Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
ñòè èëè íà îñè jw. Åñëè ïîëèíîì ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì Ãóðâèöà, òî îòíîøåíèå ÷åò
-
íîé åãî ÷àñòè ê íå÷åòíîé (èëè íàîáîðîò) ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé ïîëîæèòåëüíîé
ôóíêöèåé, ò. å. âõîäíîé ôóíêöèåé íåêîòîðîé ÷èñòî ðåàêòèâíîé öåïè.
×åòíóþ ÷àñòü ÷èñëèòåëÿ Z(p), ò. å. ÷àñòü ïîëèíîìà ñ ÷åòíûìè ïîêàçàòåëÿìè,
îáîçíà÷èì N
1
(p), íå÷åòíóþ ÷àñòü ÷èñëèòåëÿ Z(p), ò. å. ÷àñòü ïîëèíîìà ñ íå÷åò
-
íûìè ïîêàçàòåëÿìè, îáîçíà÷èì M
1
(p). Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ çíàìåíàòåëÿ îáîçíà
-
÷èì ÷åðåç N
2
(p) ÷åòíóþ è ÷åðåç M
2
(p) íå÷åòíóþ ÷àñòè. Òîãäà èìååì
Npppp Mpppp
1
642
1
53
10 20 12 2 8 11 3() ; () ;=+++ =++
Npppp Mpppp
2
642
2
53
822101 12133() ; () .=+++ =++
Ïðîâåðèì, ÿâëÿþòñÿ ëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü Z(p) ïîëèíîìàìè Ãóðâèöà:
Np
Mp
ppp
ppp
Sp
1
1
642
53
1
10 20 12 2
8113
()
()
();=
+++
++
=
Np
Mp
ppp
ppp
Sp
2
2
642
53
2
822101
12 13 3
()
()
().=
+++
++
=
Çíàìåíàòåëè îáåèõ ôóíêöèé ëåãêî ðàçäåëèòü íà ìíîæèòåëè:
Mp pp p pp p
1
42 2 2
81138 1
3
8
() ( ) ( ) ;=++=++
æ
è
ç
ö
ø
÷
Mp p p p pp p
2
42 2 2
12 13 3 12
1
3
3
4
() ( ) .=++= +
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
Îáå ôóíêöèè, S
1
(p)èS
2
(p), ðàçëàãàþòñÿ íà ïðîñòûå äðîáè:
Sp Ap
A
p
Ap
p
Ap
p
A
Sp
p
A
p
1
01
2
2
2
1
0
1
3
8
10
8
() ;
()
;
=++
+
+
+
==
¥
¥
=¥
=×=
=
+
=
=
+
=
=-
Sp p
ASp
p
p
ASp
p
p
p
p
1
0
11
2
1
21
2
2
3
1
0
3
8
2
() ;
() ;
()
p
2
3
8
11
96
=-
= .
Ðàâåíñòâî A
1
= 0 îçíà÷àåò, ÷òî êîðåíü p
2
+1
ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíà
-
òåëÿ. Òàêèì îáðàçîì, S
1
(p) ðåàëèçóåìà
Sp Ap
A
p
Ap
p
Ap
p
A
Sp
p
p
2
01
2
2
2
2
1
3
3
4
8
12
2
() ;
()
=++
+
+
+
===
¥
¥
=¥
3
1
3
1
3
1
9
02
0
12
2
1
3
22
2
;
() ;
() ;
(
ASpp
ASp
p
p
ASp
p
p
=×=
=
+
=
=
=
=-
).
p
p
p
2
3
4
3
4
2
3
2
+
=
=-
Òàêèì îáðàçîì, S
2
(p) ðåàëèçóåìà
Òàê êàê S
1
(p)èS
2
(p) ðåàëèçóåìû, òî, ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü
F(p) ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè Ãóðâèöà, ò. å. íå èìåþò íóëåé â ïðàâîé ïîëóïëîñêî
-
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 243
ñòè. Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåííàÿ â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò,
÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ F(p) íå èìååò íóëåé è ïîëþñîâ â ïðàâîé ïîëó
-
ïëîñêîñòè.
15.7. Ñèíòåç âõîäíîé ôóíêöèè äâóõïîëþñíèêà
â îáùåì ñëó÷àå. Ïðîâåðêà óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîñòè
ôóíêöèè Re [F(p)] ³ 0 ïðè Re (p) =s³0
Ïðîâåðèì äðóãîå óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîñòè ôóíêöèè Z(p) à èìåííî Re [F(p)] ³ 0
ïðè s³0. Ïóñòü s=0, ò. å. p = jw. Ýòà ïðîâåðêà ñâîäèòñÿ ê ïðèìåíåíèþ ñëåäóþ
-
ùåé ïðîöåäóðû. Âûäåëèì âåùåñòâåííóþ ÷àñòü ðàöèîíàëüíîé äðîáè F(p) ïðè
p = jw,ò.å.Re[F(jw)]. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ýòà ÷àñòü, êàê ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü,
äîëæíà èìåòü ÷ëåíû ñ ÷åòíûìè ïîêàçàòåëÿìè îòíîñèòåëüíî jw, òàê êàê òîëüêî â
ýòîì ñëó÷àå ïðè p = jw ôóíêöèÿ áóäåò âåùåñòâåííîé. Ïîýòîìó ïðåäñòàâèì F(p)â
âèäå ñóììû ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, ñîñòîÿùèõ èç ÷ëåíîâ ñ ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè
ïîêàçàòåëÿìè:
Fp Np Mp() () ().=+
Òàê êàê
Fp
Np Mp
Np Mp
()
() ()
() ()
,=
+
+
11
22
òî, ïåðåìíîæèâ çíàìåíàòåëü è ÷èñëèòåëü íà N
2
(p)–M
2
(p), ïîëó÷èì
Fp
NpN p MpMp
NpMp
NpMp
()
() () () ()
() ()
() ()
=
-
-
+
12 1 2
2
2
2
2
21
-
-
NpMp
NpMp
12
2
2
2
2
() ()
() ()
.
(*)
Ïðè p = jw ïåðâûé ÷ëåí è îêàæåòñÿ âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ N(p) = N(jw) ôóíê-
öèè F(p) = F(jw), ò. å. îí ðàâåí âåëè÷èíå Re [F(jw)], êîòîðàÿ äîëæíà áûòü ïîëî-
æèòåëüíîé. Çíàìåíàòåëü åå âñåãäà ïîëîæèòåëåí. Ïîýòîìó ïðîâåðêà ïîëîæèòåëü
-
íîñòè ôóíêöèè N(jw) = Re [F(jw)] ñâåäåòñÿ ê ïðîâåðêå ïîëîæèòåëüíîñòè åå
÷èñëèòåëÿ.
Åñëè âûïîëíèòü îïåðàöèþ N
1
(jw) N
2
(jw)–M
1
(jw) M
2
(jw), òî ïîëó÷èì ïîëè
-
íîì îò w
2
. Ïðè èçìåíåíèè w
2
îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè çíà÷åíèå ýòîãî ïîëèíîìà
òàêæå áóäåò ìåíÿòüñÿ.
Âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà ïîëèíîì ïðè íåêîòîðûõ ÷àñòîòàõ w
2
=
w
k
2
ïðèìåò
çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ.  îêðåñòíîñòÿõ ýòèõ òî÷åê ïîëèíîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
P NjN j MjM j f
k
m
0
2
12 1 2
22 2
() () () () ()( ) (),wwwwwwww=- =-
ãäå f(w
2
) — íåêîòîðûé ïîëèíîì, íå ðàâíûé íóëþ ïðè w
2
=
w
k
2
. Íåòðóäíî çàìå
-
òèòü, ÷òî ïðè w
2
=
w
k
2
ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå çíàêà P
0
(w
2
), åñëè ò — íå÷åòíîå. Òà
-
êèì îáðàçîì, åñëè èìååòñÿ íóëü ïîëèíîìà íå÷åòíîé êðàòíîñòè, â òîì ÷èñëå ïðî
-
ñòîé (m = 1), òî â ýòîé òî÷êå ïîëèíîì P
0
(w
2
) ìåíÿåò çíàê. Åñëè ïîëèíîì P
0
(w
2
)
ìåíÿåò çíàê, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî ïðè w
2
<
w
k
2
, ëèáî ïðè w
2
>
w
k
2
âåëè÷èíà
P
0
(w
2
) èìååò îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå è, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ F(p) íå ÿâëÿåò
-
ñÿ ïîëîæèòåëüíîé.
244 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåðêà óñëîâèÿ Re [F(jw)] > 0 ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ
íóëåé ôóíêöèè P
0
(w
2
). Åñëè ýòà ôóíêöèÿ èìååò íóëè ÷åòíîé êðàòíîñòè èëè âî
-
îáùå íå èìååò íóëåé äëÿ âñåõ çíà÷åíèé w
2
îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè, òî òàêàÿ
ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé.  êóðñå âûñøåé àëãåáðû èìåþòñÿ ðàçëè÷íûå
ñïîñîáû îòûñêàíèÿ âåùåñòâåííûõ êîðíåé (íóëåé) ïîëèíîìîâ. Ïðèâåäåì áåç äî
-
êàçàòåëüñòâà îäèí èç íèõ. Äëÿ ïðîâåðêè íàëè÷èÿ âåùåñòâåííûõ íóëåé â îïðå
-
äåëåííîì äèàïàçîíå çíà÷åíèé P
0
(w
2
) = P
0
(x) (îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè
w
2
= x) èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ Øòóðìà. Ïðåæäå âñåãî ââåäåì â óïîòðåáëåíèå íåêî
-
òîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè, íîñÿùèå íàçâàíèå ôóíêöèé Øòóðìà.
Ïåðâîé ôóíêöèåé Øòóðìà ÿâëÿåòñÿ ñàìà èññëåäóåìàÿ ôóíêöèÿ P
0
(x). Âòî
-
ðîé ôóíêöèåé Øòóðìà P
1
(x) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ èññëåäóåìîé ôóíêöèè
Px P x
10
() ()=
¢
. Òðåòüþ ôóíêöèþ Øòóðìà P
2
(x) îïðåäåëÿþò â âèäå îñòàòêà ñ îáðàò
-
íûì çíàêîì îò äåëåíèÿ ïåðâîé ôóíêöèè Øòóðìà íà âòîðóþ, ïðè÷åì ïðîöåññ
äåëåíèÿ îñòàíàâëèâàåòñÿ, êîãäà íàèâûñøàÿ ñòåïåíü îñòàòêà áóäåò íà åäèíèöó
ìåíüøå íàèâûñøåé ñòåïåíè âòîðîé ôóíêöèè. ×åòâåðòóþ ôóíêöèþ Øòóðìà
P
3
(x) ìîæíî íàéòè â âèäå îñòàòêà (ñ îáðàòíûì çíàêîì) îò äåëåíèÿ âòîðîé ôóíê-
öèè Øòóðìà íà òðåòüþ, êîãäà íàèâûñøàÿ ñòåïåíü îñòàòêà íà åäèíèöó ìåíüøå
íàèâûñøåé ñòåïåíè òðåòüåé ôóíêöèè, è ò. ä. Ýòà ïðîöåäóðà äîëæíà ïðîèçâîäèòü-
ñÿ äî ïîëó÷åíèÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû. Åñëè ýòî óäàåòñÿ, òî âñå êîðíè P
0
(x) —
ïðîñòûå. Èòàê, ïðîöåññ îòûñêàíèÿ ôóíêöèé Øòóðìà èìååò âèä
Px
Px
fx
Px
Px
Px
0
1
1
1
2
1
1
1
()
()
()
.( )
()
;() .();
()
=+ =-
îñò
îñò
Px
fx
Px
Px
2
2
2
3
2
2
()
()
.( )
()
;() .();
..........
=+ =-
îñò
îñò
..............
()
()
()
.( )
()
;
Px
Px
fx
n
Px
P
n
n
n
n
n
-
+
=+
1
1
îñò
() .() .xn=- =îñò const
Ïðè ïðîèçâîëüíîì çàäàíèè w
2
=
w
1
2
è w
2
=
w
2
2
; èëè x = x
1
è x = x
2
ôóíêöèè
Øòóðìà ìîãóò ïðèíÿòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ — ïîëîæèòåëüíûå (îáîçíà÷àåìûå
çíàêîì +) è îòðèöàòåëüíûå (îáîçíà÷àåìûå çíàêîì –), íàïðèìåð, êàê ýòî ïîêàçà
-
íî â òàáëèöå, ñîñòàâëåííîé äëÿ øåñòè ôóíêöèé Øòóðìà.
P(x)
xP
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
W
x = x
1
+–+–+–5
x = x
2
++–0+–3
Îïðåäåëèì ÷èñëî W èçìåíåíèé çíàêîâ ôóíêöèé Øòóðìà ïðè x = x
1
è x = x
2
.
Åñëè ñîñåäíèå ïî íîìåðàì ôóíêöèè Øòóðìà èìåþò îäèíàêîâûé çíàê, òî áóäåì
ñ÷èòàòü ÷èñëî èçìåíåíèé çíàêà ðàâíûì íóëþ. Åñëè ôóíêöèè Øòóðìà ðàâíû
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 245
íóëþ, òî îíè îòáðàñûâàþòñÿ èç ðàññìîòðåíèè. Â ïðèìåðå, ïðèâåäåííîì â òàáëè
-
öå, èçìåíåíèå çíàêîâ ïðè x = x
1
ïðîèñõîäèò ïÿòü ðàç, ò. å. ÷èñëî èçìåíåíèé çíà
-
êîâ W(x
1
) = 5. Èçìåíåíèå çíàêîâ ïðè x = x
2
ïðîèñõîäèò òðè ðàçà, ò. å. W(x
2
) = 3.
Òåîðåìà Øòóðìà ãëàñèò: åñëè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà x
1
è x
2
(x
1
< x
2
) íå ÿâëÿ
-
þòñÿ êîðíÿìè ïîëèíîìà P
0
(x), íå èìåþùåãî êðàòíûõ êîðíåé, òî W(x
1
) ³ W(x
2
) è
ðàçíîñòü W(x
1
) –W(x
2
) ðàâíà ÷èñëó âåùåñòâåííûõ êîðíåé (íóëåé) P
0
(x), çàêëþ
-
÷åííûõ ìåæäó x
1
è x
2
.
Ïîëèíîì P
0
(x), ôóíêöèè Øòóðìà êîòîðîãî ïðèíèìàþò çíàêè, ïðèâåäåííûå â
òàáëèöå, èìååò äâà íóëÿ â èíòåðâàëå x
1
< x < x
2
, è ïîýòîìó òàêîé ïîëèíîì íå ìî
-
æåò áûòü ïîëîæèòåëüíûì ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x â ýòîì èíòåðâàëå, ò. å. îí íåðåà
-
ëèçóåì. Ïîëèíîì ðåàëèçóåì òîëüêî ïðè W(x
1
)–W(x
2
) = 0.
Ïîäâåðãíåì ïðîâåðêå ïî ýòîìó ìåòîäó ïîëîæèòåëüíîñòü êîíêðåòíîé ôóíê
-
öèè F(p), ïðèâåäåííîé â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà.
×èñëèòåëü âåùåñòâåííîé ÷àñòè N(x) ýòîé ôóíêöèè ðàâåí
NpN p MpMp p p p p
12 1 2
12 10 8 6
80 284 400 287 112() () () ()-=++++pp
42
23 2++.
Ïðè p = jw èìååì p
2
= –w
2
, p
4
=w
4
, p
6
= –w
6
, p
8
=w
8
, p
10
= –w
10
, p
12
=w
12
.
Îáîçíà÷èâ w
2
= x, ïîëó÷èì
Pxxxxxxx
0
65 432
80 284 400 287 112 23 2() .=-+-+-+
Ýòî âûðàæåíèå è áóäåò ïåðâîé ôóíêöèåé Øòóðìà. Âòîðàÿ ôóíêöèÿ Øòóðìà
P
1
(x) = P
0
¢(x) ðàâíà P
1
(x) = 480x
5
– 1420x
4
+ 1600x
3
– 861x
2
+ 224x – 23.
Ðàçäåëèì P
0
(x)íàP
1
(x), çàêàí÷èâàÿ ïðîöåññ äåëåíèÿ, êàê áûëî ñêàçàíî âûøå.
Ïîëó÷èì
Px
Px
x
xxx
0
1
43
0 1667 0 09861
6 694 1428 10 24
()
()
,,
,,,
=-+
-+ -
2
5432
2 922 0 2681
480 1420 1600 861 224 23
+-
-+-+-
,,
.
x
xxxxx
Çäåñü è äàëåå âñå ðåçóëüòàòû äåëåíèÿ îêðóãëåíû äî ÷åòâåðòîé çíà÷àùåé
öèôðû.
Òðåòüÿ ôóíêöèÿ Øòóðìà ðàâíà îñòàòêó ñ îáðàòíûì çíàêîì:
Px x x x x
2
432
6 694 1428 10 24 2 922 0 2681() , , , , , .=-+-+
×åòâåðòóþ ôóíêöèþ Øòóðìà íàõîäèì êàê îñòàòîê ñ îáðàòíûì çíàêîì ïðè
äåëåíèè P
1
(x)íàP
2
(x):
Px
Px
x
xxx
1
2
32
7170 59 19
20 81 45 48 3180 7 1
()
()
,,
,,,,
=-+
-+-
33
2
Px()
;
Px x x x
3
32
20 81 45 48 3180 7 133() , , , , .=- + - +
Ïÿòóþ è øåñòóþ ôóíêöèè Øòóðìà îïðåäåëèì àíàëîãè÷íî:
Px
Px
x
xx
2
3
2
0 3217 0 01696
0 7780 1167 0 3890
()
()
,,
,,,
=- - +
-+
Px
3
()
;
Px x x
4
2
0 7780 1167 0 3890() , , , ;=- + -
Px
Px
x
Px
3
44
26 75 18 34
0
()
()
,,
()
,=-+
246 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ò. å. øåñòàÿ ôóíêöèÿ Øòóðìà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ è ìîæåò áûòü èñêëþ÷å
-
íà èç ðàññìîòðåíèÿ.
Íàñ èíòåðåñóåò ïîëîæèòåëüíîñòü ôóíêöèè âî âñåì äèàïàçîíå ÷àñòîò, ò. å. äëÿ
0 £w
2
£¥. Ïîýòîìó âîçüìåì x
1
= 0èx
2
=¥. Òîãäà çíàêè ôóíêöèé Øòóðìà áóäóò:
P(x)
õP
0
P
1
P
2
P
3
P
4
W
x
2
=¥
+++––1
x
1
= 0
+–++–3
Êàê âèäíî èç òàáëèöû, W(x
1
) = 3, à W(x
2
) = 1, ò. å. W(x
1
) –W(x
2
) = 2. Ïîýòîìó
P
0
(x) èìååò íà îñè x ïàðó êîðíåé. Îäíàêî ýòî åùå íå îçíà÷àåò, ÷òî P
0
(x) ìåíÿåò
çíàê. Âîñïîëüçîâàâøèñü èçâåñòíûìè èç àëãåáðû ïðèåìàìè, ìîæíî ïîëó÷èòü
Pxxxxxxx
x
0
65 432
2
80 284 400 287 112 23 2
12
()
()(
=-+-+-+=
=- xxx--+120 11 2
22
)( ),
îòêóäà âèäíî, ÷òî âåùåñòâåííûå êîðíè (íóëè) ýòîãî âûðàæåíèÿ èìåþò ÷åòíóþ
êðàòíîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìà ôóíêöèÿ P
0
(x) ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, òàê
êàê ïðè x = 0 îíà ïîëîæèòåëüíà. Òàêèì îáðàçîì, Re [Z(p)]
p = jw
³ 0 äëÿ âñåõ çíà÷å-
íèé w.
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò ðàâåíñòâî W(x
1
) = W(x
2
), ïîëó÷àåò-
ñÿ W(x
1
)–W(x
2
) = 0. Ýòî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî â èíòåðâàëå x
1
£ x £ x
2
ðàññìàòðè-
âàåìàÿ ôóíêöèÿ íå èìååò íóëåé è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíÿåò çíàêà.  ýòîì ñëó÷àå
äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî ôóíêöèÿ ïîëîæèòåëüíà â êàêîé-ëèáî îäíîé òî÷êå
ðàññìàòðèâàåìîãî èíòåðâàëà, ÷òîáû ñ÷èòàòü åå ïîëîæèòåëüíîé âî âñåì èíòåð
-
âàëå.
Ïðîâåðêè, ïðèâåäåííûå â ýòîì è ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôàõ, ïîêàçûâàþò, ÷òî
äàííàÿ ôóíêöèÿ F(p) ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé è ïîëîæèòåëüíîé è ïîýòîìó ðåàëè
-
çóåìà â âèäå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû, ò. å. ìîæíî ïðèíÿòü F(p) = Z(p) èëè F(p) = Y(p).
15.8. Ñèíòåç âõîäíîé ôóíêöèè äâóõïîëþñíèêà â îáùåì ñëó÷àå.
Ðåàëèçàöèÿ çàäàííûõ ôóíêöèé, èìåþùèõ âåùåñòâåííûå,
ìíèìûå è êîìïëåêñíûå êîðíè
 ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ìû óáåäèëèñü, ÷òî êîíêðåòíàÿ ôóíêöèÿ F(p), ïðèâå
-
äåííàÿ â íà÷àëå § 15.6, ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé è ïîëîæèòåëüíîé è, ñëåäîâàòåëü
-
íî, ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà. Îñóùåñòâèì ýòó ðåàëèçàöèþ.
Ïðåæäå âñåãî âûäåëèì åå ÷àñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ìíèìûì è âåùåñòâåííûì
êîðíÿì ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ, åñëè òàêîâûå èìåþòñÿ. Ýòè âûäåëåííûå ÷àñòè
ôóíêöèè ðåàëèçóåì ìåòîäàìè, èçëîæåííûìè â § 15.4 è 15.5. Îïåðàöèþ òàêîãî
âûäåëåíèÿ áóäåì ïðîèçâîäèòü äî òåõ ïîð, ïîêà íå âñòðåòèì êîìïëåêñíûå êîðíè.
Ïðè ýòîì ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ äðóãèì ìåòîäîì ðåàëèçàöèè, êîòîðûé áóäåò
èçëîæåí íèæå.
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 247
Ïðèñòóïàÿ ê ðåàëèçàöèè, ïðåæäå âñåãî âûäåëèì íóëè è ïîëþñû ôóíêöèè
íà îñè jw. Ïðè ïðîâåðêå îòñóòñòâèÿ íóëåé è ïîëþñîâ ôóíêöèè F(p) â ïðàâîé
ïîëóïëîñêîñòè ìû çàìåòèëè, ÷òî ôóíêöèÿ F(p) èìååò íóëè â òî÷êàõ ±j. Ïóñòü
F(p) = Z(p), ñëåäîâàòåëüíî, îáðàòíàÿ åé ôóíêöèÿ Y(p) = 1/Z(p) = 1/F(p) èìååò
ïîëþñû â ýòèõ òî÷êàõ. Âûäåëèì ÷àñòü îò Y(p), ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîëþñó:
Yp
Zp
pppppp
pp
()
()
()(
==
++++++
+
1
81222131031
110
65432
24
++ ++
=
=
+
+
++++
81032
110
32
1
2
4
4
3
3
2
2
10
4
ppp
Ap
p
ap ap ap ap a
p
)
++ ++81032
32
ppp
.
Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû A
1
, a
4
, a
3
, ..., a
0
. Èìååì
Yp
p
p
A
p
()
2
1
1
1
2
+
=
=-
, îòêó
-
äà A
1
= 1. Çíàÿ A
1
= 1, ìîæíî íàéòè îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû õîòÿ áû ìåòîäîì
íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, ïðèðàâíèâàÿ ñïðàâà è ñëåâà â ÷èñëèòåëÿõ êî
-
ýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ p. Ïîëó÷àåì a
4
= 8, a
3
= 2, a
2
= 6, a
1
= 1,
a
0
= 1. Òàêèì îáðàçîì,
Yp
p
p
pppp
pp pp
Yp() ()=
+
+
++++
++ ++
=
2
432
43 2
1
1
826 1
1081032
+Yp
2
().
Ðåàëèçàöèÿ ôóíêöèè
Yp
p
p
1
2
1
()=
+
ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ èìååò âèä, ïîêàçàí-
íûé íà ðèñ. 15.16, à, òàê êàê
Yp
p
p
pL
Cp
L
p
p
LC
1
2
1
1
1
2
11
1
1
1
1
1
() ,=
+
=
+
=
+
ïðè÷åì L
1
= 1; C
1
= 1.
248 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 15.16
Èññëåäóåì ÷èñëèòåëü ôóíêöèè Y
2
(p) â îòíîøåíèè îïðåäåëåíèÿ íóëåé íà
îñè jw. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïðè íàëè÷èè íóëÿ íà îñè jw ( p = jw) äîëæíû áûòü
ðàâíû íóëþ è âåùåñòâåííàÿ, è ìíèìàÿ ÷àñòè ýòîãî ÷èñëèòåëÿ, ò. å.
86102 210
42 3 2
pp pppp++= += +=è ().
Îáà óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþòñÿ òîëüêî ïðè
p
2
1
2
=-
. Òàê êàê Y
2
(p) èìååò íóëü
p
2
1
2
=-
,òîZ
2
( p) = 1/Y
2
( p) èìååò ïîëþñ â ýòîé òî÷êå. Âûäåëèì ÷àñòü îò Z
2
( p),
ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó ïîëþñó:
Zp
Yp
pp pp
ppp
A
2
2
43 2
22
2
1
1081032
214 1
()
()
()( )
==
++ ++
+++
=
p
p
ap ap a
pp214 1
2
2
2
10
2
+
+
++
++
,
ãäå
AZp
p
p
p
22
2
1
2
21
1
2
=
+
=
=-
() .
Îïðåäåëÿÿ êîýôôèöèåíòû a
2
, a
1
, a
0
, êàê è â ïåðâîì ñëó÷àå, ïîëó÷àåì â ÷èñëè-
òåëå a
2
= 5, a
1
= 2, a
0
= 2. Òàêèì îáðàçîì,
Zp
p
p
pp
pp
Zp Zp
2
2
2
2
34
21
522
41
() () ().=
+
+
++
++
=+
Ôóíêöèþ
Zp
p
p
p
p
3
2
2
21
2
1
2
()=
+
=
+
ìîæíî ðåàëèçîâàòü â âèäå öåïè, ïîêàçàí-
íîé íà ðèñ. 15.16, à, òàê êàê
Zp
p
p
pC
p
LC
LC
pL
pC
3
2
3
2
33
33
3
3
2
1
2
11
() ,=
+
=
+
=
+
ïðè÷åì C
3
= 2, L
3
= 1.
×èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ôóíêöèè Z
4
( p) èìåþò êîìïëåêñíûå êîðíè, è ïîýòî
-
ìó ðåàëèçàöèÿ Z
4
( p) èçëîæåííûìè ðàíåå ìåòîäàìè, ïðèìåíèìûìè, åñëè êîðíè
âåùåñòâåííûå èëè ìíèìûå, íåîñóùåñòâèìà.
Äëÿ ðåàëèçàöèè ôóíêöèè Z
4
( p) âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäèêîé, ïðåäëîæåííîé
Áðóíå. Ïðåæäå âñåãî ïðèâåäåì ýòó ôóíêöèþ ê âèäó ìèíèìàëüíîãî àêòèâíîãî ñî
-
ïðîòèâëåíèÿ, ò. å. ê ôóíêöèè, êîòîðàÿ èìååò Re [Z( jw)] = 0 ïðè íåêîòîðîé ÷àñòî
-
òå w=w
0
. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå R
min
= Re [Z
4
( jw
0
)], âû
-
÷èòàÿ êîòîðîå èç Z
4
( p), ïîëó÷èì èñêîìóþ ôóíêöèþ ìèíèìàëüíîãî àêòèâíîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ, ãäå Re [Z
4
( jw
0
)] – R
min
= 0. ßñíî, ÷òî íåëüçÿ âû÷åñòü ïðîèçâîëü
-
íîå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, òàê êàê ïðè ýòîì ìîæåì íàðóøèòü óñëîâèå ïîëî
-
æèòåëüíîñòè âåùåñòâåííîé ÷àñòè Z
4
( jw), ò. å. ïîëó÷èòü Re [Z
4
( jw
0
)] – R < 0 (åñëè
âû÷åñòü R > R
min
) èëè íå ïîëó÷èòü ìèíèìàëüíîå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå (åñëè
R < R
min
), òàê êàê ïðè ýòîì íè â îäíîé òî÷êå îñè jw âåëè÷èíà Re [Z
4
( jw
0
)] – R íå
ïðèìåò íóëåâîãî çíà÷åíèÿ.
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 249
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîòû w
0
, ïðè êîòîðîé Re [Z
4
( jw)] = min, íàéäåì âåùåñò
-
âåííóþ ÷àñòü Z
4
(jw), èñïîëüçóÿ ïåðâûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (*) â § 15.7:
Re[ ( )]
()()
()
Zj
pp pp
pp
p
pj
4
22
222
52412
41
20
w
w
=
++-×
+-
=
=
=
42
42
42
42
11 2
1671
20 11 2
1671
++
++
=
-+
-+
=
p
pp
pjw
ww
ww
.
Îïðåäåëèì ìèíèìóìû ýòîé âåëè÷èíû:
d
d
Zj
w
w
wwww ww
{Re[ ( )]}
()( )()(
4
3423
80 22 16 7 1 64 14
=
--+--20 11 2
1671
0
42
422
ww
ww
-+
-+
=
)
()
.
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ öåëüþ îòûñêàíèÿ åãî äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé
ìîæíî ïðîèçâåñòè ìíîãèìè ìåòîäàìè. Äëÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ èìååì ðåøåíèå
w
0
=
±12
, ïðè êîòîðîì Re [Z
4
( jw
0
)] = 1 (ðèñ. 5.16, á). Âû÷èòàÿ R
min
= 1èçZ
4
( p),
íå íàðóøèì óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîñòè. Íàõîäèì
Zp R
pp
pp
pp
pp
Zp
4
2
2
2
2
5
522
41
1
1
41
() ().
min
-=
++
++
-=
++
++
=
Ïðè
pj j==w
0
1
2
ñîïðîòèâëåíèå
Zj j jL
50 00
1
2
() ,ww=- =
ãäå L
0
= –1 (ñì.
ðèñ. 15.16, â). Òîãäà Z
5
(p) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå Z
5
(p) = pL
0
+ Z
6
(p), ãäå
Zp Zp pL
pp
pp
p
ppp
pp
65 0
2
2
32
2
1
41
4221
4
() ()=-=
++
++
+=
+++
++
1
.
Îñîáåííîñòü Z
6
(p) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ ïðè
p = jw
0
, ò. å. èìååòñÿ âîçìîæíîñòü äëÿ îáðàòíîé ôóíêöèè âûäåëèòü ÷àñòü, ñîîò
-
âåòñòâóþùóþ ïîëþñó jw
0
:
Yp
Zp
pp
pp
Ap
p
a
p
6
6
2
2
0
2
6
2
0
1
41
42 12
42
()
()
()()
==
++
++
=
+
+
+
w
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî A
6
=
Yp
p
p
p
6
2
1
2
12
1
2
2
()
+
=
=-
è a
0
= 2, èìååì
Yp
p
p
p
Yp Yp
6
2
78
1
2
12
2
42
() () ().=
+
+
+
=+
Ðåàëèçàöèÿ Y
7
(p) ïðîèçâîäèòñÿ ðàíåå èçëîæåííûì ìåòîäîì àíàëîãè÷íî Y
1
(p)
â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîé öåïî÷êè èç L
7
= 2èC
7
= 1 (ðèñ. 15.16, ã), à ðåàëèçàöèþ
Y
8
(p) ìîæíî îñóùåñòâèòü â âèäå öåïî÷êè èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ L
8
è R
8
, ãäå L
8
= 2, R
8
= 1, òàê êàê Y
8
(p) =
1
21p +
.
Èòàê, ðåàëèçóþùàÿ âñþ ôóíêöèþ F( p) öåïü èìååò âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà
ðèñ. 15.16, ä.
250 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ïðè äàííîì ñïîñîáå ðåàëèçàöèè ôóíêöèè âèäà Z
5
( p), êîòîðàÿ íå èìååò íè
íóëåé, íè ïîëþñîâ íà îñè jw è èìååò ðàâíóþ íóëþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü
Re [Z
5
( jw
0
)] ïðè ÷àñòîòå w
0
, ìû ïîëó÷èëè íà îäíîì ýòàïå ðåàëèçàöèè îòðèöà
-
òåëüíîå çíà÷åíèå èíäóêòèâíîñòè L
0
= –1. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íå äîëæíî íàñ ñìó
-
ùàòü, òàê êàê â êîíå÷íîì ñ÷åòå ýòó îòðèöàòåëüíóþ èíäóêòèâíîñòü ìîæíî ðåàëè
-
çîâàòü ââåäåíèåì â ðåàëüíóþ öåïü òðàíñôîðìàòîðà, ïðèáëèæàþùåãîñÿ ïî ñâîèì
ñâîéñòâàì ê ñîâåðøåííîìó òðàíñôîðìàòîðó, ò. å. ñ êîýôôèöèåíòîì ñâÿçè, ðàâ
-
íûì åäèíèöå (k = 1). Ïàðàìåòðû òðàíñôîðìàòîðà â ñîîòâåòñòâèè ñî çíà÷åíèÿìè
âåëè÷èí L
0
, L
7
è L
8
(ðèñ. 15.16, ä) áóäóò ðàâíû L¢=L
0
+ L
7
= –1+2= 1;
L²=L
8
+ L
7
= 2+2= 4; M = L
7
= 2 è, ñëåäîâàòåëüíî,
k
M
LL
=
¢¢¢
= 1
. Ýòî îáñòîÿòåëü
-
ñòâî íåñêîëüêî ñíèæàåò ïðàêòè÷åñêóþ öåííîñòü ìåòîäà, òàê êàê óñëîâèå k = 1
ìîæíî îñóùåñòâèòü òîëüêî ïðèáëèæåííî, õîòÿ è ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ.
Îêîí÷àòåëüíàÿ öåïü, ðåàëèçóþùàÿ çàäàííóþ êîíêðåòíóþ ôóíêöèþ F( p),
èçîáðàæåíà íà ðèñ. 15.16, å.
15.9. Î ñèíòåçå ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà
Ïðîáëåìà ñèíòåçà ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ïðîèçâîëüíîãî âèäà âåñüìà ñëîæíà.
Ïîýòîìó ïðèìåð ñèíòåçà ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñ çàäàííîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
ïðèâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ýòà ôóíêöèÿ çàäàíà äëÿ ÷åòû-
ðåõïîëþñíèêà, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 15.17. Ýòîò ÷å-
òûðåõïîëþñíèê ïèòàåòñÿ îò èñòî÷íèêà òîêà Á, è íà åãî
âûõîäå âêëþ÷åí ïðèåìíèê ñ âåñüìà áîëüøèì ñîïðîòèâëå-
íèåì (íàïðèìåð, öåïü çàòâîðà ïîëåâîãî òðàíçèñòîðà).
Ïðè ýòîì â óðàâíåíèÿõ ÷åòûðåõïîëþñíèêà, çàïèñàííûõ
â ñèñòåìå Z-ïàðàìåòðîâ:
Up Z pIp Z pI p
Up Z pIp Z
1111122
22112
() () () () ();
() () ()
=+
=+
22
() (),pI p
ìîæíî ïðèíÿòü I
2
(p) » 0, ò. å. ïîëîæèòü U
1
(p) = Z
11
(p)I
1
(p)èU
2
(p) = Z
21
(p)I
1
(p).
 òàêîì ñëó÷àå ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé ïàðàìåòðó Z
21
(p)֌
-
òûðåõïîëþñíèêà, òàê êàê
Kp
Up
Ip
Zp()
()
()
().==
2
1
21
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà òàêîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, ïðè÷åì îãðàíè÷èìñÿ
ñëó÷àåì, êîãäà ÷åòûðåõïîëþñíèê, ðåàëèçóþùèé ýòó ôóíêöèþ, ñîñòîèò òîëüêî èç
ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ.  ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíû Z
11
(p)èZ
22
(p) êàê âõîäíûå ñî
-
ïðîòèâëåíèÿ ñî ñòîðîí çàæèìîâ 1–1¢ è 2–2¢ õîëîñòîãî õîäà ÷åòûðåõïîëþñíèêà,
ñîñòîÿùåãî èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, èìåþò ïðîñòûå ÷åðåäóþùèåñÿ íóëè è ïî
-
ëþñû, ðàñïîëîæåííûå íà îñè jw. Êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè ýòèõ ôóíêöèé íà
ïðîñòûå äðîáè âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû (ñì. § 15.5). Âåëè÷èíà Z
21
(p)íåÿâ
-
ëÿåòñÿ âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì, è ïîýòîìó åå íóëè ìîãóò áûòü ðàñïîëîæåíû
â ëþáîé ÷àñòè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, îäíàêî ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 251
Ðèñ. 15.17
âåùåñòâåííûõ (ñì. § 13.5). Ïîëþñû ôóíêöèè Z
21
(p), êàê è ïîëþñû ôóíêöèé Z
11
(p)
è Z
22
(p), äîëæíû ëåæàòü íà îñè jw. Ôóíêöèÿ Z
21
(jw) äîëæíà áûòü ìíèìîé âå
-
ëè÷èíîé, òàê êàê ÷åòûðåõïîëþñíèê ñîñòîèò èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Ïîýòîìó
îíà äîëæíà áûòü íå÷åòíîé ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé p.
Ïðè ñèíòåçå öåïè, â êîòîðîé íåîáõîäèìî îáåñïå÷èâàòü òîëüêî çàäàííîå çíà
-
÷åíèå ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè K(p) = Z
21
(p), íå ñòàâèòñÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé
äëÿ âåëè÷èí Z
11
(p)èZ
22
(p). Ïîýòîìó ïðîùå âñåãî áðàòü èõ
ðàâíûìè äðóã äðóãó.  ýòîì ñëó÷àå ïîëþñû Z
11
(p) = Z
22
(p)
îäíîâðåìåííî áóäóò òàêæå è ïîëþñàìè Z
21
(p) (ñì. § 13.5).
Ïðîñòûå ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå ïàðàìåòðû ýêâèâà
-
ëåíòíîé ñõåìû ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñ ïàðàìåòðàìè Z
11
(p)
è Z
21
(p), èìåþò ìåñòî äëÿ ìîñòîâîé ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû
(ðèñ. 15.18), äëÿ êîòîðîé
Zp Z p ZpZp
11 22 1 2
1
2
() () [ () ()]== +
è
Zp Zp ZpZp
12 21 2 1
1
2
() () [ () ()],== -
îòêóäà
Zp ZpZp Zp ZpZp
1 11 12 2 11 21
() () () () () ().=- =+è
 ñâÿçè ñ ýòèì áóäåì îñóùåñòâëÿòü ðåàëèçàöèþ ïðè ïîìîùè ìîñòîâîé ñõåìû.
Åñëè Z
21
(p) çàäàíî â âèäå ðàöèîíàëüíîé äðîáè, òî, ðàçëàãàÿ ïîñëåäíþþ íà
ïðîñòûå äðîáè, â îáùåì ñëó÷àå áóäåì èìåòü íåêîòîðûå ïðîñòûå äðîáè ñ ïîëîæè-
òåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè è íåêîòîðûå — ñ îòðèöàòåëüíûìè. Îáîçíà÷èì ñóììó
äðîáåé ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ÷åðåç Z
21(+)
(p), à âçÿòóþ ñî çíàêîì
«ìèíóñ» ñóììó äðîáåé ñ îòðèöàòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè — ÷åðåç Z
21(–)
(p). Áó
-
äåì èìåòü
Zp Z pZ p
21 21 21
() () ().
() ( )
=-
+-
 âûðàæåíèÿõ Z
21(+)
(p)èZ
21(–)
(p) êîýôôèöèåíòû ïîëîæèòåëüíû. Íàèáîëåå
ïðîñòûå âûðàæåíèÿ äëÿ Z
1
(p)èZ
2
(p) ïîëó÷èì, åñëè ïîëîæèì Z
11
(p) = Z
22
(p) =
= Z
21(+)
(p)+Z
21(–)
(p). Òîãäà
Zp Z p Z p Z p
121 221
22() () () ().
() ()
==
-+
è
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðåàëèçàöèþ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
Zp
pp p
ppp
p
p
p
p
21
53
222 2
545
05 1 2
3
05
()
,
( , )( )( ) ,
=
++
+++
=
+
-
22
21 21
12+
-
+
=
=-
+-
p
p
ZpZ p
() ( )
() ();
Zp
p
p
Zp
p
p
p
p
21
2
21
22
3
05 1 2
() ( )
()
,
;() .
+-
=
+
=
+
+
+
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ÷èñëèòåëü (p
5
+5p
3
+ 4,5p) èìååò íóëè, ðàñïîëîæåí
-
íûå íà îñè jw ïëîñêîñòè p ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè s è â íà÷àëå êîîðäè
-
íàò.
252 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 15.18