Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

LA A U

=+=

11 2 2

().aa

Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé íàõîäèì ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå A

è A

=- =

-()

Òàêèì îáðàçîì,

()

();

idt u

idt

eeU

=+= =

òò

() ( )

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà i è íàïðÿæåíèÿ u

ñ âûðàæåíèÿ

ìè äëÿ ýòèõ âåëè÷èí, ïðèâåäåííûìè â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà äëÿ ñëó

÷àÿ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà, âèäèì, ÷òî çàêîí èçìåíåíèÿ òîêà â îáîèõ ñëó÷àÿõ

îäèí è òîò æå è òîêè ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêàìè, òàê êàê òåïåðü ðàññìàòðèâàåò-

ñÿ ïðîöåññ çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà. Íàïðÿæåíèå æå íà êîíäåíñàòîðå ïðè ðàçðÿäå

èçìåíÿåòñÿ îò íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ U

äî íóëÿ, à ïðè çàðÿäêå — îò íóëÿ äî êî-

íå÷íîãî çíà÷åíèÿ U; ïåðåõîä ïðîèñõîäèò ïî àíàëîãè÷íîìó çàêîíó.

Õàðàêòåð ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, êàê è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà, çàâèñèò

îò òîãî, áóäóò ëè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûìè (ïðè

d³w

) èëè êîìïëåêñíûìè (ïðè d < w

). Â ïåðâîì ñëó÷àå ïðîöåññ çàðÿäêè êîí

äåíñàòîðà àïåðèîäè÷åñêèé (ðèñ. 9.21), à âî âòîðîì ñëó÷àå — êîëåáàòåëüíûé

(ðèñ. 9.22).

9.10. Âêëþ÷åíèå öåïè r, L, Ñ ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå

Èññëåäóåì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè (r, L, C) ïðè âêëþ÷åíèè åå ïîä ñèíóñîè

äàëüíîå íàïðÿæåíèå è = U

sin (wt + y

). Êàê è ïðåæäå (ñì. § 9.7), îáùåå ðåøåíèå

äëÿ òîêà â öåïè èìååò âèä

ii Ae Ae

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 43

Ðèñ. 9.21

Ðèñ. 9.22

Òîê i¢ â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå, ñîãëàñíî èçëîæåííîìó â ÷åòâåðòîé ãëàâå,

ðàâåí

=+iI t

sin( ),wy

ãäå

zr L

==+-

=-;;;

yyj

arctg

Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå A

è A

îïðåäåëèì, èñõîäÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.

Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òîê â öåïè è íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîí

äåíñàòîðà ðàâíû íóëþ, ò. å. i (0) = 0, u

(0) = 0. Èç âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà i ïîëó÷àåì

=++IAA

sin ,y

èç óðàâíåíèÿ öåïè è èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ òîêîâ íàõîäèì

11 2 2

sin .y aa

Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óðàâíåíèå âûðàæåíèÿ

UIz Iz z

mum i m i i

sin sin( ( cos sin sin cos )y y j) j y j y=+= + =

(sin cos ) sin cosrx Ir L

iimi i

yy yw

y+= +-

è L

wycos ,

à òàêæå çàìå÷àÿ, ÷òî 1/(LC) =

è r/L = 2d, ïîëó÷èì

-+=+II AA

mimi

y dya a

11 2 2

2cos sin .

Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèåì

=++IAA

siny

è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2d + a

= –a

, íàéäåì

sin cos ;

in cos .y

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîêà i ïîëó÷àåì

iI t I e e I

mim

=+-

--sin( )

sin

()

cos

-()ee

44 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

è, ñîîòâåòñòâåííî,

idt u

idt I

=+==- +-

òò

() cos( )

sin

wa a

aa a a

ee I

()

cos

()

(

12 12

12 1

Äëÿ êîìïëåêñíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ò. å. êîãäà d < w

ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ êîëåáàòåëüíûì. Â ýòîì ñëó÷àå, ïðèíèìàÿ âî âíè

ìàíèå, ÷òî a

1,2

= –d±jw¢, öåëåñîîáðàçíî ñîäåðæàùèåñÿ â âûøåïðèâåäåííûõ îá

ùèõ âûðàæåíèÿõ äëÿ i è u

ìíîæèòåëè çàïèñàòü â âèäå

aa w

()sin;

(

ee e t

ee e

)sin(;

()

wq)

tsin( ,'

êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â § 9.8. Ïðè ýòîì âûðàæåíèÿ äëÿ i è u

ïðèìóò âèä

iI t t t

mii i

=+- ++

sin( ) sin sin( cos sinwy y w q)

yw''

=- + - +

wy y w

-d

;

cos( ) sin sin cos

Iesin( .wq)

-d

(*)

Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àåâ, êîãäà w=w¢è w è w¢ áëèçêè, íî íå ðàâ-

íû äðóã äðóãó. Ïðè ýòîì çàòóõàíèå áóäåì ïðåäïîëàãàòü ìàëûì, ò. å. ñ÷èòàòü

d << w

Ïóñòü w=w¢. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî d << w

, ìîæåì ïîëàãàòü w»w

q»p/2; ïðè ýòîì ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò âèä

iI e t u

»- + »- - +()sin( ); ()cos( ).11

-d -d

Õàðàêòåðíàÿ îñîáåííîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà çà

êëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé òîêà è íà

ïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïîñòåïåííî íàðàñòàåò ñ ìî

ìåíòà âêëþ÷åíèÿ (t = 0) äî ñâîåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ

çíà÷åíèÿ (ðèñ. 9.23).

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî àìïëèòóäà óñòàíîâèâøåãîñÿ

íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå

ìîæåò çíà

÷èòåëüíî ïðåâçîéòè àìïëèòóäó ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ U

, òàê êàê ÷àñòîòà

w=w¢âåñüìà áëèçêà ê ÷àñòîòå ðåçîíàíñà w

, è, ñëåäîâàòåëüíî, åìêîñòíîå ñîïðî

òèâëåíèå êîíäåíñàòîðà x

= 1/(wC) çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ñîïðîòèâëåíèå z

âñåé öåïè ïðè ìàëîì çàòóõàíèè.

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 45

Ðèñ. 9.23

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà w è w¢ áëèçêè ïî çíà÷åíèþ, íî íå ðàâíû

äðóã äðóãó. Òàê êàê çàòóõàíèå ìû ïðèíÿëè ìàëûì, òî â âûðàæåíèÿõ äëÿ i è u

ïðèáëèæåííî ìîæíî ïîëàãàòü w

/w¢ » 1, w

/w»1. Ïðèíèìàÿ â ïåðâûå ïîñëå

âêëþ÷åíèÿ ìîìåíòû âðåìåíè e

–dt

» 1, ïîëó÷èì

iI t t I t

mi im

»+-+=

[sin( ) sin( )] sin coswy w y

;

»+-+=

wy w y

[cos( ) cos( )] sin'

sin .

Ýòè âûðàæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ïîëó÷åííûìè ðàíåå â § 8.8, è, ñëåäîâàòåëüíî,

â öåïè âîçíèêàþò áèåíèÿ êîëåáàíèé. Õàðàêòåð êðèâûõ áûë ïðèâåäåí íà ðèñ. 8.11.

Ïîñòåïåííî âñëåäñòâèå õîòÿ è ìàëîãî, íî êîíå÷íîãî çàòóõàíèÿ áèåíèÿ ïðåêðà

òÿòñÿ è â öåïè óñòàíîâÿòñÿ ñèíóñîèäàëüíûå êîëåáàíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæè

ìà, ÷òî âèäíî èç óðàâíåíèé (*), òàê êàê ìíîæèòåëü e

–dt

ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.

9.11. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû ïðè ìãíîâåííîì èçìåíåíèè

ïàðàìåòðîâ ó÷àñòêîâ öåïè

Â ðåàëüíûõ öåïÿõ ïàðàìåòðû ó÷àñòêîâ öåïè èçìåíÿþòñÿ â òå÷åíèå êîíå÷íûõ,

õîòÿ è âåñüìà ìàëûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè Dt. Îäíàêî ïðè ðàñ÷åòå, àáñòðàãèðó-

ÿñü îò äåéñòâèòåëüíîñòè, ÷àñòî ìîæåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïàðàìåòðû ó÷àñòêîâ èç-

ìåíÿþòñÿ ìãíîâåííî, ò. å. ñêà÷êîì, íà îïðåäåëåííóþ âåëè÷èíó. Ýòî ìîæåò èìåòü

ìåñòî ïðè çàìûêàíèè îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ íàêîðîòêî, ïðè ðàçìûêàíèè èëè

âêëþ÷åíèè âåòâåé öåïè è ò. ä. Äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýòèõ ñëó÷àÿõ

íåîáõîäèìî, òàê æå êàê è âî âñåõ ðàíåå ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ, ñîñòàâèòü äèô-

ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ öåïè ïîñëå êîììóòàöèè è íàéòè èõ îáùåå ðåøåíèå.

Â ñëó÷àå ñêà÷êîîáðàçíîãî èçìåíåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ r öåïè íà êîíå÷íóþ

âåëè÷èíó íå âîçíèêàåò íèêàêèõ îñîáåííîñòåé â îòíîøåíèè îïðåäåëåíèÿ ïðîèç

âîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ — òîêè â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ â êîí

äåíñàòîðàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè íå èçìåíÿþòñÿ.

Íåêîòîðûå îñîáåííîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåã

ðèðîâàíèÿ âîçíèêàþò ïðè ìãíîâåííûõ èçìåíåíèÿõ èíäóêòèâíîñòåé èëè åìêî

ñòåé, ÷òî áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè ìãíîâåííîì

èçìåíåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ r íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó íà ïðèìå

ðå öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 9.24. Ïóñòü ïðèëîæåííîå ê öåïè

íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî è â ìîìåíò t = 0 ïðîèñõîäèò ðàçìûêà

íèå êëþ÷à, ò. å. óâåëè÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè îò r

äî r

+ r

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à

èìååò âèä

() .rriL

++ =

Åãî ðåøåíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì â § 9.5 áóäåò

iiAe

46 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.24

Óñòàíîâèâøèéñÿ òîê i¢ ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à ðàâåí

. Äëÿ

îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííîé A âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì i(+0) = i(–0). Åñëè äî ðàç

ìûêàíèÿ êëþ÷à â öåïè ïðîòåêàë óñòàíîâèâøèéñÿ ïîñòîÿííûé òîê I

= U/r

,ò. å.

i(–0) = I

,òî

i IIA AII() ,+= = + = -0

12 12

èëè

îòêóäà

iI I Ie

=+-

212

().

Íà ðèñ. 9.25 ïðåäñòàâëåíà êðèâàÿ èçìåíåíèÿ òîêà i.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè ñêà÷êîîá

ðàçíîì èçìåíåíèè èíäóêòèâíîñòè íà ïðèìåðå öåïè, ïðåä

ñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.26, â êîòîðîé â ìîìåíò t = 0 ïðîèñõî

äèò ðàçìûêàíèå êëþ÷à.

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå ðàçìûêàíèÿ

êëþ÷à èìååò âèä

()( ) ,rriLL

12 1 2

+++ =

è åãî ðåøåíèå

iiAe iAe

=+ =+

(*)

Ïîñòîÿííûé óñòàíîâèâøèéñÿ òîê i¢ îãðàíè÷èâàåòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè r

è r

è ðàâåí

' =

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé èíòåãðèðîâàíèÿ A íå ìîæåì âîñ

ïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì íåèçìåííîñòè òîêîâ â êàòóøêàõ L

è L

â ìîìåíòû t = –0

è t = +0. Äåéñòâèòåëüíî, â ìîìåíò t = –0 òîêè â êàòóøêàõ áûëè ðàçëè÷íû, à èìåí

íî i

(–0) = U/r

¹ 0, ò. å. äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â öåïè ïðîòåêàë

ïîñòîÿííûé óñòàíîâèâøèéñÿ òîê, êîòîðûé îïðåäåëÿëñÿ ñîïðî

òèâëåíèåì r

. Â êàòóøêå æå L

òîê îòñóòñòâîâàë è i

(–0) = 0,

ïîñêîëüêó â âåòâè ýòîé êàòóøêè èìååòñÿ êîíå÷íîå ñîïðîòèâëå

íèå r

è âåñü òîê ïðîõîäèë ïî âåòâè ñ êëþ÷îì, èìåâøåé ñîïðî

òèâëåíèå, ðàâíîå íóëþ. Ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â ìîìåíò

t = +0 òîêè â îáåèõ êàòóøêàõ äîëæíû áûòü îäèíàêîâû. Ñëåäî

âàòåëüíî, òîêè â êàòóøêàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè äîëæíû ñêà÷

êîì èçìåíèòüñÿ, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè ïîÿâëåíèè áåñêî

íå÷íî áîëüøèõ íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ.

Òàê êàê ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå êîíå÷íî, à òàêæå êîíå÷íûìè îñòàþòñÿ ïà

äåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ r

è r

âñëåäñòâèå êîíå÷íûõ çíà÷åíèé òî

êîâ, òî ñóììà íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ îñòàåòñÿ êîíå÷íîé è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 47

Ðèñ. 9.25

Ðèñ. 9.26

áåñêîíå÷íî áîëüøèå íàïðÿæåíèÿ â ìîìåíò êîììóòàöèè ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè

è ïðîòèâîïîëîæíûìè, ò. å.

00=- - < <+ïèð.

Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî â ïðåäåëàõ îò t = –0 äî t = +0, íàõîäèì

dt L

òò

(**)

èëè

()

LdiL di

òò

=- ,

ò. å.

Li i L i i

LL L L11 1 2 2 2

00 0 0[ ( ) ( )] [ ( ) ( )],+- - =- +- -

èëè

Li L i

11 2 2 1 2

0D D DY DY=- + =,.èëè

Òàê êàê

ii i i

LL L12 2

000 00() () () () ,+= +=+ -=è

òî

( )() ().LLi Li

L12 11

00++=-

Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, à òàêæå èç ðàâåíñòâà DY

+ DY

= 0 âèäíî, ÷òî â ïðî-

öåññå êîììóòàöèè îñòàëàñü íåèçìåííîé ñóììà ïîòîêîñöåïëåíèé ñ îáåèìè êàòóø-

êàìè.

Íàéäÿ èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ òîê i(+0)

() () ,+= -

121

îïðåäåëÿåì ïîñòîÿííóþ A èç âûðàæåíèÿ (*):

1212

+ .

Òàêèì îáðàçîì,

iiAe

=+ =

12 1

1212

Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî êîììóòàöèÿ ïðîèñõîäèò çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæó

òîê âðåìåíè (Dt ® 0), òåîðåòè÷åñêè ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ

íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ, ò. å. ýòè íàïðÿæåíèÿ ïðèíÿëè âèä èìïóëüñîâ áåñêîíå÷

íî áîëüøîé àìïëèòóäû, äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè

(Dt ® 0) (ðèñ. 9.27). Îäíàêî èíòåãðàëû (**) ýòèõ èìïóëüñîâ çà âðåìÿ êîììóòà

öèè èìåþò êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ è ðàâíû ïðèðàùåíèÿì ïîòîêîñöåïëåíèé â êàòóø

êàõ DY

è DY

48 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ïåðâîé

êàòóøêè äî êîììóòàöèè,

Lì

() [()]-= - =

áîëüøå ýíåðãèè, çàïàñåííîé â ìàãíèòíûõ ïîëÿõ îáå

èõ êàòóøåê ïîñëå êîììóòàöèè:

() [()] .+=

Ðàçíîñòü ýòèõ ýíåðãèé ðàñõîäóåòñÿ íà íåîáðàòè

ìûå ïðîöåññû âî âðåìÿ êîììóòàöèè, õîòÿ äëèòåëü

íîñòü êîììóòàöèè áåñêîíå÷íî ìàëà. Ýòî âîçìîæíî,

òàê êàê íà ó÷àñòêàõ öåïè ðàçâèâàþòñÿ áåñêîíå÷íî

áîëüøèå ìîùíîñòè.

Òàêèå ðåçóëüòàòû — èòîã ïðåäåëüíîé èäåàëèçà-

öèè ÿâëåíèÿ. Â äåéñòâèòåëüíîñòè ñîïðîòèâëåíèå

êëþ÷à íå ìîæåò ìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì îò íóëÿ äî áåñêî-

íå÷íîñòè, òàê êàê áîëüøèå íàïðÿæåíèÿ ìåæäó êîí-

òàêòàìè êëþ÷à âûçîâóò ìåæäó íèìè ýëåêòðè÷åñêóþ

èñêðó èëè ýëåêòðè÷åñêóþ äóãó. Êðîìå òîãî, âñÿêàÿ êà-

òóøêà îáëàäàåò ðàñïðåäåëåííîé åìêîñòüþ ìåæäó åå

âèòêàìè, òàê æå êàê èìååòñÿ åìêîñòü ìåæäó ðàñõîäÿ-

ùèìèñÿ êîíòàêòàìè êëþ÷à; ïîýòîìó ïðîöåññ êîììóòàöèè ñîâåðøàåòñÿ â êîíå÷-

íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt, â òå÷åíèå êîòîðîãî çàâåðøàåòñÿ áûñòðî ïðîòåêàþ-

ùèé ïåðåõîäíûé ïðîöåññ îò ìîìåíòà íà÷àëà äî ìîìåíòà êîíöà êîììóòàöèè.

Ýòîò ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèé ïàðàìåòðîâ ìîæåò

áûòü àïåðèîäè÷åñêèì èëè êîëåáàòåëüíûì ñ î÷åíü âûñîêîé ÷àñòîòîé, è ðàçíîñòü

ýíåðãèé W

(–0) – W

(+0) ðàñõîäóåòñÿ â ñîïðîòèâëåíèÿõ öåïè, â ÷àñòíîñòè â ñî

ïðîòèâëåíèÿõ ìåæäó êîíòàêòàìè êëþ÷à, èëè íà èçëó÷åíèå ïðè î÷åíü âûñîêîé

÷àñòîòå. Ýòîò ïðîöåññ, ïðîõîäÿùèé çà âðåìÿ Dt, ïðè îòìå÷åííîé âûøå èäåàëè

çàöèè íå ðàññìàòðèâàåì. Íî åñëè åãî ðàññìîòðåòü, òî áóäóò ñïðàâåäëèâû ñôîð

ìóëèðîâàííûå â § 9.4 ôèçè÷åñêèå óñëîâèÿ êîììóòàöèè — íåèçìåííîñòü òîêîâ

â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ, à òàêæå íåèçìåííîñòü ýíåðãèé, çà

ïàñåííûõ â êàòóøêàõ è êîíäåíñàòîðàõ.

Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî, ñîáëþäàÿ óñëîâèå L

= L

, ïîëó÷èì A = 0, ò. å.

íîâîå óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå ïîñòîÿííîãî òîêà ïîëó÷àåòñÿ ñðàçó ïîñëå êîì

ìóòàöèè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâà

íî, åñëè íàì æåëàòåëüíî â î÷åíü êîðîòêèé ïðîìåæó

òîê âðåìåíè Dt èçìåíèòü ïîñòîÿííûé òîê â êàòóøêå.

Åñòåñòâåííî, èçîëÿöèÿ êàòóøåê äîëæíà âûäåðæèâàòü

èìïóëüñû âûñîêîãî íàïðÿæåíèÿ.

Ðàññìîòðèì ïðîöåññ â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 9.28, ïðè çàìûêàíèè êëþ

÷à, ò. å. ïðîöåññ ïðè ñêà÷êîîáðàçíîì èçìåíåíèè åìêîñòè îò C

äî C

, ïðåäïî

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 49

Ðèñ. 9.27

Ðèñ. 9.28

ëàãàÿ, ÷òî âåòâè ñ êîíäåíñàòîðàìè C

è C

íå èìåþò èíäóêòèâíîñòåé è ñîïðîòèâ

ëåíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äî çàìûêàíèÿ êëþ÷à êîíäåíñàòîð C

áûë çàðÿæåí äî

íàïðÿæåíèÿ U, à êîíäåíñàòîð C

íå áûë çàðÿæåí.

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à ïðèìåò âèä

ri u U r C C

+= + +=èëè ( )

è èìååò ðåøåíèå

uuAe

CÑ

(***)

ãäå

=uU

è t=r (C

+ C

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ À íåëüçÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì íåèçìåííîñòè íàïðÿ

æåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ C

è C

â ìîìåíòû t = –0 è t = +0, òàê êàê ïðè t = –0 áûëî

(–0) = U ¹ 0èu

(–0) = 0, à ïðè t = +0 èìååì u

(+0) = u

(+0).

Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè äîëæíû

ñêà÷êîì èçìåíèòüñÿ, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè ïîÿâëåíèè â âåòâÿõ C

è C

èì-

ïóëüñîâ òîêà áåñêîíå÷íîé àìïëèòóäû è áåñêîíå÷íî ìàëîé äëèòåëüíîñòè. Òàê

êàê ñóììàðíûé òîê i îñòàåòñÿ êîíå÷íûì, òî ýòè èìïóëüñû ðàâíû ïî àìïëèòóäå è

ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, ò. å.

00=- - < <+ïðè .

Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî â ïðåäåëàõ îò t = –0 äî t = +0, íàõîäèì

()

Cdu C du

òò

=- ,

ò. å.

Cu u C u u

CC C C11 1 2 2 2

00 0 0[ ( ) ( )] [ ( ) ( )],+- - =- +- -

èëè

Cu C u q q

CC11 2 2 1 2

0DD DD=- + =èëè .

Òàê êàê u

(+0) = u

(+0), è u

(–0) = 0, òî

( )() ().CCu Cu

CC12 11

00++=-

Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, à òàêæå èç ðàâåíñòâà Dq

+ Dq

= 0 âèäíî, ÷òî â ïðî

öåññå êîììóòàöèè îñòàëàñü íåèçìåííîé ñóììà çàðÿäîâ îáîèõ êîíäåíñàòîðîâ.

Íàéäÿ èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ íàïðÿæåíèå u

(+0):

() () ,+= -

îïðåäåëèì ïîñòîÿííóþ À èç âûðàæåíèÿ (***). Ïîëó÷èì

uuAe UU

CÑ

+=+

Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà Ñ

äî êîììóòàöèè

(–0) = C

50 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

áîëüøå ýíåðãèè, çàïàñåííîé â îáîèõ êîíäåíñàòîðàõ ïîñëå êîììóòàöèè:

CU C

Cý

() [()] .+=

Â äåéñòâèòåëüíîñòè ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû ïðè êîììóòàöèè ïðîèñõîäÿò è â

ýòîé öåïè çà êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè è èìåþò õàðàêòåð, àíàëîãè÷íûé ðàñ

ñìîòðåííîìó â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.

9.12. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíîé öåïè

Îáùóþ ìåòîäèêó ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè

ðàññìîòðèì íà ïðèìåðàõ öåïåé, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 9.29 è 9.30.

1. Ïðèìåíèì ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ äëÿ öåïè (ðèñ. 9.29), îáðàçîâàâøåéñÿ ïîñëå

ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à. Èìååì

()( ) ;rri LL

ri L

131 1 3

32 3

31 3

+++ ++ =

rriL

dt C

idt u e

++ + + + =

() ().

232 3

(*)

Ðåøèì ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîíòóðíîãî òîêà i

. Îáîçíà÷èì

îïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ áóêâîé D = d/dt è îïåðàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ îò 0

äî t ÷åðåç 1/D. Òîãäà, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìàòåìàòèêè, äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíå

íèé ìîæíî, îïåðèðóÿ ýòèì ñèìâîëîì êàê íåêîòîðîé âåëè÷èíîé, ðåøèòü ñèñòåìó

óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî îäíîé íåèçâåñòíîé. Èìååì

[()]( );

()

rr LLDi r LDi e

rLDi rr

13 1 3 1 3 3 2 1

331 23

++ + + + =

++++

ieu

=-().

Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà r

+ r

+ L

D +1/(C

D), à âòîðîå — íà r

+ L

è âû÷òåì èç ïåðâîãî âòîðîå. Ïîëó÷èì

[()] ( )rr LLDrrLD

irLD

13 1 3 2 3 3

133

++ + ++ +

rrLD

erLDeu

23 3

133 2

=++ +

-+ -()[()]

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 51

Ðèñ. 9.29

Ðèñ. 9.30

èëè, îáîçíà÷àÿ

LL a L r r L r r a

rr rr rr

13 3 1 2 3 3 1 2 2

12 2 3 31

=+++=

++ +

;()();

()

íàõîäèì

aD i aD i aDi ai

LDe r r De

11101

1231

+++=

=+++-() LDeu rDeu

CC3

232

00[()][()].-- -

Èìåÿ â âèäó, ÷òî

0======;; (,èconst)

ïîëó÷èì èñêîìîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî òîêà i

ai b

01 2

+++= ++- -be c

01 2

Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

ïðèìåò âèä

aaaa

0aaa+++=.

Äàííîå óðàâíåíèå èìååò òðè êîðíÿ: a

, a

— è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñâîáîä-

íîãî òîêà

¢¢

ìîæåì íàïèñàòü

¢¢

=++iAe Ae Ae

ttt

111 12 13

123

aaa

Òàê æå êàê â § 9.2, ïåðâûé èíäåêñ ó ïîñòîÿííûõ A

îòíîñèòñÿ ê èñêîìîìó

òîêó, à âòîðîé — ê êîðíÿì óðàâíåíèÿ.

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíîå ðåøåíèå äëÿ òîêà i

áóäåò

i i Ae Ae Ae

ttt

1 1 11 12 13

123

+++

aaa

Êàê áûëî îòìå÷åíî â § 9.4, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ A

, À

íåîáõîäèìî çíàòü i

è åãî ïðîèçâîäíûå di

/dt è d

/dt

â ìîìåíò âðåìå

íè t = 0, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé

íà êîíäåíñàòîðàõ äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à: i

(–0), i

(–0) è u

(–0), à òàêæå ÷åðåç

òîê

óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè t = +0.

Çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå îïðåäåëÿþòñÿ ïî

ìåòîäàì, èçëîæåííûì â ãë. 5 è 8, â çàâèñèìîñòè îò âèäà ÝÄÑ e

è e

. Çíà÷åíèÿ

(–0), i

(–0) è u

(–0) áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè, òàê êàê èõ ëåãêî ðàññ÷èòàòü äëÿ

öåïè ñ çàìêíóòûì êëþ÷îì.

Â ìîìåíò êîììóòàöèè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè òîêè â èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ.

Ïîñêîëüêó i

= i

è i

= i

+ i

, òî èìååì i

(+0) = i

(–0), i

(+0) + i

(+0) = i

(0) = 0

èëè i

(+0) = –i

(+0). Äëÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïîëó÷èì u

(+0) = u

(–0).

Çàìåòèì, ÷òî â îòíîøåíèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé çäåñü íå âîçíèêàåò îñîáåííî

ñòåé, îòìå÷åííûõ ïðè ðàññìîòðåíèè âòîðîãî ïðèìåðà â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå.

Õîòÿ â äàííîì ñëó÷àå òàêæå ðàçìûêàåòñÿ êëþ÷, çàìûêàâøèé âåòâü ñ èíäóêòèâ

52 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé