Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

íîñòüþ, íî òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à òîêè â îáåèõ êàòóøêàõ

ñòàëè ðàâíûìè äðóã äðóãó, îòñóòñòâóåò, òàê êàê åñòü ïóòü äëÿ òîêà ÷åðåç âòîðóþ

âåòâü, â êîòîðîé íåò èíäóêòèâíîñòè è â êîòîðîé òîê ìîæåò ìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ òîêà i

â ýòîì ñëó÷àå ïðîùå âñåãî ïîñòóïèòü

ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âû÷èòàÿ âòîðîå óðàâíåíèå (*) èç ïåðâîãî, ïîëó÷èì óðàâíå

íèå ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îáà èñòî÷

íèêà ÝÄÑ:

ri L

dt C

idt u ri e e

C11 1

22 1 2

0+- --=-

() .

Îòñþäà îïðåäåëèì

ïðè t = 0:

ee riu ri

1211 22

00 0 0 0

=-- + +

() () () () ().

Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì

=+ --ee r

121

Â ýòîì óðàâíåíèè â ìîìåíò t = 0 íåèçâåñòíû

Îïðåäåëèì

èç âòîðîãî êîíòóðíîãî óðàâíåíèÿ (*):

erii irL

2312 223

0000

=- +- -

() [ () ()] ()

().

Ïîäñòàâëÿÿ

â ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå, ïîëó÷èì çíà÷åíèå âòîðîé ïðî

èçâîäíîé òîêà i

ïðè t = 0.

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ èìååì

iiAAA

1 1 11 12 13

00() () ;=

+++

++ +

AAA

111 2 12 3 13

aa a;

11 2

12 3

+++

AAAaaa,

ãäå âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñëåâà, óæå îïðåäåëåíû. Ðåøàÿ ñîâìåñòíî ýòè òðè óðàâíå

íèÿ, íàéäåì ïîñòîÿííûå A

, A

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà i

, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîòîðîãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

iiAe Ae Ae

ttt

2 2 21 22 23

123

+++

aaa

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 53

ìîæíî ïðîèçâåñòè àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åòû, ïðè÷åì âûðàæåíèå äëÿ (d

/dt

)

t=0

ëåã

êî îïðåäåëèòü ïî èçâåñòíîé (d

/dt

)

t=0

è ïî îñòàëüíûì âåëè÷èíàì, îïðåäåëåí

íûì âûøå äëÿ i

2. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà öåïè ñî âçàèìíîé èíäóêöèåé ðàññìîòðèì ðàñ÷åò

öåïè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.30. Óðàâíåíèÿ äëÿ ýòîé öåïè èìåþò âèä

ir L

ri L

11 1

12 1

22 2

0++ = ++ =;.

Îáîçíà÷àÿ d/dt = D, ðåøèì ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî i

. Ïîëó÷èì

()() ()rLDr LDiMDi r LDu

11 2 21

122

++- =+

èëè

()() .LL M D i rL rL Di rri L Du ru

112211121 2 2

-+++=+

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D

i = d

i/dt

, íàõîäèì

()()LL M

rL r L

rr i ru L

12 21

121 2 2

-+++=+

(**)

Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä

(( ,LL M rL rL rr

12 21 12

0-+++=)a )a

îòêóäà äëÿ äâóõ åãî êîðíåé a

è a

ïîëó÷àåì

12 21

21 21

() ()

rL r L

LL k

rL r L

kLL

LL k()

ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî M

= k

Ïóñòü âêëþ÷åíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïîä äåéñò-

âèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ è = U = const. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (**), ïîëàãàÿ

â íåì âñå ïðîèçâîäíûå è òîêîâ è íàïðÿæåíèé ðàâíûìè íóëþ, ïîëó÷èì òîê óñòà

íîâèâøåãîñÿ ðåæèìà i¢ = U/r

, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò òàêæå èç ïåðâîãî

óðàâíåíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîêà i

èìååì âûðàæåíèå

iii

Ae Ae

111

11 12

¢¢

=+ +

Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå îïðåäåëèì, èìåÿ â âèäó, ÷òî

ii ii

11 2 2

0000 00() () ; () () .+=-= += -=

Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ìîìåíòà t = 0 íàõîäèì ri

(0) = 0è

tt t

== =

èëè =-

Ïîäñòàâèâ ïîñëåäíåå â óðàâíåíèå äëÿ ïåðâîãî êîíòóðà, íàéäåì ïðè t = 0

èëè

1()

54 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Òàêèì îáðàçîì, ïðè t = 0 èìååì

11 12

00() ;== + +

111 2 12

()

,aa

îòêóäà, îïðåäåëèâ A

è A

, äëÿ i

ïîëó÷èì

11 2

()( )

()

(

aa a

e-a

Èìåÿ â âèäó, ÷òî

= 0, íàõîäèì

iAe Ae

221 22

Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðè t = 0:

00() ;

(

- k )

Ñëåäîâàòåëüíî,

21 22

121 222

=+ -

=+AA

LL k

AAè

()

,aa

îòêóäà

LL k

21 22

=- =-

()( )

;

()(

)

().ee

Çàâèñèìîñòè i

è i

îò âðåìåíè ïðèâåäåíû íà ðèñ. 9.31.

Êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíîé òîêà i

â ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè òîê i

ðàñòåò áûñòðåå ïî ñðàâ

íåíèþ ñî ñëó÷àåì, êîãäà âòîðè÷íûé êîíòóð ðàçîìêíóò

èëè êîãäà k = 0. Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ òîêà i

çíàêî

ïåðåìåííà, òî óáûñòðåíèå ïðîöåññà íàðàñòàíèÿ òîêà i

ïðîèñõîäèò íå âñå âðåìÿ. Ñïóñòÿ íåêîòîðûé ïðîìåæó

òîê âðåìåíè, êîãäà ïðîèçâîäíàÿ òîêà i

ìåíÿåò çíàê, íà

ëè÷èå âòîðè÷íîãî êîíòóðà, íàîáîðîò, ïðèâîäèò ê çàìåä

ëåíèþ ðîñòà òîêà i

â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè.

Äëÿ ñðàâíåíèÿ íà ðèñ. 9.31 øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíà

çàâèñèìîñòü i

(t) ïðè îòñóòñòâèè ìàãíèòíîé ñâÿçè.

9.13. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

ìåòîäîì ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ

Ïðèâåäåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ôîðìèðîâà

íèå è ðåøåíèå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïåðåõîäíûå ïðîöåññû, äàæå äëÿ ñðàâ

íèòåëüíî ïðîñòûõ öåïåé îêàçûâàþòñÿ âåñüìà òðóäîåìêèìè. Â ñâÿçè ñ ýòèì áîëü

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 55

Ðèñ. 9.31

øîå çíà÷åíèå èìååò ðàçðàáîòêà êîìïüþòåðíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷.

Â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áóäåò ðàññìîòðåí ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ, êîòî

ðûé èñòîðè÷åñêè ÿâèëñÿ ïåðâûì ìåòîäîì, ïîçâîëèâøèì àëãîðèòìèçèðîâàòü

ôîðìèðîâàíèå óðàâíåíèé äëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà.

Ïîíÿòèå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ áûëî ââåäåíî â § 9.3. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïî

ëÿ W

êàòóøêè ñ èíäóêòèâíîñòüþ L ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç òîê i

êàòóøêè

èëè åå ïîòîêîñöåïëåíèå Y:

Ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ W

êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ C àíàëîãè÷íûì

îáðàçîì ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç íàïðÿæåíèå u

íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà

èëè åãî çàðÿä q:

Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæåò áûòü îä

íîçíà÷íî îïðåäåëåíî óêàçàíèåì çíà÷åíèé ïîòîêîñöåïëåíèé èëè òîêîâ âñåõ êà-

òóøåê èíäóêòèâíîñòè è çàðÿäîâ èëè íàïðÿæåíèé âñåõ êîíäåíñàòîðîâ. Äëÿ îïðå-

äåëåííîñòè, áóäåì èñïîëüçîâàòü äàëåå â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ òîêè

êàòóøåê èíäóêòèâíîñòåé i

è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ u

Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ïîçâîëÿåò ôîðìèðîâàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöè-

àëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ x

, x

, ..., x

â òàê íàçû-

âàåìîé íîðìàëüíîé ôîðìå:

ax ax ax f t

ax ax

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2

=++++

=++

K ();

LLLLLLLLLLL

=+ ++

ax f t

ax a x ax

nn nnn

11 2 2

();

+ ft

(),

ãäå a

(i, j = 1, 2, …, n) — ýëåìåíòû êâàäðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëÿåìîé òîïîëîãè

åé àíàëèçèðóåìîé öåïè è ïàðàìåòðàìè åå ýëåìåíòîâ, f

(i = 1, 2, …, n) — ýëåìåíòû

âåêòîðà, òàêæå îïðåäåëÿåìûå òîïîëîãèåé öåïè è ïàðàìåòðàìè äåéñòâóþùèõ â

íåé èñòî÷íèêîâ ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè.

×òîáû êàæäîå óðàâíåíèå, íàïèñàííîå ñîãëàñíî ïåðâîìó è âòîðîìó çàêîíàì

Êèðõãîôà, áûëî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî

è u

, êàæäûé êîíòóð è ñå÷åíèå äîëæíû ñîäåðæàòü òîëüêî îäèí ðåàêòèâíûé

ýëåìåíò.

Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà â ãðàôå öåïè

ñëåäóåò âûäåëèòü âåòâü äåðåâà, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò ñå÷åíèå. Ïðè ýòîì ïî

âåðõíîñòü, êîòîðàÿ ðàçäåëÿåò öåïü íà äâå ÷àñòè, ïåðåñå÷åò íåêîòîðîå ÷èñëî ñâÿ

çåé (õîðä) è òîëüêî îäíó âåòâü äåðåâà.

Óðàâíåíèå áàëàíñà òîêîâ äëÿ òàêîãî r-ãî ñå÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëü

íûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî îäíîé ïåðåìåíîé, åñëè j-ÿ âåòâü

56 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

äåðåâà ñîäåðæèò êîíäåíñàòîð. Â òàêîé âåòâè òîê ñâÿçàí ñ íàïðÿæåíèåì êîíäåí

ñàòîðà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

iÑ

Cj j

= .

Òàêîå r-å óðàâíåíèå â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè Di = 0 ñèñòåìû óðàâíåíèé

ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

rj j

rk k

ãäå l — ÷èñëî âåòâåé öåïè; d

, d

,…,d

— ýëåìåíòû r-é ñòðîêè ìàòðèöû ñå÷åíèé D.

Óðàâíåíèå áàëàíñà íàïðÿæåíèé â s-ì êîíòóðå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì

óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî îäíîé ïåðåìåííîé, åñëè ñâÿçü (õîð

äà), îáðàçóþùàÿ êîíòóð, ñîäåðæèò êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè. Â òàêîé p-é âåòâè

= .

Òîãäà s-å óðàâíåíèå â ìàòðè÷íîé çàïèñè Cu = 0 ñèñòåìû óðàâíåíèé âòîðîãî

çàêîíà Êèðõãîôà ìîæíî çàïèñàòü òàê:

sp p

sk k

ãäå c

, c

,…,c

— ýëåìåíòû s-é ñòðîêè ìàòðèöû êîíòóðîâ C.

Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñîñòàâèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â íîðìàëüíîé ôîðìå,

ñëåäóåò â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ áðàòü íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ, îòíîñÿ âåòâè,

ñîäåðæàùèå ýòè ýëåìåíòû, ê âåòâÿì äåðåâà, à òàêæå òîêè êàòóøåê èíäóêòèâíî-

ñòè, îòíîñÿ âåòâè, ñîäåðæàùèå ýòè ýëåìåíòû, ê ñâÿçÿì.

Ìàòðè÷íî-òîïîëîãè÷åñêèé ìåòîä ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ðàñ÷å

òà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ, êàê ïðàâèëî, ñâÿçàí ñ ââåäåíèåì ïîíÿòèÿ îáîáùåí

íîé âåòâè, ñîäåðæàùåé íàðÿäó ñ ïàññèâíûìè ýëåìåíòàìè â âåòâè (r, L, C) òàêæå

èñòî÷íèê ÝÄÑ, ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûé ñ ïàññèâíîé ÷àñòüþ âåòâè, è èñ

òî÷íèê òîêà, âêëþ÷åííûé ïàðàëëåëüíî âåòâè ñ ÝÄÑ. Ââåäåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ

ïðè âîçìîæíîñòè ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ â èñòî÷íèêè

òîêà è íàîáîðîò ïîçâîëÿåò ñîñòàâèòü íàèáîëåå ýêîíîìíûå (â ñìûñëå ÷èñëà íåèç

âåñòíûõ) ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ñîêðàùåíèå ÷èñëà óçëîâ è âåòâåé â òàêîì ñëó÷àå

óïðîùàåò è îïèñàíèå öåïè.

Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ââåäåíèå îáîáùåííûõ âåòâåé îñëîæ

íÿåò ïîñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî çà ñ÷åò âûäåëåíèÿ

êàæäîãî ýëåìåíòà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè â îòäåëüíóþ âåòâü óïðîñòèòü ñîñòàâëåíèå

ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ýëåêòðè÷åñêîé

öåïè âûäåëÿåòñÿ â êà÷åñòâå âåòâè, òî îòíåñåíèå âåòâåé ê äåðåâó èëè ê ñâÿçÿì

ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü ñ ó÷åòîì ñëåäóþùåãî. Ê âåòâÿì äåðåâà äîëæíû áûòü ïîñëå

äîâàòåëüíî îòíåñåíû ñíà÷àëà âåòâè ñ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ, çàòåì âåòâè ñ êîíäåíñà

òîðàìè. Åñëè òàêîå äåðåâî íå ñâÿçûâàåò âñå óçëû, òî äîëæíû áûòü äîáàâëåíû

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 57

âåòâè ñ ðåçèñòîðàìè è òîëüêî â ïîñëåäíþþ î÷åðåäü âåòâè ñ êàòóøêàìè

èíäóêòèâíîñòè. Äåðåâî, ñîñòàâëåííîå ñîãëàñíî ýòîìó ïðàâèëó, íàçûâàþò íîð

ìàëüíûì. Ñîîòâåòñòâåííî â êà÷åñòâå ñâÿçåé (õîðä) ñíà÷àëà äîëæíû áûòü âûäå

ëåíû èñòî÷íèêè òîêà, çàòåì èíäóêòèâíûå ýëåìåíòû è ðåçèñòèâíûå âåòâèèâïî

ñëåäíþþ î÷åðåäü âåòâè ñ êîíäåíñàòîðàìè. Ïîäãðàô, ñîñòàâëåííûé ñîãëàñíî

ýòîìó ïðàâèëó, íàçûâàþò íîðìàëüíûì ïîäãðàôîì ñâÿçåé (õîðä). Ãðàô ýëåêòðè÷å

ñêîé öåïè, ñîäåðæàùèé íîðìàëüíîå äåðåâî è íîðìàëüíûé ïîäãðàô ñâÿçåé, ñ÷è

òàþò íîðìàëüíûì èëè ïðàâèëüíûì.

Ñîãëàñíî óñëîâèÿì ñîñòàâëåíèÿ íîðìàëüíîãî äåðåâà è äîïîëíåíèÿ åãî äî

ïîëíîãî ãðàôà, òîêè è íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

iiiiiiiii ii=

ääää cccc äcÁ

= ,

uuuuuuuuu uu=

ääää cccc äcÁ

= ,

ãäå i

Eä

, u

Eä

— òîêè è íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà ñ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ; i

Cä

, u

Cä

—

òîêè è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ âåòâåé äåðåâà; i

Rä

, u

Rä

—

òîêè è íàïðÿæåíèÿ ðåçèñòîðîâ, ñîñòàâëÿþùèõ âåòâè äåðåâà; i

Lä

, u

Lä

— òîêè è íà-

ïðÿæåíèÿ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòåé, âõîäÿùèõ â âåòâè äåðåâà, i

Áñ

, u

Ác

— òîêè è

íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêîâ òîêà, îòíåñåííûõ ê ïîäãðàôó ñâÿçåé; i

Lñ

, u

— òîêè è íà-

ïðÿæåíèÿ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòåé, âêëþ÷åííûõ â ïîäãðàô ñâÿçåé, i

Rñ

, u

—

òîêè è íàïðÿæåíèÿ ðåçèñòîðîâ, âõîäÿùèõ â ïîäãðàô ñâÿçåé; i

Cñ

, u

— òîêè è íà-

ïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ, âõîäÿùèõ â ïîäãðàô ñâÿçåé.

Âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èìåþòñÿ êîíòóðû, ñîñòîÿùèå

òîëüêî èç êîíäåíñàòîðîâ è (èëè) èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, èëè ñå÷åíèÿ, ñîäåðæàùèå òîëü-

êî êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è (èëè) èñòî÷íèêè òîêà. Çàäà÷è ðàñ÷åòà òàêèõ öåïåé

ðàññìîòðåíû â § 9.11.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ òàêèì ðàçáèåíèåì âåòâåé ìîæíî âûäåëèòü ÷åòûðå ïîäìàò

ðèöû-ñòðîêè â ìàòðèöå êîíòóðîâ C, ñîîòâåòñòâóþùèå: 1) âåòâÿì-ñâÿçÿì, ñîäåð

æàùèì èñòî÷íèêè òîêà; 2) âåòâÿì-ñâÿçÿì, ñîäåðæàùèì êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè;

3) âåòâÿì-ñâÿçÿì, ñîäåðæàùèì ðåçèñòèâíûå ýëåìåíòû; 4) âåòâÿì-ñâÿçÿì, ñîäåð

æàùèì êîíäåíñàòîðû. Ñëåäîâàòåëüíî,

EC r L LgC

ECRL

LE LC L

ä ä ä ä cccc

ÁÁÁÁ

FFFF1000

FFF

RLL

GE GC GR

CE CC

F0100

FFF 00010

FF 000001

Ïî ïðèîðèòåòó îòíåñåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ ê ïîäãðàôó ñâÿçåé â êîíòóð, îáðà

çîâàííûé çâåíîì (êîíäåíñàòîðîì), íå ìîãóò âîéòè ðåçèñòèâíàÿ è èíäóêòèâíàÿ

âåòâè äåðåâà, ò. å. ðàâíû íóëþ ïîäìàòðèöû F

è F

. Äåéñòâèòåëüíî, åìêîñòíàÿ

âåòâü ìîæåò áûòü îòíåñåíà ê êàòåãîðèè ñâÿçåé, åñëè îíà îáðàçóåò êîíòóð, ñîäåð

æàùèé èñòî÷íèê ÝÄÑ è êîíäåíñàòîðû. Åñëè íåêîòîðûé óçåë ñîåäèíåí ñ äðóãè

ìè óçëàìè èíäóêòèâíûìè ýëåìåíòàìè, òî âåòâü ñ îäíîé èç íèõ äîëæíà âîéòè

58 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

â ñîñòàâ äåðåâà. Òîãäà âåòâü L

ìîæåò âîéòè â ñå÷åíèÿ, îáðàçîâàííûå L

-ñâÿçÿìè.

Òàêèì îáðàçîì, â ñå÷åíèÿ, îáðàçîâàííûå èç g

ðåçèñòèâíûõ âåòâåé-ñâÿçåé, âåòâè

äåðåâà L

íå âõîäÿò. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåí íóëþ è ýëåìåíò F

Â ñîîòâåòñòâèè ñ èçâåñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè

D1FC F1=- =

çàêîíû

Êèðõãîôà ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

EÑrL L g C

ääää c c c c

1000 F F F F––––

0100 F F F F

0010 F F F 0

0001

––––

–––

–

FF00

–

;

0-=

;

EC r L LGC

ECRL

LE LC

ä ä ä ä cc cc

ÁÁÁÁ

FFFF1000

FFF

LR LL

GE GC GR

CE CC

F0100

FFF 00010

F F 0 0 0001

u0= ;

= ;

ãäå 1 — åäèíè÷íûå ìàòðèöû, ðàçìåðíîñòè êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì ñòðîê

â ïîäìàòðèöàõ F

; E

, C

— íîìåðà âåòâåé, âõîäÿùèõ â äåðåâî è ñîäåðæàùèõ èñ

òî÷íèêè ÝÄÑ, êîíäåíñàòîðû è ò. ä.; Á

, L

— íîìåðà âåòâåé, âõîäÿùèõ â ïîäãðàô

ñâÿçåé è ñîäåðæàùèõ èñòî÷íèêè òîêà, èíäóêòèâíûå ýëåìåíòû è äð. Ðàíæèðîâà

íèå âåòâåé è èõ íóìåðàöèÿ ïîä÷èíåíû ïðàâèëàì ñîñòàâëåíèÿ íîðìàëüíûõ äåðå

âà è ïîäãðàôà ñâÿçåé. Ïðè ñîñòàâëåíèè íîðìàëüíîãî ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè

ìàòðèöó ñîåäèíåíèé A òàêæå ñëåäóåò óïîðÿäî÷èòü, ðàñïîëîæèâ âåòâè òàêèì îá

ðàçîì, ÷òîáû ñíà÷àëà áûëè ïåðå÷èñëåíû âåòâè íîðìàëüíîãî äåðåâà, à çàòåì óæå

è íîðìàëüíîãî ïîäãðàôà ñâÿçåé:

AAA=

äc

. Äëÿ íîðìàëüíîãî ãðàôà ñïðàâåä

ëèâî ðàâåíñòâî

Ai 0 A A

0==,

äc

ãäå A — ìàòðèöà ñîåäèíåíèé ðàçìåðíîñòè (q –1)´ l (q — ÷èñëî óçëîâ, l — ÷èñëî

âåòâåé); i — âåêòîð-ñòîëáåö òîêîâ (âêëþ÷àÿ âåòâè ñ èñòî÷íèêàìè òîêà) ðàçìåð

íîñòüþ l. Èç ñîîòíîøåíèé A

= —A

, i

= F

ñëåäóåò, ÷òî

-=FAA

äc

–1

. Òàêèì

îáðàçîì, ñîñòàâëåíèå ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà ìàòðèö C è D ìîæíî ïðîèçâåñòè

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 59

íà îñíîâàíèè ìàòðèöû ñîåäèíåíèé A, êîòîðàÿ ââîäèòñÿ â êîìïüþòåð â êà÷åñòâå

÷àñòè èñõîäíûõ äàííûõ, ïðåäñòàâëÿþùèõ îïèñàíèå òîïîëîãèè ýëåêòðè÷åñêîé

öåïè.

Ðàññìîòðèì ôîðìèðîâàíèå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè,

ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.32. Ïàðàìåòðû öåïè â ñèñòåìå ÑÈ ñâåäåì â òàáë. 9.1.

Ýòà òàáëèöà ìîæåò áûòü çàïîëíåíà â ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïî ìåðå ââåäå

íèÿ òîïîëîãè÷åñêîãî îïèñàíèÿ â êîìïüþòåð.

Òàáëèöà 9.1

Ýëåìåíò ¹ âåòâè Íà÷àëüíûé óçåë Êîíå÷íûé óçåë Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

r 11 0 10

–13

g 24 5

1,5×10

–2

L 34 3

5×10

–4

L 42 3

7×10

–5

C 51 2

1,1×10

–13

C 64 2

2,1×10

–13

C 71 4 10

–13

L 85 3 10

–5

91 5 10

–1

E 10 0 5 1,2

Â äàëüíåéøåì îíà ìîæåò áûòü ïåðåñòðîåíà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè ñî

ñòàâëåíèÿ íîðìàëüíîãî ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïåðåñòðîåííàÿ òàáë. 9.2 è

ñëóæèò îñíîâîé äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö A, C è D è ðàñ÷åòà ìàòðèöû F. Èñïîëü

çóÿ òàáë. 9.2, ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèå ìàòðèöû:

60 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.32

Òàáëèöà 9.2

Ýëåìåíò ¹ âåòâè Íà÷àëüíûé óçåë Êîíå÷íûé óçåë Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

E 10 0 5 1,2

C 51 2

1,1×10

–13

C 64 2

2,1×10

–13

r 11 0 10

–13

L 42 3

7×10

–5

91 5 10

–1

L 34 3

5×10

–4

L 84 3 10

–5

g 25 5

1,5×10

–2

C 71 4 10

–13

Âåòâè

Óçëû

10 5 6 1 4 9 3 8 2 7

A =

01010

01101

0000 1

00 100

10 0 0 0

12444 3444

10 0 0 1

00000

01100

01011

10 1 10

12444 3444

;

93 827

0000 1

0 1110

000 10

11110

00 100

---

;

-= × =

FAA

äc

10 1 10

00 111

01011

10 1 10

01100

;

10 5 6 1 4

F =

---

10 0 10

00 10 1

110 11

11110

01100

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 61

Èç ìàòðèöû F ñëåäóåò, ÷òî

Ïðèâåäåííîå îïèñàíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè â âèäå, óäîáíîì äëÿ ââîäà â êîì-

ïüþòåð, íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Òàê, òàáë. 9.1 ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ ëèøü î

õàðàêòåðå ýëåìåíòîâ, ÷èñëå âåòâåé, óñëîâíî-ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëåíèÿõ òî-

êîâ è íàïðÿæåíèé (ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ â òàáëèöó ïîíÿòèé íà÷àëüíîãî è êîíå÷-

íîãî óçëîâ), çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ è ïîçâîëÿåò îïèñàòü ýëåêòðè÷åñêèå öåïè,

ñîñòîÿùèå òîëüêî èç äâóõïîëþñíèêîâ. Îïèñàíèå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ñîäåð-

æàùèõ ìíîãîïîëþñíûå ýëåìåíòû, ñëåäóåò âûïîëíèòü èíûì ñïîñîáîì — ïóòåì

ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñòîëáöîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ ÷èñëî ïîëþñîâ è íîìå-

ðîâ óçëîâ, ê êîòîðûì îíè ïðèñîåäèíåíû, è ññûëêè íà äîïîëíèòåëüíûå ñïèñêè

ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèå ýòè ìíîãîïîëþñíèêè èëè èõ ýêâèâàëåíòíûå ýëåêòðè-

÷åñêèå ñõåìû.

Ïåðåõîä îò òàáë. 9.1 ê òàáë. 9.2 ïðîèçâîäÿò ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî

ïåðåáîðà ýëåìåíòîâ. Ñíà÷àëà â òàáë. 9.1 âûäåëÿåòñÿ ñòðîêà ñ âåòâüþ, ñîäåðæà

ùåé ÝÄÑ, â êà÷åñòâå ïåðâîé ñòðîêè òàáë. 9.2. Ïîñëå îáðàáîòêè âåòâåé ñ ÝÄÑ â

òàáë. 9.1 âûáèðàþò ñòðîêè ñ åìêîñòíûìè ýëåìåíòàìè. Ïðè âûäåëåíèè êàæäîé

ñòðîêè â òàáë. 9.1 ïðîâåðÿåòñÿ ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðîì íîâûé ýëåìåíò

íå îáðàçóåò êîíòóð ñ óæå ïîìåùåííûìè â òàáë. 9.2 ýëåìåíòàìè. Äëÿ ýòîãî äîñòà

òî÷íî, ÷òîáû õîòÿ áû îäèí èç óçëîâ íîâîãî ýëåìåíòà íå ñîäåðæàëñÿ â ñïèñêå óç

ëîâ, ïåðå÷èñëåííûõ ðàíåå. Åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî äàííûé ýëåìåíò

çàïèñûâàåòñÿ â êîíöå òàáë. 9.2. Äîáàâëåíèå âåòâåé ñ ýëåìåíòàìè C, r è L ïðîèç

âîäÿò äî òåõ ïîð, ïîêà â ñïèñîê óçëîâ íå âîéäóò âñå óçëû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.

Åñëè ñîáëþäåíî ïðàâèëî ïðîâåðêè îòñóòñòâèÿ êîíòóðîâ, òî ïîëíàÿ êîìïëåêòà

öèÿ ñïèñêà óçëîâ ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ñïèñîê âåòâåé, îáðàçóþùèõ íîð

ìàëüíîå äåðåâî (ðèñ. 9.32, á), â òàáë. 9.2 çàïîëíåí. Ïîñëå ýòîãî ôîðìèðóåòñÿ ïîä

ãðàô ñâÿçåé, ñîäåðæàùèé èñòî÷íèêè òîêà, èíäóêòèâíûå êàòóøêè, ðåçèñòîðû è

óæå çàïèñàííûå â êîíöå òàáë. 9.2 êîíäåíñàòîðû.

Ñîñòàâëåíèå ìàòðèöû A íà îñíîâå òàáë. 9.2 íå ñîñòàâëÿåò òðóäíîñòåé. Äîñòà

òî÷íî íóìåðîâàòü ñòðîêè ìàòðèöû A ïî íîìåðàì óçëîâ, à ñòîëáöû — ñîãëàñíî

íîìåðàì âåòâåé â òàáë. 9.2. Íà÷àëüíûé óçåë â òàáë. 9.2 äëÿ äàííîé âåòâè îïðåäå

62 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé