ïåðâàÿ æå äðîáü

pAAp

+dd()

ðåàëèçó

åòñÿ â ñëó÷àå F(p) = Z(p) â âèäå ó÷àñòêà öåïè, ñîñòîÿùåãî èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåí-

íûõ ðåçèñòîðà ñ ïðîâîäèìîñòüþ

=gA

è êàòóøêè ñ èíäóêòèâíîñòüþ L

= A

(ðèñ. 15.8), òàê êàê ïðè ýòîì

gpL

()

. Â ñëó÷àå F(p) = Y(p) ýòà äðîáü ðåà-

ëèçóåòñÿ â âèäå ó÷àñòêà öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ðåçèñòîðîì ñ ñîïðî-

òèâëåíèåì

=rA

è êîíäåíñàòîðîì ñ åìêîñòüþ C

= A

(ðèñ. 15.9).

Ðàññìîòðèì ïðèìåð ðåàëèçàöèè çàäàííîé ôóíêöèè F(p) = Z(p). Ïðèíÿòî, ÷òî-

áû íå èìåòü äåëà ñ öèôðàìè ñëèøêîì áîëüøîãî èëè ñëèøêîì ìàëîãî ïîðÿäêà,

îïåðèðîâàòü ñ îòíîñèòåëüíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè r*, w*L* è 1/(w*C*) è îòíîñè-

òåëüíîé ÷àñòîòîé w*, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè äåéñòâèòåëüíûõ ñîïðî

òèâëåíèé è ÷àñòîòû ê áàçèñíîìó ñîïðîòèâëåíèþ

è áàçèñíîé ÷àñòîòå w

.Ïî

ñëåäíèå âûáèðàþò òàê, ÷òîáû îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû â èõ ðàáî÷åì äèàïàçîíå

èçìåíåíèÿ áûëè áëèçêè ê åäèíèöå. Áóäåì îïóñêàòü çâåçäî÷êó (*), ïîíèìàÿ âî

âñåõ ïîñëåäóþùèõ ïðèìåðàõ ÷èñëîâûå âåëè÷èíû êàê îòíîñèòåëüíûå.

Ðàññìîòðèì ðåàëèçàöèþ ôóíêöèè

Fp Zp

ppp

() ()

()( )

Çäåñü

13==;.

Çíàìåíàòåëü ôóíêöèè F(p) èìååò òîëüêî ìíèìûå êîðíè p

1,2

=±j1è

=±

à ïîýòîìó îòñóòñòâóþò ïðîñòûå äðîáè âèäà A

/(p + d

). Êðîìå òîãî, â äàííîì

ïðèìåðå A

= 0, â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïðèíÿâ p = 0. Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû

è B

. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ A

ðàçäåëèì Z(p)íàp è ïðèìåì p =¥. Ïîëó÷èì

=¥

()

. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà B

óìíîæèì Z(p)íà

è ïîëîæèì p

= –

. Ïîëó÷èì

234 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 15.7

Ðèñ. 15.8

Ðèñ. 15.9

Zp p

16 8

()( )w

Àíàëîãè÷íî íàéäåì

Zp p

()( )

Ïàðàìåòðû ñõåìû (ðèñ. 15.10), ðåàëèçóþùåé äàí

íóþ ôóíêöèþ, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíû

===1

;;

2== == = =;;.

Èñòèííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ öåïè îïðåäåëÿþòñÿ ïî èçâåñòíûì

è w

íà

îñíîâàíèè ôîðìóë:

== = =*; ** ;

èñò

èñò èñò

ww wCC CR==** .

èñò èñò á

Ðàññìîòðèì òåïåðü ðåàëèçàöèþ ôóíêöèè Y(p) = 1/Z(p), ãäå Z(p) —òàæåñà-

ìàÿ ôóíêöèÿ îò p, ÷òî è â òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå, ò. å.

ppp

pp p

()

()()

Â äàííîì ñëó÷àå A

= 0èA

= 0, òàê êàê äðîáü ïðàâèëüíàÿ è öåëàÿ ÷àñòü íå âû-

äåëÿåòñÿ. Îïðåäåëÿÿ êîýôôèöèåíòû B

è B

, ïîëó÷èì

BYpp B

Yp p

===

() ;

()( )

; B

Yp p

()( )

Ïàðàìåòðû ñõåìû (ðèñ. 15.11), ðåàëèçóþùåé äàííóþ ôóíêöèþ, ðàâíû

== == ==;; ;

== ==;.

Îáå ñõåìû íà ðèñ. 15.10 è 15.11 ñîîòâåòñòâóþò îäíîé è òîé

æå ôóíêöèè Z(p). Òî÷íî òàê æå îíè ñîîòâåòñòâóþò îäíîé è òîé

æå îáðàòíîé ôóíêöèè Y(p). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îáå ýòè ñõåìû

èìåþò ñîâåðøåííî îäèíàêîâûå ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè

Z(jw). Ñòðóêòóðà æå ýòèõ ñõåì è ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåò

ðîâ ðàçëè÷íû. Ýòî èëëþñòðèðóåò âûñêàçàííîå ðàíåå ïîëîæå

íèå î ìíîãîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèíòåçà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïî çàäàííîé

ôóíêöèè F(p).

Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 235

Ðèñ. 15.10

Ðèñ. 15.11

15.5. Ðåàëèçàöèÿ âõîäíûõ ôóíêöèé äâóõïîëþñíèêà, èìåþùèõ

òîëüêî ìíèìûå êîðíè çíàìåíàòåëÿ, ïðè ïîìîùè ïðåäñòàâëåíèÿ

ýòèõ ôóíêöèé â âèäå öåïíûõ äðîáåé

Íàëè÷èå òîëüêî ìíèìûõ êîðíåé ó âõîäíûõ ôóíêöèé Z(p)èY(p) îçíà÷àåò, ÷òî

öåïü, èìåþùàÿ òàêèå âõîäíûå ñîïðîòèâëåíèå è ïðîâîäèìîñòü, íå îáëàäàåò çàòó

õàíèåì, ò. å. ñîñòîèò òîëüêî èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Ïîýòîìó â ðàçëîæåíèè

âõîäíûõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè äîëæíû îòñóòñòâîâàòü ÷ëåí A

, à òàêæå ÷ëå

íû âèäà A

/(p + d

), òàê êàê ïðè èõ ðåàëèçàöèè, êàê áûëî âèäíî â ïðåäûäóùåì ïà

ðàãðàôå, äîëæíû áûòü èñïîëüçîâàíû àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì,

ôóíêöèÿ F(p), èìåþùàÿ òîëüêî ìíèìûå êîðíè è ðåàëèçóåìàÿ ïðè ïîìîùè òîëü

êî ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, äîëæíà èìåòü âèä

()

==+

+= +

¥¥

ww w

13=

(*)

Âåëè÷èíà â ñêîáêàõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò p

. Ñîîòâåòñòâåííî, ïîñëå ïðèâå

äåíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ïîëó÷èì â çíàìåíàòåëå ïîëíûé ïîëèíîì Q(p)

îò ÷åòíûõ ñòåïåíåé p, åñëè âñå w

íå ðàâíû íóëþ, ò. å. ïîëèíîì, ñîäåðæàùèé âñå,

áåç ïðîïóñêîâ, ÷åòíûå ïîêàçàòåëè îò íóëÿ äî m. Ïðè ýòîì ÷èñëèòåëü áóäåò ïîë-

íûì ïîëèíîìîì G(p) íå÷åòíûõ ñòåïåíåé p. Ñòåïåíü G(p) íà åäèíèöó âûøå ñòå-

ïåíè Q(p). Ñëåäîâàòåëüíî, F(p) áóäåò èìåòü âèä

ap a p ap

bp b p

()

+++

++K b

ãäå m—÷åòíîå.

Â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå p = 0 ÿâëÿåòñÿ íóëåì ôóíêöèè F(p). Åñëè îäèí èç êîð-

íåé w

ïîëèíîìà Q(p) ðàâåí íóëþ, òî b

= 0, è, ñîêðàùàÿ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

íà p, ïîëó÷èì â ÷èñëèòåëå ïîëèíîì ÷åòíûõ ñòåïåíåé, à â çíàìåíàòåëå — ïîëèíîì

íå÷åòíûõ ñòåïåíåé îò p. Ïðè ýòîì çíà÷åíèå p = 0 ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì F(p).

Äëÿ âîçìîæíîñòè ðåàëèçàöèè ôóíêöèè F(p) â âèäå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñî

ñòîÿùåé èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà îñíîâ

íûì ñâîéñòâàì âõîäíûõ ôóíêöèè òàêîé öåïè, èçëîæåííûì â § 6.6, à èìåííî: ñòå

ïåíè ïîëèíîìîâ G(p)èQ(p) äîëæíû îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà íà åäèíèöó; íóëè

è ïîëþñû ôóíêöèè F(p) äîëæíû ÷åðåäîâàòüñÿ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì ñâîéñò

âîì â íàïèñàííîì âûøå âûðàæåíèè ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ ïðåâûøàåò ñòåïåíü çíà

ìåíàòåëÿ íà åäèíèöó. Ìîæåò áûòü òàêæå ñëó÷àé a

m+1

= 0, êîãäà ñòåïåíü çíàìåíà

òåëÿ ïðåâûøàåò ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ íà åäèíèöó. Âòîðîå ñâîéñòâî — ÷åðåäîâàíèå

íóëåé è ïîëþñîâ F(p) — îçíà÷àåò, ÷òî ÷åðåäóþòñÿ êîðíè ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòå

ëÿ âäîëü ìíèìîé îñè. Ñîîòâåòñòâåííî, åñëè, ðàçëàãàÿ íà ìíîæèòåëè è ÷èñëè

òåëü, è çíàìåíàòåëü, çàïèøåì F(p) â âèäå

app p p

()

()()( )

(

++ +

222

ww wK

ww w

)( ) ( )

òî óñëîâèå ÷åðåäîâàíèÿ íóëåé è ïîëþñîâ ìîæíî çàïèñàòü òàê:

123

<<< <<www wK

236 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Â § 6.6 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñâîéñòâî ÷åðåäîâàíèÿ ïîëþñîâ è íóëåé âûòåêàåò

èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîé öåïè, ñîäåðæàùåé òîëüêî ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû, âõîäíîå

ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåãäà ðàñòåò ñ ÷àñòîòîé, ò. å. dx

âõ

/dw > 0. Óñëîâèå

âõ

/dw > 0 íå áûëî äîêàçàíî â § 6.6. Äîêàæåì åãî çäåñü. Âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå

ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîïðîòèâëåíèè âñåõ âåòâåé öåïè:

xFxx x x x L

il ii

âõ

ãäå==-(,,,,,), .

KK w

Èìååì

âõ âõ

¶w

, ïðè÷åì

=+ >

Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî òàêæå dx

âõ

/dx

> 0. Ñ ýòîé öåëüþ áóäåì ðàññìàòðèâàòü

âåòâü x

êàê ïðèåìíèê íà âûõîäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Ýòèì ÷åòûðåõïîëþñíèêîì

ÿâèòñÿ âñÿ îñòàëüíàÿ öåïü. Ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå íà âõîäå ýòîãî ÷åòûðåõ

ïîëþñíèêà è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé x

âõ

. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèÿ ýòîãî ÷åòûðåõïî

ëþñíèêà:

&&&

UAUBI

122

&&&

ICUDI

122

âåëè÷èíû Z

âõ

= jx

âõ

è Z

ïð

= jx

, ïîëó÷èì jx

âõ

Ajx B

Cjx D

. Âçÿâ ïðîèçâîäíóþ, íàõîäèì

Aj Cjx D Cj Ajx B

Cjx D

AD BC

Cjx

âõ

+- +

()()

() (

D Cjx D+

+)( )

Â öåïè, ñîñòîÿùåé èç îäíèõ ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ âåò-

âÿõ íàõîäÿòñÿ äðóã ñ äðóãîì â ôàçå èëè â ïðîòèâîôàçå, à âñå òîêè â âåòâÿõ ñäâè-

íóòû ïî îòíîøåíèþ ê ýòèì íàïðÿæåíèÿì íà óãîë ±p/2, ò. å. óãîë ñäâèãà ôàç ìåæ-

äó äâóìÿ ëþáûìè òîêàìè ðàâåí íóëþ èëè p. Ýòè ïîëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâû ïðè

ëþáîì çíà÷åíèè x

. Â ÷àñòíîñòè, ïðè x

= 0 èìååì

= 0è

= D

, ñëåäîâàòåëüíî,

D — âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Ïðè x

=¥èìååì

= 0è

= C

, ñëåäîâàòåëüíî, C —

ìíèìîå ÷èñëî. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî (Cjx

+ D)

>0è

Cjx D

âõ

()

Òàêèì îáðàçîì, dx

âõ

/dw > 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, ïðåæäå ÷åì âûïîëíÿòü ðåàëèçàöèþ ôóíêöèè F(p) â âèäå

öåïè èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, ÷òî îíà óäîâëåòâîðÿåò

äâóì âûøåóêàçàííûì îñíîâíûì ñâîéñòâàì.

Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ìåòîäû ðåàëèçàöèè.

Îäèí èç íèõ, ðàçðàáîòàííûé Ôîñòåðîì, çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñòàâëåíèè ôóíê

öèè F(p) â âèäå ôîðìóëû (*). Öåïè, ðåàëèçóþùèå êàæäîå ñëàãàåìîå â âûðàæå

íèè (*), áûëè ðàññìîòðåíû â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå. Íåóäîáñòâî ýòîãî ìåòîäà

ñîñòîèò â íåîáõîäèìîñòè îòûñêàíèÿ êîðíåé çíàìåíàòåëÿ, ÷òî ïðè âûñîêîé ñòå

ïåíè ïîëèíîìà Q(p) ÿâëÿåòñÿ òðóäíîé çàäà÷åé.

Åñòü ìåòîä, ïðåäëîæåííûé Êàóåðîì, ïðè èñïîëüçîâàíèè êîòîðîãî îòñóòñòâó

åò íåîáõîäèìîñòü â îòûñêàíèè êîðíåé. Ñóòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â ïîî÷åðåäíîì âû

äåëåíèè ÷àñòåé âèäà Ap èëè B/p ñíà÷àëà èç ôóíêöèè F(p), à çàòåì èç îñòàòêîâ

Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 237

ïîñëå âûäåëåíèÿ ïðåäûäóùåé ÷àñòè, ñ ïîñëåäîâàòåëüíîé ðåàëèçàöèåé âûäåëÿå

ìûõ ÷àñòåé â âèäå èíäóêòèâíîé êàòóøêè èëè êîíäåíñàòîðà. Ïóñòü ôóíêöèÿ F(p)

èìååò ïîëþñ p =¥. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ áîëüøå ñòåïå

íè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ íà åäèíèöó. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèì F(p) = Z(p).

Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, âûäåëÿåì öåëóþ ÷àñòü A

p, ñîîòâåòñòâóþ

ùóþ ýòîìó ïîëþñó Z(p). Ïîëó÷àåì

Zp A p Z p() () (),=+

ãäå Z

(p) — îñòàòîê îò äåëåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ïðàâèëüíóþ ðàöèî

íàëüíóþ äðîáü, ñòåïåíü ïîëèíîìà â çíàìåíàòåëå êîòîðîé íà åäèíèöó áîëüøå

ñòåïåíè ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ïîêàçàòåëè

÷ëåíîâ ïîëèíîìîâ G(p)èQ(p) óáûâàþò îò ïðåäûäóùåãî ê ïîñëåäóþùåìó íà

äâå åäèíèöû. Ñëåäîâàòåëüíî, îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ Y

(p) = 1/Z

(p) èìååò ñòåïåíü

÷èñëèòåëÿ, íà åäèíèöó áîëüøóþ ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ; ïðîèçâîäÿ ñ íåé àíàëî

ãè÷íóþ îïåðàöèþ âûäåëåíèÿ öåëîé ÷àñòè A

p, ñîîòâåòñòâóþùåé åå ïîëþñó

p =¥, ïîëó÷èì

Ap Yp

()

() ().==+

Ïðîäîëæàÿ äåéñòâîâàòü òàêèì æå îáðàçîì, íàéäåì

Ap Zp

()

() ().==+

Ýòó ïðîöåäóðó ïðîäîëæàåì äî òåõ ïîð, ïîêà îñòàòîê íå áóäåò ðàâåí íóëþ. Ñî-

îòâåòñòâåííî òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïåðàöèé ôóíêöèþ Z(p) ìîæíî ïðåä-

ñòàâèòü â âèäå öåïíîé äðîáè:

Zp Ap

()

...............................

.................................

.Ap

Èç èçëîæåííîãî âèäíî, ÷òî ôóíêöèþ F(p) = Z(p) ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñ ïîìî

ùüþ ñõåìû (ðèñ. 15.12), â êîòîðîé ïåðâûì ýëåìåíòîì, âêëþ÷åííûì ïîñëåäîâà

òåëüíî îñòàëüíîé ÷àñòè ñõåìû, ÿâëÿåòñÿ êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L

= A

; âòî

ðûì ýëåìåíòîì, âêëþ÷åííûì ïàðàëëåëüíî îñòàëüíîé çà íèì ÷àñòè ñõåìû, —

238 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 15.12

êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ C

= A

; ñëåäóþùèì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñÿ âíîâü ïîñëåäî

âàòåëüíî âêëþ÷åííàÿ êàòóøêà L

= A

, äàëåå — ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííàÿ åìêîñòü

= A

, è ò. ä. Åñëè k—÷åòíîå, òî ñõåìà çàâåðøèòñÿ êîíäåíñàòîðîì ñ åìêîñòüþ

= A

. Åñëè k — íå÷åòíîå, òî ïîñëåäíèì ýëåìåíòîì áóäåò êàòóøêà ñ èíäóêòèâ

íîñòüþ L

= A

. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå k = n,ò.å.k ðàâíî ñòåïåíè

÷èñëèòåëÿ.

Äëÿ ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿ, êîãäà ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ G(p) áîëüøå

ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ Q(p), ïðè äåëåíèè ñëàãàåìûå ïîëèíîìîâ ñëåäóåò ðàñïîëà

ãàòü ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì è âûäåëÿåìûå öåëûå ÷àñòè Ap ïîëó÷àþòñÿ êàê ðå

çóëüòàò äåëåíèÿ ïåðâîãî ÷ëåíà ÷èñëèòåëÿ íà ïåðâûé ÷ëåí çíàìåíàòåëÿ. Ïðè ýòèõ

æå óñëîâèÿõ, åñëè áû ìû ïðèíÿëè F(p) = Y(p), ïîëó÷èëè áû ïåðâûé ÷ëåí Ap

êàê îïåðàòîðíóþ åìêîñòíóþ ïðîâîäèìîñòü C

p, ò. å. ñõåìà íà÷èíàëàñü áû ñ ïðè

êëþ÷åííîãî ïàðàëëåëüíî êî âñåé îñòàëüíîé öåïè êîíäåíñàòîðà C

(ðèñ. 15.13).

Ïðè ýòîì â ñëó÷àå k = n — ÷åòíîãî ñõåìà çàêàí÷èâàåòñÿ êàòóøêîé (ðèñ. 15.13, à)

è ïðè k—íå÷åòíîì — êîíäåíñàòîðîì (ðèñ. 15.13, á)

Åñëè ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ n ìåíüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ íà åäèíèöó, òî ìîæíî

âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì æå ìåòîäîì, ôîðìàëüíî äîáàâèâ â ïîëèíîìå ÷èñëèòåëÿ ÷ëåí

n+2

ñ a

n+2

= 0. Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì â ïåðâîé âûäåëåííîé ÷àñòè A

p êîýô-

ôèöèåíò A

= 0, ò. å. â ñõåìàõ íà ðèñ. 15.12 áóäåì èìåòü L

= 0, à íà ðèñ. 15.13 — ñî-

îòâåòñòâåííî, C

= 0. ×èñëî ðåàëüíûõ, îòëè÷íûõ îò íóëÿ ýëåìåíòîâ â ñõåìå áóäåò

ðàâíÿòüñÿ n +2–1= m, ò. å. ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ðåàëü

íûõ ýëåìåíòîâ ðàâíî íàèâûñøåé ñòåïåíè ïîëèíîìîâ â ðàöèîíàëüíîé äðîáè.

Ìîæíî áûëî áû è íå ïðèáåãàòü ê èñêóññòâåííîìó ïðèåìó äîáàâëåíèÿ â ÷èñ

ëèòåëå F(p) ñëàãàåìîãî a

n+2

, èìåþùåãî a

n+2

= 0, à íà÷àòü îïåðàöèè ïî îòíîøå

íèþ ê îáðàòíîé âåëè÷èíå F(p).

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ F(p) èìååò ïîëþñ p = 0. Ýòî îçíà

÷àåò, ïîëèíîì çíàìåíàòåëÿ íå÷åòíîé ñòåïåíè, ò. å. m—íå÷åòíîå. Â ýòîì ñëó÷àå

ìîæíî îñóùåñòâèòü ðåàëèçàöèþ òåì æå ñïîñîáîì ïîñòðîåíèÿ öåïíîé äðîáè, íî

â äðóãîì ïîðÿäêå, à èìåííî âûäåëÿÿ ÷àñòè ñîîòâåòñòâåííî ïîëþñàì ïðè p = 0.

Ïîëó÷àåìàÿ ïðè ýòîì öåïíàÿ äðîáü èìååò âèä

Fp D p

()

...............................

.................................

.Dp

Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 239

Ðèñ. 15.13

×ëåí D

/p ïîëó÷àåòñÿ äåëåíèåì ïåðâîãî ÷ëåíà ïîëèíîìà â ÷èñëèòåëå íà ïåð

âûé ÷ëåí ïîëèíîìà â çíàìåíàòåëå, åñëè ñëàãàåìûå ýòèõ ïîëèíîìîâ ðàñïîëîæèòü

ïî âîçðàñòàþùèì ñòåïåíÿì. Åñëè ñòåïåíü m çíàìåíàòåëÿ ôóíêöèè F(p) — ÷åò

íàÿ, à ñòåïåíü n ÷èñëèòåëÿ — íå÷åòíàÿ, òî òàêîé æå ïîðÿäîê îáðàçîâàíèÿ öåïíîé

äðîáè ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ôóíêöèè 1/F(p).

Ïðîèëëþñòðèðóåì èçëîæåííîå âûøå íà òîì æå ïðèìåðå, êîòîðûé áûë ðàñ

ñìîòðåí â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà.

Ïóñòü

Fp Zp

ppp

() () .==

Âûäåëèì ÷àñòü Z(p), ñîîòâåòñòâóþùóþ åå ïîëþñó p =¥, ò. å. ïðåäñòàâèì Z(p)

â âèäå F(p) = A

p + Z

(p). Çäåñü

== =

,() .à

Îáðàòíàÿ îñòàòêó Z

(p) ôóíêöèÿ

()

èìååò ïîëþñ p =¥. Âûäåëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó ÷àñòü, ïîëó÷èì

(p) =

p + Y

(p), ãäå Y

(p) =

Òåïåðü óæå ôóíêöèÿ

()

èìååò ïîëþñ p =¥.

Âûäåëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó ÷àñòü, íàõîäèì

Zp pZp Zp

23 3

() (), () .=+ =

ãäå

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì

()

.==

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû ñõåìû:

LC L C L

12345

=====;;;;.

240 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðîöåäóðó âûäåëåíèÿ îòäåëüíûõ ÷àñòåé ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþ

ùèì îáðàçîì:

ppp

®=

pL®=

Ñõåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàííîìó ïîðÿäêó ðåàëèçàöèè, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 15.14.

Ýòîò ïîðÿäîê ñîîòâåòñòâóåò öåïíîé äðîáè ñ ÷ëåíàìè âèäà Ap.

Ðàññìîòðèì äðóãîé ïîðÿäîê ðåàëèçàöèè, êîãäà öåï-

íàÿ äðîáü èìååò ÷ëåíû âèäà D/p. Ôóíêöèÿ Z(p) íå èìååò

ïîëþñà p = 0, ïîýòîìó ðàññìîòðèì îáðàòíóþ åé ôóíêöèþ

ppp

()

.==

Îïåðàöèþ âûäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëþñó p = 0 îòäåëüíûõ ÷àñòåé ïðèâå

äåíà íà ñëåäóþùåé ñòðàíèöå.

Ñõåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàííîìó ïîðÿäêó ðåàëèçà

öèè, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 15.15.

Âñå ÷åòûðå ñõåìû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 15.10, 15.11,

15.14 è 15.15, ðåàëèçóþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ Z(p), è èõ

÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè îäèíàêîâû. Îäíàêî èõ ñòðóê

òóðà è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàçëè÷íû, ÷òî ñâÿçàíî ñ îò

ìå÷åííîé âûøå ìíîãîçíà÷íîñòüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèí

òåçà.

Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âî âñåõ ýòèõ ñõåìàõ ÷èñëî ýëåìåíòîâ îäèíàêîâî è ÿâ

ëÿåòñÿ ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìûì. Âûáîð òîé èëè èíîé ñõåìû îïðåäåëÿåòñÿ

óäîáñòâîì ôèçè÷åñêîãî îñóùåñòâëåíèÿ ýëåìåíòîâ öåïè — êàòóøåê è êîíäåíñà

òîðîâ ñ òåìè èëè èíûìè ïàðàìåòðàìè. Â îäíèõ ñõåìàõ ïîëó÷àþòñÿ êàòóøêè

Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 241

Ðèñ. 15.14

Ðèñ. 15.15

ñ áîëüøåé èíäóêòèâíîñòüþ, ÷åì â äðóãèõ. Â íåêîòîðûõ ñõåìàõ êîíäåíñàòîðû

îêàçûâàþòñÿ ñ áîëüøåé åìêîñòüþ, ÷åì â äðóãèõ.

ppp

®=

ppp

®=

22 44

968

®=

15.6. Ñèíòåç âõîäíîé ôóíêöèè äâóõïîëþñíèêà â îáùåì ñëó÷àå.

Ïðîâåðêà îòñóòñòâèÿ íóëåé è ïîëþñîâ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè

Â § 15.2 áûëî îòìå÷åíî, ÷òî ôóíêöèè, ðåàëèçóåìûå â âèäå ïàññèâíîé ëèíåéíîé

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, äîëæíû áûòü âåùåñòâåííûìè è ïîëîæèòåëüíûìè. Â îáùåì

ñëó÷àå ïåðåä òåì, êàê ïðèñòóïèòü ê ðåàëèçàöèè, ñëåäóåò ïðîâåðèòü, óäîâëåòâîðÿ

åò ëè ýòèì óñëîâèÿì äàííàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ âåùåñòâåííà, åñëè âñå êîýôôè

öèåíòû ïîëèíîìîâ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ âåùåñòâåííû. Íåîáõîäèìà ïðîâåð

êà ïîëîæèòåëüíîñòè ôóíêöèè. Â íàñòîÿùåì è â äâóõ ñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ

ïðèâåäåíû áåç äîêàçàòåëüñòâ íåêîòîðûå ìåòîäû òàêîé ïðîâåðêè è äàí îäèí èç

ñïîñîáîâ ðåàëèçàöèè ôóíêöèè ñ êîìïëåêñíûìè êîðíÿìè. Ðàññìîòðèì ýòî íà

ïðèìåðå êîíêðåòíîé ôóíêöèè

pp p p pp

pppp

()=

++ + + ++

+++

10820111232

8122213

65 4 3 2

654

10 3 1+++pp

Ýòà ôóíêöèÿ âåùåñòâåííà, òàê êàê âñå êîýôôèöèåíòû âåùåñòâåííû. ×òîáû îíà

áûëà âåùåñòâåííîé ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé, ïðåæäå âñåãî êîðíè ÷èñëèòåëÿ è

çíàìåíàòåëÿ äîëæíû ëåæàòü â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè. Îñóùåñòâèì â íàñòîÿùåì ïà

ðàãðàôå ïðîâåðêó îòñóòñòâèÿ êîðíåé â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè ïî ìåòîäó Ãóðâèöà.

Ïîëèíîì Ãóðâèöà åñòü ïîëèíîì, âñå íóëè êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêî

242 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé