Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
è äëÿ åãî ïðîèçâîäíûõ â âèäå
di
dt
di
dt
Ae
m
k
m
m
k
m
ks
t
s
n
s
=
¢
+
=
å
a
a
s
m
1
,
ãäå m = 1, 2,
..., (n–1), è ïîäñòàâëÿÿ ñëåâà îò çíàêà ðàâåíñòâà íàéäåííûå íà÷àëü
-
íûå çíà÷åíèÿ òîêà i
k
è åãî ïðîèçâîäíûõ ïðè t = +0, à â âûðàæåíèÿõ ñïðàâà îò çíà
-
êà ðàâåíñòâà ïîëàãàÿ t = 0, ïîëó÷èì n àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíû
-
ìè âåëè÷èíàìè A
ks
, èç êîòîðûõ è íàõîäèì ïîñëåäíèå.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè îïðåäåëåíèå âñåõ ïî
-
ñòîÿííûõ A
ks
âûøåóêàçàííûì ïóòåì ïîëó÷àåòñÿ âåñüìà òðóäîåìêèì. Ñóùåñòâó
-
þò äðóãèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí A
ks
÷åðåç çàäàííûå íà÷àëü
-
íûå çíà÷åíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ, òàêæå
òðóäîåìêèå äëÿ ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.
Çàìåòèì, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå öåïè â íà÷àëüíûé
ìîìåíò îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè â ýòîò ìîìåíò òîêîâ i
L
âî âñåõ
êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé u
C
âî âñåõ êîíäåíñàòîðàõ. Äëÿ îïðåäåëå
-
íèÿ æå ïîñòîÿííûõ A
ks
òðåáóåòñÿ çàäàòü íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ n
èç ýòèõ âåëè÷èí, ïðè÷åì ÷èñëî n ìîæåò áûòü ìåíüøå ÷èñëà è
âñåõ êàòóøåê, è âñåõ êîíäåíñàòîðîâ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè íåñêîëüêî êàòóøåê âêëþ-
÷åíû â îäíó è òó æå âåòâü, òî äîñòàòî÷íî çíàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà â îäíîé èç
íèõ, òàê êàê òîê â äðóãèõ òîò æå ñàìûé. Åñëè íåñêîëüêî êîíäåíñàòîðîâ ñîåäèíåíû
ïàðàëëåëüíî, òî äîñòàòî÷íî çíàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà îäíîì èç
íèõ, òàê êàê íàïðÿæåíèå íà äðóãèõ òî æå ñàìîå. Åñëè ê îäíîìó óçëó ïîäõîäÿò òðè
âåòâè, ñîäåðæàùèå èíäóêòèâíûå êàòóøêè (ðèñ. 9.1), òî äîñòàòî÷íî çàäàòü íà÷àëü-
íûå çíà÷åíèÿ òîêà òîëüêî â äâóõ èç íèõ, òàê êàê òðåòèé òîê ïðè ýòîì
òàêæå îêàçûâàåòñÿ çàäàííûì ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõ-
ãîôà. Åñëè òðè êîíäåíñàòîðà âêëþ÷åíû â îäèí êîíòóð ñîãëàñíî
ðèñ. 9.2, òî äîñòàòî÷íî çàäàòü íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ
òîëüêî íà äâóõ èç íèõ, òàê êàê íàïðÿæåíèå íà òðåòüåì òàêæå ïîëó÷à
-
åòñÿ çàäàííûì â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðûì çàêîíîì Êèðõãîôà.
Âû÷èñëåííûå äî êîììóòàöèè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ
X
t
CC LL
uu ii() (), (), , (), (),-= - - - -000 00
12 68
KK
ÿâëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè
X
t
CC LL
uu ii() (), (), , (), (),+= + + + +000 00
12 68
KK
äëÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Èç óñëîâèé,
÷òî i
L
(+0) = i
L
(–0) è u
C
(+0) = u
C
(–0) âûòåêàåò, ÷òî X(+0) = X(–0). Ñëåäîâàòåëü
-
íî, â ìåòîäå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü ïðîèçâîäèòü ïðîìå
-
æóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè è åå n –1
ïðîèçâîäíûõ.
9.5. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè
ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r è L.
Èññëåäóåì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ïðîñòîé öåïè, ñõåìà êîòîðîé ñîäåðæèò ïî
-
ñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå ó÷àñòêè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L.
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 23
Ðèñ. 9.1
Ðèñ. 9.2
 ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà èíäóêòèâíîé êàòóøêè, îáëà
-
äàþùåé àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L, ïðè óñëîâèè ïðåíåá
-
ðåæåíèÿ åìêîñòüþ ìåæäó âèòêàìè êàòóøêè. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïðåíåá
-
ðåãàåì ýíåðãèåé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ öåïè è ó÷èòûâàåì òîëüêî ýíåðãèþ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ðàññìàòðèâàåìîé öåïè èìååò âèä
L
di
dt
ri u+=,
ãäå u = u(t) — íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè. Ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâ
-
íåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñâîáîäíûé òîê i², áóäåò
L
di
dt
ri
¢¢
+
¢¢
= 0.
Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
Lra+ =0
èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü a=– r/L. Ïîýòîìó
¢¢
==
-
iAe Ae
t
r
L
t
a
.
Âûðàæåíèå óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà i¢(t), ÿâëÿþùååñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì íåîä-
íîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ âèäîì çàäàííîé ôóíêöèè u(t).
Òîê â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå
ii i i Ae
r
L
t
=
¢
+
¢¢
=
¢
+
-
.
Ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëÿåòñÿ ïî íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ òîêà i.
Ðàññìîòðèì ðÿä ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.
1. Ïóñòü öåïü â ìîìåíò t = 0 çàìûêàåòñÿ íàêîðîòêî (ðèñ. 9.3). Ïîñëå çàìûêàíèÿ
íàêîðîòêî èìååì u = 0. Óñòàíîâèâøèéñÿ òîê i¢ ïðè ýòîì òàêæå áóäåò ðàâåí íóëþ
(i¢ = 0) è, ñëåäîâàòåëüíî,
ii Ae
r
L
t
=
¢¢
=
-
.
Ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ A îïðåäåëÿåòñÿ èç íà÷àëü
-
íîãî óñëîâèÿ äëÿ òîêà â êàòóøêå i (+0) = i (–0).
Ïîëîæèì, ÷òî ê ìîìåíòó êîììóòàöèè äî êîðîòêîãî çà
-
ìûêàíèÿ òîê â öåïè áûë ðàâåí i(–0) = I. Ñëåäîâàòåëüíî,
i (+0) = I. Ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè i = I è t = 0, íà
-
õîäèì
IA= .
Òàêèì îáðàçîì,
iIe Ie
r
L
t
t
==
--
t
.
Âåëè÷èíà t=L/r èìååò ðàçìåðíîñòü âðåìåíè è íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé
âðåìåíè öåïè.Çàïðîìåæóòîê âðåìåíè t òîê óáûâàåò â e ðàç. ×åì áîëüøå t,
òåì ìåäëåííåå çàòóõàåò òîê.
24 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 9.3
Èç ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî òîê ñòàíåò ðàâíûì íóëþ òåîðåòè÷åñêè
÷åðåç áåñêîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ïðàêòè÷åñêè òîê ñòàíîâèòñÿ âåñüìà
ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì òîêîì îáû÷íî ñïóñòÿ ìàëûé ïðîìåæóòîê âðå
-
ìåíè, ðàâíûé íåñêîëüêèì çíà÷åíèÿì t. Êðîìå òîãî, ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äàííîå
ðåøåíèå îïèñûâàåò òîê â öåïè òîëüêî äî òåõ ïîð, ïîêà îïðåäåëÿåìîå èç íåãî çíà
-
÷åíèå òîêà íå ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìûì ñ âåñüìà ìàëûìè ôëþêòóàöèîííûìè òîêà
-
ìè, îïðåäåëÿåìûìè òåïëîâûìè ïðîöåññàìè è íîñÿùèìè ñëó÷àéíûé õàðàêòåð
(ñì. § 12.4). Ýòî çàìå÷àíèå îòíîñèòñÿ è êî âñåì ïîñëåäóþùèì ñëó÷àÿì.
Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t ðàâíà äëèíå ïîäêàñàòåëüíîé â ëþáîé òî÷êå êðèâîé i(t)
(ðèñ. 9.3), òàê êàê di/dt = –i/t.
Ýíåðãèÿ, âûäåëÿåìàÿ â âèäå òåïëîòû â ñîïðîòèâëåíèè öåïè, ðàâíà ýíåðãèè, çà
-
ïàñåííîé â ìàãíèòíîì ïîëå öåïè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Äåéñòâèòåëüíî,
irdt Ir e dt LI
r
L
t
2
0
2
2
2
0
1
2
¥
-
¥
òò
==.
Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè èíäóêòèâíûõ êàòóøåê çàâèñèò îò èõ ðàçìåðîâ. Äëÿ ãåî-
ìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàòóøåê îíà èçìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó èõ
ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ l. Äåéñòâèòåëüíî, èíäóêòèâíîñòü L ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ
êàòóøåê óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ÷èñåë èõ âèòêîâ w èèõëè-
íåéíûì ðàçìåðàì l,ò.å.L = k
1
w
2
l. Ïîñëåäíåå âûòåêàåò èç ðàçìåðíîñòè èíäóêòèâ-
íîñòè: [L] = [m]×[l]. Òàê êàê â íàñòîÿùåé ãëàâå ðàññìàòðèâàåì òîëüêî öåïè ñ ïî-
ñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè, òî ñåðäå÷íèê äîëæåí áûòü èç íåôåððîìàãíèòíîãî
ìàòåðèàëà, ò. å. äîëæíî áûòü m»m
0
.
Ñîïðîòèâëåíèå r ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàòóøåê óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîïîð-
öèîíàëüíî êâàäðàòó ÷èñåë èõ âèòêîâ è óìåíüøàåòñÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî
ëèíåéíûì ðàçìåðàì l êàòóøåê. Äåéñòâèòåëüíî, äëèíà ïðîâîëîêè òàêèõ êàòóøåê
óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî èõ ÷èñëàì âèòêîâ w è ëèíåéíûì ðàçìåðàì l,ñå
-
÷åíèå æå ïðîâîëîêè óáûâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî w è âîçðàñòàåò ïðîïîð
-
öèîíàëüíî l
2
. Ïîýòîìó
rk
wl
lw
k
w
l
==
2
2
2
2
.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè ïîëó÷àåì
t= =
L
r
k
k
l
1
2
2
.
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà t äëÿ ãåîìåòðè÷åñêè
ïîäîáíûõ êàòóøåê íå çàâèñèò îò ÷èñëà âèòêîâ w, åñëè ïðè
èçìåíåíèè w êîýôôèöèåíò çàïîëíåíèÿ ñå÷åíèÿ îáìîòêè
ìåäüþ íå èçìåíÿåòñÿ, ò. å. íå èçìåíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå ÷àñ
-
òåé ñå÷åíèÿ îáìîòêè, çàíÿòûõ ìåäüþ ïðîâîëîêè è èçîëÿ
-
öèåé.
Äëÿ îöåíêè ïîðÿäêà âåëè÷èíû t óêàæåì, ÷òî êðóãëàÿ êàòóøêà èç ìåäíîé ïðî
-
âîëîêè áåç ñåðäå÷íèêà ñ ðàçìåðàìè, óêàçàííûìè íà ðèñ. 9.4, è ìàññîé 17 êã èìååò
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 25
Ðèñ. 9.4
L = 0,218 Ãí, r = 4,4Îìèt=0,0495 ñ. Ïîäîáíûå åé êàòóøêè ìåíüøèõ ðàçìåðîâ
áóäóò èìåòü ìåíüøåå çíà÷åíèå t, êàòóøêè æå áóëüøèõ ðàçìåðîâ — áîëüøåå çíà
-
÷åíèå t, ïðè÷åì t áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ëèíåéíûõ ðàçìå
-
ðîâ, íàïðèìåð êâàäðàòó äèàìåòðà D êàòóøêè.
Âíåñåíèå ñåðäå÷íèêà èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâà
-
åò ïîñòîÿííóþ âðåìåíè êàòóøêè, òàê êàê óâåëè÷èâàåòñÿ L âñëåäñòâèå óâåëè÷å
-
íèÿ m. Îäíàêî ïðè ýòîì öåïü ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíîé è çàâèñèìîñòü òîêà îò âðå
-
ìåíè, ñòðîãî ãîâîðÿ, áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííîé, òàê ÷òî
ïîíÿòèå î ïîñòîÿííîé âðåìåíè ñòàíîâèòñÿ óñëîâíûì. Åñëè â ìàãíèòíîé öåïè
ñåðäå÷íèêà èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà èìååòñÿ äîñòàòî÷íûé âîçäóøíûé çà
-
çîð, òî ïðàêòè÷åñêè L ìàëî çàâèñèò îò òîêà i è ïîëó÷åííûå â íàñòîÿùåì ïàðàãðà
-
ôå ñîîòíîøåíèÿ îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ äëÿ òàêèõ êàòó
-
øåê. Ïðè ýòîì ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t ïðè òîé æå çàòðàòå ìåäè, êàê, íàïðèìåð,
â ïðèâåäåííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå, ìîæåò áûòü óâåëè÷åíà ïî ñðàâíåíèþ ñî çíà
-
÷åíèåì t êàòóøêè áåç ñåðäå÷íèêà â íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ðàç.
Èç ñêàçàííîãî âèäíî, ÷òî ïîñòîÿííûå âðåìåíè áîëüøèõ êàòóøåê, ìàãíèòíûå
öåïè êîòîðûõ ñîäåðæàò ó÷àñòêè èç ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ, ìîãóò áûòü
âåñüìà çíà÷èòåëüíû. Íàïðèìåð, ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè îáìîòêè âîçáóæäåíèÿ
êðóïíûõ ãèäðîãåíåðàòîðîâ ìîæåò èìåòü çíà÷åíèå t»5ñ.
Ïîëó÷åííàÿ âûøå çàâèñèìîñòü ïîñòîÿííîé âðåìåíè t îò ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ l
ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàòóøåê çíà÷èòåëüíî çàòðóäíÿåò ìîäåëèðîâàíèå ïåðå-
õîäíûõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ìîùíûõ áîëüøèõ óñòðîéñòâàõ, ñ ïîìîùüþ
ìàëûõ ëàáîðàòîðíûõ ìîäåëåé, åñëè ïðè ýòîì íå èçìåíÿòü ìàñøòàá âðåìåíè.
2.  êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîöåññ îòêëþ÷åíèÿ îò èñòî÷íèêà
ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ öåïè, ñîñòîÿùåé èç èíäóêòèâíîé êàòóøêè ñ èíäóêòèâ-
íîñòüþ L è ñîïðîòèâëåíèåì r è ïàðàëëåëüíî ñ íåé ñîåäèíåí
-
íîé âåòâè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r
0
(ðèñ. 9.5). Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ
ïðè ýòîì îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
ii Ae
L
rr
t
=
¢¢
==
+
-
t
t,.ãäå
0
Äî ðàçìûêàíèÿ ðóáèëüíèêà â êàòóøêå ïðîòåêàåò òîê i
L
(–0) = U/r. Ñëåäîâà
-
òåëüíî,
Ai i Ur
LL
=+=-=() () .00
Òàêèì îáðàçîì,
i
U
r
e
t
=
-
t
.
Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì r
0
äî ðàçìûêà
-
íèÿ áûëî ðàâíî U, à â ïåðâûé ìîìåíò ïîñëå ðàçìûêàíèÿ îíî
îêàæåòñÿ ðàâíûì
ri U
r
r
0
0
0() .+=
26 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 9.5
Ðèñ. 9.6
Åñëè r
0
>> r, íàïðèìåð, íà çàæèìàõ êàòóøêè ñ ìàëûì ñîïðîòèâëåíèåì r âêëþ
-
÷åí âîëüòìåòð ñ áîëüøèì ñîïðîòèâëåíèåì r
0
(ðèñ. 9.6), òî ïðè îòêëþ÷åíèè öåïè
íàïðÿæåíèå íà âîëüòìåòðå â ïåðâûé ìîìåíò ïîâûñèòñÿ â r
0
/r ðàç.
Åñëè ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, çàïàñåííàÿ â êàòóøêå, äîñòàòî÷íî âåëèêà, òî
âîëüòìåòð ìîæåò áûòü ñîææåí. Âî èçáåæàíèå âîçíèêíîâåíèÿ áîëüøèõ ïåðåíà
-
ïðÿæåíèé ïðè îòêëþ÷åíèè öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà, îáëàäàþùèõ áîëüøîé èí
-
äóêòèâíîñòüþ, íàïðèìåð, îáìîòîê âîçáóæäåíèÿ ãåíåðàòîðîâ ïîñòîÿííîãî òîêà,
ýòè öåïè ïðåäâàðèòåëüíî çàìûêàþò íà ìàëîå ñîïðîòèâëåíèå.
3.  êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà îïðåäåëèì ïðî
-
öåññ ïðè âêëþ÷åíèè ðàññìàòðèâàåìîé öåïè ïîä
ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå u = U = const (ðèñ. 9.7).
Òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà â äàííîì ñëó÷àå ðà
-
âåí i¢ = U/r. Ñëåäîâàòåëüíî,
ii i
U
r
Ae
r
L
t
=
¢
+
¢¢
=+
-
.
Åñëè äî âêëþ÷åíèÿ òîê i áûë ðàâåí íóëþ
[i(–0) = 0], òî
()()
i i Ur A A Ur+=-= += =-00 0è .
Òàêèì îáðàçîì,
i
U
r
e
U
r
e
r
L
t
t
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
--
11
t
.
Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êàòóøêè ïðè ýòîì
uL
di
dt
L
U
r
eUe
L
tt
== =
--
1
t
tt
.
Çàâèñèìîñòè i(t)èu
L
(t) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 9.7.
4. Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ïðîöåññ ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íà
-
ïðÿæåíèå è = U
m
sin (wt + y). Òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè ýòîì áóäåò ðàâåí
(ñì. § 4.4)
¢
=+-=+-i
U
z
tIt
m
m
sin( sin(wyj) wyj)
,
è, ñëåäîâàòåëüíî,
ii i I t Ae
m
t
=
¢
+
¢¢
=+-+
-
sin( .wyj)
t
Çäåñü z =
rL
222
+w
; j=arctg
wL
r
è t=L/r. Ïîñòîÿííàÿ A îïðåäåëÿåòñÿ èç íà
-
÷àëüíîãî óñëîâèÿ, ÷òî òîê äî âêëþ÷åíèÿ áûë ðàâåí íóëþ: i (–0) = 0. Òîãäà
ii I A
m
() () sin( .+=-== -+000 y j)
Òàêèì îáðàçîì,
ii i I t I e
mm
t
=
¢
+
¢¢
=+---
-
sin( sin( .w y j) y j)
t
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 27
Ðèñ. 9.7
Íà ðèñ. 9.8 ïðèâåäåíû êðèâûå u (t),i¢(t),i²(t), è i(t). Ïðè t = 0 íà÷àëüíîå çíà÷å
-
íèå ñâîáîäíîãî òîêà i² ðàâíî è ïðîòèâîïîëîæíî òîêó i¢ è i = 0. Íà÷àëüíîå çíà÷å
-
íèå ñâîáîäíîãî òîêà çàâèñèò îò íà÷àëüíîé ôàçû y íàïðÿæåíèÿ. Íàèáîëüøåå íà
-
÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîãî òîêà, ðàâíîå àìïëèòóäå I
m
óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà,
èìååò ìåñòî, åñëè y – j=±p/2. Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ðåçóëüòèðóþùåãî òîêà, êàê
âèäíî èç ðèñ. 9.8, íå ïðåâûøàåò äâîéíîé àìïëèòóäû
óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà. Ñâîáîäíûé òîê âîîáùå íå âîç
-
íèêàåò, è ñðàçó íàñòóïàåò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì ïðè
óñëîâèè y=j.
Ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å óðàâ
-
íåíèå ñîñòîÿíèÿ äîëæíî áûòü ñîñòàâëåíî äëÿ åäèíñò
-
âåííîé ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ — òîêà â èíäóêòèâíîé
êàòóøêå. Çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà ðåçèñòîðå, âûðàæåí
-
íîå ÷åðåç ïåðåìåííóþ ñîñòîÿíèÿ i, ðàâíî ri. Èç âòîðîãî
çàêîíà Êèðõãîôà èìååì
di
dt
r
L
i
U
L
t
m
=- + +sin( .wy)
Ïðè i (+0) = I îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò èìåòü âèä
()
ieI
U
L
ed
r
L
t
m
r
L
t
t
=+ +
---
ò
t
wt y) t.
0
sin(
Ïðîèçâåäÿ äîâîëüíî ïðîñòûå, íî ìíîãî÷èñëåííûå îïåðàöèè ïî èíòåãðèðîâà-
íèþ, ïîäñòàíîâêå ïðåäåëîâ è ðÿä ïðåîáðàçîâàíèé, ïîëó÷èì
iIe
U
rL
t
U
rL
e
r
L
t
mm
r
=+
+
+-
+
-
- -
222 222
w
wyj)-
w
y j)sin( sin(
L
t
L
r
;j
w
= arctg .
Ýòî âûðàæåíèå ïðè I = 0 ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì ðàíåå êëàññè÷åñêèì ìåòî
-
äîì óðàâíåíèåì äëÿ òîêà i. Ïðèâåäåííûé ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ îáùåãî ðåøå
-
íèÿ äëÿ ìåòîäà óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìå
-
íåíèå åãî ñîïðÿæåíî ñ âûïîëíåíèåì áîëüøîãî ÷èñëà àíàëèòè÷åñêèõ îïåðàöèé
ïî âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà.  ýòîì îòíîøåíèè êëàññè÷åñêèé ìåòîä, âî âñÿêîì
ñëó÷àå äëÿ òàêèõ ïðîñòûõ ñëó÷àåâ, áîëåå ïðîäóêòèâåí.
9.6. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè
ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r è C
Ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ
-
÷åííûõ ó÷àñòêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ C. Îáîçíà÷èâ íà
-
ïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè ÷åðåç u, à íàïðÿæåíèå íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà
è çíà÷åíèå åãî çàðÿäà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç u
C
è q, èìååì
ri u u
C
+=.
Òàê êàê
i
dq
dt
dCu
dt
C
du
dt
CC
== =
()
,
28 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 9.8
òî
rC
du
dt
uu
C
C
+=.
Ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñâîáîäíîå íàïðÿæå
-
íèå
¢¢
u
C
, áóäåò
rC
du
dt
u
C
C
¢¢
+
¢¢
= 0.
Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
rCa+ =10
èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü a=–1/(rÑ). Ïîýòîìó
¢¢
== =
--
uAe Ae Ae
C
t
t
rC
t
a
t
,
ãäå rÑ = t — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ðàññìàòðèâàåìîé öåïè.
Äëÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïîëó÷èì
uuuuAe
CCCC
t
rC
=
¢
+
¢¢
=
¢
+
-
,
ïðè÷åì óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå
¢
u
C
ìîæåò áûòü íàéäåíî, åñëè èçâåñòåí âèä
ôóíêöèè è(t), à ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëÿåòñÿ ïî íà÷àëüíûì óñëî-
âèÿì.
Ðàññìîòðèì ðÿä ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.
1. Ïóñòü öåïü (r, Ñ) çàìûêàåòñÿ íàêîðîòêî, ÷òî
ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâó íóëþ íàïðÿæåíèÿ u
(ðèñ. 9.9). Äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ íàïðÿæåíèÿ
¢
u
C
íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà èìååì
¢
u
C
= 0 è, ñëåäî-
âàòåëüíî,
uuAe
CC
t
rC
=
¢¢
=
-
.
Ïîëîæèì, ÷òî ê ìîìåíòó êîììóòàöèè, äî êî
-
ðîòêîãî çàìûêàíèÿ, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ
êîíäåíñàòîðà áûëî ðàâíî u
C
= (–0) = U
0
. Ñëåäî
-
âàòåëüíî, èç óñëîâèÿ u
C
(+0) = u
C
(–0), ïîëàãàÿ
â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè u
C
= U
0
è t = 0, íàõîäèì
U
0
= A.
Òàêèì îáðàçîì, è
C
= U
0
e
t
rC
-
.
Äëÿ òîêà â öåïè ïîëó÷èì
iC
du
dt
U
r
e
C
t
rC
==-
-
0
.
Ñîãëàñíî ýòîìó ðåøåíèþ, òîê â íà÷àëüíûé ìîìåíò ìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì îò íóëÿ
äî U
0
/r. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì òîãî, ÷òî ìû ïîëíîñòüþ ïðåíåáðåãëè èíäóê
-
òèâíîñòüþ öåïè.
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 29
Ðèñ. 9.9
Ýíåðãèÿ, âûäåëÿåìàÿ â âèäå òåïëîòû â ñîïðîòèâëåíèè öåïè, ðàâíà ýíåðãèè,
çàïàñåííîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.
Äåéñòâèòåëüíî,
irdt
U
r
edt CU
t
rC
2
0
0
2
2
0
2
0
1
2
¥
-
¥
òò
==.
Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t=rC â ðåàëüíûõ óñòðîéñòâàõ ìîæåò èìåòü ñàìûå ðàçëè÷
-
íûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ C = 100 ìêÔ ðàçðÿæàåòñÿ
÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå r = 100 Îì, òî ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t=100×10
–6
×100 = 0,01 ñ.
Åñëè òîò æå êîíäåíñàòîð îñòàâèòü çàðÿæåííûì è îòêëþ÷åííûì îò îñòàëüíîé
öåïè, òî îí áóäåò ìåäëåííî ðàçðÿæàòüñÿ ÷åðåç ñâîå ñîïðîòèâëåíèå óòå÷êè. Ïóñòü
ýòî ñîïðîòèâëåíèå r = 10
9
Îì. Òîãäà t=100×10
–6
×10
9
= 10
5
ñ = 27,8 ÷, ò. å. êîíäåíñà
-
òîð ñ òàêîé õîðîøåé èçîëÿöèåé ñîõðàíèò ÷åðåç ñóòêè ïðèìåðíî îäíó òðåòü ñâîåãî
íà÷àëüíîãî çàðÿäà.
2.  êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà èññëåäóåì ïðîöåññ ïðè âêëþ÷åíèè ðàññìàòðèâàå
-
ìîé öåïè ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå è = U = const (ðèñ. 9.10). Ïóñòü êîíäåíñà-
òîð äî âêëþ÷åíèÿ íå áûë çàðÿæåí, ò. å. u
C
(–0) = 0.
Óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîí-
äåíñàòîðà ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà
áóäåò
¢
=uU
C
. Òàêèì îáðàçîì,
uuuUAe
CCC
t
rC
=
¢
+
¢¢
=+
-
.
Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëèì èç óñ-
ëîâèÿ u
C
(+0) = u
C
(–0) = 0 è, ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì
óðàâíåíèè t = 0, ïîëó÷èì
0 =+ =-UA A Uèëè .
Ñëåäîâàòåëüíî,
uUUe U e
C
t
rC
t
=- = -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
--
1
t
.
Äëÿ òîêà â öåïè èìååì
iC
du
dt
U
r
e
C
t
==
-
t
.
Èç âûðàæåíèÿ äëÿ è
C
âèäíî, ÷òî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà è çà
-
ðÿä åãî íàðàñòàþò ïî òîìó æå çàêîíó, ÷òî è òîê â öåïè (r, L) ïðè âêëþ÷åíèè åå
ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå. ×òî æå êàñàåòñÿ òîêà i (ðèñ. 9.10), òî ïðè âêëþ÷å
-
íèè öåïè îí ñðàçó ïîëó÷àåò çíà÷åíèå U/r, òàê êàê â ìîìåíò t = 0 íàïðÿæåíèå íà
çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà ðàâíî íóëþ è òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü íàïðÿæåíè
-
åì U è ñîïðîòèâëåíèåì r öåïè. Â äàëüíåéøåì íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñà
-
òîðà ïîñòåïåííî âîçðàñòàåò è òîê â öåïè óáûâàåò ïî òîìó æå ïîêàçàòåëüíîìó çà
-
êîíó, ÷òî è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà.
Îïðåäåëÿÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëèâøåéñÿ â öåïè âî âðåìÿ çàðÿäà êîí
-
äåíñàòîðà, ïîëó÷èì òî æå çíà÷åíèå
1
2
CU
2
, ÷òî è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà, è ìî
-
30 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 9.10
æåì ïîýòîìó ñêàçàòü, ÷òî ïðè u = U = const êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïðåâðàùàåìîé
â òåïëîòó ïðè çàðÿäå êîíäåíñàòîðà ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå, ðàâíî ýíåðãèè, çàïà
-
ñàåìîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà èñòî÷íèêà
âíåøíåé ÝÄÑ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ðàâíà CU
2
, ò. å. óäâîåííîìó çíà÷åíèþ
ýíåðãèè, çàïàñàåìîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà. Îäíàêî òàêîå ñîîòíî
-
øåíèå èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (r, Ñ) ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæå
-
íèå è = U = const. Åñëè íàïðÿæåíèå è íà çàæèìàõ öåïè óâåëè÷èâàòü ìåäëåííî, òî
ñîîòíîøåíèå ìåæäó êîëè÷åñòâîì ýíåðãèè, ïðåâðàùàåìîé â òåïëîòó, è ýíåðãèåé,
çàïàñàåìîé â êîíäåíñàòîðå, áóäåò áîëåå âûãîäíûì. Ýòî âàæíîå ïîëîæåíèå ïîêà
-
æåì íà ïðèìåðå â § 12.3. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ýòîì õàðàêòåð èçìåíåíèÿ òîêà è
íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ õàðàêòåðîì íàðàñòàíèÿ íàïðÿ
-
æåíèÿ íà çàæèìàõ öåïè è áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííîãî ïðè
U=const.
Åñëè êîíäåíñàòîð äî âêëþ÷åíèÿ áûë çàðÿæåí, ò. å. íà åãî îáêëàäêàõ áûëî íà
-
ïðÿæåíèå u
C
(–0) = u
C
(0), òî ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëèòñÿ èç óñëî
-
âèÿ
u
C
(+0) = u
C
(–0) = u
C
(0) = U+Aèëè A = [u
C
(0) – U].
 ñëó÷àå u
C
(0) > 0 (ðèñ. 9.11) êîíäåíñàòîð äîçàðÿæàåòñÿ äî íàïðÿæåíèÿ U,
à â ñëó÷àå u
C
(0)<0—ïåðåçàðÿæàåòñÿ îò íà÷àëüíîãî îòðèöàòåëüíîãî íàïðÿæå-
íèÿ äî ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 9.12).
3. Ðàññìîòðèì åùå ïðîöåññ âêëþ÷åíèÿ öåïè (r, Ñ) ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæå
-
íèå è = U
m
sin (wt+y). Íàïðÿæåíèå u
C
íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà â óñòàíîâèâ
-
øåìñÿ ðåæèìå ïðè ýòîì áóäåò ðàâíî (ñì. § 4.4)
¢
=+--
æ
è
ç
ö
ø
÷
u
I
C
t
C
m
w
wyj
p
sin .
2
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà èìååì
u
I
C
tAe
C
m
t
=+--
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
-
w
wyj
p
t
sin .
2
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 31
Ðèñ. 9.11 Ðèñ. 9.12
Çäåñü
I
U
z
zr
CrC
rC
m
m
==+
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-
=;; .
2
2
11
w
j
w
tarctg è
Ïîñòîÿííàÿ A îïðåäåëÿåòñÿ èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó äîëæ
-
íî áûòü çàäàíî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà u
C
(–0) äî âêëþ÷åíèÿ
öåïè. Åñëè êîíäåíñàòîð íå áûë çàðÿæåí, òî u
C
(–0) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
uu
I
C
A
CC
m
() () sin ,+= -== --
æ
è
ç
ö
ø
÷
+000
2w
yj
p
îòêóäà
A
I
C
m
=- - -
æ
è
ç
ö
ø
÷
w
yj
p
sin .
2
Òàêèì îáðàçîì,
u
I
C
t
I
C
e
C
mm
t
=+--
æ
è
ç
ö
ø
÷
---
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
w
wyj
p
w
yj
p
t
sin sin .
22
Äëÿ òîêà â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì
()
iC
du
dt
ii I t
I
rC
e
C
m
m
==
¢¢¢
=+-+ --
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
+ sin sinwyj
w
yj
p
2
t
t
.
Åñëè êîíäåíñàòîð áûë ïðåäâàðèòåëüíî çàðÿæåí, òî u
C
(–0) = u
C
(+0) è, ñëåäî-
âàòåëüíî,
uuu
I
C
A
CCC
m
() () () sin ,+= -= = --
æ
è
ç
ö
ø
÷
+000
2w
yj
p
îòêóäà è îïðåäåëèòñÿ ïîñòîÿííàÿ A.
Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé âèäíî, ÷òî ïåðåõîäíûé
ïðîöåññ çàâèñèò îò âåëè÷èíû y.
Åñëè y=j±p/2, òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ íå âîçíèêàåò
è ñðàçó æå íàñòóïàåò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Ïðè
y = j ± p/2 óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòî
-
ðå â ìîìåíò t = 0 ðàâíî íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, èìååòñÿ
ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó çàïàñîì ýíåðãèè â êîíäåíñà
-
òîðå äî âêëþ÷åíèÿ (â äàííîì ñëó÷àå íóëü) è çàïàñîì
ýíåðãèè, êîòîðûé äîëæåí áûòü â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæè
-
ìå (â äàííîì ñëó÷àå òàêæå íóëü). Ïîýòîìó ïåðåõîäíûé
ïðîöåññ è íå âîçíèêàåò.
Åñëè âêëþ÷åíèå ïðîèñõîäèò ïðè y=j, òî ñâîáîäíîå íàïðÿæåíèå
¢¢
u
C
áóäåò
íàèáîëüøèì è â íà÷àëüíûé ìîìåíò èìååò çíà÷åíèå I
m
/(wC). Íà÷àëüíîå çíà÷å
-
íèå ñâîáîäíîãî òîêà ïðè ýòîì áóäåò –I
m
/(wCr). Åñëè wrÑ << 1, ò. å. r << 1/(wC),
òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðîèñõîäèò áîëüøîé âñïëåñê òîêà, íàìíîãî ïðåâîñõîäÿ
-
ùèé àìïëèòóäó I
m
(ðèñ. 9.13). Îäíàêî òàêîé áîëüøîé òîê ïðîòåêàåò íåçíà÷è
-
òåëüíóþ ÷àñòü ïåðèîäà, òàê êàê wCr =
2p
T
t << 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, t << T.
32 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 9.13