Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ u

â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå íå ïðåâûøàåò

óäâîåííîé àìïëèòóäû U

= I

/(wC) íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïðè óñòàíî

âèâøåìñÿ ðåæèìå.

Ïðèìåíèòåëüíî ê äàííîé çàäà÷å óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äîëæíî áûòü ñîñòàâëå

íî äëÿ åäèíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ — íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðà. Çíà

÷åíèå òîêà â ðåçèñòîðå ðàâíî (u–u

)/r. Èç ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà èìååì

dt rC

=- + +

sin( .wy)

Ïðè u

(+0) = U

îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò èìåòü âèä

()

ueU

etdUe

=+ +=+

wy)tsin(

()

sin sin

wyj

---

++--

9.7. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè

ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L è Ñ

Ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè, ñîäåðæàùåé ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ-

÷åííûå ó÷àñòîê ñ ñîïðîòèâëåíèåì r, êàòóøêó ñ èíäóêòèâíîñòüþ L è êîíäåíñàòîð

ñ åìêîñòüþ C (ðèñ. 9.14).

Óðàâíåíèå ýòîé öåïè èìååò âèä

ri L

dt C

idt u u t

++ + =

() ().

(*)

Äèôôåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè âûðàæåíèÿ (*), ïîëó÷èì óðàâíåíèå âòîðîãî ïî

ðÿäêà äëÿ òîêà i â öåïè:

++=.

Ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñâîáîäíûé òîê i²,

ïîñëå äåëåíèÿ íà L áóäåò

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 33

Ðèñ. 9.14

"""

++=,

èëè, îáîçíà÷èâ r/L = 2d è 1/(LC) =

, ïîëó÷èì

"++=dw.

Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

adaw

20++=

èìååò äâà êîðíÿ:

a d dw a d dw

=- + - =- - -

;

èëè

=- + - =- - -

LC2

è.

Òàêèì îáðàçîì,

¢¢

=+iAe Ae

Äëÿ òîêà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ñëåäîâàòåëüíî, èìååì

ii i i Ae Ae

¢¢

(**)

Òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà i¢ ìîæíî íàéòè, åñëè èçâåñòåí âèä ôóíêöèè è(t).

Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ A

è A

îïðåäåëÿåì èç íà÷àëüíûõ

ôèçè÷åñêèõ óñëîâèé íåèçìåííîñòè òîêà â êàòóøêå è íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ

êîíäåíñàòîðà â ìîìåíò êîììóòàöèè: i(+0) = i(–0), u

(+0) = u

(–0). Äëÿ êðàòêî-

ñòè â âûðàæåíèÿõ i (+0) è u

(+0) áóäåì îïóñêàòü çíàê «ïëþñ», ò. å. íà÷àëüíûå

çíà÷åíèÿ ïåðåõîäíûõ òîêà â öåïè è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå áóäåì îáîçíà

÷àòü i(0) è u

(0).

Êàê áûëî ñêàçàíî â § 9.4, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ A

è A

íàäî çíàòü çíà

÷åíèå òîêà è âñåõ åãî ïðîèçâîäíûõ äî (ï–1)-é âêëþ÷èòåëüíî â íà÷àëüíûé ìî

ìåíò âðåìåíè. Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå èìååì óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà (ï = 2),

òî íåîáõîäèìî çíàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà è åãî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Íà

÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà â äàííîì ñëó÷àå çàäàíî. Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ïåðâîé ïðî

èçâîäíîé òîêà íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ öåïè, èñïîëüçóÿ óïîìÿíóòûå âûøå ôèçè

÷åñêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, à èìåííî ïðè t = 0 èç óðàâíåíèÿ (*) èìååì

ri L

() () (),000

ãäå è(0) — çíà÷åíèå ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ è(t) ïðè t = 0. Îòñþäà

uu ri

000() () ()

Èç óðàâíåíèÿ (**) äëÿ ïðîèçâîäíîé òîêà èìååì

34 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ae A e

11 22

Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (**) äëÿ òîêà è â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ åãî ïðî

èçâîäíîé ñëåâà îò çíàêà ðàâåíñòâà íàéäåííûå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ òîêà è åãî

ïðîèçâîäíîé, à ñïðàâà — t = 0, ïîëó÷èì

iAA

uu ri

() () ;

() () ()

000

=++

di'

11 2 2

aa+

(***)

ãäå i¢(0) è

di'

=t 0

— çíà÷åíèÿ òîêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà è åãî ïðîèçâîäíîé

â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, èçâåñòíûå èç íàéäåííîãî ðàíåå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ

èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (*).

Èç óðàâíåíèé (***) îïðåäåëÿåì ïîñòîÿííûå A

è A

Óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ äîëæíû áûòü ñîñòàâëåíû îòíîñèòåëüíî äâóõ ïåðåìåí-

íûõ ñîñòîÿíèÿ i

= i è è

. Â ýòîé öåïè òîê è íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå

íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç îäíó èç ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ — òîê â èí-

äóêòèâíîé êàòóøêå i

= i. Èìååì i

= i

= i è u

= i

r = ri. Â ãðàôå ýëåêòðè÷åñêîé ñõå-

ìû (ñì. ðèñ. 9.14, à) êàæäûé ýëåìåíò ïðåäñòàâèì â âèäå âåòâè. Îòíåñåì âåòâü ñ

êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòè ê ñâÿçÿì, à îñòàëüíûå âåòâè — ê âåòâÿì äåðåâà (ñì.

ðèñ. 9.14, á). Èç óðàâíåíèé äëÿ ñå÷åíèÿ 2 è èç åäèíñòâåííîãî óðàâíåíèÿ äëÿ êîí-

òóðà, îáðàçîâàííîãî ñâÿçüþ 4, âûòåêàåò

==--+;.

Ìîæíî ïðåäñòàâèòü ýòè óðàâíåíèÿ â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

0000

000

Â ñîîòâåòñòâèè ñ îáîçíà÷åíèÿìè, ââåäåííûìè â § 9.2, èìååì

XA B V==

;; ;.

0000

000

Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà B

èìååò ñòîëüêî ñòîëáöîâ, ñêîëüêî âåòâåé èìååòñÿ â

ãðàôå ñõåìû, è ñòîëüêî ñòðîê, ñêîëüêî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ. Íóìåðàöèÿ âåò

âåé ãðàôà ñõåìû ïîä÷èíåíà òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñíà÷àëà ê âåòâÿì äåðåâà

îòíåñåíà âåòâü ñ ÝÄÑ, çàòåì âåòâü, ñîäåðæàùàÿ êîíäåíñàòîð, è äåðåâî äîïîëíåíî

âåòâüþ, ñîäåðæàùåé ðåçèñòîð. Âåòâü, ñîäåðæàùàÿ èíäóêòèâíóþ êàòóøêó, îòíå

ñåíà ê ñâÿçè ãðàôà ñõåìû.

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 35

Îáùåå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîãëàñíî ôîðìóëàì, ïðèâåäåííûì

â § 9.2, áóäåò

---

()

() ()

at at

---

(

dt.

Íåñìîòðÿ íà ãðîìîçäêîñòü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, èíòåãðèðîâàòü ñëå-

äóåò ôóíêöèè âèäà

()

eed

t) t

(

Åñëè å(t) = 0, i(0) = 0èè

(0) = U

, òî èìååì

---

a a

Çäåñü a

è a

— êîðíè óðàâíåíèÿ

det( ) .A1

0-=

---

+=a

LLC

9.8. Ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà íà öåïü r, L

Ðàññìîòðèì âàæíûé ñëó÷àé ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ C íà öåïü, îáëà

äàþùóþ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L. Â äàííîì ñëó÷àå ïðè

36 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ëîæåííîå íàïðÿæåíèå, à òàêæå òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ðàâíû íóëþ, ò. å.

è(t) = 0èi¢(t) = 0.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ â óðàâíåíèÿõ (***) ïðåäûäóùå

ãî ïàðàãðàôà ìû äîëæíû ïðèíÿòü i (0) = 0,

=i () ,00

è(0) = 0,

di'

=t 0

= 0. Îáîçíà

÷àÿ u

(0) = U

, ïîëó÷èì

12 0 11 22

=+ - = +AA UL A A;,aa

îòêóäà

AAA

=- = =-

-()

Îêîí÷àòåëüíî äëÿ òîêà i èìååì

()

è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ íàïðÿæåíèé íà êàòóøêå è íà êîíäåíñàòîðå

idt U

==-

=+=-

();

-().ee

Ïðè âûâîäå ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ äëÿ u

ñëå-

äóåò ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî a

= 1/(LC).

Õàðàêòåð ïðîöåññîâ ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà

îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûì â çàâèñèìî

ñòè îò òîãî, áóäóò ëè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî

óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûìè èëè êîìïëåêñíûìè,

÷òî îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè ìåæäó ïàðàìåò

ðàìè r, L è C.

Èññëåäóåì ðàçëè÷íûå âîçìîæíûå ñëó÷àè.

1. Ïóñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âå

ùåñòâåííû è îòëè÷íû äðóã îò äðóãà. Ýòî èìååò

ìåñòî ïðè óñëîâèè d > w

,ò.å.r/(2L)>1/

èëè

r >2

Òàê êàê a

<0èa

< 0 è, êðîìå òîãî, |a

| > |a

òî ïðè èçìåíåíèè t îò0äî¥ âåëè÷èíû

óáûâàþò îò 1 äî 0 è ïðèòîì ðàç

íîñòü

ttaa

âñåãäà ïîëîæèòåëüíà (ðèñ. 9.15). Ñëåäîâàòåëüíî, òîê i íå ìåíÿåò

ñâîåãî íàïðàâëåíèÿ, ò. å. êîíäåíñàòîð âñå âðåìÿ ðàçðÿæàåòñÿ; â ÷àñòíîñòè, ïðè

(0) = U

> 0 òîê âñå âðåìÿ îòðèöàòåëåí. Òàêîé îäíîñòîðîííèé ðàçðÿä êîíäåíñà

òîðà íàçûâàþò àïåðèîäè÷åñêèì ðàçðÿäîì.

Íà ðèñ. 9.16 èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè i(t),ri(t),u

(t)èu

(t). Â èíòåðâàëå âðå

ìåíè 0 < t<t

òîê ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ âîçðàñòàåò è äîñòèãàåò ìàêñèìóìà

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 37

Ðèñ. 9.15

Ðèñ. 9.16

ïðè

-ln ( )

. Çíà÷åíèå t

íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ di/dt = u

/L = 0,

ò. å. èç óñëîâèÿ a

– a

= 0. Â èíòåðâàëå âðåìåíè t

<t<¥ òîê ïî àáñî

ëþòíîìó çíà÷åíèþ óáûâàåò, ñòðåìÿñü ê íóëþ.

Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ìîíîòîííî óáûâàåò, òàêæå ñòðåìÿñü ê íóëþ.

Íà ðèñ. 9.14 ïîêàçàíû ïðèíÿòûå ðàíåå âñþäó, è â ÷àñòíîñòè ïðè ñîñòàâëåíèè

óðàâíåíèé â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå, âçàèìîîòíîøåíèÿ ìåæäó óñëîâíûì ïîëîæè

òåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà è óñëîâíûìè ïîëîæèòåëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè íà

êîíäåíñàòîðå, íà êàòóøêå è ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì. Ïðè u

>0èi

> 0 êîí

äåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ.

Â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå àïåðèîäè÷åñêîãî ðàçðÿäà ìû ïîëó÷èëè, åñòåñòâåí

íî, i < 0 ïðè u

>0.Äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà

ïîêàçàíî øòðèõîâîé ñòðåëêîé íà ðèñ. 9.17. Íà ýòîì æå ðèñóíêå äåéñòâèòåëüíûå

íàïðàâëåíèÿ íàïðÿæåíèé ïîêàçàíû çíàêàìè «+» è «–». Èç óðàâíåíèÿ

=- +

ñëåäóåò, ÷òî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè

óðàâíîâåøèâàåòñÿ ñóììîé íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êàòóøêè ñàìîèíäóêöèè è

íàïðÿæåíèÿ íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì. Â ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà

ri = 0, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà ïîëíîñòüþ óðàâíîâåøèâàåòñÿ íà-

ïðÿæåíèåì íà çàæèìàõ êàòóøêè. Òîê íà÷èíàåò âîçðàñòàòü ïî àáñîëþòíîìó çíà-

÷åíèþ èìåííî ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òîáû íàñòóïèëî òàêîå ðàâíîâåñèå. Â èíòåðâà-

ëå âðåìåíè 0 < t<t

(ðèñ. 9.16) íàïðÿæåíèå u

÷àñòè÷íî óðàâíîâåøèâàåòñÿ

íàïðÿæåíèåì íà êàòóøêå è ÷àñòè÷íî íàïðÿæåíèåì íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëå-

íèåì. Ñ âîçðàñòàíèåì t íà äîëþ êàòóøêè ïðèõîäèòñÿ âñå ìåíüøåå íàïðÿæåíèå

è, ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü íàðàñòàíèÿ òîêà óìåíüøàåòñÿ. Â ìîìåíò t

âåëè÷è

íû u

è ri îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè è ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî çíàêó (u

= – ri), ò. å.

îñòàâøååñÿ ê ýòîìó ìîìåíòó âðåìåíè íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ïîëíîñòüþ

óðàâíîâåøèâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì. Ïîýòîìó òîê

äàëüøå âîçðàñòàòü íå ìîæåò. Â ýòîò ìîìåíò îí äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, òàê êàê ïî

ñëå ýòîãî ìîìåíòà îí äîëæåí óáûâàòü âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî êîíäåíñàòîð ïðîäîë

æàåò ðàçðÿæàòüñÿ.

Íà ðèñ. 9.17 ïîêàçàíû çíàêè íàïðÿæåíèé íà êàòóøêå è íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâ

ëåíèåì â èíòåðâàëå âðåìåíè 0 < t<t

, à òàêæå ñòðåëêîé ñ õâîñòîâûì îïåðåíèåì

ïîêàçàíî äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïîòîêà ýíåðãèè â ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìå

íè. Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå è òîê â íåì ðàçíûõ çíàêîâ, è, ñëåäîâàòåëüíî,

38 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.17

ìîùíîñòü p

= u

i îòðèöàòåëüíà, ò. å. ýíåðãèÿ îòäàåòñÿ êîíäåíñàòîðîì èç åãî

ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêå è íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì

îäíîãî çíàêà ñ òîêîì, è, ñëåäîâàòåëüíî, p

= u

i>0èp

= ri

> 0, ò. å. ýíåðãèÿ ïî

ñòóïàåò â êàòóøêó, çàïàñàÿñü â åå ìàãíèòíîì ïîëå, è âûäåëÿåòñÿ â âèäå òåïëîòû

â ñîïðîòèâëåíèè.

Â èíòåðâàëå âðåìåíè t

<t<¥ íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå, òàê æå êàê è íàïðÿ

æåíèå íà êîíäåíñàòîðå, ïîëîæèòåëüíî — îíè ñîâìåñòíî ïðåîäîëåâàþò ñîïðîòèâ

ëåíèå öåïè, ÷òî ëåãêî âèäåòü èç ðàññìîòðåíèÿ çíàêîâ íàïðÿæåíèé, ïîêàçàííûõ

íà ðèñ. 9.17. Òåïåðü ìîùíîñòü p

= u

i îòðèöàòåëüíà, è êàòóøêà, òàê æå êàê è êîí

äåíñàòîð, îòäàåò çàïàñåííóþ â íåé ýíåðãèþ. Âñÿ ýòà ýíåðãèÿ ïðåâðàùàåòñÿ â òåï

ëîòó, ÷òî ïîêàçàíî ñòðåëêàìè ñ õâîñòîâûì îïåðåíèåì.

Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñîïîñòàâèòü êðèâûå íà ðèñ. 9.16 ñ êðèâûìè íà ðèñ. 9.9,

ïîëó÷åííûìè ïðè ðàññìîòðåíèè ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà íà ñîïðîòèâëåíèå r â ïðåä

ïîëîæåíèè, ÷òî L = 0. Ïðè òàêîì ïðåäïîëîæåíèè â íà÷àëüíûé ìîìåíò òîê ñêà÷

êîì ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, îïðåäåëÿåìîå îòíîøåíèåì íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ íà

ïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ê ñîïðîòèâëåíèþ. Ïðè L ¹ 0 (ðèñ. 9.16) òîê óâåëè÷è-

âàåòñÿ ïîñòåïåííî îò íóëåâîãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü

ñïàäàíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå â íà÷àëüíûé ïåðèîä ðàçðÿäà ïðè L ¹ 0

ïîëó÷àåòñÿ ìåíüøå, ÷åì ïðè L = 0.

2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

âåùåñòâåííû è ðàâíû äðóã äðóãó. Ýòî èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè d=w

,ò.å.ïðè

r = 2

. Èìååì a

= –d. Ïðè ýòîì âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà è íàïðÿæåíèé ñòà-

íîâÿòñÿ íåîïðåäåëåííûìè èç-çà ðàâåíñòâà íóëþ è ÷èñëèòåëÿ, è çíàìåíàòåëÿ.

Ðàñêðîåì ýòè íåîïðåäåëåííîñòè ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ, ñ÷èòàÿ, ÷òî a

— ïåðåìåí-

íàÿ è ñòðåìèòñÿ ê a

= –d. Äëÿ òîêà ïîëó÷èì

=- =-

lim .

Äëÿ íàïðÿæåíèé ñîîòâåòñòâåííî

Ut e

idt U U t e

== -

=+=+

();

().

Õàðàêòåð ïðîöåññîâ â ýòîì ñëó÷àå íå îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîãî âûøå, êî

ãäà d > w

. Ïðîöåññ òàêæå àïåðèîäè÷åñêèé. Ìîìåíò äîñòèæåíèÿ òîêîì ìàêñèìó

ìà àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ òåïåðü ðàâåí t

= 1/d. Äàííûé ñëó÷àé ïðè d=w

ÿâëÿ

åòñÿ ïðåäåëüíûì ñëó÷àåì àïåðèîäè÷åñêîãî ðàçðÿäà, òàê êàê ïðè äàëüíåéøåì

óìåíüøåíèè r íèæå çíà÷åíèÿ 2

ðàçðÿä ñòàíîâèòñÿ êîëåáàòåëüíûì.

3. Ïóñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè. Ýòî

èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè d < w

,ò.å.ïðèr <2

. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 39

wd w

-='

. Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðè ýòîì ìîæåì çàïèñàòü

â âèäå

add-w d+ww

add-wd-ww

=- + =-

=- - =-

;

ãäå q=arctg (w¢/–d). Óãîë q ëåæèò â ïðåäåëàõ p/2 < q < p, òàê êàê

sin cos .qww q dw=> =-<'

00è

Äëÿ òîêà èìååì âûðàæåíèå

ee ee

-=- -

2()

() (

aa w

' jt

etIet

)

sin sin .

=- =-

Äëÿ è

è è

èìååì

ee e

-=-

2()

()(

() ()

jt jt

eee

ee e

=- -

+-+

wq wq

)

=- +

Ue t

wq)

'sin( ;

eee

-=-

2()

()(

() ()

jt jt

ee e

=- -

---

wq wq

)

=- -

Ue t

wq)

'sin( .

Íà ðèñ. 9.18 èçîáðàæåíû â ôóíêöèè îò

t âåëè÷èíû ri, è

è è

. Êðèâàÿ òîêà i

ïîäîáíà êðèâîé ri. Èç ïîëó÷åííûõ àíàëèòè÷åñêèõ âûðàæåíèé, à òàêæå èç ðèñóí

êà âèäíî, ÷òî ïðîöåññ â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ

êîëåáàòåëüíûì. Òîê è íàïðÿæåíèÿ íà

âñåõ ó÷àñòêàõ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþò çíàê. Àì

ïëèòóäà êîëåáàíèé óáûâàåò ïî ïîêàçàòåëüíî

ìó çàêîíó, ñëåäîâàòåëüíî, â öåïè ñîâåðøà

þòñÿ çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ òîêà è

íàïðÿæåíèé. Óãëîâàÿ ÷àñòîòà çàòóõàþùèõ êî

ëåáàíèé

wwd'=

-= -

Ñîîòâåòñòâåííî ïåðèîä çàòóõàþùèõ

êîëåáàíèé îïðåäåëÿåòñÿ èç ôîðìóëû

== -

p .

40 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.18

Â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå r = 0 èìååì d=0, w¢=w

,èÒ ¢ = Ò

= 2p

. Â ýòîì ñëó

÷àå êîëåáàíèÿ áóäóò íåçàòóõàþùèìè, òàê êàê ýíåðãèÿ ïîëåé íå ðàññåèâà

åòñÿ. Âåëè÷èíó Ò

íàçûâàþò ïåðèîäîì íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé

è âûðàæàþùóþ åãî ôîðìóëó

2=pLC

ôîðìóëîé Òîìñîíà. Óãëîâàÿ ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé

1= LC

, êàê

âèäèì, ðàâíà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå êîíòóðà. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ïðè d=0

èìååì q=p/2, â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì

t=-

wsin

, u

= –U

sin (w

t+p/2)

è u

= –U

sin (w

t–p/2). Êðèâûå i, u

è u

äëÿ ýòîãî ïðå

äåëüíîãî ñëó÷àÿ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 9.19. Îíè ïîëíîñòüþ

ñîîòâåòñòâóþò õàðàêòåðó ýòèõ êðèâûõ ïðè óñòàíîâèâøåì

ñÿ ïðîöåññå â ñëó÷àå ðåçîíàíñà.

Ïðè r ¹ 0 èìååì w¢ < w

è Ò ¢ >Ò

. Â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå,

êîãäà r = 2

,ò.å.d=w

, ïîëó÷àåì w¢ = 0èÒ ¢ =¥. Ïðè

ýòîì êîëåáàòåëüíûé ðàçðÿä ïåðåõîäèò â àïåðèîäè÷åñêèé.

Ýòîò ïðåäåëüíûé ñëó÷àé áûë ðàññìîòðåí ðàíåå.

Áûñòðîòó çàòóõàíèÿ òîêà ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü òàê íàçûâàåìûì äåêðå-

ìåíòîì êîëåáàíèé D, ðàâíûì îòíîøåíèþ äâóõ ïîñëåäóþùèõ àìïëèòóä

îäíîãî çíàêà:

()

D= =

Ie Ie e

à òàêæå ëîãàðèôìè÷åñêèì äåêðåìåíòîì êîëåáàíèé,ðàâíûì

Jd==ln D T'.

Ïðè ìàëîì çàòóõàíèè Ò ¢ » Ò

Jd d p p p=» = = =TT

LC r

d'.

Ïðè ðàññìîòðåíèè ÿâëåíèÿ ðåçîíàíñà âåëè÷èíà d áûëà íàçâàíà çàòóõàíèåì

êîíòóðà, òàê êàê ïðè ìàëîì çàòóõàíèè îíà ïðîïîðöèîíàëüíà ëîãàðèôìè÷åñêîìó

äåêðåìåíòó êîëåáàíèé.

Îñòàíîâèìñÿ íåñêîëüêî ïîäðîáíåå íà ïðîöåññàõ, ïðîèñõîäÿùèõ ïðè çàòóõàþ

ùåì êîëåáàòåëüíîì ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà.

Â èíòåðâàëå âðåìåíè 0 < t < t

(ðèñ. 9.20, à), ïîêà òîê íàðàñòàåò îò íóëÿ äî

ìàêñèìàëüíîãî àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ, õàðàêòåð ïðîöåññà òàêîé æå, êàê è ïðè

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 41

Ðèñ. 9.19

Ðèñ. 9.20

àïåðèîäè÷åñêîì ðàçðÿäå â èíòåðâàëå 0 <t<t

. Ýòî âèäíî èç òîæäåñòâåííîñòè

ðèñóíêîâ 9.17, à è 9.20, à. Òî÷íî òàê æå õàðàêòåð ïðîöåññà ïðè êîëåáàòåëüíîì

ðàçðÿäå â èíòåðâàëå t

< t < t

(ðèñ. 9.20, á) àíàëîãè÷åí õàðàêòåðó ïðîöåññà ïðè

àïåðèîäè÷åñêîì ðàçðÿäå â èíòåðâàëå t

<t<¥ (ñì. ðèñ. 9.17, á). Ïðè àïåðèîäè÷å

ñêîì ðàçðÿäå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå è òîê óìåíüøàþòñÿ äî íóëÿ ïðè t =¥.

Íî ïðè êîëåáàòåëüíîì ðàçðÿäå ê ìîìåíòó t

, êîãäà êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ ðàç

ðÿäèòñÿ, òîê â êàòóøêå ñîõðàíÿåò åùå êîíå÷íîå çíà÷åíèå, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòà

òîì ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ ïîòåðü ýíåðãèè â ïðåäûäóùåì èíòåðâàëå âðåìåíè.

Ñîõðàíèâøàÿñÿ ê ìîìåíòó t

ýíåðãèÿ â ìàãíèòíîì ïîëå êàòóøêè è ÿâëÿåòñÿ

ïðè÷èíîé òîãî, ÷òî ïðîöåññ ïðîäîëæàåòñÿ â ïîñëåäóþùåå âðåìÿ. Â èíòåðâàëå

âðåìåíè t

< t < t

, ãäå t

= Ò ¢/2, òîê, ïîääåðæèâàåìûé ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, ïðî

äîëæàåò ïðîòåêàòü â òîì æå íàïðàâëåíèè è çàðÿæàåò êîíäåíñàòîð, ïðè÷åì íà

ïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå óæå áóäåò äðóãîãî çíàêà (è

< 0). Â ýòîì ïðîìåæóòêå

âðåìåíè (ðèñ. 9.20, â) ýíåðãèÿ èç ìàãíèòíîãî ïîëÿ êàòóøêè ÷àñòè÷íî ïåðåõîäèò

â ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà è ÷àñòè÷íî ïðåâðàùàåòñÿ â òåïëî

òó â ñîïðîòèâëåíèè r. Ê ìîìåíòó T ¢/2 êîíäåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ äî ìàêñèìàëüíî-

ãî àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ ñâîåãî íàïðÿæåíèÿ. Â ýòîò ìîìåíò i = 0èè

= –è

Â ñëåäóþùóþ ïîëîâèíó ïåðèîäà ýíåðãåòè÷åñêèé ïðîöåññ â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò-

ñÿ, íî çíàêè íàïðÿæåíèé è òîêà áóäóò ïðîòèâîïîëîæíûìè èõ çíàêàì â ðàññìîò-

ðåííîì èíòåðâàëå 0 < t < T ¢/2. Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå â ìîìåíò t = Ò ¢ áó-

äåò â D ðàç ìåíüøå íà÷àëüíîãî íàïðÿæåíèÿ U

. Êðèâûå íà ðèñ. 9.18 ïîñòðîåíû

ïðè D=4, ÷åìó ñîîòâåòñòâóþò J»ln D=1,4 è q=102°55¢.

9.9. Âêëþ÷åíèå öåïè r, L, Ñ ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå

Èññëåäóåì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè (r,L,Ñ) ïðè âêëþ÷åíèè åå ïîä ïîñòîÿí-

íîå íàïðÿæåíèå U = const ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ò. å. ïðè i (–0) = 0

è u

(–0) = 0.

Óðàâíåíèå äëÿ äàííîé öåïè

idt u u t

++ + =

() (),

êàê áûëî ïîêàçàíî â § 9.7, èìååò ðåøåíèå

ii Ae Ae

Â äàííîì ñëó÷àå òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà áóäåò ðàâåí íóëþ, ò. å. i¢=0.

Ñëåäîâàòåëüíî,

iAe Ae

LA e A e

== +

11 2 2

;

().

Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ òîêà, èìååì i(0) = 0 = A

+ A

. Èç óðàâíå

íèÿ öåïè è èç âûðàæåíèÿ äëÿ u

, ó÷èòûâàÿ, ÷òî u

(0) = 0èè(t) = U = const, íàõî

äèì ïðè t = 0

42 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé