Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

приходится останавливать в среднем на 6 часов. Поиск неисправности

длится в среднем 0,5 часа. После окончания ремонта машина

готовится к пуску в среднем 1 час. Найти предельные вероятности

состояний.

Рис. 5.52. Размеченный граф состояния системы

для примера 5.21

Решение

. Граф состояний имеет вид циклической схемы (рис. 5.52).

Определим среднее время пребывания ЭВМ подряд в каждом

состоянии:

1 2 3 4

1/2, 1/48, 1/4, 1/24

t t t t= = = =

(сут.),

откуда по формулам (5.119)

1 1 1 1

2 48 4 24

p = =

+ + +

= 1/39,

= 12/39,

= 2/39,

или, в десятичных дробях,

= 0,615,

= 0,026,

= 0,308,

= 0,051.

Таким образом, если процесс сводится к простому циклическому с

односторонними переходами, предельные вероятности состояний

находятся очень просто: из соотношения средних времен пребывания

(подряд) в каждом из состояний. Во многих практических случаях

приходится иметь дело с ветвящимся циклическим процессом, где

граф состояний в отдельных узлах образует разветвления.

Пример 5.22.

ЭВМ может находиться в следующих состояниях:

– исправна, работает;

– неисправна, остановлена; ведется поиск неисправности;

– неисправность оказалась незначительной и устраняется

местными средствами;

– неисправность оказалась серьезной и устраняется бригадой

специалистов;

– подготовка к пуску.

Процесс, протекающий в системе, – марковский (все потоки событий –

простейшие). Среднее время исправной работы машины равно

;

среднее время поиска неисправностей –

; среднее время ремонта

местными средствами –

;

среднее время ремонта бригадой

специалис-

тов –

среднее время подготовки ЭВМ к пуску –

. Неисправность

ЭВМ может быть ликвидирована местными средствами с

вероятностью

, а с вероятностью 1 –

требует вызова бригады

специалистов. Труд бригады оплачивается в размере

(руб./час).

Требуется найти предельные вероятности состояний и определить

средний расход, идущий на оплату работы ремонтной бригады в

единицу времени (в сутки).

Решение.

Строим размеченный граф состояний (рис. 5.53). Если из

состояния выходит только одна стрелка, то интенсивность потока

событий, стоящая у этой стрелки, равна единице, деленной на среднее

время пребывания (подряд) в этом состоянии. Если из состояния

выходит не одна стрелка, а две, то общая интенсивность, равная

единице, деленной на среднее время пребывания (подряд) в данном

состоянии, умножается для каждой стрелки на вероятность того, что

переход совершится именно по этой стрелке.

Рис. 5.53. Размеченный граф состояния для примера 5.22

Уравнения для предельных вероятностей состояний имеют вид:

1 2

1 1

p p

t t

2 3

p p

t t

2 4

1 1

p p

t t

, (5.120)

3 4 5

1 1 1

p p p

t t t

+ =

5 1

1 1

p p

t t

плюс нормировочное условие (5.108):

= 1 .

Из уравнений (5.120) одно, как мы знаем, можно отбросить; отбросим

самое сложное – четвертое, а из остальных выразим

через

2 1

p p

3 3

3 2 1

2 1

Pt Pt

p p p

t t

= =

4 4

4 2 1

2 1

(1 ) (1 )

P t P t

p p p

t t

- -

= =

5 1

p p

Подставляя полученные выражения в (5.108), имеем:

2 3 4 5

1 1 1 1

(1 )

t Pt P t t

t t t t

ж ц

+ + + +

з ч

и ш

= 1.

Отсюда

1 2 3 4 5

(1 )

t t Pt P t t

+ + + - +

1 2 3 4 5

(1 )

t t Pt P t t

+ + + - +

1 2 3 4 5

(1 )

t t Pt P t t

+ + + - +

1 2 3 4 5

(1 )

P t

t t Pt P t t

+ + + - +

1 2 3 4 5

(1 )

t t Pt P t t

+ + + - +

Средняя доля времени, которую система проводит (в установившемся

режиме) в состоянии

(ремонт бригадой специалистов) равна

Значит, за час система проводит в этом состоянии в среднем

часов.

Умножая эту величину на 24

, получим средний расход средств на

оплату бригады специалистов за сутки:

= 24

Обратим внимание на структуру вероятностей

...,

в схеме

ветвящегося цикла. Они, так же как и в случае простого цикла,

представляют собой отношения средних времен пребывания (подряд)

в состояниях к сумме всех таких времен, с той разницей, что для

состояния, лежащего на «ветке», это среднее время множится на

вероятность перехода по данной «ветке» (

или 1 –

). Пользуясь

этим правилом, можно сразу писать предельные вероятности

состояний для любой ветвящейся циклической схемы.

110

Г л а в а 6

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

6.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА

СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Задача расчета надежности сложных технических систем сводится,

как правило, к определению основных показателей безотказности и

долговечности при известных режимах функционирования и значе-

ниях показателей надежности элементов.

Расчет надежности технических систем по безотказности обычно

проводится в предположении, что вся система и каждый ее элемент

могут находиться в одном их двух возможных состояний –

работоспособном и неработоспособном, и отказы элементов

независимы друг от друга. Состояние системы определяется

состоянием ее элементов и их сочетанием. Поэтому теоретически

возможно расчет безотказности любой системы свести к перебору

всех возможных комбинаций состояний элементов, определению

вероятности каждого из них и сложению вероятностей

работоспособных состояний системы. Такой метод (

метод прямого

перебора

) практически универсален и может использоваться при

расчете любых технических систем. Однако при большом количестве

элементов системы

такой путь становится нереальным из-за

большого объема вычислений (если число элементов системы

= 10,

число возможных состояний системы составляет

= 1024, при

= 20 превышает 10

и т.д). Поэтому чаще всего

целесообразно использовать более эффективные и экономичные

методы расчета, не связанные с большим объемом вычислений.

Для расчета показателей надежности сложных систем используют методы,

связанные с перечислением элементарных событий (метод прямого перебора и

комбинаторный метод), топологические и структурно-логические методы,

основанные на структурно-логическом анализе системы (методы минимальных путей

111

и минимальных сечений, разложение относительно особого элемента, методы с

использованием графов состояний и деревьев отказов и др.), а также методы

статистического моделирования.

Возможность использования различных методов расчета

надежности связана, прежде всего, со структурой технической

системы.

6.1.1. Система с последовательным

соединением элементов

Системой с последовательным соединением элементов называется

система, в которой отказ любого элемента приводит к отказу всей

системы. Последовательное соединение в технике наиболее

распространено, поэтому часто называется основным соединением

[20].

Для расчета надежности системы с последовательным

соединением (см. рис. 5.2,

) воспользуемся теоремой умножения

вероятностей, согласно которой вероятность совместного появления

независимых событий равна произведению вероятностей этих

событий. Для безотказной работы системы с последовательным

соединением элементов в течение некоторой наработки

необходимо

и достаточно, чтобы каждый их ее элементов работал безотказно в

течение этой наработки. Если отказы элементов независимы друг от

друга, то вероятность безотказной работы системы

(

) равна

произведению вероятностей безотказной работы элементов

(

( )

1 2

1 1

... 1

n n

n i i

i i

P p p p p q

= =

= = = -

Х Х

(6.1)

(здесь и далее аргумент

, показывающий зависимость параметров

надежности от наработки или времени, опущен для сокращения за-

писей). Соответственно вероятность отказа такой системы

( )

1 1

1 1 1

n n

i i

Q P p q

= =

= - = - = -

Х Х

. (6.2)

Для оценки вероятности отказа при

+ …+

<< 1 можно

также воспользоваться приближенной формулой

112

( ) ( )

( )

1 2

1 1

1 1 1 ... 1

n n

n i i

i i

Q p p p q n p

= =

= - - - - - = = -

е е

, (6.3)

погрешность которой не превышает (

+ …+

)²/2. Тогда

1 1

1 1 1

n n

i i

P Q q n p

= =

ж ц

= - = - = - -

з ч

и ш

е е

. (6.4)

Если система состоит из равнонадежных элементов (

), то на

основании формул (6.1) и (6.2)

P = p

Q =

–

– q

)

. (6.5)

Анализ формул (6.1), (6.3) и (6.5) показывает (рис. 5.2,

), что даже

при сравнительно высокой надежности элементов надежность

системы с последовательным соединением оказывается довольно

низкой (например, при

= 0,95 и

= 10,

= 0,60) и быстро

уменьшается при увеличении числа элементов.

Если в системе с последовательным соединением выделить самый

надежный элемент

(

= min{

,…,

}), то на основании

формулы (6.1) можно записать

k i k

i i k

P p p p

= №

= 

. (6.6)

ТАК КАК ВСЕ СОМНОЖИТЕЛИ В

ПРАВОЙ ЧАСТИ ФОРМУЛЫ НЕ

ПРЕВЫШАЮТ 1, ТО ИХ

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТЕМ БОЛЕЕ НЕ

МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЬШЕ 1.

СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ВЕРОЯТНОСТЬ

БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ СИСТЕМЫ

С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ

113

СОЕДИНЕНИЕМ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ

ВЫШЕ САМОГО НЕНАДЕЖНОГО

ИЗ ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ И ИЗ

НЕНАДЕЖНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

НЕЛЬЗЯ СОЗДАТЬ

ВЫСОКОНАДЕЖНУЮ СИСТЕМУ С

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ

СОЕДИНЕНИЕМ.

Если элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и их

вероятности безотказной работы

подчиняются экспоненциальному

закону

exp(– λ

)

(6.7)

(где λ

= const – интенсивность отказов элементов), то на основании

формулы (6.1 ) можно получить

exp( ) exp exp( )

i i

P t t t

λ λ Λ

й щ

ж ц

= - = - = -

к ъ

з ч

и ш

к ъ

л ы

, (6.8)

где

= const – интенсивность отказов системы.

Таким образом, в этом случае вероятность безотказной работы

системы с последовательным соединением элементов также

подчиняется экспоненциальному закону и интенсивность отказов

системы (число отказов за единицу наработки) равна сумме

интенсивностей отказов ее элементов. Для периода нормальной

эксплуатации средняя наработка системы элемента

1/λ

Тогда

средняя наработка системы

1 1

n n

i i

- -

= =

ж ц ж ц

= = =

з ч з ч

и ш и ш

е е

. (6.9)

114

Из формулы (6.8) можно получить формулу для γ-процентной

наработки системы, в течение которой отказ не наступит с

вероятностью γ

T T P

γ γ

= - = -

. (6.10)

Очевидно, для системы с равнонадежными элементами

= n

λ,

T = t

(6.11)

т.е. интенсивность отказов системы в

раз больше, а средняя

наработка в

раз меньше, чем у элементов.

6.1.2. Системы с параллельным соединением

элементов

Системой с параллельным соединением элементов называется

система, отказ которой произойдет только в случае отказа всех ее

элементов. Эти системы характерны для технических объектов, в

которых элементы дублируются или резервируются, т.е. параллельное

соединение используется как метод повышения надежности системы.

Однако такие системы встречаются и самостоятельно (например,

система двигателей четырехмоторного самолета или задний мост

грузового автомобиля с двумя колесами на каждой полуоси). Для

отказа системы с параллельным соединением элементов (рис. 5.2,

) в

течение наработки

необходимо и достаточно, чтобы все ее элементы

отказали в течение этой наработки. Если отказы элементов

независимы друг от друга, то по теореме умножения вероятностей

вероятность отказа системы равна произведению вероятностей

отказов ее элементов:

1 2

1 1

... (1 )

n n

n i i

i i

Q q q q q p

= =

= = = -

Х Х

. (6.12)

Соответственно вероятность безотказной работы

1 1

1 1 1 (1 )

n n

i i

P Q q p

= =

= - = - = - -

Х Х

. (6.13)

Если система состоит из равнонадежных элементов

= p

, то

115

Q = q

= 1 – (1 –

)

(6.14)

Надежность системы с параллельным соединением повышается с

увеличением числа элементов (рис. 5.2,

), например, при

= 0,9 и

= 2

= 0,99, при

= 3

= 0,999.

Если в системе выделить самый надежный элемент

(

= min{

,…,

}), то на основании формулы (6.12) можно записать

k i k

Q q q q

= 

, (6.15)

т.е. вероятность отказа системы с параллельным соединением не

может быть выше вероятности отказа самого надежного из ее

элементов и даже из сравнительно ненадежных элементов можно

создать вполне надежную систему. При экспоненциальном законе

распределения (6.7) формула (6.14) принимает вид

1 [1 exp( )]

P t

λ= - - -

. (6.16)

Среднее время безотказной работы системы

{1 [1 exp( )] }

T Pdt t dt



= = - - -

т т

. (6.17)

После интегрирования можно получить

1 1

1 1 1 1 1 1

1 ...

n n

i i

T t

n i i

λ λ

= =

ж ц

= + + + = =

з ч

и ш

е е

. (6.18)

Таким образом, средняя наработка на отказ системы с параллельным

соединением элементов больше средней наработки на отказ ее

элементов (например, при

= 2

= 1,5

, при

= 3

= 1,83