Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005

Подождите немного. Документ загружается.

Условия задач. 1996 год 31

6. Али-Баба и разбойник делят клад, состоящий из 100

золотых монет, разложенных в 10 кучек по 10 монет.

Али-Баба выбирает 4 кучки, ставит около каждой из них

по кружке, откладывает в каждую кружку по несколь-

ко монет (не менее одной, но не всю кучку). Разбойник

должен как-то переставить кружки, изменив их первона-

чальное расположение, после чего монеты высыпаются из

кружек в те кучки, около которых оказались кружки.

Далее Али-Баба снова выбирает 4 кучки из 10, ставит

около них кружки, и т. д. В любой момент Али-Баба

может уйти, унеся с собой любые три кучки по выбору.

Остальные монеты достаются разбойнику. Какое наиболь-

шее число монет сможет унести Али-Баба, если разбойник

тоже старается получить побольше монет?

10 к л а с с

1. Положительные числа a, b и c таковы, что a

+ b

−

−ab = c

. Докажите, что (a −c)(b −c) 6 0.

2. В клетчатом квадрате 10 ×10 отмечены центры всех

единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наимень-

шее число прямых, не параллельных сторонам квадрата,

n−1

Рис. 2

нужно провести, чтобы вычеркнуть

все отмеченные точки?

3. Точки P

, P

, . . ., P

n−1

делят

сторону BC равностороннего тре-

угольника ABC на n равных ча-

стей: BP

= P

= ... = P

n−1

C. Точка

M выбрана на стороне AC так, что

AM = BP

. Докажите, что ∠AP

M +

+ ∠AP

M + . . . + ∠AP

n−1

M = 30

◦

, ес-

ли а) n = 3; б) n — произвольное на-

туральное число (рис. 2).

4. В углу шахматной доски размером m ×n полей стоит

ладья. Двое по очереди передвигают ее по вертикали или

по горизонтали на любое число полей; при этом не раз-

решается, чтобы ладья стала на поле или прошла через

поле, на котором она уже побывала (или через которое

уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить.

Кто из играющих может обеспечить себе победу: начина-

ющий или его партнер, и как ему следует играть?

32 Условия задач. 1996 год

5. В стране, дома жителей которой представляют собой

точки плоскости, действуют два закона:

1) Человек может играть в баскетбол, лишь если он

выше ростом большинства своих соседей.

2) Человек имеет право на бесплатный проезд в транс-

порте, лишь если он ниже ростом большинства своих со-

седей.

В каждом законе соседями человека считаются все лю-

ди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме

этого человека. При этом каждый человек сам выбирает

себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно

такой же) для второго закона. Может ли в этой стране

не менее 90 % людей играть в баскетбол и не менее 90 %

людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

6. Докажите, что для любого многочлена P(x) степени

n с натуральными коэффициентами найдется такое целое

число k, что числа P(k), P(k + 1), ..., P(k + 1996) будут

составными, если а) n = 1; б) n — произвольное натураль-

ное число.

11 к л а с с

1. См. задачу 1 для 10 класса.

2. Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэф-

фициентами, корнем которого является число

2 +

√

3 +

2 −

√

3. В пространстве даны восемь параллельных плоско-

стей таких, что расстояния между каждыми двумя со-

седними равны. На каждой из плоскостей выбирается по

точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами

куба.

4. Докажите, что существует бесконечно много нату-

ральных чисел n таких, что число n представимо в виде

суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа n −1

и n + 1 — нет.

5. Точка X, ле жащая вне непересекающихся окружно-

стей

такова, что отрезки касательных, прове-

денных из X к

, равны. Докажите, что точка

пересечения диагоналей четырехугольника, образованного

точками касания, совпадает с точкой пересечения общих

внутренних касательных к

Условия задач. 1997 год 33

6. В таблице 2

×n были выписаны всевозможные стро-

ки длины n из чисел 1 и −1. Затем часть чисел заменили

нулями. Докажите, что можно выбрать несколько строк,

сумма которых есть строка из нулей. (Суммой строк на-

зывается строка, элементы которой являются суммами со-

ответствующих элементов слагаемых.)

1997 год (LX олимпиада)

8 к л а с с

1. В некоторых клетках шахматной доски стоят фигу-

ры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы

одна фигура, причем в разных горизонталях — разное чис-

ло фигур. Докажите, что всегда можно отметить 8 фигур

так, чтобы в каждой вертикали и каждой горизонтали

стояла ровно одна отмеченная фигура.

2. От вулканостанции до вершины вулкана Стромболи

надо идти 4 часа по дороге, а затем — 4 часа по тропин-

ке. На вершине расположено два кратера. Первый кратер

1 час извергается, потом 17 часов молчит, потом опять

1 час извергается, и т. д. Второй кратер 1 час извергает-

ся, 9 часов молчит, 1 час извергается, и т. д. Во время

извержения первого кратера опасно идти и по тропинке,

и по дороге, а во время извержения второго опасна только

тропинка. Ваня увидел, что ровно в 12 часов оба кратера

начали извергаться одновременно. Сможет ли он когда-

нибудь подняться на вершину вулкана и вернуться назад,

не рискуя жизнью?

3. Внутри острого угла XOY взяты точки M и N так,

что ∠ XON = ∠YOM. На отрезке OX выбирается точка Q

так, что ∠NQO = ∠MQX, а на отрезке OY выбирается точ-

ка P так, что ∠NPO = ∠MPY. Докажите, что длины лома-

ных MPN и MQN равны.

4. Докажите, что существует натуральное число, кото-

рое при замене любой тройки соседних цифр на произ-

вольную тройку остается составным. Существует ли такое

1997-значное число?

5*. В ромбе ABCD величина угла B равна 40

◦

, E —

середина BC, F — основание перпендикуляра, опущенного

из A на DE. Найдите величину угла DFC.

34 Условия задач. 1997 год

6. Банкир узнал, что среди одинаковых на вид монет

одна — фальшивая (более легкая). Он попросил эксперта

определить эту монету с помощью чашечных весов без

гирь, причем потребовал, чтобы каждая монета участвова-

ла во взвешиваниях не более двух раз. Какое наибольшее

число монет может быть у банкира, чтобы эксперт заве-

домо смог выделить фальшивую за n взвешиваний?

9 к л а с с

1. В треугольнике одна сторона в 3 раза меньше суммы

двух других. Докажите, что противолежащий ей угол —

наименьший угол треугольника.

2. На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда

ли можно разрезать один из них на две части так, что-

бы полученные 10 кусочков делились бы на две порции

равной массы по 5 кусочков в каждой?

3. В выпуклом шестиугольнике AC

дано: AB

= AC

, BC

= BA

, CA

= CB

и ∠A + ∠B + ∠C = ∠A

+ ∠B

+ ∠C

Докажите, что площадь треугольника ABC равна поло-

вине площади шестиугольника.

4. По окружности в одном направлении на равных рас-

стояниях курсируют n поездов. На этой дороге в верши-

нах правильного треугольника расположены станции A, B

и C (обозначенные по направлению движения). Ира вхо-

дит на станцию A и одновременно Лёша входит на стан-

цию B, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно,

что если они входят на станции в тот момент, когда ма-

шинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше

Лёши, а в остальных случаях Лёша — раньше Иры или од-

новременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

5. 2n спортсменов дважды провели круговой турнир

(в круговом турнире каждый встречается с каждым,

за победу начисляется одно очко, за ничью — 1/2, за

поражение — 0). Докажите, что если сумма очков каждого

изменилась не менее, чем на n, то она изменилась ровно

на n.

6. Пусть 1 + x + x

+ . . . + x

= F(x)G(x), где F и G — мно-

гочлены, коэффициенты которых — нули и единицы. До-

кажите, что один из многочленов F(x), G(x) представим

Условия задач. 1997 год 35

в виде (1 + x + x

+ . . . + x

)T(x), где T — также многочлен

с коэффициентами 0 и 1 (k > 0).

10 к л а с с

1*. Существует ли выпуклое тело, отличное от шара,

ортогональные проекции которого на некоторые три по-

парно перпендикулярные плоскости являются кругами?

2. Докажите, что среди четырехугольников с заданны-

ми длинами диагоналей и углом между ними наименьший

периметр имеет параллелограмм.

3*. а) Каждую сторону четырехугольника в процессе

обхода по часовой стрелке продолжили на ее длину. Ока-

залось, что концы построенных отрезков служат вершина-

ми квадрата. Докажите, что исходный четырехугольник —

квадрат.

б) Докажите, что если в результате той же процедуры

из n-угольника получится правильный n-угольник, то и

исходный n-угольник — правильный.

4. Даны действительные числа a

6 a

и b

6 b

такие, что

+ a

= b

+ b

+ a

= b

+ b

Докажите, что если a

6 b

, то a

6 b

5. В круговом турнире не было ничьих, за победу при-

суждалось 1 очко, за поражение — 0. Затем был опреде-

лен коэффициент каждого участника. Он равнялся сумме

очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен.

Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны.

Число участников турнира больше двух. Докажите, что

все спортсмены набрали одинаковое количество очков.

6. Рассмотрим степени пятерки:

1, 5, 25, 125, 625, . . .

Образуем последовательность их первых цифр:

1, 5, 2, 1, 6, . . .

Докажите, что любой кусок этой последовательности, за-

писанный в обратном порядке, встретится в последова-

тельности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1,

3, 6, 1, ...).

36 Условия задач. 1997 год

11 к л а с с

Рис. 3

1. На сторонах AB, BC и CA треуголь-

ника ABC взяты точки C

, A

и B

соответ-

ственно. Докажите, что площадь треуголь-

ника A

равна

· BC

· CA

+ AC

· CB

· BA

где R — радиус описанной окружности тре-

угольника ABC (рис. 3).

2. Вычислите

]

cos

(cos x) + sin

(sin x) dx.

3. На доске написаны три функции:

(x) = x +

, f

(x) = x

, f

(x) = (x −1)

Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции

(в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать

их на произвольное число, прибавлять к ним произволь-

ное число, а также проделывать эти операции с полу-

ченными выражениями. Получите таким образом функ-

цию 1/x. Докажите, что если стереть с доски любую из

функций f

, f

, то получить 1/x невозможно.

4. Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1

на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каж-

дого из которых меньше 1/100?

5*. Положительные числа a, b и c таковы, что abc = 1.

Докажите неравенство

1 + a + b

1 + b + c

1 + c + a

6 1.

6. На плоскости дано конечное число полос, сумма ши-

рин которых равна 100, и круг радиуса 1. Докажите,

что каждую из полос можно параллельно перенести так,

чтобы все они вместе покрыли круг.

Условия задач. 1998 год 37

1998 год (LXI олимпиада)

8 к л а с с

1. Найдутся ли натуральные числа x, y и z, удовлетво-

ряющие уравнению 28x + 30y + 31z = 365?

2. Можно ли найти восемь таких натуральных чисел,

что ни одно из них не делится ни на какое другое,

но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из

остальных?

3. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересе-

каются в точке O. Точка M лежит на прямой AB, причем

∠AMO = ∠MAD. Докажите, что точка M равноудалена от

точек C и D.

4. Некоторые из чисел a

, a

, . . . , a

200

написаны си-

ним карандашом, а остальные — красным. Если стереть

все красные числа, то останутся все натуральные числа

от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же

стереть все синие числа, то останутся все натуральные

числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. До-

кажите, что среди чисел a

, a

, ..., a

100

содержатся все

натуральные числа от 1 до 100 включительно.

5. За круглым столом сидят несколько гостей. Неко-

торые из них знакомы между собой; знакомство взаим-

но. Все знакомые любого гостя (считая его самого) сидят

вокруг стола через равные промежутки. (Для другого че-

ловека эти промежутки могут быть другими.) Известно,

что любые двое имеют хотя бы одного общего знакомого.

Докажите, что все гости знакомы друг с другом.

6. Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов.

При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого бе-

лого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли

можно удалить один из белых квадратов так, что остав-

шиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком

красный квадрат?

К о м м е н т а р и й. Во фразе «все квадраты одинаковы» имеется в

виду, что все белые квадраты имеют тот же размер, что и красный.

9 к л а с с

1. Является ли число 4

+ 6

+ 3

простым?

38 Условия задач. 1998 год

2. В остроугольном треугольнике ABC провели высоты

AD и CE. Построили квадрат ACPQ и прямоугольники

CDMN и AEKL, у которых AL = AB, CN = CB. Докажите,

что площадь квадрата ACPQ равна сумме площадей пря-

моугольников AEKL и CDMN.

3. Путешественник посетил селение, в котором каждый

человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжет.

Жители селения стали в круг, и каждый сказал путе-

шественнику про соседа справа, правдив тот или лжив.

На основании этих сообщений путешественник однозначно

определил, какую долю от всех жителей селения состав-

ляют правдивые. Определите и вы, чему она равна.

4*. В стране Нашии есть военные базы, соединенные

дорогами. Набор дорог называется важным, если после

закрытия этих дорог найдутся две базы, не соединенные

путем. Важный набор называется стратегическим, если

он не содержит меньшего важного набора. Докажите, что

множество дорог, каждая из которых принадлежит ровно

одному из двух различных стратегических наборов, обра-

зует важный набор.

5. Точка O лежит внутри ромба ABCD. Угол DAB равен

110

◦

. Углы AOD и BOC равны 80

◦

и 100

◦

соответственно.

Чему может быть равна величина угла AOB?

6*. На отрезке [0; 1] отмечено несколько различных то-

чек. При этом каждая отмеченная точка расположена ли-

бо ровно посередине между двумя другими отмеченными

точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно

посередине между отмеченной точкой и концом отрезка.

Докажите, что все отмеченные точки рациональны.

10 к л а с с

1. Пусть a, b, c — такие целые неотрицательные числа,

что 28a + 30b + 31c = 365. Докажите, что a + b + c = 12.

2. Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники,

у каждого из которых отметили одну сторону. Докажите,

что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть

меньше 1.

3. Дорога протяженностью 1 км полностью освещена

фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок доро-

ги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей мо-

Условия задач. 1998 год 39

жет быть на дороге, если известно, что после выключения

любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

4. Существует ли натуральное число, делящееся на

1998, сумма цифр которого меньше 27?

5. На пол положили правильный треугольник ABC, вы-

пиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одно-

му вплотную к каждой стороне треугольника) так, что

треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола.

Первый гвоздь делит сторону AB в отношении 1 : 3 , считая

от вершины A, второй делит сторону BC в отношении 2 :1,

считая от вершины B. В каком отношении делит сторону

AC третий гвоздь?

6. Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд

в произвольном порядке (число n фиксировано). Расста-

новка называется плохой, если в ней можно отметить 10

чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке

убывания. Остальные расстановки называются хорошими.

Докажите, что количество хороших расстановок не пре-

восходит 81

11 к л а с с

1. Числа x, y, z удовлетворяют равенству

x + y + z −2(xy + yz + xz) + 4xyz =

Докажите, что хотя бы одно из них равно 1/2.

2. Про непрерывную функцию f известно, что:

1) f определена на всей числовой прямой;

2) f в каждой точке имеет производную (и, таким об-

разом, график f в каждой точке имеет единственную ка-

сательную);

3) график функции f не содержит точек, у которых од-

на из координат рациональна, а другая — иррациональна.

Следует ли отсюда, что график f — прямая?

3. В неравнобедренном треугольнике ABC проведены

медианы AK и BL. Углы BAK и CBL равны 30

◦

. Найдите

углы треугольника ABC.

4. Решите в натуральных числах уравнение 3

+ 4

= 5

5. Можно ли в пространстве составить замкнутую це-

почку из 61 одинаковых согласованно вращающихся

40 Условия задач. 1999 год

шестеренок так, чтобы углы между сцепленными ше-

стеренками были не меньше 150

◦

? При этом:

1) для простоты шестеренки считаются кругами;

2) шестеренки сцеплены, если соответствующие окруж-

ности в точке соприкосновения имеют общую касатель-

ную;

3) угол между сцепленными шестеренками — это угол

между радиусами их окружностей, проведенными в точку

касания;

4) первая шестеренка должна быть сцеплена со второй,

вторая — с третьей, и т. д., 61-я — с первой, а другие пары

шестеренок не должны иметь общих точек.

6. См. задачу 6 для 10 класса.

1999 год (LXII олимпиада)

8 к л а с с

1. Сравнив дроби x =

111110

111111

, y =

222221

222223

, z =

333331

333334

, рас-

положите их в порядке возрастания.

2. Покажите, как любой четырехугольник разрезать на

три трапеции (параллелограмм тоже можно считать тра-

пецией).

3. Найдите какие-нибудь четыре попарно различных

натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a

+ 2cd+

+ b

и c

+ 2ab + d

являются полными квадратами.

4. Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк

разрешает совершать операции только двух видов: сни-

мать 300 или добавлять 198 долларов. Какую максималь-

ную сумму Петя может снять со счета, если других денег

у него нет?

5. В прямоугольном треугольнике ABC точка O — сере-

дина гипотенузы AC. На отрезке AB взята точка M, а

на отрезке BC — точка N так, что угол MON — прямой.

Докажите, что AM

+ CN

= MN

6. В шахматном турнире каждый участник сыграл с

каждым две партии: одну белыми фигурами, другую —

черными. По окончании турнира оказалось, что все набра-

ли одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко,