Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005

Подождите немного. Документ загружается.

Условия задач. 1999 год 41

за ничью — 1/2 очка, за поражение — 0 очков). Докажи-

те, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое

число партий белыми.

9 к л а с с

1. На доске в лаборатории написаны два числа. Каж-

дый день старший научный сотрудник Петя стирает с дос-

ки оба числа и пишет вместо них их среднее арифмети-

ческое и среднее гармоническое. Утром первого дня на

доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение

чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня. (Сред-

ним арифметическим двух чисел a и b называется число

a + b

, а средним гармоническим — число

1/a + 1/b

2. Двое играют в следующую игру: первый выписывает

в ряд по своему желанию буквы А или Б (слева направо,

одну за другой; по одной букве за ход), а второй после

каждого хода первого меняет местами любые две из вы-

писанных букв или ничего не меняет (это тоже считаться

ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов,

игра заканчивается. Может ли второй играть так, чтобы

при любых действиях первого игрока в результате полу-

чился палиндром (т. е. слово, которое читается одинаково

слева направо и справа налево)?

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в

точке O. Окружность, проходящая через точки A, O, B,

касается прямой BC. Докажите, что окружность, проходя-

щая через точки B, O, C, касается прямой CD.

4*. Найдите все такие целые положительные k, что

число

1...1

z}|{

2...2

| {z }

2000

−2 . . . 2

|{z}

1001

является квадратом целого числа.

5. Вписанная окружность треугольника ABC касается

сторон AB и AC (AB > BC) в точках P и Q соответственно,

RS — средняя линия, параллельная AB, T — точка пере-

сечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на

биссектрисе угла B треугольника.

42 Условия задач. 1999 год

6. В соревнованиях по n-борью участвуют 2

человек.

Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из

видов программы. Соревнования проходят следующим об-

разом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде

программы, и лучшая половина из них выходит в следу-

ющий круг. Эта половина принимает участие в следую-

щем виде, и половина из них выходит в следующий круг,

и т. д., пока в n-м виде программы не будет определен по-

бедитель. Назовем спортсмена «возможным победителем»,

если можно так расставить виды спорта в программе, что

он станет победителем.

а) докажите, что может так случиться, что хотя бы

половина спортсменов является «возможными победителя-

ми»;

б) докажите, что всегда число «возможных победите-

лей» не превосходит 2

−n;

в)* докажите, что может так случиться, что «возмож-

ных победителей» ровно 2

−n.

10 к л а с с

1. Известно, что (a + b + c)c < 0. Докажите, что b

> 4ac.

Рис. 4

2. Две окружности пересека-

ются в точках P и Q. Третья

окружность с центром в точке

P пересекает первую в точках

A, B, а вторую — в точках C и

D (рис. 4). Докажите, что углы

AQD и BQC равны.

К о м м е н т а р и й. Во избежание

рассмотрения случаев эта задача пред-

лагалась участникам олимпи ады толь-

ко для расположения точек, указанно-

го на рисунке. Тем не менее, утвер-

ждение верно всегда.

3*. Найдите все такие пары натуральных чисел x, y,

что x

+ y и y

+ x делятся на x

+ y

4. 2n радиусов разделили круг на 2n равных секто-

ров: n синих и n красных. В синие сектора, начиная

с некоторого, записывают против хода часовой стрелки

числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого,

Условия задач. 1999 год 43

записываются те же числа и таким же образом, но по

ходу часовой стрелки. Докажите, что найдется полукруг,

в котором записаны все числа от 1 до n.

5. Кузнечик прыгает по отрезку [0; 1]. За один прыжок

он может попасть из точки x либо в точку

√

, либо в

точку

√



1 −

√



. На отрезке [0; 1] выбрана точка a.

Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может

через несколько прыжков оказаться на расстоянии мень-

ше 1/100 от точки a.

6*. Для чисел 1, . . . , 1999, расставленных по окружно-

сти, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10

чисел, идущих подряд. Найдите расстановку чисел, при

которой полученная сумма наибольшая.

11 к л а с с

1. a, b, c — стороны треугольника. Докажите неравен-

ство

+ 2bc

+ c

+ 2ac

+ a

+ 2ab

+ b

> 3.

Рис. 5

2. Плоская выпуклая фигура ограни-

чена отрезками AB и AC и дугой BC

некоторой окружности (рис. 5). Построй-

те какую-нибудь прямую, которая делит

пополам: а) периметр этой фигуры; б) ее

площадь.

3. Грани правильного октаэдра рас-

крашены в белый и черный цвет. При

этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены

в разные цвета. Докажите, что для любой точки внутри

октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней

равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.

4. На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая

лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыж-

ком он выбирает вершину квадрата и прыгает по направ-

лению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния

до вершины. Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

5. Граф — это набор вершин, причем некоторые из них

соединены ребрами (каждое ребро соединяет ровно две

44 Условия задач. 2000 год

вершины графа). Раскраска вершин графа называется

правильной, если вершины одного цвета не соединены

ребром. Некоторый граф правильно раскрашен в k цветов,

причем его нельзя правильно раскрасить в меньшее число

цветов. Докажите, что в этом графе существует путь,

вдоль которого встречаются вершины всех k цветов ровно

по одному разу.

6*. Решите в натуральных числах уравнение (1 + n

)

= 1 + n

, где l > 1.

7. Докажите, что первые цифры чисел вида 2

образу-

ют непериодическую последовательность.

Из трех последних задач 11 класса в зачет шли две.

2000 год (LXIII олимпиада)

8 к л а с с

1. Два различных числа x и y (не обязательно целых)

таковы, что x

−2000x = y

−2000y. Найдите сумму чисел

x и y.

2. В выборах в 100-местный парламент участвовали 12

партий. В парламент проходят партии, за которые про-

голосовало строго больше 5 % избирателей. Между про-

шедшими в парламент партиями места распределяются

пропорционально числу набранных ими голосов (т. е. ес-

ли одна из партий набрала в x раз больше голосов, чем

другая, то и мест в парламенте она получит в x раз боль-

ше). После выборов оказалось, что каждый избиратель

проголосовал ровно за одну из партий (недействительных

бюллетеней, голосов «против всех» и т. п. не было) и

каждая партия получила целое число мест. При этом Пар-

тия любителей математики набрала 25 % голосов. Какое

наибольшее число мест в парламенте она могла получить?

(Ответ объясните.)

3. Длины оснований трапеции равны m см и n см (m и

n — натуральные числа, m 6= n). Докажите, что трапецию

можно разрезать на равные треугольники.

4. В треугольнике ABC длина медианы BM равна

длине стороны AC. На продолжениях сторон BA и AC вы-

браны точки D и E соответственно так, что выполняются

Условия задач. 2000 год 45

Рис. 6

равенства AD = AB и CE = CM (рис. 6).

Докажите, что прямые DM и BE пер-

пендикулярны.

5. В колоде часть карт лежит «ру-

башкой вниз». Время от времени Петя

вынимает из колоды пачку из одной

или нескольких подряд идущих карт, в

которой верхняя и нижняя карты ле-

жат «рубашкой вниз», переворачивает

всю пачку как одно целое и вставляет

ее в то же место колоды. Докажите, что

в конце концов все карты лягут «рубашкой вверх», как

бы ни действовал Петя.

6. Какое наибольшее число коней можно расставить на

доске 5 ×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ров-

но двух других? (Приведите пример и объясните, почему

больше коней расставить нельзя.)

9 к л а с с

1. Решите уравнение

(x+1)

+(x+1)

(x−1)+ (x+ 1)

(x−1)

+. . .+(x−1)

= 0.

2*. В строку выписано 23 натуральных числа (не обя-

зательно различных). Докажите, что между ними можно

так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что

значение полученного выражения будет делиться на 2000

нацело.

3. Дана окружность и точка A внутри ее. Найдите гео-

метрическое место вершин C всевозможных прямоуголь-

ников ABCD, где точки B и D лежат на окружности.

4. Гриша записал в клетки шахматной доски числа 1,

2, 3, ..., 63, 64 в некотором порядке. Он сообщил Лёше

только сумму чисел в каждом прямоугольнике из двух

клеток и добавил, что 1 и 64 лежат на одной диагонали.

Докажите, что по этой информации Лёша может точно

определить, в какой клетке какое число записано.

5*. ABCD — выпуклый четырехугольник. Окружности,

построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, ка-

саются внешним образом в точке M, отличной от точки

пересечения диагоналей четырехугольника. Окружность,

46 Условия задач. 2000 год

проходящая через точки A, M и C, вторично пересекает

прямую, соединяющую точку M и середину AB, в точке

K, а окружность, проходящая через точки B, M и D,

вторично пересекает ту же прямую в точке L. Докажите,

что |MK −ML|= |AB −CD|.

6*. Система укреплений состоит из блиндажей. Неко-

торые из блиндажей соединены траншеями, причем из

любого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь дру-

гой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка

может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каж-

дом промежутке между выстрелами пехотинец обязатель-

но перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж

(даже если по соседнему блиндажу только что стреляла

пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовем систе-

му надежной, если у пушки нет гарантированной страте-

гии поражения пехотинца (т. е. такой последовательности

выстрелов, благодаря которой пушка поразит пехотинца

независимо от его начального местонахождения и после-

дующих передвижений).

Рис. 7

а) Докажите, что система укрепле-

ний, изображенная на рисунке 7, на-

дежна.

б) Найдите все надежные системы

укреплений, которые перестают быть

надежными после разрушения любой

из траншей.

10 к л а с с

1. Точки A и B взяты на графике функции y = 1/x,

x > 0. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс,

основания перпендикуляров — H

и H

; O — начало ко-

ординат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной

прямыми OA, OB и дугой AB, равна площади фигуры,

ограниченной прямыми AH

, BH

, осью абсцисс и дугой

AB.

2. Пусть f(x) = x

+ 12x + 30. Решите уравнение

f(f(f(f(f(x))))) = 0.

3. На бумаге «в клеточку» нарисован выпуклый много-

угольник, так что все его вершины находятся в вершинах

Условия задач. 2000 год 47

клеток и ни одна из его сторон не идет по вертикали или

горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных от-

резков линий сетки, заключенных внутри многоугольни-

ка, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сет-

ки внутри многоугольника.

4*. См. задачу 5 для 9 класса.

5. Последовательность x

, x

, . .., x

, . .. будем обозна-

чать {x

}. Из имеющихся последовательностей {b

} и {c

}

(возможно, {b

} совпадает с {c

}) разрешается получать по-

следовательности {b

+ c

}, {b

−c

}, {b

· c

} и {b

} (если

все c

отличны от 0). Кроме того, из любой имеющей-

ся последовательности можно получить новую, вычеркнув

несколько начальных членов. Сначала есть только после-

довательность {a

}. Можно ли получить из нее описанны-

ми выше операциями последовательность {n}, т. е. 1, 2,

3, 4, ..., если: а) a

= n

; б) a

= n +

√

2; в) a

2000

+ 1

6. Из колоды вынули 7 карт, показали всем, перетасо-

вали и раздали Грише и Лёше по 3 карты, а оставшуюся

карту а) спрятали; б) отдали Коле.

Гриша и Лёша могут по очереди сообщать вслух любую

информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг

другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вы-

числить местонахождение ни одной из тех карт, которых

он не видит? (Гриша и Лёша не договаривались о каком-

либо особом способе общения; все переговоры происходят

открытым текстом.)

11 к л а с с

1. Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чи-

сел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значе-

ние НОД чисел m + 2000n и n + 2000m?

2. Вычислите

]

(|sin 1999x |−|sin 2000x|) dx.

3. Хорды AC и BD окружности с центром O пересе-

каются в точке K. Пусть M и N — центры окружностей,

описанных около треугольников AKB и CKD соответствен-

но. Докажите, что OM = KN.

48 Условия задач. 2001 год

4. У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сло-

жить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из

палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки

не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить,

то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот про-

цесс продолжаться бесконечно?

5. В круговом шахматном турнире каждый участник

сыграл с каждым один раз. Назовем партию неправиль-

ной, если выигравший ее шахматист в итоге набрал очков

меньше, чем проигравший. (Победа дает 1 очко, ничья —

1/2, поражение — 0.)

Могут ли неправильные партии составлять

а) более 75 % от общего количества партий в турнире;

б)* более 70 %?

6. Можно ли расположить бесконечное число равных

выпуклых многогранников в слое, ограниченном двумя

параллельными плоскостями, так, чтобы ни один много-

гранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая осталь-

ных?

2001 год (LXIV олимпиада)

8 к л а с с

1. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник ши-

риной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по

Рис. 8

клеткам, начав с левой верхней и идя

по спирали (дойдя до края или уже за-

крашенной части, поворачивают направо,

рис. 8). Какая клетка будет закрашена

последней? (Укажите номер ее строки и

столбца. Например, нижняя правая клет-

ка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)

2. Можно ли поставить на плоскости 100 точек (снача-

ла первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы

никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы

в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных

точек, имела ось симметрии?

3. Даны шесть слов: ЗАНОЗА, ЗИПУНЫ, КАЗИНО,

КЕФАЛЬ, ОТМЕЛЬ, ШЕЛЕСТ. За один шаг можно

Условия задач. 2001 год 49

заменить любую букву в любом из этих слов на любую

другую (например, за один шаг можно получить из слова

ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА). Сколько шагов нужно, чтобы

сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмыс-

ленные)? Приведите пример и докажите, что меньшим

числом шагов обойтись нельзя.

4. В треугольнике ABC проведены биссектриса AK, ме-

диана BL и высота CM. Треугольник KLM равносторон-

ний. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

5. Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша

пытается его отгадать, называя двузначные числа. Счита-

ется, что он отгадал, если одну цифру он назвал правиль-

но, а в другой ошибся не более чем на единицу (например,

если задумано число 65, то 65, 64 и 75 подходят, а 63,

76 и 56 — нет). Придумайте способ, гарантирующий Гри-

ше успех за 22 попытки (какое бы число ни задумал

Лёша).

6. (Продолжение.) Покажите, что нет способа, гаранти-

рующего Грише успех за 18 попыток.

9 к л а с с

1. Можно ли расставить на футбольном поле четырех

футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними

равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

2. В некоторой стране суммарная зарплата 10 % самых

высокооплачиваемых работников составляет 90 % зарпла-

ты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из

регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых

10 % работников составляет не более 11 % всей зарплаты,

выплачиваемой в этом регионе?

Рис. 9

3. Внутри угла с вершиной M от-

мечена точка A. Из этой точки вы-

пустили шар, который отразился от

одной стороны угла в точке B, за-

тем от другой стороны в точке C и

вернулся в A («угол падения» равен

«углу отражения», рис. 9). Докажи-

те, что центр O окружности, описан-

ной около треугольника BCM, лежит

на прямой AM.

50 Условия задач. 2001 год

4. Камни лежат в трех кучках: в одной — 51 камень, в

другой — 49 камней, а в третьей — 5 камней. Разрешается

объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку

из четного количества камней на две равные. Можно ли

получить 105 кучек по одному камню в каждой?

5. Натуральное число N в 999...99

| {z }

k штук

раз больше суммы

своиx цифр. Укажите все возможные значения k и для

каждого из них приведите пример такого числа.

6*. Участники шахматного турнира сыграли друг с дру-

гом по одной партии. Для каждого участника A было

подсчитано число набранных им очков (за победу дается

1 очко, за ничью — 1/2 очка, за поражение — 0 очков) и

коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участни-

ков, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он

проиграл.

а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть

больше 0?

б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть

меньше 0?

10 к л а с с

1. Существуют ли три квадратных трехчлена такие, что

каждый из них имеет корень, а сумма любых двух трех-

членов не имеет корней?

2. Можно ли расставить охрану вокруг точечного объ-

екта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было

незаметно подкрасться? (Каждый часовой стоит неподвиж-

но и видит на 100 м строго вперед.)

3. Приведите пример многочлена P(x) степени 2001,

для которого выполняется тождество

P(x) + P(1 −x) = 1.

4. В остроугольном треугольнике ABC проведены вы-

соты AH

, BH

и CH

. Докажите, что треугольник с

вершинами в точках пересечения высот треугольников

, BH

, CH

равен треугольнику H

5. На двух клетках шахматной доски стоят черная и

белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из

них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку