Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

А.В. ГУСЬКОВ, К.Е. МИЛЕВСКИЙ

НАДЕЖНОСТЬ

ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК

Часть 2

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2005

УДК 62-192 (075.8)

Г 968

Рецензенты: д-р. техн. наук, проф. В.Н. Москвин,

канд. техн. наук, проф. А.Г. Козлов

Работа подготовлена на кафедре ГДУ для студентов III–IV курсов

ФЛА, ФЭН специальностей 170103, 280102, 280101

Гуськов, А.В., Милевский, К.Е.

Г 968 Надежность технических систем и техногенный риск:

учеб. пособие: ч. 2 / А.В. Гуськов, К.Е. Милевский. – Ново-

сибирск : Изд-во НГТУ, 2004. – 152 с.

ISBN 5-7782-0494-9

Изложены математические модели теории надежности, ме-

тоды прогнозирования надежности машин.

УДК 62-192 (075.8)

ISBN 5-7782-0494-9 © Новосибирский государственный

технический университет, 2005

Анатолий Васильевич Гуськов,

Константин Евгеньевич Милевский

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК

Часть 2

Учебное пособие

Редактор И.Л. Кескевич

Корректор И.Е. Семенова

Компьютерная верстка С.Н. Кондратенко

Подписано в печать 17.06.2005. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная.

Тираж 200 экз. Уч.-изд. л. 8,55. Печ. л. 9,5. Изд. № 371. Заказ № .

Цена договорная.

Отпечатано в типографии

Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 5. Модели надежности..............................................................5

5.1. Математические модели теории надежности .................................5

5.1.1. Экспоненциальная модель......................................................8

5.1.2. Распределение Вейбулла ........................................................9

5.1.3. Гамма-распределение............................................................10

5.1.4. Нормальное распределение ..................................................11

5.1.5. Пуассоновский поток ............................................................12

5.1.6. Структурная модель надежности систем блок-схема ........13

5.1.7. Деревья отказов .....................................................................17

5.1.8. Деревья событий....................................................................25

5.2. Вероятностные модели в расчетах систем и конструкций ...........26

5.2.1. Модели нагрузка–сопротивление ........................................31

5.2.2. Квазистатические модели .....................................................46

5.2.3. Модели кумулятивного типа ................................................51

5.2.4. Модели марковского типа ....................................................57

Марковский случайный процесс с дискретными

состояниями ............................................................................60

Случайные процессы с дискретным и непрерывным

временем. Марковская цепь ..................................................65

Марковский процесс с дискретными состояниями

и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова

для вероятностей состояний..................................................75

5.2.5. Модели пуассоновского типа ...............................................82

Пуассоновские потоки событий и непрерывные

Марковские цепи ....................................................................84

Предельные вероятности состояний.....................................91

Процесс «гибели и размножения» ........................................97

Циклический процесс...........................................................103

Глава 6. Надежность технических систем ...................................110

6.1. Методы расчета структурной надежности систем .....................110

6.1.1. Система с последовательным соединением элементов ...111

6.1.2. Системы с параллельным соединением элементов..........113

6.1.3. Мажоритарные системы .....................................................115

6.1.4. Мостиковые системы ..........................................................119

6.1.5. Комбинированные системы................................................126

6.1.6. Многофункциональные системы .......................................128

6.2. Методы повышения структурной надежности систем ..............131

6.3. Надежность систем с резервированием.......................................136

6.3.1. Нагруженное резервирование ............................................136

6.3.2. Ненагруженное резервирование.........................................139

6.3.3. Облегченное резервирование .............................................140

6.3.4. Скользящее резервирование...............................................141

6.3.5. Оптимизация структурного резервирования ....................142

Список литературы .........................................................................................150

Г л а в а 5

Модели надежности

5.1. Математические модели теории

надежности

Математические модели надежности могут быть разбиты на две

группы. Первая – это структурные модели. Они основаны на

логических схемах взаимодействия элементов, входящих в систему, с

точки зрения сохранения работоспособности системы в целом. При

этом используют статическую информацию о надежности элементов

без привлечения сведений о физических свойствах материала, деталей

и соединений, о внешних нагрузках и воздействиях, о механизмах

взаимодействия между элементами. Структурные модели

представляют в виде блок-схем и графов (например, деревьев отказов,

деревьев событий), а исходную информацию – в виде известных

значений вероятности безотказной работы элементов, интенсивности

отказов и т.п. Другая группа математических моделей теории

надежности учитывает механические, физические и другие реальные

процессы, которые ведут к изменению свойств объекта и его

составляющих. Таковы модели механики, широко применяемые в

расчетах машин и конструкций. Силовое и кинематическое

взаимодействие элементов машин и конструкций носит сложный

характер. Поведение этих объектов существенным образом зависит от

их взаимодействия с окружающей средой, от характера и

интенсивности процессов эксплуатации.

Для предсказания поведения деталей и элементов машин

необходимо рассматривать процессы нагружения, деформирования,

изнашивания, накопления повреждений и разрушения при

переменных нагрузках, температурных и других внешних

воздействиях. Оценить

показатели надежности систем можно расчетно-теоретическим путем,

основанным на физических моделях и статических данных

относительно свойств материалов, нагрузок и воздействий [1].

Математическая модель – совокупность математических

объектов (чисел, символов, множеств и т.д.) и связей между ними,

отражающих важнейшие свойства технической системы: логической,

учитывающей возможные состояния системы, пути и интенсивности

переходов из одного состояния в другое, или функциональной,

содержащей границы допуска на определяющие параметры и

зависимости этих параметров от случайных возмущений и процессов

в элементах.

Математическое моделирование – процесс создания

имитирующей математической модели и ее использования с целью

получения сведений о реальном объекте.

Математическое моделирование является альтернативой

физическому моделированию, но у него есть ряд существенных достоинств:

меньшие сроки на подготовку, значительно меньшая материалоемкость,

возможность выполнения экспериментов на предельных и запредельных

режимах и другое.

Для моделирования необходимо определить исследуемую

техническую систему.

1. Установить границы.

• Основные переменные.

• Константы.

• Показатели эффективности.

2. Подобрать подходящую модель.

3. Описать ее на математическом языке, доказать адекватность

модели реальному объекту.

4. Спланировать и провести эксперимент.

5. Обработать результаты.

Математическое моделирование большинства технических

(объектов) систем можно выполнить: на микроуровне; макроуровне; мета-

уровне.

На микроуровне математической моделью технической системы

является система уровней, описывающая процессы и явления в

материалах и средах с заданными краевыми условиями. Сама система

уравнений обычно известна (уравнения для нагружения

толстостенного сосуда), но ее точное решение удается получить

лишь для некото-

рых частных случаев, поэтому задача, возникающая при

моделировании, состоит в построении приближенной дискретной

модели, при этом приходится при моделировании достаточно

сложных технических объектов принимать ряд допущений и

упрощений и переходить к моделированию на макроуровне.

В основе математических моделей на макроуровне лежат

компонентные уравнения отдельных элементов и топологические

уравнения, вид которых определяется связями между элементом и

технической системой. Для получения топологических уравнений

используются формальные методы: обобщенный, табличный, узловой,

переменных состояний.

На метауровне моделируются в основном технические объекты,

являющиеся предметом исследований теории автоматического

управления, и объекты, которые являются предметом теории

массового обслуживания. Для первой категории можно использовать

математический аппарат макроуровня, для второй категории объектов

используются методы моделирования событий.

Хотя математические модели надежности являются значительной

идеализацией законов функционирования технических объектов

(систем), они позволяют в вероятностной форме предсказать

поведение объектов в реальных условиях функционирования и

оценить многие количественные характеристики надежности. При

этом степень идеализации в основном определяется требованием

простоты используемых моделей. Сложные модели надежности могут

потребовать очень большого объема выборки для оценки ее

параметров при экспериментальных исследованиях, в результате чего

использовать такие модели становится технически и экономически

невыгодно (бессмысленно). Математические модели надежности

элементов, используемые на практике, представляют собой, как

правило, простые законы распределения, которые выражаются

элементарными функциями или их интегралами, – законы

надежности.

Показателями надежности при этом являются некоторые функции

параметров математической модели. Модели надежности технических

систем – тоже сложные функциональные зависимости, учитывающие

модели отказов элементов и структуру системы.

5.1.1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

Многие технические объекты, особенно в области

радиоэлектроники, автоматики, вычислительной техники, состоят из

элементов массового производства и работают в сравнительно однородных

условиях. Испытания элементов на надежность относительно просты, а

условия эксплуатации допускают их воспроизведение в лабораторных

условиях. Статическая обработка результатов испытаний позволяет выбрать

подходящие аналитические зависимости и оценить численные значения

параметров, характеризующих надежность (время или наработка безотказной

работы, появление отказа, восстановления, наработка на отказ, между

отказами, до отказа и т.д.) [2].

Для невосстанавливаемых элементов обычно ищут подходящие

аналитические аппроксимации либо для вероятности безотказной работы,

либо для интенсивности отказов.

Широкое распространение получила экспоненциальная модель

P(t) = exp(–λt) (5.1)

с постоянной интенсивностью отказов λ и средней наработкой до

отказа Т = 1/λ.

Использование экспоненциальной модели объясняется, в первую

очередь, тем, что она описывает период нормальной эксплуатации, когда

интенсивность отказов λ примерно постоянна и старение объекта еще мало

сказывается на его надежности. Экспоненциальное распределение типично

для технических систем, состоящих из большого количества элементов с

различными распределениями наработки до отказа. Кроме того, оно

описывает функционирование объекта под действием пуассоновского потока

импульсов нагрузки, обусловливающего отказы систем с восстановлением

элементов. Экспоненциальное распределение можно также рассматривать

как предельное для распределения Пуассона и геометрического

распределения.

При использовании экспоненциальной модели в качестве

характеристики наработки объекта на отказ величину Т = 1/λ можно

рассматривать как среднюю наработку и тогда выражение (5.1)

запишется

в виде

P(t) = exp(–t/T). (5.2)

Существенным преимуществом экспоненциального закона является также

возможность разложения функции (5.1) или (5.2) в ряд и ап-

проксимация при λt = t/T ≤ 0,1 линейной зависимостью вида

P(t) = 1 – λt+

( ) ( )

2 3

2! 3!

t t

λ λ

− +…..≈ 1 – λt = 1 – t/T , (5.3)

которая часто используется при приближенных расчетах параметров

надежности.

Важным свойством экспоненциальной модели надежности

является то, что вероятность безотказной работы и вероятность отказа

в интервале времени (t, t + ∆t), т.е. P(t, t + ∆t) и Q(t, t + ∆t) = 1 – P(t, t +

∆t) зависит только от длины этого интервала ∆t и не зависит от

предшествующего времени t. Это свойство ограничивает возможности

использования этой модели – она может применяться только в

случаях, когда необратимые изменения объектов несущественны и

отказы связаны только со случайными возмущениями.

5.1.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА

Вероятность безотказной работы определяют как

P(t) = exp[–λt

] . (5.4)

В отличие от экспоненциального распределение Вейбулла задается

двумя параметрами. Параметр λ определяет масштаб кривой

распределения, при его изменении кривая сжимается или

растягивается. При значении параметра формы α < 1 модель Вейбулла

позволяет описывать приработочные отказы, обусловленные

скрытыми дефектами, при α = 1 – внезапные отказы в период

нормальной эксплуатации, при 1 < α < 2 – отказы быстростареющих

объектов, у которых почти нет скрытых дефектов, при α = 2 модель

описывает функционирование объекта, состоящего из нескольких

последовательно соединенных дублированных элементов [3].

В большинстве практических случаев интенсивность отказов

изменяется во времени немонотонно (рис. 5.1). После периода

приработки

0 < t < T

пр

наступает относительно длительный этап, когда

интенсивность отказов сохраняет приблизительно постоянное значение

(кривая 1). Начиная с момента t = T

ст

вследствие износа, старения,

накопления повреждений и других факторов интенсивность отказов

возрастает.

пр

ст

Рис. 5.1. Изменение интенсивности отказов

Встречаются случаи, когда на начальной стадии приработки

интенсивность отказов возрастает (кривая 2). Такие зависимости

могут быть описаны при помощи функции

P(t) = ∑ p

(t), ∑ p

= 1. (5.5)

Эта модель описывает смесь элементов с вероятностями безотказной

работы P

(t) и относительными долями p

. Группа дефектных

элементов имеет малую среднюю наработку до отказа и быстрое

«старение». Вкладу этой группы отвечает начальный участок кривой 2

на рис. 5.1.

5.1.3. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ