Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
29
22
dp
dt
= –2λ
р
22
+ λ
II
р
21
+ λ
I
р
12
.
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ, ПРИ
КОТОРЫХ НУЖНО РЕШАТЬ ЭТУ
СИСТЕМУ:
при
t
= 0,
p
11
= 1,
p
21
=
p
12
=
p
22
= 0.
Заметим, что пользуясь условием p
11
+ р
21
+ р
12
+ р
22
= 1,
можно было бы уменьшить число уравнений на одно.
Действительно, любую из вероятностей р
11
, р
21
, р
12
, р
22
можно
выразить через остальные и подставить в уравнения (5.100), а
уравнение, содержащее в левой части производную этой
вероятности, отбросить. Заметим, кроме того, что уравнения
(5.100) справедливы как для постоянных интенсивностей
пуассоновских потоков λ
I
, λ
II
, λ, так и для переменных;
λ
I
= λ
I
(
t
); λ
II
= λ
II
(
t
); λ = λ(
t
).
Пример 5.13.
Группа в составе пяти самолетов в строю «колонна»
совершает налет на территорию противника. Передний самолет
(ведущий) является постановщиком помех; до тех пор, пока он не
сбит, идущие за ним самолеты не могут быть обнаружены и
атакованы средствами ПВО противника. Атакам подвергается только
постановщик помех. Поток атак – пуассоновский, с интенсивностью λ
(атак/час). В результате атаки постановщик помех поражается с
вероятностью
р.
Если постановщик помех поражен (сбит), то следующие за ним само-
леты обнаруживаются и подвергаются атакам ПВО; на каждый из них
(до тех пор, пока он не поражен) направляется пуассоновский поток
атак с интенсивностью λ; каждой атакой самолет поражается с ве-
роятностью
р.
Когда самолет поражен, атаки по нему прекращаются,
но на другие самолеты не переносятся. Написать уравнения Колмогорова
для вероятностей состояний системы и указать начальные условия.
Решение.
Будем нумеровать состояния системы соответственно
числу сохранившихся самолетов в группе:
S
5
– все самолеты целы;
30
S
4
– постановщик помех сбит, остальные самолеты целы;
S
3
– постановщик помех и один бомбардировщик сбиты, остальные
самолеты целы;
S
2
– постановщик помех и два бомбардировщика сбиты, остальные
самолеты целы;
S
1
– постановщик помех и три бомбардировщика сбиты, один
самолет цел;
S
0
– все самолеты сбиты.
Состояния мы отличаем друг от друга по числу сохранившихся
бомбардировщиков, а не по тому, какой именно из них сохранился,
так как все бомбардировщики по условиям задачи равноценны –
атакуются с одинаковой интенсивностью и поражаются с одинаковой
вероятностью.
Граф состояний системы показан на рис. 5.38. Чтобы разметить
этот граф, определим интенсивности потоков событий, переводящих
систему из состояния в состояние.
Из состояния
S
5
в
S
4
систему переводит поток поражающих (или
«успешных») атак, т.е. тех атак, которые приводят к поражению
постановщика (разумеется, если он раньше не был поражен).
Интенсивность потока атак равна λ, но не все они – поражающие:
каждая из них оказывается поражающей только с вероятностью
р.
Очевидно, интенсивность потока поражающих атак равна λ
р
; эта
интенсивность и проставлена в качестве λ
54
у первой слева стрелки на
графе (рис. 5.38).
S
5
S
4
S
3
S
2
S
1
S
0
λ
р
4
λ
р
3
λ
р
2
λ
р
λ
р
РИС. 5.38. ГРАФ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ПРИМЕРА 5.13
Займемся следующей стрелкой и найдем интенсивность λ
43
.
Система находится в состоянии
S
4
, т.е. целы и могут быть атакованы
четыре самолета. Она перейдет в состояние
S
3
за время ∆
t
, если за это
время какой-нибудь из самолетов (все равно, какой) будет сбит.
Найдем вероятность противоположного события – за время ∆
t
ни один
самолет не будет сбит:
(1 – λ
р
∆
t
) (1 – λ
р
∆
t
) (1 – λ
р
∆
t
) (1 – λ
р
∆
t
) = (1 – λ
р
∆
t
)
4
≈ 1 – 4 λ
р
∆
t
.
31
Здесь отброшены члены высшего порядка малости относительно ∆
t.
Вычитая эту вероятность из единицы, получим вероятность перехода
из
S
4
в
S
3
за время ∆
t
(элемент вероятности перехода): 4λ
р
∆
t
, откуда
λ
43
= 4λ
р
, что и проставлено у второй слева стрелки. Заметим, что
интенсивность этого потока событий просто равна сумме
интенсивностей потоков поражающих атак, направленных на
отдельные самолеты. Рассуждая наглядно, можно получить этот
вывод следующим образом: система
S
в
состоянии
S
4
состоит из
четырех самолетов; на каждый из них действует поток поражающих
атак с интенсивностью λ
р
; значит, на систему в целом действует
суммарный поток поражающих атак с интенсивностью 4λ
р
.
С помощью аналогичных рассуждений проставляются
интенсивности потоков событий у остальных стрелок.
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний имеют вид:
5
dp
dt
= –λ
pp
5
,
4
dp
dt
= –4λ
pp
4
+ λ
pp
5
,
3
dp
dt
= –3λ
pp
3
+ 4λ
pp
4
,
2
dp
dt
= –2λ
pp
2
+ 3λ
pp
3
,
1
dp
dt
= –λ
pp
1
+ 2λ
pp
2
,
0
dp
dt
=λ
pp
1
.
Так как в начальный момент (при
t
= 0) все самолеты целы, начальные
условия будут: при
t
= 0
p
5
= 1,
р
4
=
p
3
=
p
2
=
p
1
=
p
0
= 0.
Пример 5.14.
Условия те же, что и в примере 2, но интенсивность
λ относится к общему потоку атак, направляемому на всю группу. До
32
тех пор, пока постановщик помех цел, все эти атаки направляются на
него; когда он сбит, атаки распределяются равномерно между
оставшимися самолетами, так что на один самолет приходится в
среднем
λ/
k
(атак/час), где
k
– число сохранившихся самолетов. Составить граф
состояний, разметить его и записать уравнения Колмогорова для
вероятностей состояний.
Решение.
Размеченный граф состояний показан на рис. 5.39.
Уравнения Колмогорова:
5
dp
dt
= – λ
pp
5
,
4
dp
dt
= – λ
pp
4
+ λ
pp
5
,
3
dp
dt
= – λ
pp
3
+ λ
pp
4
,
2
dp
dt
= – λ
pp
2
+ λ
pp
3
,
1
dp
dt
= – λ
pp
1
+ λ
pp
2
,
0
dp
dt
= λ
pp
1
.
S
5
S
4
S
3
S
2
S
1
S
0
λ
р
λ
р
λ
р
λ
р
λ
р
Рис. 5.39. Размеченный граф состояний для примера 5.14
Начальные условия – те же, что и в примере 5.13.
Отметим, что в данном разделе мы только выписывали
дифференциальные уравнения для вероятностей состояний, но не
занимались решением этих уравнений. По этому поводу можно
заметить следующее: уравнения для вероятностей состояний
33
представляют собой линейные дифференциальные уравнения с
постоянными или переменными коэффициентами – в зависимости от
того, постоянны или переменны интенсивности λ
ij
потоков событий,
переводящих систему из состояния в состояние.
Система нескольких линейных дифференциальных уравнений
такого типа только в редких случаях может быть проинтегрирована в
квадратурах: обычно такую систему приходится решать численно –
либо вручную, либо на ЭВМ. Все эти способы решения систем
дифференциальных уравнений затруднений не доставляют, поэтому
самое существенное – уметь записать систему уравнений и
сформулировать для нее начальные условия, чем мы и ограничились
здесь.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ
Пусть имеется физическая система
S
с дискретными состояниями:
S
1
,
S
2
,…,
S
n
, в которой протекает марковский случайный процесс с не-
прерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Граф состояний
показан на рис. 5.40 [17, 18].
λ
21
S
1
S
2
S
i
S
n
S
j
S
3
λ
12
λ
32
λ
31
•
•
•
•
•
λ
ij
РИС. 5.40. ГРАФ СОСТОЯНИЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ЦЕПИ МАРКОВА
Предположим, что все интенсивности потоков событий,
переводящих систему из состояния в состояние, постоянны: λ
ij
= const,
другими словами, все потоки событий – простейшие (стационарные
пуассоновские) потоки.
Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для
вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при
заданных начальных условиях, мы получим вероятности состояний
как функции времени, т.е.
п
функций:
p
1
(
t
),
p
2
(
t
),…,
p
n
(
t
), при любом
t
дающих в сумме единицу: ∑
p
i
(
t
) = 1.
Поставим теперь следующий вопрос: что будет происходить с
системой
S
при
t
→ ∞? Будут ли функции
p
1
(
t
),
p
2
(
t
),…,
p
n
(
t
)
стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют,
34
называются предельными (или «финальными») вероятностями
состояний.
Можно доказать следующее общее положение.
Если число
состояний системы S
конечно и из каждого состояния можно
перейти
(
за то или иное число шагов
)
в каждое другое, то предельные
вероятности состояний существуют и не зависят от начального
состояния системы.
На рис. 5.41 показан граф состояний, удовлетворяющий
поставленному условию: из любого состояния система может рано
или поздно перейти в любое другое. Напротив, для системы, граф
состояний которой показан на рис. 5.42, условие не выполнено.
Очевидно, что если начальное состояние такой системы
S
1
, то,
например, состояние
S
6
S
1
S
2
S
3
S
4
S
3
S
1
S
2
S
4
S
5
S
6
S
7
S
8
Рис. 5.41. Граф состояний Рис. 5.42 . Граф состояний системы,
СИСТЕМЫ С ПРЕДЕЛЬНЫМИ ВЕ- НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ
УСЛОВИЮ: ИЗ ЛЮ-
роятностями состояний бого состояния система может перей-
ти в любое другое
при
t
→ ∞ может быть достигнуто, а если начальное состояние
S
2
– не
может. Предположим, что поставленное условие выполнено, и
предельные вероятности существуют:
lim
p
i
(
t
) =
p
i
(
i
= 1, 2,…,
n
) . (5.101)
t→ ∞
Предельные вероятности мы будем обозначать теми же буквами
p
1
,
p
2
,…,
p
n
,
что и сами вероятности состояний, разумея под ними на
этот раз не переменные величины (функции времени), а постоянные
числа. Очевидно, предельные вероятности состояний, так же, как и
допредельные, в сумме должны давать единицу:
35
1
( ) 1
n
i
i
p t
=
=
е
.
Таким образом, при
t
→ ∞
в системе
S
устанавливается некоторый
предельный стационарный режим: он состоит в том, что система
случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из
них уже не зависит от времени: каждое из состояний осуществляется с
некоторой постоянной вероятностью. Каков смысл этой вероятности?
Она представляет собой не что иное, как среднее относительное время
пребывания системы в данном состоянии. Например, если у системы
S
три возможных состояния:
S
1
,
S
2
и
S
3
, причем их предельные
вероятности равны 0,2, 0,3 и 0,5, это означает, что после перехода к
установившемуся режиму система
S
в среднем две десятых времени
будет находиться в состоянии
S
1
, три десятых – в состоянии
S
2
и
половину времени – в состоянии
S
3
. Возникает вопрос: как вычислить
предельные вероятности состояний
p
1
,
p
2
,
p
3
?
Оказывается, для этого в системе уравнений Колмогорова,
описывающих вероятности состояний,
нужно положить все левые
части
(
производные
)
равными нулю.
Действительно, в предельном
(установившемся) режиме все вероятности состояний постоянны,
значит, их производные равны нулю.
Если все левые части уравнений Колмогорова для вероятностей
состояний положить равными нулю, то система дифференциальных
уравнений превратится в систему линейных алгебраических
уравнений. Совместно с условием
1
( )
n
i
i
p t
=
е
= 1 (5.102)
(так называемым «нормировочным
условием») эти уравнения дают
возможность вычислить все
предельные вероятности
p
1
,
p
2
,…,
p
n
.
Пример 5.15.
Физическая система
S
имеет возможные состояния:
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
,
размеченный граф которых дан
на рис. 5.43 (у каждой стрелки
поставлено численное значение
соответствующей интенсивности).
Вычи-слить предельные вероятности
состояний
p
1
,
p
2
,
p
3
,
p
4
.
S
1
S
2
S
3
S
4
1
3
2
2
1
2
Рис. 5.43. Граф состояний
системы для примера 5.15
36
Решение.
Пишем уравнения Колмогорова для вероятностей
состояний:
1
1 3
5
dp
p p
dt
= - +
,
2
2 1 3
2 2
dp
p p p
dt
= - + +
,
3
3 1 4
3 3 2
dp
p p p
dt
= - + +
,
4
4 2
2
dp
p p
dt
= - +
.
Полагая левые части равными нулю, получим систему
алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний:
0
= –
5
p
1
+ p
3
,
0
= – p
2
+
2
p
1
+
2
p
3
,
0
= –
3
p
3
+
3
p
1
+
2
p
4
,
0
= –
2
p
4
+ p
2
.
Уравнения (5.104) – так называемые однородные уравнения (без
свободного члена). Как известно из алгебры, эти уравнения
определяют величины
p
1
,
p
2
,
p
3
,
p
4
только с точностью до постоянного
множителя. К счастью, у нас есть нормировочное условие;
p
1
+ p
2
+
p
3
+
p
4
= 1, (5.105)
которое совместно о уравнениями (5.104) дает возможность найти все
неизвестные вероятности.
Действительно, выразим из (5.104) все неизвестные вероятности
через одну из них, например, через
p
1.
Из первого уравнения:
p
3
= 5
p
1
.
Подставляя во второе уравнение, получим:
p
2
= 2
p
1
+ 2
p
3
= 2
p
1
+
+ 10
p
1
= 12
p
1
. Четвертое уравнение дает:
р
4
=
1
2
р
2
= 6
р
1
. Подставляя
все эти выражения вместо
р
2
,
р
3
,
р
4
в нормировочное условие (5.105),
получим
р
1
+ 12
р
1
+ 5
р
1
+ 6
р
1
= 1. Отсюда
24
р
1
= 1,
р
1
=
1
24
,
р
2
= 12
р
1
=
1
2
,
р
3
= 5
р
1
=
5
24
,
р
4
= 6
р
1
=
1
4
.
(5.103)
(5.104)
37
Таким образом, предельные вероятности состояний получены, они
равны:
р
1
=
1
24
,
р
2
=
1
2
,
р
3
=
5
24
,
р
4
=
1
4
. (5.106)
Это значит, что в предельном, установившемся режиме система
S
будет проводить в состоянии
S
1
в среднем одну двадцать четвертую
часть времени, в состоянии
S
2
– половину времени, в состоянии
S
3
–
пять двадцать четвертых и в состоянии
S
4
– одну четверть времени.
Заметим, что решая эту задачу, мы совсем не пользовались одним
из уравнений (5.104) – третьим. Нетрудно убедиться, что оно является
следствием трех остальных: складывая все четыре уравнения, мы
получим тождественный нуль. С равным успехом, решая систему, мы
могли бы отбросить любое из четырех уравнений (5.104).
Примененный нами способ составления алгебраических уравнений
для предельных вероятностей состояний сводился к следующему:
сперва написать дифференциальные уравнения, а затем положить в
них левые части равными нулю. Однако можно записать
алгебраические уравнения для предельных
вероятностей и непосредственно, не
проходя через этап дифференциальных.
Проиллюстрируем это на примере.
Пример 5.16.
Граф состояний системы
показан на рис 5.44. Написать
алгебраические уравнения для предельных
вероятностей состояний.
Решение.
Не записывая
дифференциальных уравнений, прямо
пишем соответствующие правые части и
приравниваем их нулю; чтобы не иметь
дела с отрицательными членами, сразу
переносим их в другую часть, меняя знак
λ
21
p
2
+ λ
31
p
3
= (λ
12
+ λ
13
)
p
1
,
λ
12
p
1
= (λ
23
+ λ
24
+ λ
21
)
p
2
,
λ
13
p
1
+ λ
23
p
2
+ λ
43
p
4
= λ
31
p
3
,
λ
24
p
2
= λ
43
p
4
.
S
1
S
2
S
3
S
4
λ
21
λ
12
λ
23
λ
13
λ
31
λ
24
λ
43
Рис. 5.44. Граф состояний
системы для примера 5.16
38
Чтобы в дальнейшем сразу же писать такие уравнения, полезно
запомнить следующие приемы для облегчения запоминания
мнемонического правила: «что втекает, то и вытекает», т.е.
для
каждого состояния сумма членов, соответствующих входящим
стрелкам, равна сумме членов, соответствующих выходящим,
каждый член равен интенсивности потока событий, переводящего
систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того
состояния, из которого выходит стрелка.
В дальнейшем мы во всех случаях будем пользоваться именно
этим кратчайшим способом записи уравнений для предельных ве-
роятностей.
Пример 5.17.
Написать
алгебраические уравнения для
предельных веро-ятностей состояний
системы
S
, граф состояний которой дан
на рис 5.45. Решить эти уравнения.
Решение
. Пишем алгебраические урав-
нения для предельных вероятностей
состояний:
λ
31
p
3
= λ
12
p
1
,
λ
12
p
1
= λ
23
p
2
, (5.107)
λ
23
p
2
= λ
31
p
3
.
Нормировочное условие:
p
1
+
p
2
+
p
3
= 1. (5.108)
Выразим с помощью первых двух уравнений (5.107)
p
2
и
р
3
через
р
1
:
р
3
=
12
31
λ
λ
р
1
,
р
2
=
12
23
λ
λ
р
1
.
Подставим их в нормировочное условие (5.108):
12 12
1 1 1
23 31
1
p p p
λ λ
λ λ
+ + =
,
S
1
S
3
S
2
λ
12
λ
31
λ
23
Рис. 5.45.
Граф состояний
системы для примера 5.17
(5.109)