Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
ëÿåò ýëåìåíò ìàòðèöû A, ðàâíûé +1 (íàïðèìåð, äëÿ âåòâè 5 íà÷àëüíûé óçåë â
òàáë. 9.2 ñîâïàäàåò ñ óçëîì 1; ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíò a
15
ìàòðèöû A ðàâåí +1).
Êîíå÷íûé óçåë â òàáë. 9.2 äëÿ äàííîé âåòâè õàðàêòåðèçóåò ýëåìåíò ìàòðèöû A,
ðàâíûé –1 (íàïðèìåð, äëÿ âåòâè 4 êîíå÷íûé óçåë â òàáë. 9.2 ñîâïàäàåò ñ óçëîì 3;
ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíò a
34
ìàòðèöû A ðàâåí –1). Çàìåòèì, ÷òî íîìåðà ñòîëáöîâ
ìàòðèöû A àíàëîãè÷íû íîìåðàì ñîîòâåòñòâóþùèõ âåòâåé íîðìàëüíîãî ãðàôà.
Èìååò ñìûñë ïðîèçâåñòè ïåðåíóìåðàöèþ âåòâåé òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íîìåðà
ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñ1äîl ñîâïàäàëè ñ íîâûìè íîìåðàìè âåòâåé íîðìàëüíîãî
ãðàôà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîèçâåñòè ïåðåíóìåðàöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
âåòâè 10 ïðèñâîèòü ïîðÿäêîâûé íîìåð 1 (10 ® 1), âåòâè 5 — ïîðÿäêîâûé íîìåð
2 (5 ® 2) è ò. ä.: 6 ® 3, 1 ® 4, 4 ® 5, 9 ® 6, 3 ® 7, 8 ® 8, 2 ® 9, 7 ® 10. Òàêóþ
ïåðåíóìåðàöèþ ñëåäóåò ïðîèçâåñòè äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïóòàíèöû â îáîçíà÷åíèÿõ
ìàòðèö A, C, D è ïåðåõîäà ê ïðèâû÷íîìó ñïîñîáó ñ÷åòà íîìåðîâ ñòðîê è ñòîëá
-
öîâ ìàòðèö (a
ij
áóäåò õàðàêòåðèçîâàòü ýëåìåíò ìàòðèöû A, ïðèíàäëåæàùèé i-é
ñòðîêå è j-ìó ñòîëáöó).
Ñèñòåìó óðàâíåíèé Cu = 0 è Di = 0 ìîæíî çàïèñàòü â ðàçâåðíóòîì âèäå:
Cu F 1
u
u
Fuu0 u Fu==+= =-
ä
ñ
äc c ä
èëè ;
Di 1 F
i
i
iFi0 i Fi=- =- = =
tt t
ä
ñ
äñ ä ñ
èëè ;
Óðàâíåíèÿ äëÿ ïîäìàòðèö òîêîâ è íàïðÿæåíèé
iiiiuuuuu
cccccc cccc
=ÁÁ=
ÁLGC
t
LGC
t
;;
iiiii uuuuu
ääääää ääää
==
EÑR L
t
ECR L
t
;
ìîæíî çàïèñàòü â ðàçâåðíóòîì âèäå ÷åðåç ìàòðèöó F:
uFuFuFuFu
ÁÁ Á Á Á
=- - - -
ñ
ääääEE CC RR LL
;
(1)
uFuFuFuFu
L LE E LC C LR R LL L
ñ
ääää
=- - - - ;
(2)
uFuFuFu
GGEEGCCGRR
c
äää
=- - - ;
(3)
uFuFu
CCEECCCcää
=- - ;
(4)
iF FiFiFi
EE
t
LE
t
LGE
t
GCE
t
C
ä
cccc
=ÁÁ+ + +
Á
;
(5)
iF FiFiFi
ÑC
t
LC
t
LGC
t
GCC
t
C
ä
cccc
=ÁÁ+ + +
Á
;
(6)
iF FiFi
RR
t
LR
t
LGR
t
Gäccc
=ÁÁ+ +
Á
;
(7)
iF Fi
LL
t
LL
t
Läcc
=ÁÁ+
Á
.
(8)
Ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó ñîîòíîøåíèþ è çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè,
ïðè íàëè÷èè âçàèìíîé èíäóêòèâíîé ñâÿçè ìåæäó âñåìè êàòóøêàìè èíäóêòèâ
-
íîñòè ìîæíî çàïèñàòü
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 63
u
u
LL
LL
i
i
LL
LL
L
L
L
L
d
dt
d
dt
ä
ñ
ä,ä ä,c
c, ä c,c
ä
c
ä,ä ä,c
c,ä c
==
,c
cc
c
FFi
i
L
t
LL
t
L
L
Á
ÁÁ+
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
, (9)
ãäå i
Lä
, u
Lä
— ïîäìàòðèöû òîêîâ è íàïðÿæåíèÿ èíäóêòèâíûõ êàòóøåê, âîøåäøèõ
â äåðåâî ãðàôà; i
Lc
, u
Lc
— ïîäìàòðèöû òîêîâ è íàïðÿæåíèÿ êàòóøåê èíäóêòèâíî
-
ñòè ýëåìåíòîâ, âîøåäøèõ â ïîäãðàô ñâÿçåé.
Òàêæå, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ äëÿ òîêîâ ÷åðåç êîíäåíñàòîðû, ïîëó÷àåì
i
i
C0
0C
u
u
C
C
C
C
d
dt
ä
ñ
ä
c
ä
c
= .
(10)
Äëÿ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ
i
i
G0
0R
u
u
G
R
G
R
d
dt
ä
ñ
ä
c
–1
ä
c
=
èëè
u
u
G0
0R
i
i
G
R
G
R
d
dt
ä
ñ
ä
–1
c
ä
c
= .
(11)
Åñëè êàæäûé èç ïîäãðàôîâ ðåçèñòèâíûõ âåòâåé, âõîäÿùèõ â äåðåâî èëè ïîä
-
ãðàô ñâÿçåé, ñîäåðæèò óïðàâëÿåìûå íàïðÿæåíèåì èñòî÷íèêè òîêà, òî îíè ìîãóò
áûòü ó÷òåíû â ìàòðèöàõ G
ä
è R
ñ
. Íàïðèìåð, åñëè â i-é ðåçèñòèâíîé âåòâè, âõîäÿ-
ùåé â äåðåâî, èìååòñÿ èñòî÷íèê òîêà
ÁÁ=
iijj
gu
, óïðàâëÿåìûé íàïðÿæåíèåì j-é
ðåçèñòèâíîé âåòâè äåðåâà u
j
, òî ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò g
ij
ìàòðèöû G
ä
ðàâåí g
ij
.
(Çàìåòèì, ÷òî g
ij
= 0, åñëè â âåòâè i îòñóòñòâóåò óïðàâëÿåìûé íàïðÿæåíèåì u
j
èñ-
òî÷íèê òîêà.) Òî÷íî òàê æå, åñëè â ïîäãðàôå ñâÿçåé ñîäåðæèòñÿ óïðàâëÿåìûé íà-
ïðÿæåíèåì ñâÿçè u
s
èñòî÷íèê òîêà Á
q
= g
sq
u
s
, òî åãî ìîæíî ó÷åñòü äîáàâëåíèåì
â ïîäìàòðèöó G
c
ýëåìåíòà g
sq
. Ïóòåì âçàèìíûõ ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
èñòî÷íèêîâ òîêà è ÝÄÑ ìîæíî ó÷åñòü âñå âèäû çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ. Ïðè íà-
ëè÷èè èñòî÷íèêîâ òîêà, óïðàâëÿåìûõ íàïðÿæåíèåì âåòâåé äåðåâà, ïîñëåäíåå âû-
ðàæåíèå èìååò âèä
i
i
GG
GG
u
u
G
R
G
R
d
dt
ä
ñ
ä,ä ä,ñ
ñ,ä ñ,ñ
ä
c
=
èëè
u
u
GG
GG
i
i
G
R
G
R
d
dt
ä
ñ
ä,ä ä,ñ
ñ,ä ñ,ñ
ä
c
= .
Äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøèõ âûêëàäîê ïðåäïîëîæèì, ÷òî â öåïè óïðàâëÿå
-
ìûå èñòî÷íèêè òàêîâû, ÷òî èõ ìîæíî ó÷åñòü â ïîäãðàôàõ
G
ä,ä
= G
ä
, G
ñ,ñ
= G
ñ
,(G
ä,ñ
= G
ñ,ä
= 0).
 ñèñòåìå (1)—(8) äèôôåðåíöèàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ (2) è (6). Äëÿ
íèõ
d
dt
C
t
LC
t
LGC
t
GCC
t
C
Cu F Fi Fi Fi
c,ä ñ,ä c c c c
=ÁÁ+ + +
Á
;
(12)
d
dt
L L LE E LÑ Ñ LR R LL L
L i Li Fu Fu Fu Fu
ñ,ä ä ñ,c c ä ä ä ä
+=----.
(13)
Ñîãëàñíî (3) è (7)
Gu F F i F G F u F u F u
ää c c c ä ä äRR
t
LR
t
LGR
t
GE E GC C GR R
=ÁÁ+ + - -
Á
();
u G FGF F Fi FGFu
RGR
t
GR R
t
LR
t
LGR
t
GE E
+
ää c c c cä
=ÁÁ+ - -
Á
()(
–1
FGF u
GR
t
GC Ccä
);
64 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ri F u F u F R F F i F i
cc ä ä ä c c cGGEEGCCGR R
t
LR
t
LGR
t
G
=- - - ÁÁ+ +
Á
();
(14)
iRFRF FuFuFRF F
GGRGR
t
GE E GÑ Ñ GR R
t
cc ä ä ä äc
=+ - - - ÁÁ-
Á
()(
–1
GR LR
t
L
RF i
äc
).
(15)
Èç (8) è (9), à òàêæå (4) è (10) ñëåäóåò
uLFFiLi
LL
t
LL
t
LL
d
dt
ää,äñ ñäñä
=ÁÁ+ +
Á
[( ) ];
(16)
iCuCFuFu
CC CEECCC
d
dt
d
dt
cc,ccc,c ää
==--() ( ).
(17)
Ïîäñòàâèâ â (12) èç (15) è (17), à â (13) èç (14) è (16) è ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ
RR FRF GG FGF CC FCF=+ =+ =+
cä äc äcGR GR
t
GR
t
GR CC
t
CC
;;;
LL FLF FL LF=+ + +
c,c ä,ä ä,c c,äLL LL
t
LL LL
t
,
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
d
dt
d
dt
C
L
C
L
EE
C0
0L
u
i
A
u
i
B
u
B
u
ä
c
ä
c
ä
c
ä
c
=+
ÁÁ
+
ÁÁ
11 2
,
ãäå
A
FRF F FRFRF
FFGF
1
11
1
=
--
-
GC
t
GC LC
t
GC
t
GR LR
t
LC LR
+
––
–
()
(
ä
GR
t
GC LR LR
t
GF F G F
c
)
;
–
-
1
B
FRF F FRFRF
FFGF
1
11
1
=
--
-
ÁÁGC
t
GE C
t
GC
t
GR R
t
LE LR
+
––
–
()
(
ä
GR
t
GE LR R
t
GF F G F
c
)
;
–
-
Á
1
B
FCF 0
0FLFLF
2
=
-
--
ÁÁ
CC
t
CE
LL L
t
L
t
c
ä,ä c,ä
()
.
Åñëè
x
u
i
A
C0
0L
AB
C0
0L
BB u
u
== = + =
ÁÁ
C
L
E
d
dt
ä
c
ä
c
;; ;,
––1
1
1
12
òî ìîæíî óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
d
dt
.
x
Ax Bu=+
Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà êîòîðîé ïðåäñòàâëåíà íà
ðèñ. 9.32, à, èìååì:
RG RRFRF
äc cä
===+ =+--=+=rg rrrrr
GR GR
t
12 2112
11;; ;
CL GGFGF
cä,ä äc
===+=+--=+=CL ggggg
GR
t
GR74 1212
11;; ;
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 65
LLC
c,c ä,c ä
===
LM
ML
MM
C
C
338
83 8
34 84
5
6
0
0
;;.
Ýëåìåíòû ìàòðèöû
A
aa
aa
1
11 12
21 22
= :
aFRF
11
1
1
1
1
11
1
11
11
=- =-
-
-=-
-
-
GC
t
GC
r
r
–
–
;
aFFRFRF
12
1
1
01
10
1
1
101=- =
-
-
-
-
-=
LC
t
GC
t
GR LR
t
r
r
–
ä
=
-
-
-
-
=
-
--
01
10
01
01
0
1
1
2
1
r
r
rr
rr
;
aFFGFGF
21
1
2
01
10
0
1
11 1=- = + - - =
LC LR GR
t
GC
+
g
g
–
c
=+
-
=
01
10
00
11
01
2
21
g
g
rrrr
;
aFGF
22
1
1
0
1
01
1
00
01
=- =- =
LR LR
t
g
g
–
–
.
Ýëåìåíòû ìàòðèöû
B
bb
bb
1
11 12
21 22
= :
bFRF
11
1
1
1
1
1
1
1
1
=- =-
-
-=-
-
GC
t
GE
rr
–
;
bFFRFRF
12
1
11
0
0
1
1
11
1
1
=- =-
-
--=-
-
=
-
ÁÁC
t
GC
t
GR R
t
r
r
r
r
r
–
ä
1
1
r
rr
;
bFFGFGF
21
1
22
0
1
0
1
11
0
1
0
1
0
=- =
-
+--=
-
+=
LE LR GR
t
GE
+
g
g
g
g
–
c
- gg
1
;
bFGF
22
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
=- =- - = =
ÁLR R
t
ggg
–
.
Ýëåìåíòû ìàòðèöû
B
bb
bb
2
11 12
21 22
=
¢¢
¢¢
:
¢
=- =-
-
=
¢
=
¢
=bFCF b b
11 7 12 21
1
1
0
0
0
0
0
0
0
CC
t
CE
C
c
;;;
66 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
¢
=- - =-
-
==
ÁÁ
bFLFLF B0
22 4 2
1
1
0
0
0
LL L
t
L
t
L
ä,ä c,ä
;
.
Ìàòðèöà èíäóêòèâíîñòåé
LL FLF FL LF=+ + + =
CC LL LL
t
LL LL
t
ä,ä ä,c cä
=+
-
-
--+
-
-
+--
LM
ML
LMM
M
M
338
83 8
43484
43
48
1
1
11
1
1
11.
Ïðè M
38
= M
83
= M
34
= M
43
= M
48
= M
84
= 0
L =
+
+
LL L
LLL
34 4
484
.
Ìàòðèöà
CCF
äc
===-
C
C
C
CC
5
6
7
0
0
11;; ;
CC FCF=+ = +
-
-=
+-
-+
äcCC
t
CC
C
C
C
CC C
CCC
5
6
7
57 7
767
0
0
1
1
11 .
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
d
dt
u
u
i
i
CC C
CCC
LL L
LLL
5
6
3
8
57 7
767
34 4
484
00
00
00
00
=
+-
-+
+
+
´
´
--
---
+
-11 0
111
0100
01
1
2
1
21
5
6
3
8
1
rr rr
rr rr
rr rr g
u
u
i
i
rrr
-
-
Á
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
1
00
1
1
1
rrr
gg g
E
.
Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
äîëæíà áûòü äîïîëíåíà íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè äëÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ.
Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ñîâîêóïíîñòè ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿ
-
ìè ïðåäñòàâëÿåò òàê íàçûâàåìóþ çàäà÷ó Êîøè. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è
ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëåäóþùåì ïàðà
-
ãðàôå.
9.14. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ â îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíûõ óðàâíå
-
íèé, çàïèñàííóþ â íîðìàëüíîé ôîðìå
&
(, ), ( ) ,xfx x x==tt
00
ãäå x = x(t) — âåêòîð ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ, f — âåêòîð-ôóíêöèÿ. Äëÿ ñîêðàùå
-
íèÿ çàïèñè è â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåïðèíÿòûìè ïðè èçëîæåíèè ÷èñëåííûõ ìåòî
-
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 67
äîâ îáîçíà÷åíèÿìè áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìå
-
íè òî÷êó íàä ïåðåìåííîé.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ áóäåì èñêàòü íà îòðåçêå [t
0
, t
0
+ T ] â âèäå òàáëèöû.
t
t
0
t
0
+ ht
0
+2h ... t
0
+ nh ...
t
0
+ Nh = t
0
+ T
xx(t
0
)
$
()x th
0
+
$
()x th
0
2+
...
$
()x tnh
0
+
...
$
()x tT
0
+
Çäåñü h > 0 — íåêîòîðàÿ ìàëàÿ âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ øàãîì èíòåãðèðîâà
-
íèÿ èëè øàãîì äèñêðåòíîñòè (äèñêðåòèçàöèè) òàáëèöû. Âûáîð ýòîé âåëè÷è
-
íû äîëæåí îáåñïå÷èâàòü âîçìîæíîñòü àïïðîêñèìàöèè òî÷åê
$
()
$
()xxttnh
n
=+
0
,
n = 0, 1, 2, …, N, N = T/h òàêîé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ âîñïðîèçâîäèëà áû âñå îñîáåí
-
íîñòè èññëåäóåìîãî ïðîöåññà x(t) ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòèêè òî÷íîñòüþ. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé
$
()x tnh
0
+
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå çàìåíÿþò àëãåá
-
ðàè÷åñêèì, íàçûâàåìûì ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì âèäà
hhj(
$
,) [
$
(,
$
,)] ,xx xha hbt h
rk nk rk nk nk
k
r
=- =
-- - - -
=
å
0
0
â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû a
r
, b
r
îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ, à r £ n £ N. Ïðè
ýòîì çíà÷åíèÿ
$$
()xx
nn
t=
, ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùèå
xx
nn
t= ()
, îïðåäåëÿþò êàê
ðåøåíèÿ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïîñëåäîâàòåëüíî òî÷êà çà òî÷êîé.
Ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ òàáëèöû ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé íàçûâàþò ÷èñ-
ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì (÷èñëåííûì ðåøåíèåì) äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-
íåíèÿ. Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå íàçûâàþò ìåòîäîì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
(ðàçíîñòíîé ñõåìîé). ×èñëî r ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, êî-
òîðûé îïðåäåëÿåò ÷èñëî äîïîëíèòåëüíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ
îäíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ñîâîêóïíîñòü íà÷àëüíûõ
óñëîâèé
$
,
$
, ...,
$
xx x
01 1r-
äëÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàþò íà÷àëîì òàáëèöû,à
ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé
$
x
r-1
— ñòàðòîâûì àëãîðèòìîì. Îòìåòèì, ÷òî ïðè
r = 1 ìåòîä ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íàçûâàþò îäíîøàãîâûì, à ïðè r >1—ìíîãî
-
øàãîâûì.
Ïðîñòåéøèå ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ îñíîâûâàþòñÿ íà èäåÿõ, âû
-
ñêàçàííûõ Ýéëåðîì, Êîøè, Ðóíãå, è íîñÿò èõ èìåíà. Ðàññìîòðèì ýòè èäåè è ìå
-
òîäû ïîäðîáíåå.
Îäíà èç èäåé ïîñòðîåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ïî èñõîäíîìó äèôôåðåí
-
öèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñîñòîèò â ïðèìåíåíèè ê íåìó ôîðìóëû Íüþòîíà—Ëåéá
-
íèöà
xx fx xf x( ) ( ) (, ()) ( ) ( , (tt dtt
nn
t
t
nn
n
n
++
=+ =+ -
+
ò
11
1
ttt ttd
n
h
+
-
ò
1
0
tt))
ñ ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèåé ïîëó÷åííîãî èíòåãðàëà.
Íàïðèìåð, ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà (ìåòîä ëîìàíûõ) ñîîòâåòñòâóåò ïðèáëèæåí
-
íîìó âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà ïî ñïîñîáó ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïðè ýòîì ïî
-
ñëåäíåå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
$$
,(,
$
).xxfffx
nnnn nn
ht
+
=+ =
1
68 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ê íåÿâíîìó ìåòîäó Ýéëåðà (íåÿâíîìó ìåòîäó ëîìàíûõ) ïðèâîäèò ïðèáëè
-
æåííîå âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïî ñïîñîáó ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ:
$$
,(,
$
).xxfffx
nnnn nn
ht
+++++
=+ =
11111
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íå ðàçðåøåíî îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî
çíà÷åíèÿ
$
x
n+1
. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî è îáóñëîâèëî íàçâàíèå ìåòîäà ÷èñëåííîãî èí
-
òåãðèðîâàíèÿ êàê íåÿâíîãî.  îáùåì ñëó÷àå ìåòîä íàçûâàþò íåÿâíûì, åñëè b
r
¹ 0,
è ÿâíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íåÿâíûì, íàïðèìåð, ÿâëÿåòñÿ ìåòîä òðàïåöèé
()
$$
,xx ff
nn nn
h
++
=+ +
11
2
ïîëó÷àåìûé ïðè àïïðîêñèìàöèè èíòåãðàëà â ôîðìóëå Íüþòîíà—Ëåéáíèöà ïî
ìåòîäó òðàïåöèé.
Îáîáùåíèåì äâóõ ïîñëåäíèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ëèíèãåðà—Óèëëàáè
$$
[( )
$
&
$
&
]; ,xx x x
nn n n
h
++
=+ - + ££
11
1012mm m
êîòîðûé ïðè m=0 ñîâïàäàåò ñ íåÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà, à ïðè m=0,5 — ñ ìåòî
-
äîì òðàïåöèé.
Ïðè ïîñòðîåíèè ðàçíîñòíûõ ñõåì íàðÿäó ñ ôîðìóëîé Íüþòîíà—Ëåéáíèöà
èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ,
íàïðèìåð ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ðÿäà Òåéëîðà
xx
xx
() ()
!
()
()
!
(
tth
h
k
dt
dt
h
dt
nn
k
k
n
k
n
+
-
+
=+ +
-
+
1
1
1
t
n
t
n
n
)
,
d
d
h
k
t
t
n
n
+
=
ò
å
1
0
1
ãäå âûñøèå ïðîèçâîäíûå íàõîäÿò ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî äèôôåðåíöèðîâà-
íèÿ ïðàâîé ÷àñòè èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè ïðåíåáðåæå-
íèè èíòåãðàëîì â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïîëó÷àþò ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ïåð-
âîãî ïîðÿäêà
$$
!
.xx f
nn
kk
k
n
k
h
h
k
d
dt
+
--
-
=
=+
å
1
11
1
1
n
(*)
Ïðè n=1 ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ ðàíåå ðàññìîòðåííûì óðàâíåíèåì
ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà. Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íàçûâàþò ïî ÷èñëó
ó÷èòûâàåìûõ ïðîèçâîäíûõ ìåòîäîì ñòåïåíè n.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íå âû÷èñëÿòü íåïîñðåäñòâåííî ïðîèçâîäíûå ïðàâîé ÷àñòè
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðè ðåàëèçàöèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, îáû÷íî èñ
-
ïîëüçóþò èäåþ Ðóíãå. Ïðè ýòîì âìåñòî óðàâíåíèÿ (*) ïðèìåíÿþò ðàçíîñòíîå
óðàâíåíèå âèäà
$$
(,
$
,).xx x
nn nn
ht h
+
=+
1
jj
Ôóíêöèþ
jj(,
$
,)th
nn
x
ñòðîÿò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ðàçëîæåíèå ïî ñòåïå
-
íÿì h â òî÷êå t
n
ñîâïàëî äî h
n –1
âêëþ÷èòåëüíî ñ ðàçëîæåíèåì â (*). Ìåòîäû ïîäîá
-
íîãî òèïà íàçûâàþò ìåòîäàìè Ðóíãå—Êóòòà. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóþò ìåòîäû:
à) ìåòîä Ýéëåðà—Êîøè
()
$$
;xx kk
nn nn
h
+
=+ +
112
2
kfk f x k
1211nn n nn n
th== +
+
,(,
$
);
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 69
á) óñîâåðøåíñòâîâàííûé ìåòîä ëîìàíûõ
$$
;xxk
nn n
h
+
=+
12
kfk f x k
12 1
22
nn n n n n
t
hh
==++
æ
è
ç
ö
ø
÷
,,
$
;
â) ìåòîä ÷åòâåðòîé ñòåïåíè
()
$$
;xx k k kk
nn nnnn
h
+
=+ +++
11234
6
22
kfk f x k
12 1
22
nn n n n n
t
hh
==++
æ
è
ç
ö
ø
÷
,,
$
;
()
kf x k kf xk
3243
22
nn n nnnnn
t
hh
th=+ +
æ
è
ç
ö
ø
÷
=+ +,
$
,,
$
.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîãóò áûòü ñêîíñòðóèðîâàíû è íåÿâíûå ìåòîäû
Ðóíãå—Êóòòà.
Ðàññìîòðåííûå ïðîñòûå è ïîëüçóþùèåñÿ øèðîêîé èçâåñòíîñòüþ ìåòîäû
íàçûâàþò èíîãäà êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñóùåñò-
âóåò è ìíîæåñòâî äðóãèõ ìåòîäîâ — ìåòîäû Àäàìñà, Ìèëíà (îòíîñÿòñÿ ê ìåòî-
äàì êëàññè÷åñêîãî òèïà) è áîëåå ñëîæíûå ìåòîäû òèïà ìåòîäîâ Øèõìàíà, Ãèðà
è ò. ä. Ïðè âûáîðå ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïðåæäå âñåãî ðóêîâîä-
ñòâóþòñÿ ïîëó÷åíèåì ðåçóëüòàòà (òàáëèöû) ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ è â òðåáóå-
ìîå âðåìÿ. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü õàðàêòåðèñòèêè èñïîëüçóåìîãî
êîìïüþòåðà — îãðàíè÷åííîñòü ðàçðÿäíîé ñåòêè, áûñòðîäåéñòâèå, îáúåì îïåðà-
òèâíîé ïàìÿòè è ò. ä.
Âàæíîé ïðîáëåìîé ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ
ÿâëÿåòñÿ âûáîð øàãà äèñêðåòèçàöèè. Âûáîð áîëüøîãî øàãà íàðóøàåò àäåêâàò-
íîñòü ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ðåøàåìûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, ÷òî
ïðèâîäèò ê áåññìûñëåííîìó ðåçóëüòàòó. Åñëè æå øàã âûáðàí ñëèøêîì ìàëûì, òî
ðàñ÷åò ïîòðåáóåò áîëüøèõ âðåìåííûõ çàòðàò, à íàêîïëåíèå îøèáîê îêðóãëåíèÿ
ìîæåò ïðèâåñòè ê ñóùåñòâåííîìó èñêàæåíèþ ðåçóëüòàòà. Ïîýòîìó ïðîãðàììíûå
ðåàëèçàöèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ äîëæíû âêëþ÷àòü ïðîöåäóðó âû
-
áîðà øàãà, àâòîìàòè÷åñêè ó÷èòûâàþùóþ îñîáåííîñòè êàæäîãî ðåøàåìîãî óðàâíå
-
íèÿ ñîñòîÿíèÿ. Ïðè÷åì äëÿ ñîçäàíèÿ ýôôåêòèâíûõ è íàäåæíûõ ïðîãðàìì ÷èñ
-
ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ òðåáóþòñÿ òàêèå ïðîöåäóðû, êîòîðûå ïðè ìèíèìàëüíûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàòàõ îáåñïå÷èâàþò âûáîð øàãà äèñêðåòèçàöèè, áëèçêîãî ê
îïòèìàëüíîìó. Ïðèìåíèòåëüíî ê ðåàëèçàöèè êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâà
-
íèÿ ïîäîáíûì òðåáîâàíèÿì óäîâëåòâîðÿþò àëãîðèòìû âûáîðà øàãà, îñíîâàííûå
íà ïðàâèëå Ðóíãå, ïîçâîëÿþùåì îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèô
-
ôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Ïðè ðàññìîòðåíèè ýòîãî ïðàâèëà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
&
(,)xfx= t
, x(t
0
) = x
0
, x Î R
m
ìåòîäîì ñòåïåíè n
ïåðâîíà÷àëüíî âûáðàí øàã h è âû÷èñëåíî çíà÷åíèå ðåøåíèÿ â òî÷êå t
0
+ h. Îáî
-
çíà÷èì âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå êàê
x
h
n
(t
0
+ h). Îíî îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîãî çíà
-
÷åíèÿ ðåøåíèÿ x(t
0
+ h) â òî÷êå t
0
+ h íà ïîãðåøíîñòü ìåòîäà ñòåïåíè n íà øàãå h,
ò. å.
70 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
{}
xx RRMM()
$
(), , ,th th h m
hhh i00
1
+= ++ = =
+nn
diag
ãäå m
i
— íåêîòîðûå ÷èñëà. Óìåíüøèì øàã â äâà ðàçà è âû÷èñëèì çíà÷åíèå ðåøå
-
íèÿ
$
()x
h
th
20
n
+
â òîé æå òî÷êå çà äâà øàãà, ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëèâ çíà÷åíèå
$
()x
h
th
20
2
n
+
â òî÷êå t
0
+ h/2. Èñòèííîå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ
xx Rx M()
$
()
$
()th th th
h
hhh020 220
1
22
2
+= ++ = ++
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
nn
n
=++
-
$
() ,xR
hh
th
20
2
nn
ãäå R
h/2
= M(h/2)
n+1
— ïîãðåøíîñòü äàííîãî ìåòîäà íà øàãå h/2. Ñëåäîâàòåëüíî,
ìîæíî îöåíèòü ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå
-
íèÿ ìåòîäîì ñòåïåíè n íà øàãå h:
R
xx
h
hh
th th
=
+- +
-
-
$
()
$
()
.
20 0
12
nn
n
Ïîäîáíûé äâóêðàòíûé ðàñ÷åò îäíîé òî÷êè ðåøåíèÿ äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè
âû÷èñëåíèÿ íàçûâàþò ïðàâèëîì Ðóíãå.
9.15. Óñòîé÷èâîñòü ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Ïðè âûáîðå øàãà äèñêðåòèçàöèè ñóùåñòâåííûì îãðàíè÷åíèåì ïîìèìî ñîîá-
ðàæåíèé òî÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ è òðåáîâàíèå îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñò-
âóþùåé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Äëÿ çíàêîìñòâà ñ ïîíÿòèåì óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñò-
íîé ñõåìû è ñîîòâåòñòâóþùåãî åé ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðàññìîò-
ðèì àâòîíîìíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
&
,,(),[,].xAxx x x=Î =ÎRtT
m
00
0
(*)
Ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ l
k
,
km= 12, , ...,
ìàòðèöû
A ðàçëè÷íû. Ïðè ýòîì ðåøåíèå (*) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè âåùåñòâåí
-
íûå ÷àñòè âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû A îòðèöàòåëüíû, ò. å. Re l
k
<0,è
íåóñòîé÷èâî, åñëè âåùåñòâåííûå ÷àñòè íåêîòîðûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðè
-
öû ïîëîæèòåëüíû. Åñëè Re l
k
£ 0,
km= 12, , ...,
, è íåêîòîðûå ñîáñòâåííûå çíà÷å
-
íèÿ èìåþò íóëåâóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü, òî ðåøåíèå x ñ÷èòàåòñÿ óñòîé÷èâûì
(íî íå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì). Ñîîòâåòñòâåííî âûäåëåííûì òðåì ñëó÷à
-
ÿì è óðàâíåíèå (*) ñ÷èòàþò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, íåóñòîé÷èâûì èëè
ïðîñòî óñòîé÷èâûì.
Ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (*) çàìåíÿþò
ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì, óñòîé÷èâîñòü êîòîðîãî çàâèñèò óæå íå òîëüêî îò ñïåê
-
òðà ìàòðèöû A, íî è îò ïàðàìåòðîâ ðàçíîñòíîé ñõåìû. Äëÿ îöåíêè óñòîé÷èâîñòè
ðàçíîñòíûõ ñõåì ðàñùåïèì ñèñòåìó (*) íà m íåñâÿçàííûõ óðàâíåíèé, ò. å. ïðåîá
-
ðàçóåì åå ê äèàãîíàëüíîìó âèäó
&
, , , ..., ;yyk m
kkk
==l 12
&
{} ,() , [,]yyyySx
kk
m
,R tT=Î=Î
-
diag l 00
1
0
(**)
ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííûõ x = Sy, ãäå S — ìàòðèöà ïðàâûõ ñîáñòâåííûõ âåêòî
-
ðîâ ìàòðèöû A. Òàê êàê õàðàêòåðèñòèêè óñòîé÷èâîñòè ýòîé ïîñëåäíåé ñèñòåìû
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 71
è ñèñòåìû (*) ñîâïàäàþò, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíûõ
ñõåì ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî óðàâíåíèå
&
,() ,xxx x==l 0
0
(***)
ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îáîáùåííóþ çàïèñü ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ. Êîýôôè
-
öèåíò l â ýòîì óðàâíåíèè â îáùåì ñëó÷àå ñ÷èòàþò êîìïëåêñíûì è ðàâíûì
l=a+ jw, ïîñêîëüêó êîìïëåêñíûìè ìîãóò áûòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ l
k
ìàòðè
-
öû À.
Ïðèìåíèì äëÿ ðåøåíèÿ ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ÿâíîãî
ìåòîäà Ýéëåðà
$$ $ $
()
$
.xxhx x hx
nn n n n++
=+ =+
11
1llèëè
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, äèñêðåòíîãî àíàëîãà îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëü
-
íîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
&
xx=l
, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
$
x
n
n
=r r
0
.
Òîãäà r
0
r
n+1
= (1 + l h) r
0
r
n
, îòêóäà
rl lr=+ = + =11
00
hx h x
n
n
,
$
(), .
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî òàêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
&
xx=l
âûòåêàåò èç ïðèáëèæåí
-
íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà â äèñ-
êðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè:
xt xnh x xe x e x h
h
nn
nh h n
() ( ) ( )
()
!
=== = =+++
æ
è
ç
00 0
2
1
2
ll
l
l
K
ç
ö
ø
÷
÷
»+
n
n
xh
0
1().l
Åñëè l <0èh èìååò òàêîå çíà÷åíèå, ÷òî
||11+>lh
, òî àáñîëþòíîå çíà÷åíèå
ðåøåíèÿ x
n
óâåëè÷èâàåòñÿ, â òî âðåìÿ êàê òî÷íîå ðåøåíèå ìîíîòîííî óáûâàåò
ñ ðîñòîì n.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëó÷àé l=–0,5 c
–1
, h = 4,1 c. Òîãäà lh = –2,05;
1+lh = –1,05. Òî÷íîå ðåøåíèå x
0
e
–2,05n
ìîíîòîííî óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì
n = 0, 1, 2, … (òàáë. 9.3).
Òàáëèöà 9.3
n 012345
e
n-205,
1 0,12835 0,01657 0,00213 0,00027 0,000035
()1 +lh
n
1 –1,05 1,1025 –1,1576 1,2155 –1,2763
Ðåøåíèå æå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííûì è ðàñòóùèì
ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ (òàáë. 9.3). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îáåñïå÷åíèÿ àñèìï
-
òîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû
||11+<lh
èëè (1 + ha)
2
+(hw)
2
< 1, ãäå a=Re l; w=Im l. Ìíîæåñòâî çíà÷å
-
íèé hl, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ
ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ òåñòîâîãî óðàâíåíèÿ (***), íàçûâàþò îáëàñòüþ
óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ, â êîì
-
ïëåêñíîé ïëîñêîñòè hl. Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè ÿâíîãî ìåòîäà
Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííîñòü êðóãà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì hw=0,
ha=–1 (ðèñ. 9.33). Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè ÷èñòî ìíèìîì l (a=0)
72 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé