Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
39
откуда
1
12 12
23
31
1
1
p
λ λ
λ
λ
=
+ +
.
Далее, из (5.109) получим
12
23
2
12 12
23
31
1
p
λ
λ
λ λ
λ
λ
=
+ +
;
12
31
3
12 12
23
31
1
p
λ
λ
λ λ
λ
λ
=
+ +
.
Процесс «гибели и размножения»
В предыдущем подразделе мы убедились, что, зная размеченный
граф состояний системы, можно сразу написать алгебраические
уравнения для предельных вероятностей состояний. Таким образом,
если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы
состояний и различаются только значениями интенсивностей λ
ij
, то
нет надобности находить предельные вероятности состояний для
каждого из графов в отдельности: достаточно составить и решить в
буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить
вместо λ
ij
соответствующие значения. Для многих часто
встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в
буквенном виде.
S
1
S
2
S
3
S
k
S
n–1
S
n
……
……
Рис. 5.46. Граф состояний системы непрерывной
цепи Маркова
В данном подразделе мы познакомимся с одной очень типичной
схемой непрерывных марковских цепей так называемой схемой
«гибели и размножения». Марковская непрерывная цепь называется
«процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет
вид, представленный на рис. 5.46, т.е. все состояния можно вытянуть в
одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (
S
2
, …,
S
n–1
)
связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а
крайние состояния (
S
1
,
S
n
) – только с одним соседним состоянием.
40
Пример 5.18.
Техническое устройство состоит из трех одинаковых
узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать);
отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния
системы нумеруем по числу неисправных узлов:
S
0
– все три узла исправны;
S
1
– один узел отказал (восстанавливается), два исправны;
S
2
– два узла восстанавливаются, один исправен;
S
3
– все три узла восстанавливаются.
Граф состояний показан на рис. 5.47. Из графа видно, что процесс,
протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и
размножения».
S
0
S
1
S
2
S
3
Рис. 5.47. Граф состояний системы для примера 5.18
Схема «гибели и размножения» очень часто встречается в самых
разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту
схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с
тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по
такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым
решением.
Итак, рассмотрим случайный процесс «гибели и размножения» с
графом состояний, представленным на рис. 5.48.
λ
12
λ
21
λ
32
λ
23
λ
34
λ
43
λ
k, k+1
λ
k, 1–k
λ
k+1, k
λ
n–1, n
λ
n, n–1
S
1
S
2
S
3
S
k
S
n–1
S
n
……
……
Рис. 5.48. Граф состояний системы случайного процесса
«гибели и размножения»
Для первого состояния
S
1
имеем:
λ
12
р
1
=
λ
21
р
2
. (5.110)
Для второго состояния
S
2
сумма членов, соответствующих
входящим и выходящим стрелкам, равны:
λ
23
р
2
+
λ
21
р
2
= λ
12
р
1
+ λ
32
р
3
.
Но, в силу (5.110), можно сократить справа и слева равные друг другу
члены λ
12
р
1
и λ
21
р
2
, получим:
41
λ
23
р
2
= λ
32
р
3
,
и далее, совершенно аналогично,
λ
34
р
3
=
λ
43
р
4
.
ОДНИМ СЛОВОМ, ДЛЯ СХЕМЫ
«ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ»
ЧЛЕНЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ
СТОЯЩИМ ДРУГ НАД ДРУГОМ
СТРЕЛКАМИ, РАВНЫ МЕЖДУ
СОБОЙ:
λ
k–1, k
р
k–1
=
λ
k, k–1
р
k
, (5.111)
где
k
принимает все значения от 2 до
n
.
Итак, предельные вероятности состояний
р
1
,
р
2
,…..,
р
n
в любой схеме
«гибели и размножения» удовлетворяют уравнениям:
λ
2
р
1
=
λ
21
р
2
,
λ
23
р
2
= λ
32
р
3
,
λ
34
р
3
=
λ
43
р
4
,
…………….. (5.112)
λ
k–1, k
р
k–1
=
λ
k, k–1
р
k
,
……………………
λ
n–1, n
р
n–1
=
λ
n, n–1
р
n
И НОРМИРОВОЧНОМУ УСЛОВИЮ:
р
1
+
р
2
+ ……+
р
n
= 1. (5.108)
Будем решать эту систему следующим образом: из первого уравнения
(5.112) выразим
р
2
:
42
р
2
=
12
1
21
p
λ
λ
. (5.113)
Из второго с учетом (5.113) получим:
р
3
=
23
2
32
p
λ
λ
=
23 12
1
32 21
p
λ λ
λ λ
. (5.114)
Из третьего с учетом (5.114):
р
4
=
34 23 12
1
43 32 21
p
λ λ λ
λ λ λ
.
И вообще
р
=
1, 2, 1 12
1
, 1 1, 2 21
...
...
k k k k
k k k k
p
λ λ λ
λ λ λ
- - -
- - -
. (5.115)
Эта формула справедлива для любого
k
: от 2 до
п.
Обратим внимание
на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей
вероятности перехода (интенсивностей) λ
ij
, стоящих у стрелок,
направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в
состояние
S
k
; в знаменателе – произведение всех интенсивностей λ
ij
,
стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки с начала и
вплоть до стрелки, исходящей из состояния
S
k
. При
k
=
n
в числителе
будет стоять произведение интенсивностей λ
ij
, стоящих у всех
стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе – у всех стрелок,
идущих справа налево.
Итак, все вероятности
p
1
,
p
2
,….,
p
n
выражены через одну из них:
p
1
.
Подставим эти выражения в нормировочное условие:
p
1
+
p
2
+ ... +
p
n
=
1.
Получим:
1, 2, 1 12
12 23 12
1 1 1 1
21 32 21 , 1 1, 2 21
...
... ...
...
k k k k
k k k k
p p p p
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
- - -
- - -
+ + + + + +
1, 2, 1 12
1
, 1 1, 2
...
1
...
n n n n
n n n n
p
λ λ λ
λ λ
- - -
- - -
+ =
,
откуда
43
1
1, 2, 1 12 1, 12
12 23 12
21 32 21 , 1 1, 2 21 , 1 21
1
.
... ...
1 ... ...
... ...
k k k k n n
k k k k n n
p
λ λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ λ λ λ
- - - -
- - - -
=
+ + + + + +
(5.116)
Остальные вероятности выражаются через
р
1
:
12
2 1
21
,
p p
λ
λ
=
23 12
3 1
32 21
,
p p
λ λ
λ λ
=
……………..
1, 12
1
, 1 21
...
,
...
k k
k
k k
p p
λ λ
λ λ
-
-
=
……………..
1, 12
1
, 1 21
...
.
...
n n
n
n n
p p
λ λ
λ λ
-
-
=
Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде:
найдены предельные вероятности состояний.
Пример 5.19.
Найти предельные вероятности состояний для
процесса «гибели и размножения», граф которого показан на рис. 5.49.
S
1
S
2
S
3
S
4
Рис. 5.49. Граф состояний системы для примера 5.19
Решение.
По формулам (5.116) и (5.117) имеем:
1
1 1 2
,
2 2 1 2 1 3 2 1 1
5
1 1
3 3 2 3 2 2 3 3 2
p
= = =
Ч Ч Ч
+ + + + + +
Ч Ч Ч
2
2 2 4
,
3 5 15
p = =
3
1 2 2
,
3 5 15
p = =
4
1 2 1
.
2 5 5
p
= =
(5.117)
44
Пример 5.20.
Прибор состоит из трех узлов; поток отказов –
простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно
t
б
.
Отказавший узел сразу же начинает ремонтироваться; среднее время
ремонта (восстановления) узла равно
t
р
,
закон распределения этого
времени показательный (поток восстановлений – простейший). Найти
среднюю производительность прибора, если при трех работающих
узлах она равна 100 %, при двух – 50 %, а при одном и менее – прибор
вообще не работает.
Решение
. Перечень состояний системы и граф состояний уже
приводились в примере 5.18 данного подраздела. Разметим этот граф,
т.е. проставим у каждой стрелки соответствующую интенсивность λ
ij
(рис. 5.50).
Так как поток отказов каждого узла – простейший, то промежуток
времени между отказами в этом потоке распределен по
показательному закону с параметром λ = 1/
t
б
,
где
t
б
–
среднее время
безотказной работы узла.
S
0
S
1
S
2
S
3
λ
01
λ
12
λ
23
λ
10
λ
21
λ
32
Рис. 5.50. Размеченный граф состояния системы
для примера 5.20
Если система находится в состоянии
S
0
, то работают три узла;
каждый из них подвергается потоку отказов с интенсивностью 1/
t
б
;
значит, поток отказов, действующий на всю систему, в три раза более
интенсивен: λ
01
= 3/
t
б
.
Если система находится в состоянии
S
1
, то работают два узла; общий
поток отказов имеет интенсивность: λ
12
= 2/
t
б
Аналогично λ
23
= 1/
t
б
.
Среднее время восстановления узла равно
t
р
, значит,
интенсивность потока восстановлений, действующего на один
восстанавливаемый узел, равна µ = 1/
t
р
, на два узла – 2/
t
р
,
на три узла –
3/
t
р
.
Эти значения λ
01
, λ
12
,
λ
23
и проставлены на рис. 5.50 у стрелок,
ведущих влево. Пользуясь полученным выше общим решением задачи
«гибели и размножения», имеем (ставя
p
0
вместо
p
1
):
45
0
2 3
1 0
2
2 0
3
3 0
1
;
1 3 3
3 ;
3 ;
.
p p p
p
p
p
p
t t t
t t t
t
p p
t
t
p p
t
t
p p
t
σ σ σ
σ
σ
σ
=
ж ц ж ц ж ц
+ + +
з ч з ч з ч
и ш и ш и ш
ж ц
=
з ч
и ш
ж ц
=
з ч
и ш
ж ц
=
з ч
и ш
Зададимся конкретными значениями
t
б
= 10 (час),
t
р
= 5 (час). Тогда
t
р
/
t
б
= 0,5 и
0
1 8
,
2 3 1
27
1
2 4 8
p = =
+ + +
1
3 8 12
,
2 27 27
p = =
2
3 8 6
,
4 27 27
p = =
3
2 8
8 27
p
= =
1
.
27
Средняя производительность прибора в установившимся режиме:
0 1
800 600
100 % 50 % % 51,9 %
27 27
p p
ж ц
+ = + =
з ч
и ш
номинала.
Циклический процесс
46
Марковский случайный процесс, протекающий в системе,
называется циклическим, если состояния связаны между собой в
кольцо (цикл) с односторонними переходами (рис. 5.51).
Рис. 5.51. Размеченный граф состояния системы циклического
случайного процесса
Напишем алгебраические уравнения для предельных вероятностей
состояний:
λ
23
р
2
=
λ
12
р
1
,
λ
34
р
3
= λ
23
р
2
,
……….
λ
k–1, k
р
k–1
=
λ
k, k–1
р
k
, (5.79)
………..
λ
n–1, n
р
n–1
=
λ
n, n–1
р
n
λ
n, 1
р
n
=
λ
12
р
1
плюс нормировочное условие:
р
1
+
р
2
+ ……+
р
n
= 1.
Из уравнений (5.118), отбросив последнее, выразим все вероятности
р
2
,….,
р
n
через
р
1
:
12
2 1
23
,
p p
λ
λ
=
23 12 23 12
3 2 1 1
34 23 34 34
,
p p p p
λ λ λ λ
λ λ λ λ
= = =
12
4 1
45
,
p p
λ
λ
=
47
…………..
12
1
, 1
,
k
k k
p p
λ
λ
+
=
……………
12
1
1
.
n
n
p p
λ
λ
=
Подставив эти выражения в нормировочное условие, получим:
1 12 1
23 34 1
1 1 1
... 1,
n
p p
λ
λ λ λ
ж ц
+ + + + =
з ч
и ш
откуда
1
12
23 34 1
1
,
1 1 1
1 ...
n
p
λ
λ λ λ
=
ж ц
+ + + +
з ч
и ш
12
2 1
23
,
p p
λ
λ
=
12
3 1
34
,
p p
λ
λ
=
………… (5.119)
12
1
, 1
,
k
k k
p p
λ
λ
+
=
…………..
12
1
1
,
n
n
p p
λ
λ
=
Формулы (5.119), выражающие предельные вероятности состоянии
для циклического процесса, можно привести к более удобному и
наглядному виду, если перейти от интенсивностей λ
ij
к средним
временам
t
i
пребывания системы (подряд) в состоянии
S
i
(
i
= 1,...,
n
).
Действительно, пусть из состояния
S
i
, как это имеет место в
циклической схеме, исходит только одна стрелка (см. рис. 5.51). Пусть
система
S
находится в состоянии
S
i
. Найдем математическое ожидание
времени
T
i
, которое она еще пробудет в этом состоянии. Так как
48
процесс – марковский, закон распределения времени
T
i
не зависит от
того, сколько времени система уже пробыла в состоянии
S
i
; значит, он
такой же, каким был бы, если бы система только что пришла в
состояние
S
i
, т.е. представляет собой не что иное, как показательный
закон распределения промежутка времени
Т
между соседними
событиями в простейшем «потоке уходов» системы из состояния
S
.
Параметр этого закона равен λ
i, i+1
, а среднее время пребывания
системы в состоя-
нии
S
i
(если она в нем уже находится) равно
t
i
= 1/λ
i, i+1
. Отсюда λ
i, i+1
=
= 1/
t
i
. Для всех
i
= 1, 2,...,
n
– 1. Для
i
=
n
получим (в силу цикличности)
λ
n, 1
= 1/
t
n
. Подставив эти выражения в формулы (5.119), после элемен-
тарных преобразований получим:
1
1
1 2
,
...
n
t
p
t t t
=
+ + +
2
2
1 2
,
...
n
t
p
t t t
=
+ + +
…………………..
1 2
,
...
n
n
n
t
p
t t t
=
+ + +
или короче
1
k
k
n
i
i
t
p
t
=
=
е
(
k
= 1,…,
n
),
т.е.
предельные вероятности состояний в циклической схеме
относятся как средние времена пребывания системы подряд в
каждом из состояний.
Пример 5.21.
Электронная вычислительная машина может
находиться в одном из следующих состояний [19]:
S
1
– исправна, работает;
S
2
– неисправна, остановлена, ведется поиск неисправности;
S
3
– неисправность локализована, ведется ремонт;
S
4
–
ремонт закончен; ведется подготовка к пуску машины.
Все потоки событий – простейшие. Среднее время безотказной
работы ЭВМ (подряд) равно 0,5 (сут.). Для ремонта машину