Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
19
Из формулы (5.89) следует, что при малом ∆
t
вероятность
перехода
Р
ij
(∆
t
) (с точностью до бесконечно малых высших порядков)
рав-
на
λ
ij
(∆
t
):
P
ij
(∆
t
) ≈ λ
ij
(∆
t
) .
Если все плотности вероятностей перехода λ
ij
не зависят от
t
(т. е. от
того, в какой момент начинается элементарный участок ∆
t
),
марковский процесс называется однородным; если эти плотности
представляют собой какие-то функции времени λ
ij
(
t
), процесс
называется неоднородным. При пользовании сокращенным названием
«непрерывная марковская цепь» мы также будем различать
однородные и неоднородные цепи. Предположим, что нам известны
плотности вероятностей перехода λ
ij
для всех пар состояний
S
i
,
S
j
.
Построим граф состояний системы
S
и против каждой стрелки
проставим соответствующую плотность вероятности перехода (рис.
5.33). Такой граф с проставленными у стрелок плотностями
вероятностей перехода мы будем называть размеченным графом
состояний.
Оказывается, зная размеченный граф состояний, можно
определить вероятности состояний:
p
1
(
t
),
p
2
(
t
), …,
p
n
(
t
) (5.90)
как функции времени. А именно эти вероятности удовлетворяют
определенного вида дифференциальным уравнениям, так называемым
уравнениям Колмогорова. Решая эти уравнения, мы получим вероятности
(5.90). Продемонстрируем методику вывода уравнений Колмогорова для
вероятностей состояний на конкретном примере.
Рис. 5.33. Размеченный граф состояний
S
1
S
i
S
3
S
j
S
n
S
i
λ
12
λ
13
λ
23
λ
ij
λ
ij
20
Пусть система
S
имеет четыре возможных состояния:
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
;
размеченный граф состояний системы показан на рис. 5.34. Поставим
себе задачу: найти одну из вероятностей состояний, например,
p
1
(
t
).
Это есть вероятность того, что в момент
t
система будет находиться в состоянии
S
1
. Придадим
t
малое приращение ∆
t
и
найдем вероятность того, что в момент
t +
∆
t
система будет находиться в
состоянии
S
1
.
Как это событие может произойти?
Очевидно, двумя способами:
•
в момент
t
система уже была в
состоянии
S
1
а за время ∆
t
не вышла из
этого состояния;
•
в момент
t
система была в
состоянии
S
3
, а за время ∆
t
перешла из
не-
го в
S
1
.
Вероятность первого варианта най-
дем как произведение вероятности
p
1
(
t
) того, что в момент
t
система
была в состоянии
S
1
, на условную вероятность того, что, будучи в
состоянии
S
1
,
система за время ∆
t
не перейдет из него в
S
2
.
Эта
условная вероятность (с точностью до бесконечно малых высших
порядков) равна
1 – λ
12
∆
t
.
Аналогично, вероятность второго варианта равна вероятности
того, что в момент
t
система была в состоянии
S
3
, умноженной на
условную вероятность перехода за время ∆
t
в состояние
S
1
. Применяя
правило сложения вероятностей, получим:
p
1
(
t
+ ∆
t
) =
p
1
(
t
) (1 – λ
12
∆
t
) +
p
3
(
t
) λ
31
∆
t
.
Раскроем скобки в правой части, перенесем
р
1
(
t
)
в левую и разделим
обе части равенства на ∆
t
;
получим:
1 1
12 1 31 3
( ) ( )
( ) ( )
p t t p t
p t p t
t
∆
λ λ
∆
+ -
= - +
.
Теперь устремим ∆
t
к нулю и перейдем к пределу:
1 1
0 12 1 31 3
( ) ( )
lim ( ) ( )
t
p t t p t
p t p t
t
∆
∆
λ λ
∆
®
+ -
= - +
.
λ
12
λ
24
λ
42
λ
34
λ
31
λ
23
S
3
S
4
S
2
S
1
Рис. 5.34. Размеченный граф
для системы, имеющей четыре
возможных состояния
21
Левая часть есть не что иное, как производная функции
p
1
(
t
):
1
12 1 31 3
( )
( ) ( )
dp t
p t p t
dt
λ λ
= - +
. (5.91)
Таким образом, выведено дифференциальное уравнение, которому
должна удовлетворять функция
p
1
(
t
).
Аналогичные
дифференциальные уравнения могут быть выведены и для остальных
вероятностей состояния:
р
2
(
t
),
р
3
(
t
),
p
4
(
t
).
Рассмотрим второе состояние
S
2
и найдем
р
2
(
t
+ ∆
t
) – вероятность
того, что в момент (
t
+ ∆
t
) система
S
будет находиться в состоянии
S
2
.
Это событие может произойти следующими способами:
•
в момент
t
система уже была в состоянии
S
2
,
а за время ∆
t
не
перешла из него ни в
S
3
, ни в
S
4
;
•
в момент
t
система была в состоянии
S
1
,
а
за время ∆
t
перешла из
него в
S
2
;
•
в момент
t
система была в состоянии
S
4
, а за время ∆
t
перешла из
него в
S
2
.
Вероятность первого варианта вычисляется так:
p
1
(
t
)
умножается
на условную вероятность того, что система за ∆
t
не перейдет ни в
S
3
,
ни в
S
4
. Так как события, состоящие в переходе за время ∆
t
из
S
2
в
S
3
и из
S
3
в
S
4
, несовместны, то вероятность того, что осуществится один
из этих переходов, равна сумме их вероятностей, т.е. λ
23
∆
t
+ λ
24
∆
t
(с точностью до бесконечно малых высших порядков). Вероят-
ность того, что не осуществится ни один их этих переходов, равна
1 – λ
23
∆
t
– λ
24
∆
t
. Отсюда вероятность первого варианта:
p
2
(
t
) (1 – λ
23
∆
t
– λ
24
∆
t
).
Прибавляя сюда вероятности второго и третьего вариантов, получим:
p
2
(
t
+ ∆
t
) =
p
2
(
t
) (1 – λ
23
∆
t
– λ
24
∆
t
) +
p
1
(
t
) λ
12
∆
t
+
p
4
(
t
) λ
42
∆
t
.
Перенося
p
2
(
t
) в левую часть, деля на ∆
t
и переходя к пределу,
получим дифференциальное уравнение для
p
2
(
t
):
2
dp
dt
=
– λ
23
p
2
(
t
) – λ
24
p
2
(
t
) + λ
12
p
1
(
t
) + λ
42
p
4
(
t
). (5.92)
Рассуждая аналогично для состояний
S
3
,
S
4
, получим в результате
систему дифференциальных уравнений, составленных по типу (5.91)
и (5.92). Отбросим в них для краткости аргумент у функций
p
1
,
p
2
,
p
3
,
p
4
и перепишем эту систему в виде:
22
1
12 1 31 3
dp
p p
dt
λ λ
= - +
;
2
23 2 24 2 12 1 42 4
dp
p p p p
dt
λ λ λ λ
= - - + +
;
3
31 3 34 3 23 2
dp
p p p
dt
λ λ λ
= - - +
; (5.93)
4
42 4 24 2 34 3
dp
p p p
dt
λ λ λ
= - + + .
Эти уравнения для вероятностей состояний и называются
уравнениями Колмогорова. Интегрирование этой системы уравнений
даст нам искомые вероятности состояний как функции времени.
Начальные условия берутся в зависимости от того, каково было
начальное состояние системы
S
. Например, если в начальный момент
времени (при
t
= 0) система
S
находилась в состоянии
S
1
, то надо
принять начальные условия: при
t
= 0,
p
1
= 1,
р
2
=
p
3
=
p
4
= 0.
Заметим, что всех четырех уравнений для
р
1
,
р
2
,
р
3
,
p
4
можно
было бы и не писать; действительно,
р
1
+
р
2
+
р
3
+
p
4
= 1 и любую из
вероятностей
р
1
,
р
2,
р
2
,
р
4
можно выразить через три остальные.
Например,
р
4
можно выразить через
р
1
,
р
2
,
р
3
в виде
p
4
= 1 – (
p
1
+
p
2
+
p
3
)
и подставить в остальные уравнения. Тогда специального уравнения
для вероятности
р
4
можно и не писать. Однако в дальнейшем нам
будет удобнее пользоваться полной системой уравнений типа (5.93).
Обратим внимание на структуру уравнений (5.93). Все они
построены по вполне определенному правилу, которое можно
сформулировать следующим образом.
В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности
состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок
связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния,
соответствующий член имеет знак «минус»; если в состояние – знак
«плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности
перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на
вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Это правило
составления дифференциальных уравнений для вероятностей
состояний является общим и справедливо для любой непрерывной
марковской цепи; с его помощью можно совершенно механически, без
всяких рассуждений, записывать дифференциальные уравнения для
23
вероятностей состояний
непосредственно по размеченному
графу состояний.
Пример 5.11.
Размеченный граф
состояний системы
S
имеет вид,
показанный на рис. 5.35. Написать
систему дифференциальных
уравнений Колмогорова и начальные
условия для решения этой системы,
если известно, что в начальный
момент система находится в
состоянии
S
1
.
Решение.
Система уравнений
Колмогорова имеет вид:
1
12 13 1
( )
dp
p
dt
λ λ
= - +
,
2
12 1 32 3
dp
p p
dt
λ λ
= +
,
3
32 34 3 13 1 53 5
( )
dp
p p p
dt
λ λ λ λ
= - + + +
,
4
45 4 34 3
dp
p p
dt
λ λ
= - +
,
5
53 5 45 4
dp
p p
dt
λ λ
= - +
.
Начальные условия: при
t
= 0,
p
1
= 1,
p
2
=
p
3
=
p
4
=
p
5
= 1.
5.2.5. МОДЕЛИ ПУАССОНОВСКОГО ТИПА
Наиболее подходящей моделью для описания отказов
высоконадежных систем является модель
пуассоновского потока
отказов.
Если этот поток однородный, для вероятности наступления
отказов на отрезке времени [0,
t
] имеем формулу (5.95) Вероятность
безотказной работы на том же отрезке определим по формуле (5.96).
Если поток неоднородный, то для вероятности безотказной работы
имеем формулу (5.98), которая соответствует случаю
P
(0) < 1.
λ
45
λ
53
λ
32
λ
12
λ
13
λ
34
S
3
S
4
S
5
S
1
S
2
Рис. 5.35. Размеченный граф
состояний системы для при-
мера 5.11
24
Если интерпретировать безотказную работу как пребывание
вектора качества в допустимой области Ω, то следует связать
интенсивность отказов с поведением векторного процесса
v
(
t
) по
отношению к предельной поверхности Г. Пусть
P
(0) = 1, т.е. с
вероятностью, равной единице, вектор
v
в начальный момент времени
t
= 0 находится в допустимой области, а выбросы из этой области на
рассматриваемом отрезке [0,
t
] – весьма редкие события. Число
выбросов на отрезке
[0,
t
] есть случайная величина
N
(
t
), зависящая от времени
t
как от
параметра. Имеем соотношение
M
[
N
(
t
)] ≡
∆
(
t
)
≈
0
( )
t
d
λ τ τ
т
, (5.94)
связывающее математическое ожидание ∆(
t
) числа выбросов
N
(
t
) из
допустимой области с интенсивностью отказов λ(
t
). Отсюда получаем
приближенную формулу для вероятности безотказной работы
P
(
t
) ≈ exp [–∆(
t
)] . (5.95)
Если в начальный момент
t
=
t
0
вероятность безотказной работы
отлична от нуля, то вместо (5.94) имеем
P
(
t
) ≈
P
(
t
0
)exp
0
( )
t
t
d
λ τ τ
й щ
к ъ
-
к ъ
л ы
т
(5.96)
с интенсивностью отказов
λ(
t
) ≈
d
/
dt
M
[
N
(
t
)] . (5.97)
Точность результатов, полученных по формуле (5.95), тем выше, чем
ближе к единице значение
P
(
t
). Для высоконадежных систем
несколько упростим формулу (5.95), разложив экспоненту в степенной
ряд и сохранив два члена ряда [5]
P
(
t
) ≈ 1 – ∆(
t
) . (5.98)
Формула (5.98) дает для вероятности безотказной работы строгую
оценку снизу при условии, что
P
(0) = 1. Наряду с этим нетрудно
получить оценку сверху, установив таким образом диапазон искомых
значений вероятности безотказной работы [7]
1 –
M
[
N
(
t
)] ≤
P
(
t
) ≤ 1 –
3
2
M
[
N
(
t
)] +
1
2
M
[
N
2
(
t
)] , (5.99)
25
где
M
[
N
2
(
t
)] – средний квадрат числа выбросов процесса из области Ω
на отрезке [0,
t
].
Поскольку для строгого пуассоновского потока
M
[
N
2
(
t
)] = ∆(
t
) – ∆
2
(
t
),
выражение, стоящее в правой части неравенства (5.99), совпадает
с первыми тремя членами разложения экспоненты в степенной ряд.
Общий способ получения указанных двухсторонних оценок
основан на следующих соображениях. Пусть
Q
1
(
t
),
Q
2
(
t
),… –
вероятности однократного, двукратного и т.д. выбросов процесса
v
(
t
)
из области Ω на отрезке [0,
t
]. Тогда вероятность события, состоящего
в том, что на этом отрезке произойдет хотя бы один выброс (функция
риска), составляет
Q
(
t
) =
1
( )
k
k
Q t
=
е
.
Наряду с вероятностью
Q
(
t
) рассмотрим моменты от числа выбросов
N
(
t
):
M
[
N
α
(
t
)] =
1
( )
k
k
k Q t
α
=
е
, (α = 1, 2,…).
Задача состоит в том, чтобы получить наилучшее приближение для
Q
(
t
) в виде линейной функции первых
n
моментов от числа выбросов
и определить знак остаточного члена. Поскольку для редких отказов
элементы последовательности
Q
1
(
t
),
Q
2
(
t
),… быстро убывают,
естественно потребовать, чтобы остаточный член не содержал
моментов, порядок которых ниже
n
+ 1.
Итак, приближенное значение для функции риска ищем в виде
1
( ) [ ( )]
n
Q t z M N t
α
α
α
=
=
е
%
,
где
z
α
– искомый коэффициент.
Приняв
n
= 3 и
n
= 4, получим уточненные двусторонние оценки
2 3
11 1 25
1 [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) 1 [ ( )]
6 6 12
M N t M N t M N t P t M N t
- + - - +
2 3 4
35 5 1
[ ( )] [ ( )] [ ( )]
24 12 24
M N t M N t M N t
+ - +
.
26
Прикладная ценность уточненных оценок невелика из-за того, что
вычисления моментов
M
[
N
2
(
t
)], начиная с
α
= 2, слишком громозд-
кие [7].
Пуассоновские потоки событий
и непрерывные Марковские цепи
Рассмотрим некоторую физическую систему
S
с
дискретными
состояниями
S
1
,
S
2
,
S
3
,…..
S
n
, которая переходит из состояния в
состояние под влиянием каких-то случайных событий, например,
вызовы на телефонной станции, выходы из строя (отказы) элементов
аппаратуры, выстрелы, направленные по цели и т.д. Будем себе это
представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в
состояние, представляют собой какие-то потоки событий (потоки
вызовов, потоки отказов, потоки выстрелов и т.д.) [2, 16].
Пусть система
S
с графом состояний, показанным на рис. 5.36, в
момент
t
находится в состоянии
S
i
, и может перейти из него в
состояние
S
j
, – под влиянием какого-то пуассоновского потока
событий с интенсивностью λ
ij
: как только появляется первое событие
этого потока, система мгновенно переходит (перескакивает) из
S
i
в
S
j
.
Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный
промежуток времени ∆
t
(элемент вероятности перехода) равна λ
ij
∆
t.
Таким образом, плотность вероятности перехода λ
ij
в непрерывной
цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность
потока событий, переводящего систему по соответствующей стрелке.
Если все потоки событий, переводящие систему
S
из состояния в
состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные –
безразлично), то процесс, протекающий в системе, будет марковским.
Действительно, пуассоновский поток обладает отсутствием
последействия, поэтому при заданном состоянии системы в данный
момент ее переходы в другие состояния в будущем обусловлены
только появлением каких-то событий в пуассоновских потоках, а
вероятности появления этих событий не зависят от «предыстории»
процесса.
В дальнейшем, рассматривая марковские процессы в системах с
дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывные
марковские цепи), нам удобно будет во всех случаях рассматривать
переходы системы из состояния в состояние как происходящие под
влиянием каких-то потоков событий, хотя бы в действительности эти
27
события были единичными. Например, работающее техническое
устройство мы будем рассматривать как находящееся под действием
потока отказов, хотя фактически оно может отказать только один раз.
Действительно, если устройство отказывает в тот момент, когда
приходит первое событие потока, то совершенно все равно –
продолжается после этого поток отказов или же прекращается: судьба
устройства от этого уже не зависит. Для нас же будет удобнее иметь
дело именно с потоками событий.
Итак, рассматривается система
S
, в которой переходы из состояния
в состояние происходят под действием пуассоновских потоков
событий с определенными интенсивностями. Проставим эти
интенсивности (плотности вероятностей переходов) на графе
состояний системы у соответствующих стрелок. Получим
размеченный граф состояний (рис. 5.36), по которому можно сразу
записать дифференциальные уравнения Колмогорова для
вероятностей состояний.
Пример 5.12.
Техническая система
S
состоит из двух узлов: I и II;
каждый из них независимо от другого может отказывать (выходить из
строя). Поток отказов первого узла – пуассоновский, с интенсив-
ностью λ
I
;
второго – также пуассоновский, с интенсивностью λ
II
.
Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться
(восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта
ремонтируемого узла) для обоих узлов – пуассоновский с
интенсивностью λ. Составить граф состояний системы и написать
уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Определить, при
каких начальных условиях нужно решать эти уравнения, если в
начальный момент (
t
= 0) система работает исправно.
Решение
. Состояния системы:
S
11
– оба узла исправны;
S
21
– первый узел ремонтируется, второй исправен;
S
12
– первый узел исправен, второй ремонтируется;
S
22
– оба узла ремонтируются.
Размеченный граф состояний системы показан на рис. 5.37.
28
S
21
S
11
S
12
S
22
S
1
S
3
S
j
S
2
S
i
λ
21
λ
31
λ
13
λ
23
Рис. 5.36. Граф состояний системы Рис. 5.37. Размеченный граф
с определенными интенсивностями состояний для примера 5.12
Интенсивности потоков событий на рис. 5.37 проставлены из
следующих соображений. Если система
S
находится в состоянии
S
11
, то
на нее действуют два потока событий: поток неисправностей узла I с
интенсивностью λ
I
, переводящий ее в состояние
S
21
, и поток
неисправностей узла II с интенсивностью λ
II
, переводящий ее в
S
12
.
Пусть теперь система находится в состоянии
S
21
(узел I
ремонтируется, узел II исправен). Из этого состояния система может,
во-первых, вернуться в
S
11
(это происходит под действием потока
восстановлений с интенсивностью λ); во-вторых,– перейти в состояние
S
22
(когда ремонт узла I еще не закончен, а узел II тем временем вышел
из строя); этот переход происходит под действием потока отказов узла
II с интенсивностью λ
II
. Интенсивности потоков у остальных стрелок
проставляются аналогично.
Обозначая вероятности состояний
р
11
,
р
21
,
р
12
,
р
22
и пользуясь
правилом, сформулированным в § 3, запишем уравнения Колмогорова
для вероятностей состояний:
11
dp
dt
= –(λ
I
+ λ
II
)
р
11
+ λ
р
21
+ λ
р
12
;
21
dp
dt
= –(λ + λ
II
)
р
21 +
λ
I
р
11
+ λ
р
22
;
12
dp
dt
= –(λ + λ
I
)
р
12
+ λ
II
р
11
+ λ
р
22
;
(5.100)