Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

óñëîâèå

||11+<lh

íå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî íè ïðè êàêîì çíà÷åíèè h >0,ò.å.

óñòîé÷èâîìó ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (***) íå ñîîòâåòñòâóåò êà

êîå-ëèáî óñòîé÷èâîå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ÿâíîãî

ìåòîäà Ýéëåðà. Ïîýòîìó ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ïî óñëîâèÿì óñ

òîé÷èâîñòè íåïðèãîäåí äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óñòîé÷èâûõ óðàâ

íåíèé ñîñòîÿíèÿ âèäà (*), ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö êîòî

ðûõ ìîãóò èìåòü íóëåâûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. Â ýòîì ñëó÷àå

íà êàæäîì îòäåëüíîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü äî

ñòèãíóòà âïîëíå ïðèåìëåìàÿ òî÷íîñòü, â òî âðåìÿ êàê àïïðîê

ñèìèðóþùàÿ ýòè çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ íå ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèè

èñòèííîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a=Re l < 0 è ìåòîä Ýéëåðà ìîæåò áûòü ïðèìåíåí

ïî óñëîâèþ óñòîé÷èâîñòè. Óñëîâèå

||11+<lh

íàêëàäûâàåò æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ

íà øàã. Íàïðèìåð, ïðè ÷èñòî âåùåñòâåííîì çíà÷åíèè l=a< 0 èç ýòîãî óñëîâèÿ

âûòåêàåò ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå íà ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìûé øàã äèñêðåòèçà

öèè: h < ½2/l½.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè èíòåãðèðîâàíèè ÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà óðàâíåíèé ñî-

ñòîÿíèÿ (*) ñ áîëüøèìè ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèö êîýôôè-

öèåíòîâ øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè äîëæåí áûòü âûáðàí

äîñòàòî÷íî ìàëûì. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò, íàïðèìåð, ïðè îáðàáîòêå óðàâíå-

íèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ ìàëûìè ïîñòîÿííûìè âðåìåíè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò

áîëüøèì ïî ìîäóëþ âåùåñòâåííûì ÷àñòÿì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèö óðàâ-

íåíèé ñîñòîÿíèÿ. Ïðè ýòîì ïîïûòêà óâåëè÷èòü øàã áîëåå âåëè÷èíû, îïðåäåëÿå-

ìîé åãî ìàêñèìàëüíîé îöåíêîé, ïðèâîäèò ê ðåçêîìó âîçðàñòàíèþ ïîãðåøíîñòè

(«âçðûâó» ïîãðåøíîñòè) è íàðóøåíèþ àäåêâàòíîñòè âû÷èñëåííûõ çíà÷åíèé èñ-

òèííîìó ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.

Ïðèìåíèì äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (**) ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå íåÿâíîãî ìåòî

äà Ýéëåðà

$$ $

()

.xxhx x hx

nn n n n+++

=+ =-

111

1llèëè

Äëÿ ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ðåøåíèå òàêæå ìîæíî íàéòè â âèäå

=r r

Òîãäà r

n+1

+ hlr

n+1

, r(1 – lh) = 1 èëè r=(1 – lh)

–n

è, ñëåäîâàòåëüíî,

()xx h

1 l

. Ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì ïðåäñòàâëåíèåì òî÷

íîãî ðåøåíèÿ

xt xnh x xe xe xe x

nh n h

() ( ) ( ) ( ) (

()

=== = = »

00 0 0

Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïîñëåä

íåãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû ½(1 – h l)

–1

½< 1 èëè äëÿ

l=a+ jw®(1 – ha)

+(hw)

> 1. Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè

äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ âñÿ ïëîñêîñòü, çà èñêëþ÷åíèåì åäè

íè÷íîãî êðóãà â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå

(1, 0) (ðèñ. 9.34). Êàê âèäíî èç ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà, óñëî

âèå óñòîé÷èâîñòè íå íàëàãàåò êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà øàã

äèñêðåòèçàöèè ïðè èíòåãðèðîâàíèè àáñîëþòíî óñòîé÷èâûõ

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Âûáîð øàãà â ýòîì ñëó÷àå äîëæåí îñóùåñòâ

ëÿòüñÿ òîëüêî ïî ñîîáðàæåíèÿì òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé. Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèÿ

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 73

Ðèñ. 9.33

Ðèñ. 9. 34

ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà îêàçûâàþòñÿ óñòîé÷èâûìè è

â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè, ãäå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

íåóñòîé÷èâî. Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ìåòîäà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ

íåóñòîé÷èâûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äàåò ðåçóëüòàò, íå àäåêâàòíûé õà

ðàêòåðó èñòèííîãî ðåøåíèÿ.

Ðàññìîòðåííûé ìàòåðèàë ïîêàçûâàåò, ÷òî íå ëþáîé ìåòîä ÷èñëåííîãî èíòåã

ðèðîâàíèÿ è íå ëþáîé øàã äèñêðåòèçàöèè ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ l îáåñïå÷è

âàþò ñîîòâåòñòâèå äèôôåðåíöèàëüíîãî ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ ïî âñåì âèäàì

óñòîé÷èâîñòè. Òàêîå ñîîòâåòñòâèå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ïðè èñïîëüçîâàíèè

íåÿâíîãî ìåòîäà òðàïåöèé, ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå êîòîðîãî äëÿ óðàâíåíèÿ (***)

èìååò âèä

(

)

()(xx

xx x h h

nn nn n++ +

=+ + =- +

11 1

1212

llèëè )

Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä

=r r

Òîãäà

rr rr l rr rr

nn nn

=+ +(),rl l r

() , ,1212

-=+ =

.xx

Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì ïðåäñòàâëåíèåì òî÷íîãî ðå-

øåíèÿ, êîìáèíàöèåé ÿâíîãî è íåÿâíîãî ìåòîäîâ Ýéëåðà. Îíî òàêæå ìîæåò áûòü

ïîëó÷åíî èç ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ:

xt xnh x xe xe xe e

nh nh nh

() ( )

()()

=== = = =

ll l

=»+-

-- -

xe e x h h

hn h n n n

1212()()()().

Çàìåòèì, ÷òî ïðèáëèæåíèå e

nlh

» (1 + lh/2)

(1 – lh/2)

–n

íåïîñðåäñòâåííî ñëå

äóåò è èç òàê íàçûâàåìîé Ïàäå-àïïðîêñèìàöèè ýêñïîíåíòû. Òàêèì îáðàçîì,

è çäåñü âèä ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñïîñîáîì ïðèáëè

æåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïîíåíòû e

Îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà òðàïåöèé, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò

ñÿ íåðàâåíñòâîì ½(1 – h l/2)

–1

(1 + hl/2)½ < 1 èëè (1 + hl/2)

<(1–hl/2)

, ïîêàçàíà íà ðèñ. 9.35. Ñóòü æå îòìå÷åííîãî ñâîéñòâà

ìåòîäà òðàïåöèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè ÷èñòî ìíèìîì çíà÷åíèè l

(l=jw) óñòîé÷èâîìó ðåøåíèþ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (***) ñîîò

âåòñòâóåò óñòîé÷èâîå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, òàê êàê

= 1.

Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ìåòîä òðàïåöèé äëÿ èíòåãðèðî

âàíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé (*), ìàòðèöà A êîýôôèöèåíòîâ êîòîðûõ ñîäåðæèò ïàðó

ìíèìûõ ñîïðÿæåííûõ çíà÷åíèé. Ðåøåíèå â ýòîì ñëó÷àå èìååò ñîñòàâëÿþùóþ

74 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.35

âèäà íåçàòóõàþùåãî ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ, ÷òî îáû÷íî è ïðèâîäèò ê òðóä

íîñòÿì ïðè èíòåãðèðîâàíèè.

Èñïîëüçóÿ ðàññìîòðåííûé ìåòîä, ìîæíî îïðåäåëèòü îáëàñòè

óñòîé÷èâîñòè è äðóãèõ ðàçíîñòíûõ ñõåì. Íà ðèñ. 9.36 ïîêàçàíû

îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ìåòîäîâ Ðóíãå—Êóòòà âòîðîãî è ÷åòâåð

òîãî ïîðÿäêîâ.

Ïðè âûáîðå ðàçíîñòíîé ñõåìû è øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ âîïðîñû

óñòîé÷èâîñòè ñõåìû äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû ñ âîïðîñàìè òî÷

íîñòè, ïîñêîëüêó àäåêâàòíîñòü ñõåìû ðåøàåìîìó óðàâíåíèþ

òîëüêî ïî óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè åùå íå ãàðàíòèðóåò åå «õîðîøèõ»

ñâîéñòâ. Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðåøåíèå òåñòîâîãî óðàâíåíèÿ

(***) ìåòîäîì òðàïåöèé ïðè Re l <0;hl << –1. Íà n-ì øàãå

()(),

.xh hxxx

=+ - =

1212

000

Ïðè hl®–¥|

| ®|x

|. Äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ x

= e

lnh

è x

® 0 ïðè hl®–¥.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðåøåíèè äàííîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì òðàïåöèé øàã íå ìî

æåò áûòü âûáðàí ñëèøêîì áîëüøèì èç-çà íåâîçìîæíîñòè ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîé

òî÷íîñòè ðåøåíèÿ. Â òî æå âðåìÿ èñïîëüçîâàíèå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà ïîçâî-

ëÿåò ïîëó÷èòü àäåêâàòíûé ðåçóëüòàò:

()

.xhxx h

=- ® ®-¥

llïðè

Ïîýòîìó ïðèìåíåíèå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëåå ýôôåê-

òèâíûì ïðè ðåøåíèè ñèñòåì (*), âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A êîýôôè-

öèåíòîâ êîòîðûõ èìåþò áîëüøèå ïî ìîäóëþ è îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå

÷àñòè. Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð èëëþñòðèðóåò ñëîæíîñòü âûáîðà ìåòîäà, íàèáî-

ëåå àäåêâàòíîãî ñïåöèôè÷åñêèì îñîáåííîñòÿì ðåøàåìîãî óðàâíåíèÿ. Íî îïðå-

äåëÿþùèìè ïðèíöèïèàëüíóþ âîçìîæíîñòü ýôôåêòèâíîãî ïðèìåíåíèÿ äàííîãî

ìåòîäà ïðè èíòåãðèðîâàíèè îïðåäåëåííîãî êëàññà óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ âñå æå

ñîîáðàæåíèÿ óñòîé÷èâîñòè. Òàê, èñïîëüçîâàíèå ÿâíûõ ìåòîäîâ Ýéëåðà è Ðóí

ãå—Êóòòà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäîáíûõ ñèñòåì ñ áîëüøèìè ïî ìîäóëþ âåùå

ñòâåííûìè ÷àñòÿìè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðèâåëî áû ê ñòîëü ñóùåñòâåííîìó

îãðàíè÷åíèþ øàãà, ÷òî ñäåëàëî íåâîçìîæíûì ïîëó÷åíèå äîñòîâåðíîãî ðåçóëüòà

òà èç-çà îøèáîê íàêîïëåíèÿ èëè æå, â ëó÷øåì ñëó÷àå, ïîòðåáîâàëî íåäîïóñòèìî

áîëüøèõ çàòðàò âðåìåíè ïðè ðåàëèçàöèè íà êîìïüþòåðå.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ áîëüøèíñòâà óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñîá

ñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ ëîêàëèçîâàíû â ëåâîé ïîëóïëîñêî

ñòè, íî ìîãóò áûòü ðàñïîëîæåíû â íåé äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Ïî

ýòîìó äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü ìåòîäû,

îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè êîòîðûõ âêëþ÷àåò âñþ ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü ïëîñêî

ñòè hl. Òàêèå ìåòîäû íàçûâàþò À-óñòîé÷èâûìè. Ê òàêèì ìåòîäàì îòíîñÿòñÿ,

íàïðèìåð, íåÿâíûå ìåòîäû Ýéëåðà è òðàïåöèé. ßâíûå æå ìåòîäû Ýéëåðà è

Ðóíãå—Êóòòà íå À-óñòîé÷èâû. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

íèêàêîé ÿâíûé ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ À-óñòîé÷èâûì;

íå ñóùåñòâóåò À-óñòîé÷èâîãî íåÿâíîãî ëèíåéíîãî ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà ñî

ñòåïåíüþ n >2.

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 75

Ðèñ. 9.36

Òîò ôàêò, ÷òî ÿâíûå êëàññè÷åñêèå ìåòîäû (Ðóíãå—Êóòòà, Ýéëåðà) íå îáëàäà

þò À-óñòîé÷èâîñòüþ, ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî èõ èñïîëüçîâàíèå äëÿ èíòåãðè

ðîâàíèÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèâîäèò ê áîëüøèì âû÷èñëè

òåëüíûì òðóäíîñòÿì. Íà ñóùåñòâîâàíèå ïîäîáíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé, òðóäíî

ïîääàþùèõñÿ èíòåãðèðîâàíèþ ÿâíûìè êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè, âïåðâûå îáðà

òèëè âíèìàíèå â 1952 ã. è íàçâàëè èõ æåñòêèìè ñèñòåìàìè äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ æåñòêèõ óðàâíå

íèé è ìåòîäîâ èõ ðåøåíèÿ. Áîëüøîé âêëàä â ðàçâèòèå ýòîé òåîðèè âíåñ ñîâåò

ñêèé ìàòåìàòèê è ýëåêòðîòåõíèê Þ. Â. Ðàêèòñêèé. Çàìåòèì, ÷òî ïðèìåíèòåëüíî

ê óðàâíåíèÿì ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé æåñòêîñòü ÿâëÿåòñÿ ñêîðåå ïðàâèëîì, ÷åì

èñêëþ÷åíèåì.

9.16. Æåñòêîñòü ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðè ñîçäàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé âñòàåò ïðîáëåìà

ó÷åòà ýëåìåíòîâ ñ ìàëûìè çíà÷åíèÿìè èíäóêòèâíîñòåé, åìêîñòåé, ïðîâîäèìî-

ñòåé, ñîïðîòèâëåíèé. Ïîñêîëüêó ïðåíåáðåæåíèå òàêèìè ýëåìåíòàìè ìîæåò íà-

ðóøèòü àäåêâàòíîñòü ìîäåëè ðåàëüíîé öåïè, èññëåäîâàòåëü çà÷àñòóþ âûíóæäåí

ó÷èòûâàòü áîëüøîå ÷èñëî ïîäîáíûõ ýëåìåíòîâ. Âñëåäñòâèå ýòîãî ýëåêòðè÷åñêèì

öåïÿì ñîîòâåòñòâóþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî âûñîêèõ ïî-

ðÿäêîâ. Ïðè÷åì, êàê ïðàâèëî, ïðè îïèñàíèè ðåøåíèé ïîäîáíûõ óðàâíåíèé â èí-

òåðâàëå íàáëþäåíèÿ òðåáóåòñÿ ïðèâëå÷åíèå äâóõ âèäîâ ôóíêöèé: áûñòðîóáû-

âàþùèõ ñ áîëüøèìè ïðîèçâîäíûìè è ôóíêöèé ñ ìàëûìè ïðîèçâîäíûìè.

Íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òàêèõ ôóíêöèé

äëÿ îïèñàíèÿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñ-

òåì õàðàêòåðèçóåò ÿâëåíèå æåñòêîñòè, à ñàìè

ïîäîáíûå ñèñòåìû íàçûâàþò æåñòêèìè. ßâëåíèå

æåñòêîñòè òèïè÷íî äëÿ çàäà÷ òåîðèè ýëåêòðè÷å

ñêèõ öåïåé. Âìåñòå ñ òåì ÷èñëåííîå ðåøåíèå

æåñòêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñòåì ñîïðÿæåíî

ñî çíà÷èòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè. Ïðè÷èíû òàêèõ

òðóäíîñòåé öåëåñîîáðàçíî ðàññìîòðåòü ïîäðîáíåå.

Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà íà àêòèâíî-èíäóêòèâíóþ öåïü

(ðèñ. 9.37). Çàâèñèìîñòü òîêà â öåïè îò âðåìåíè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ðåøå

íèÿ ñëåäóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:

dt CL

0++=.

Çàïèøåì â îáùåì âèäå åãî ðåøåíèå, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç ñâîáîäíîé ñîñòàâ

ëÿþùåé i

= C

+ C

, è îïðåäåëèì êîðíè l

, l

õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ

íåíèÿ:

ll l l

2 2 10 11

02102100++=®+× +× =

LLC

Ïî òåîðåìå Âèåòà,

76 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.37

ll l l

1210 210==× +=-=-×LC R L;

Ñëåäîâàòåëüíî,

210 10 1»- × =- »- =-RL RC;.

Èñõîäÿ èç íåçàâèñèìûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé

iCC u L

Ri L C

() , () () (000 0

=+= =

122 12 0

+++=CRCCU)( ) ,

íàéäåì ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ: C

= –C

= U

/R. Òîãäà ðåøåíèå ðàññìàòðè

âàåìîãî óðàâíåíèÿ çàïèøåì â âèäå

@-+

-×

210

Íà ðèñ. 9.38, âûïîëíåííîì äëÿ íàãëÿäíîñòè ñ èñêàæåíèåì ìàñøòàáà ïî îñè t,

âûäåëèì äâà ó÷àñòêà.

Ïåðâûé ó÷àñòîê — ó÷àñòîê ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ t Î [0, t

ïñ

] — õàðàêòåðèçóåòñÿ

áûñòðûì èçìåíåíèåì (áîëüøîé ïðîèçâîäíîé) òîêà. Äëèòåëüíîñòü ýòîãî ó÷àñòêà

îïðåäåëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïîñòîÿííîé âðåìåíè t

min

= |1/l

|=L/R. Ìîæíî

ïðèíÿòü, íàïðèìåð, t

ïñ

= (3 ... 5) t

min

. Âòîðîé ó÷àñòîê, ëåæàùèé çà ïîãðàíè÷íûìè

ñëîåì, õàðàêòåðèçóåòñÿ ìåäëåííûì èçìåíåíèåì

òîêà. Äëèòåëüíîñòü ýòîãî ó÷àñòêà, ò. å. äëèòåëüíîñòü

íàáëþäåíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé ïîñòîÿí-

íîé âðåìåíè t

max

=|1/l

|=RC (îáû÷íî ïðîöåññ

öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü íà èíòåðâàëå íå áî-

ëåå (3 ... 5) t

max

). Èìååò ìåñòî ÿâëåíèå æåñòêîñòè.

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå, ìîäå-

ëèðóþùåå ïðîöåññû ñ òàêîãî ðîäà ÿâëåíèåì, îòíî

ñèòñÿ ê æåñòêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.

Æåñòêèì ÿâëÿåòñÿ è óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ñîîòâåò

ñòâóþùåå äàííîé öåïè.

-× -

-×

210 10

210 0

10 6

;

()

Ïðîàíàëèçèðóåì òðóäíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïîäîáíûõ

óðàâíåíèé. Êàê áûëî ïîêàçàíî â § 9.15, âûáîð øàãà, îáåñïå÷èâàþùåãî çàäàííûé

òèï óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ, äîëæåí ïîä÷èíÿòüñÿ îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì, çàâè

ñÿùèì îò ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ, èëè, ÷òî òî æå, îò

êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðè èñïîëüçîâàíèè ÿâíîãî

ìåòîäà Ýéëåðà øàã èíòåãðèðîâàíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèé àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé

÷èâîñòü ðåøåíèÿ, äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ |1+hl|< 1. Äëÿ ðàññìîòðåí

íîãî âûøå ïðèìåðà ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî äâóì íåðàâåíñòâàì

|1+hl

| = |1–h 2×10

| <1; |1+hl

|=|1–h×10| <1,

ðåøàÿ êîòîðûå, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà øàã: h <10

–10

; h < 0,2. Ñëå

äîâàòåëüíî, ïðè èíòåãðèðîâàíèè äàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé øàã äîëæåí áûòü

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 77

Ðèñ. 9.38

îãðàíè÷åí çíà÷åíèåì h <10

–10

, îïðåäåëÿåìûì ìèíèìàëüíîé ïîñòîÿííîé âðåìå

íè t

min

=|1/l

|»0,5×10

–10

ñ. Äëèòåëüíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà çàâèñèò îò

ìàêñèìàëüíîé ïîñòîÿííîé âðåìåíè öåïè:

() ()() (,,)

max

35 35 351 0305

KKK Ktt l== = c.

Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàñ

ñìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ íà èíòåðâàëå T = 0,5 ñ ïîòðåáîâàëî áû áîëåå 5 ìëðä (!)

øàãîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, çíà÷èòåëüíûõ çàòðàò êîìïüþòåðíîãî âðåìåíè äëÿ ðå

øåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòîé çàäà÷è. Ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííîñòü ðàçðÿäíîé ñåòêè

ðåàëüíûõ êîìïüþòåðîâ è îáóñëîâëåííûå ýòèì îøèáêè îêðóãëåíèÿ, ïðè ñîîòíî

øåíèè øàãà h <10

–10

è èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ T = 0,5 ñ ïîëó÷èòü ÷èñëåííîå

ðåøåíèå ïðèâåäåííîãî óðàâíåíèÿ ñ óäîâëåòâîðèòåëüíîé òî÷íîñòüþ íå ïðåäñòàâ

ëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Àíàëîãè÷íûå òðóäíîñòè âîçíèêàþò è ïðè èñïîëüçîâàíèè äðó

ãèõ ÿâíûõ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ, íàïðèìåð ìåòîäîâ Ðóíãå—Êóòòà. Äåëî â òîì,

÷òî â ÿâíûõ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäàõ èíòåãðèðîâàíèÿ ìàêñèìàëüíûé øàã èíòåãðè

ðîâàíèÿ îãðàíè÷èâàþò ïî óñëîâèÿì îáåñïå÷åíèÿ êàê ëîêàëüíîé òî÷íîñòè ðåøå

íèÿ, òàê è åãî óñòîé÷èâîñòè (ñì. § 9.15). Ïîýòîìó â ýòèõ ìåòîäàõ øàã èíòåãðèðî-

âàíèÿ íå ìîæåò áûòü óâåëè÷åí äàæå íà òåõ èíòåðâàëàõ, ãäå ðåøåíèå èçìåíÿåòñÿ

ïëàâíî. Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ýòî îòíîñèòñÿ ê ó÷àñòêó t ³t

ïñ

(ñì. ðèñ. 9.38).

Äåéñòâèòåëüíî, òî÷íîìó ðåøåíèþ äàííîãî óðàâíåíèÿ íà (n + 1)-ì øàãå

xxx xexe

nnnn

+++

=+= +

111211 2

ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ

$$ $

,xx x

nn n+

11122

ãäå r

= f(l

h); r

= f(l

h). Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ n, à ñëåäîâàòåëü-

íî, è t íåçàâèñèìî îò õàðàêòåðà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íàðóøåíèå óñëîâèÿ óñòîé-

÷èâîñòè èç-çà óâåëè÷åíèÿ øàãà ïðèâåäåò ê íåóñòîé÷èâîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ.

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t

³t

ïñ

êîãäà áûñòðîçàòóõàþùàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ óæå íåçíà÷èòåëüíà, øàã èíòåãðèðîâàíèÿ

óâåëè÷åí ñî çíà÷åíèÿ h

= 0,5t

min

= 0,5

= 0,25×10

–10

ñ äî çíà÷åíèÿ h

= 0,5t

max

, l

= 0,5 ×10

–1

ñ, ò. å. â h

= 2×10

ðàç. Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ñîñòàâëÿþùåé

ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ

$$ $

xx x

nn n+

11122

, ñîîòâåòñòâóþùåé áû

ñòðîçàòóõàþùåé ñîñòàâëÿþùåé x

ðåøåíèÿ x

n+1

= x

+ x

èñõîäíîé

çàäà÷è (òàáë. 9.4).

Òàáëèöà 9.4

Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ

Ôóíêöèÿ r

= f (l

Çíà÷åíèå

n11

ßâíûé ìåòîä Ýéëåðà

1+l

()

nn1

110 10-»-×

Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà

(1 – l

)

–1

()

nn1

110 10+»×

Ìåòîä òðàïåöèé

(1 + l

/2)(1 – l

/2)

–1

()()

nn1

991

1 1021 102-+»-

Êàê âèäíî èç òàáë. 9.4, ïðè ïðèìåíåíèè ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà óâåëè÷åíèå

øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ h ïðèâåëî ê ðåçêîìó (â ìèëëèàðä ðàç!) óâåëè÷åíèþ ïî ìî

78 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

äóëþ ñîñòàâëÿþùåé

ðåøåíèÿ

n+1

ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî,

ê íåàäåêâàòíîñòè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ðåøåíèþ ðàññìàòðèâàåìîãî

óðàâíåíèÿ. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò è ïðè èñïîëüçîâàíèè äðóãèõ ÿâ

íûõ ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ äèôôåðåí

öèàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî îñóùåñòâëÿòü íåÿâíûìè ìåòîäàìè, øàã â êîòîðûõ

âûáèðàþò â îñíîâíîì ïî óñëîâèÿì îáåñïå÷åíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè, è íà ó÷àñò

êàõ ïëàâíîãî èçìåíåíèÿ ðåøåíèÿ îí ìîæåò áûòü óâåëè÷åí. Îäíàêî íåîáõîäèìî

çàìåòèòü, ÷òî íåÿâíûì ìåòîäàì ïðèñóùè íåäîñòàòêè, ñâÿçàííûå ñ èõ ïðàêòè÷å

ñêîé ðåàëèçàöèåé, îñîáåííî ïðîÿâëÿþùèåñÿ èìåííî äëÿ æåñòêèõ ñèñòåì. Ê íèì

îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ, â îáùåì ñëó÷àå

íåëèíåéíûõ, ñèñòåì óðàâíåíèé. Ïðè ýòîì âîçíèêàþò ïðîáëåìû âûáîðà ÷èñëåí

íîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì, îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ

èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà, îáåñïå÷åíèÿ ñõîäèìîñòè òàêîãî ïðîöåññà è ò. ä. Ñïåöè

ôè÷åñêèå ñâîéñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì, âûÿâëÿåìûå ïðè èíòåãðèðîâàíèè íå

ÿâíûìè ìåòîäàìè æåñòêèõ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ, íàïðèìåð, ïëîõàÿ îáóñëîâëåí

íîñòü ñèñòåì, çàòðóäíÿþò èõ ÷èñëåííóþ îáðàáîòêó. Òàêèì îáðàçîì, æåñòêîñòü

óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ïîðîæäàåò ñóùåñòâåííûå âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè èõ

èíòåãðèðîâàíèÿ.

Äàäèì, ñëåäóÿ Þ. Â. Ðàêèòñêîìó, ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå æåñòêîé ñèñòåìû

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:

(, ), [ , ];xf=Îtx t T0

xx f== =() [ ()... ()], (, ) [ (, )... (, )]txtxt txftxftx

m11

(*)

Ïðè ýòîì áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî äëÿ æåñòêèõ ñèñòåì çíà÷åíèÿ ïðîèç-

âîäíûõ ðåøåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèõ ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ, âíå ïîãðàíè÷íîãî

ñëîÿ t

ïñ

<< T â N ðàç ìåíüøå (N >> 1), ÷åì âíóòðè íåãî.

Ëèíåàðèçèðóåì ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ â îêðåñòíîñòè íà÷àëü

íîé òî÷êè:

fx fx

xx( , ) ( , ) ( ) ... .tt=+-+

Ïðîèçâîäíûå êîìïîíåíò âåêòîðà x(t) ïðè t Î[0, t

ïñ

] ìîãóò äîñòèãàòü çíà÷åíèé

max

| x

(t)|, ãäå L — ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó

0 <£¶¶L fx;

çäåñü

¶¶fx

— íîðìà ìàòðèöû ßêîáè ¶f/¶x, t Î [0, T].

Ñèñòåìó (*) íàçûâàþò æåñòêîé, åñëè ïðè ëþáîì âåêòîðå íà÷àëüíûõ óñëîâèé

íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà t

ïñ

< T,0<L £

¶¶fx

, N > 1, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ

íåðàâåíñòâî

|| ||

[]

, , , ..., .x

xt k m

£=

ïñ

max ( )

Îòìåòèì îäíó âàæíóþ îñîáåííîñòü äàííîãî îïðåäåëåíèÿ, çàêëþ÷àþùóþñÿ â

òîì, ÷òî ïîíÿòèå æåñòêîñòè ñâÿçûâàåòñÿ ñ èíòåðâàëîì íàáëþäåíèÿ ðåøåíèÿ

t Î [0, T]. Åñëè æåñòêóþ íà èíòåðâàëå t Î [0, T] ñèñòåìó ðàññìàòðèâàòü ëèøü íà

ïîäûíòåðâàëå t Î [0, t

ïñ

], òî åå íåëüçÿ óæå ñ÷èòàòü æåñòêîé, òàê êàê çäåñü óæå íå

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 79

íàáëþäàåòñÿ òîãî ðàçëè÷èÿ â õàðàêòåðå ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ, êîòîðîå ïîëîæåíî

â îñíîâó ïîíÿòèÿ æåñòêîñòè. Çàìåòèì, ÷òî è èíòåãðèðîâàíèå ïîäîáíîé ñèñòåìû

íà èíòåðâàëå t Î [0, t

ïñ

] íå ñâÿçàíî ñ êàêèìè-ëèáî ñëîæíîñòÿìè äàæå ïðè èñ

ïîëüçîâàíèè ÿâíûõ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ.

Åñëè äàííîå îïðåäåëåíèå æåñòêîñòè ïðèìåíèòü ê ëèíåéíîé ñèñòåìå äèôôå

ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

,,[,],xAx x=ÎÎRt T

òî ìîæíî ïðèéòè ê ñëåäóþùèì óñëîâèÿì äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé l

j = 1, 2, ..., m, ìàòðèöû A æåñòêîé ñèñòåìû:

,Re;

,Re,

ïñ

åñëè

££

£³

ãäå L =

max

|; N >>1; t

ïñ

<< T.

Îöåíèì æåñòêîñòü ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ öåïè íà ðèñ. 9.37 ïðè óñëî-

âèè, ÷òî èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ t Î [0, T], ãäå T = 0,5 ñ, åñëè l

= –2× 10

; l

= –10;

L =|l

|=2×10

Ñ÷èòàÿ t

ïñ

= 5t

min

= 5|1/l

max

|=2,5×10

–10

ñ; N = 100, ïîëó÷àåì, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà

æåñòêàÿ, ïîñêîëüêó äëÿ íåå âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

10 5 10

210 210

100

;

ïñ

=× £ =× ×

-×

£=×

2510 8

210

Â çàêëþ÷åíèå îñòàíîâèìñÿ íà ñâîéñòâå æåñòêèõ ñèñòåì, ïîÿñíÿþùåì ÿâ

ëåíèå æåñòêîñòè è ïîçâîëÿþùåì ïî-íîâîìó ïîäîéòè ê ïðîáëåìå îáðàáîòêè ýòèõ

ñèñòåì. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ñâîéñòâà ñíîâà îáðàòèìñÿ ê ðåøåíèþ i

= C

+ C

, t Î [0, T] æåñòêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé öåïè (ñì. ðèñ. 9.37). Çàìåòèì, ÷òî

íà èíòåðâàëå ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ t Î [0, t

ïñ

], ãäå t

ïñ

= 5/|l

|=2,5×10

–10

ñ, ýêñïîíåíòó

ìîæíî ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ñ÷èòàòü ðàâíîé åäèíèöå. Òîãäà

ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

iiCCe

»= + = - » -

121

() .

80 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.39

Òàêîìó ðåøåíèþ (ðèñ. 9.39, à) ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèå áîëåå ïðîñòîé öåïè

(ðèñ. 9.40, à), ñîäåðæàùåé òîëüêî îäèí íàêîïèòåëü ýíåðãèè. Íà èíòåðâàëå, ñëå

äóþùåì çà ïîãðàíè÷íûì ñëîåì t Î [t

ïñ

, T], ñîñòàâëÿþùóþ ðåøåíèÿ C

ìîæíî

ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè ðàâíîé íóëþ. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íà ýòîì èíòåðâàëå ìîæåò

áûòü çàïèñàíî â âèäå

iiCe

et T

»= = » Î

t,[,].

ïñ

Ýòîìó âûðàæåíèþ (ðèñ. 9.39, á) òàêæå ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèå áîëåå ïðî-

ñòîé öåïè (ðèñ. 9.40, á), èìåþùåé òîëüêî îäèí íàêîïèòåëü ýíåðãèè. Óðàâíåíèÿ

öåïåé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 9.40, à, á, îïèñûâàþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, áûñòðûå è

ìåäëåííûå ïðîöåññû, íå ÿâëÿþòñÿ æåñòêèìè. Æåñòêîñòü æå èñõîäíîãî óðàâíå-

íèÿ îáóñëîâëåíà îáúåäèíåíèåì îïèñàíèÿ ñòîëü ðàçëè÷íûõ ïî õàðàêòåðó ïðîöåñ-

ñîâ. Òàêèì îáðàçîì, îäíèì èç ïåðñïåêòèâíûõ ïóòåé îáðàáîòêè æåñòêèõ ñèñòåìå

óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ êîððåêòèðîâêà ñàìèõ ñèñòåì, ïîçâîëÿþùàÿ ðàçäåëèòü îïè-

ñàíèå áûñòðûõ è ìåäëåííûõ ïðîöåññîâ. Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå òàêîå ðàç-

äåëüíîå îïèñàíèå ïðîöåññîâ ìîãëî áûòü âûïîëíåíî àïðèîðè, ïîñêîëüêó ôèçè÷å-

ñêàÿ êàðòèíà äîñòàòî÷íî ÿñíà. Â òîì ñëó÷àå, êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ æåñòêèå

óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ áîëåå ñëîæíûõ îáúåêòîâ, â êîòîðûõ ôèçèêà ïðîöåññîâ çà

ðàíåå íå ÿñíà, óïðîùåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íà ðàçíûõ èíòåðâàëàõ ìîæíî

äîñòè÷ü ëèøü ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè. Èñïîëüçîâàíèå ïðîöåäóðû

êîððåêòèðîâêè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, èñêëþ÷àþùåé åå æåñòêîñòü íà îòäåëü

íûõ âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ, ïîçâîëèëî áû ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿòü ñàìûå ïðî

ñòûå è ïîýòîìó íàèáîëåå íàäåæíûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, òàêèå,

íàïðèìåð, êàê ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà.

9.17. Ñèñòåìíûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ

óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Â ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ðåçèñòîðàìè ïåðåõîäíûå ïðîöåññû, ñâÿçàí

íûå ñ èçìåíåíèåì ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîñòåïåííî

çàòóõàþò. Â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðåõîäÿùèå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ è

íàïðÿæåíèé ïðåäñòàâëåíû ñóììîé ýêñïîíåíöèàëüíûõ ÷ëåíîâ, êîòîðûå îáû÷íî

óìåíüøàþòñÿ ñî âðåìåíåì. Ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ îïðåäåëÿ

åòñÿ îòðèöàòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A.

Äëÿ ïàññèâíûõ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÷åì áîëüøå ïî ìîäóëþ âåùåñò

âåííàÿ ÷àñòü ñîáñòâåííîãî ÷èñëà, òåì ñêîðåå óìåíüøàåòñÿ âëèÿíèå äàííîãî ÷ëå

íà íà ïîñëåäóþùèé ïðîöåññ.

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 81

Ðèñ. 9.40

Â æåñòêèõ ñèñòåìàõ ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A ñãðóïïèðîâàíû òàêèì îá

ðàçîì, ÷òî çíà÷åíèÿ èõ âåùåñòâåííûõ ÷àñòåé â îäíèõ ãðóïïàõ a

,…,a

ñóùåñò

âåííî îòëè÷àþòñÿ îò çíà÷åíèé ýòèõ ÷àñòåé a

i+1

,…,a

äðóãèõ ãðóïï, â òî âðåìÿ êàê

âíóòðè äàííîé ãðóïïû ýòè çíà÷åíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ íåçíà÷èòåëüíî. Äëÿ èñêëþ

÷åíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òàêîå ïîëîæåíèå èìååò ìåñòî, åñëè

íàèáîëüøåå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèå a

i+1

j+1

) ïîñëåäóþùåé ãðóïïû ïðèìåðíî íà

ïîðÿäîê ìåíüøå íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ a

) ïðåäûäóùåé ãðóïïû.

Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî âûäåëèòü íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t

ïñi

ïñj

), ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî âëèÿíèåì ýêñïîíåíò, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòèì ãðóï

ïàì ñîáñòâåííûõ ÷èñåë, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè t

ïñi

ìîæíî

ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè a

,…,a

, à ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè t

ïñj

òàêæå è ÷ëåíàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè a

i+1

,…,a

Ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàöèîíàëüíîãî âûïîëíåíèÿ âû÷èñëåíèé öåëåñîîáðàçíî óâå

ëè÷èâàòü øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ìåðå çàòóõàíèÿ ýêñïîíåíò, ñîîòâåòñòâóþùèõ

áîëüøèì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì, îïðåäåëÿþùèì ìàëûé øàã èíòåãðèðîâàíèÿ. Îä

íàêî, êàê ïîêàçàíî â § 9.15, òàêîå óâåëè÷åíèå íå ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåíî äëÿ

ñèñòåìû óðàâíåíèé èç-çà íàðóøåíèÿ óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà.

Òàêîå ïîñëåäîâàòåëüíîå óâåëè÷åíèå øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü ïðîèç-

âåäåíî íà îñíîâå ìåòîäà, íàçâàííîãî åãî àâòîðîì, ïðîôåññîðîì Ëåíèíãðàäñêîãî

ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà Þ. B. Ðàêèòñêèì ñèñòåìíûì. Ýòîò ìåòîä îñíîâàí

íà ïðåäëîæåííîì Þ. B. Ðàêèòñêèì ñëåäóþùåì ñïîñîáå âû÷èñëåíèÿ:

exp( ), exp( ) ,AAbHd

ãäå H = 2

h, b = [b

, b

,…,b

]

— âåêòîð; A — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíî-

ñòüþ m ´ m.

Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî

exp( ) (exp( )) , exp( ) exp( )AA A A22

hh d d

tt tt

+( exp( )).A

Åñëè

exp( ) , exp( ) , exp( ) ,AAÔAbgÔbhdd

== ==

òò

jjtt tt

òî ïðèâåäåííûå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðåêóððåíòíûõ îò

íîøåíèé

jjjjjj

kkkk kkk++ ++

==+=

111

1;(), .ÔÔ gÔb

Åñëè

exp( )

();A1 At

exp( )

()! ()!

=×+

A1 A1Att (),At

82 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé