Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
116
P
0,8
0,6
0,4
0,2
0
P
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 4 8 12 16 n 0 4 8 12 16 n
а б
Рис. 6.1. Зависимости вероятности безотказной работы системы
с параллельным соединением элементов от числа (а)
и вероятности безотказной работы элементов (б)
При больших значениях
n
можно воспользоваться приближенной
формулой
1
ln
2
T t n C
n
ж ц
= + +
з ч
и ш
, (6.19)
ГДЕ С = 0,57712 – ПОСТОЯННАЯ
ЭЙЛЕРА.
6.1.3. МАЖОРИТАРНЫЕ СИСТЕМЫ
Мажоритарную систему
(«
схему голосования»
или «
т
из
n
»)
можно рассматривать как вариант системы с параллельным
соединением, отказ которой произойдет, если из
п
элементов,
соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее
т
элементов. Мажоритарные системы часто встречаются в
электрических и радиосхемах, системах управления, технологических
линиях, гидро- и пневмосистемах и т.д., а также при структурном
резервировании [21, 22]. На рис. 6.2 представлена мажоритарная
система «2 из 5», работоспособная тогда, когда из ее пяти элементов
работоспособны любые два, три, четыре или все пять (на схеме
117
пунктирным контуром первые два элемента обведены условно, все
пять элементов равнозначны).
Для расчета надежности мажоритарных
систем могут применяться различные
методы. При небольшом количестве
элементов можно воспользоваться
методом прямого перебора,
который
заключается в определении
работоспособности каждого из всех
возможных состояний системы при
различных сочетаниях работоспособных и
неработоспособных элементов [23] .
Пример 6.1.
Все возможные состояния
системы «2 из 5» приведены в табл. 6.1,
работоспособные отмечены знаком «+»,
неработоспособные – «–».
Работоспособность системы определяется
количеством работоспособных элементов. Вероятность любого
состояния системы равна произведению вероятностей состояний ее
элементов. Например, в состоянии 9 отказали элементы 2 и 5,
остальные находятся в работоспособном состоянии. Так как условие
«2 из 5» выполняется, то система находится в работоспособном
состоянии и его вероятность в случае равнонадежных элементов
P
9
=
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
=
p
³
q
².
Тогда вероятность безотказной работы
Р =
1 –
Q
=
р
2
– 20
р
3
+ 15
р
4
– 4
р
5
.
Для расчета надежности мажоритарных систем можно также
воспользоваться
комбинаторным методом
(
методом перечисляющих
производящих, функций
). Вероятность события, при котором из
общего количества элементов
п
работоспособность сохраняют
k
элементов (перечисляющая производящая функция), составляет
P
k
=
C
k
n
P
k
(1 –
р
)
k–1
, (6.20)
где
С
k
n
– биномиальный коэффициент из
п
по
k
C
k
n
=
!
!( )!
m
k n k
-
. (6.21)
1
2
3
4
5
Рис. 6.2. Мажоритарная
система «2 из 5»
118
Если для сохранения работоспособности системы необходимо, чтобы
работоспособность сохраняли не менее
т
элементов из
п
(т.е.
k ≥ т
),
то по теореме сложения вероятностей вероятность безотказной работы
равна сумме вероятностей работоспособных состояний.
Т а б л и ц а 6.1
Таблица состояний мажоритарной системы
«2 из 5»
Состояние элементов Номер
состояния
1 2 3 4 5
Состояние
системы
Вероятность
состояния системы
1 + + + + + + р
5
2 + + + + – +
3 + + + – + +
4 + + – + + +
p
4
q = р
4
(1 – р)
5 + – + + + +
6 – + + + + +
7 + + + – – + р
5
8 + + – + – +
9 + – + + – +
10 – + + + – +
11 + + – – + +
p
3
q
2
= р
3
(1 – р)
2
12 + – + – + +
13 – + + – + +
14 + – – + + +
15 – + – + + +
16 – – + + + +
17 + + – – – +
18 + – + – – +
19 + – – + – +
20 + – – – + +
21 – + – – + +
p
2
q
3
= р
2
(1 – р)
3
22 – – – + + +
23 + – – + – +
24 – + – + – +
25 – – + – + +
26 – – + + – +
27 + – – – – +
119
28 – + – – – +
29 – – + – – +
pq
4
= р(1 – р)
4
30 – – – + – +
31 – – – – + +
32 – – – – – +
q
5
= (1 – р)
5
По теореме сложения вероятностей вероятность отказа системы
равна сумме вероятностей всех неработоспособных состояний:
Q
=
q
5
+ 5
pq
4
= (1 –
p
)
5
+ 5
p
(1 –
p
)
4
= 1 – 10
p
2
+ 20
p
3
– 15
p
4
+ 4
p
4
5,
(1 )
n n
k k n k
k n
k m k m
P P C p p
-
= =
= = -
е е
. (6.22)
Для системы «2 из 5» (рис. 6.2) по формуле (6.22)
P
=
C
2
5
p
2
(1 –
p
)
3
+
C
3
5
p
3
(1 –
p
)
2
+
C
4
5
p
4
(1 –
p
) + C
5
5
p
5
=
= 10
р
2
(1–
р
)
3
+10
р
3
(1 –
р
)
2
+ 5
р
4
(1 –
р
)
р
5
=
= 10
р
2
– 20
р
3
+ 15
р
4
– 4
p
5
.
Аналогичным образом вероятность отказа
1 1
0 0
(1 )
m m
k k n k
k n
k k
Q P C p p
- -
-
= =
= = -
е е
. (6.23)
Для расчета надежности можно воспользоваться также
методом
логических схем
.
В табл. 6.2 приведены формулы вероятности безотказной работы
мажоритарных систем «
m
из
п»
при
т ≤ п ≤
5. При
m
= 1 система
превращается в систему с параллельным соединением, при
т = п –
с последовательным. При других значениях
т
вероятность
безотказной работы мажоритарной системы выше, чем у системы с
последовательным соединением, но ниже, чем с параллельным
соединением (рис. 6.3).
Т а б л и ц а 6.2
120
ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
МАЖОРИТАРНЫХ СИСТЕМ
Общее число элементов, п т
1 2 3 4 5
1 p 2p – p
2
3р – 3р
2
+ р
3
4р – 6р
2
+ 4р
3
– р
4
5р –10р
2
+10р
3
–5р
4
+ р
5
2 – p
2
3р
2
– 2р
3
6р
2
– 8р
3
+ 3р
4
10р
2
– 20р
3
+15р
4
– 4р
5
3 – – p
3
4р
3
– 3р
4
10р
3
–15р
4
+ 6р
5
4 – – – p
4
5p
4
– 4р
5
5 – – – – р
5
Р
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 р
Рис. 6.3. Зависимость вероятности безотказной
работы мажоритарной системы от вероятности
безотказной работы элементов при n = 5
6.1.4. МОСТИКОВЫЕ СИСТЕМЫ
Работоспособность мостиковой системы (рис. 6.4, а, б) определя-ется не
только количеством отказавших элементов, но и их положением в структурной схеме.
Например, потеря работоспособности системы, схема которой показана на рис. 6.4, а,
обусловлена одновременным отказом элементов 1 и 2, или 4 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3
и 4 и далее; в то же время отказ элементов 1 и 5, или 2 и 4, или 1, 3 и 4, или 2, 3 и 5 к
отказу системы не приводит.
121
1
4
5
3
2
7
1
4
5
3
2 8
6
а б
Рис. 6.4. Мостиковые системы
На рис. 6.5 в качестве примера приведена мостиковая система
подачи топлива, которая работает, если исправен хотя бы один из
насосов 1 или 2 и срабатывают соответствующие клапаны 3, 4 и 5 [24].
1
2
3
4
5
Рис. 6.5. Мостиковая система подачи топлива:
1, 2 – насосы; 3, 4, 5 – клапаны
Для расчета надежности мостиковых систем можно
воспользоваться методом прямого перебора аналогично тому, как это
было сделано для мажоритарной системы, но при анализе
работоспособности каждого состояния системы необходимо исходить
не только из числа отказавших элементов, но и их положения в схеме,
и в соответствии с этим определять принадлежность состояния
системы к подмножествам работоспособных
или неработоспособных.
Надежность систем, схемы которых не сводятся к последователь-ному или
параллельному соединению, можно анализировать с помощью логико-вероятностного
метода, при использовании которого математическая модель системы составляется в
терминах алгебры логики. Метод применим к широкому кругу систем с
122
разнообразными связями и сочетаниями элементов, хотя внешне они иногда
получаются достаточно громоздкими [23, 25].
Применение логико-вероятностного метода сводится к
составлению формализованной модели в виде формулы алгебры
логики (ФАЛ), которая определяет условие работоспособности (или,
наоборот, отказа) системы – функцию работоспособности (или
неработоспособности). При ее составлении для каждого
i
-го элемента
рассматриваются два несовместных события: работоспособное
состояние
a
i
и отказ
i
a
. Функции составляются с использованием
знаков операций логического сложения (
∨
) и логического умножения
(
∧
) или соответствующих арифметических знаков.
Пример 6.3.
Для мостиковой схемы с пятью элементами (рис. 6.4,
a
)
функции работоспособности и неработоспособности имеют вид:
1 4 2 5 1 3 5 2 3 4
A a a a a a a a a a a
= Щ Ъ Щ Ъ Щ Щ Ъ Щ Щ
=
1 4 2 5 1 3 5 2 3 4
a a a a a a a a a a
= + + +
, (6.24)
1 2 4 5 1 3 5 2 3 4
A a a a a a a a a a a
= Щ Ъ Щ Ъ Щ Щ Ъ Щ Щ
=
1 2 4 5 1 3 5 2 3 4
a a a a a a a a a a
= + + +
. (6.25)
ДЛЯ РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТИ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
НЕОБХОДИМО ОТ ЛОГИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ (6.24) ИЛИ (6.25)
ПЕРЕЙТИ К ВЕРОЯТНОСТНЫМ
ФУНКЦИЯМ
Р = Р(А), С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И
123
УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ:
1 2
1 1
( ... ) 1 [1 ( )]
n n
n i i
i i
P a a a P a p a
= =
ж ц
+ + + = = - -
з ч
и ш
ХU
,
1 2
1 1
( ... ) ( )
n n
n i i
i i
P a a a P a p a
= =
ж ц
= =
з ч
и ш
ХI
. (6.26)
На основании функции работоспособности (6.24) с учетом (6.26) для
вероятности безотказной работы мостиковой системы можно
получить:
P
=
P
(
A
) = 1 – [1 –
P
(
a
1
a
4
)][1 –
P
(
a
2
a
5
)][1 –
P
(
a
1
a
3
a
5
)][1 –
P
(
a
2
a
3
a
4
)] =
= 1 – [1 –
p
(
a
1
)
p
(
a
4
)][1 –
p
(
a
2
)
p
(
a
5
)][1 –
p
(
a
1
)
p
(
a
3
)
p
(
a
5
)]
×
×
[1 –
p
(
a
2
)
p
(
a
3
)
p
(
a
4
)]. (6.27)
Заменив в уравнении (6.27)
р
(
а
i
) =
р
i
и учитывая, что в алгебре логики
а
i
а
i
=
а
i
и
р
(
а
i
)
р
(
а
i
) =
р
(
а
i
а
i
) =
р
(
а
i
), получим:
P
=
p
1
p
4
+
p
2
p
5
+
p
1
p
3
p
5
+
p
2
p
3
p
4
–
p
1
p
2
p
3
p
4
–
p
1
p
2
p
3
p
5
–
p
1
p
2
p
4
p
5
–
–
p
1
p
3
p
4
p
5
–
p
1
p
3
p
4
p
5
–
p
2
p
3
p
4
p
5
+ 2
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
. (6.28)
Для системы из равнонадежных элементов (
р
i
=
р
) уравнение (6.28)
приобретает вид
P
= 2
p
2
+ 2
p
3
– 5
p
4
+ 2
p
5
. (6.29)
Аналогичные рассуждения и преобразования для функции
неработоспособности (6.27) позволяют получить формулу для
вероятности отказа
Q
=
P
(
A
) = 1 – [1 –
P
(
1
a
2
a
)][1 –
P
(
4
a
5
a
)][1 –
P
(
1
a
3
a
5
a
)]
×
×
[1 –
P
(
2
a
3
a
4
a
)] = 1 – [1 –
p
(
1
a
)
p
(
2
a
)][1 –
p
(
4
a
)
p
(
5
a
)]
×
×
[1 –
p
(
1
a
)
p
(
3
a
)
p
(
5
a
)][1 –
p
(
2
a
)
p
(
3
a
)
p
(
4
a
)] =
q
1
q
2
+
q
4
q
5
+
q
1
q
3
q
5
+
+ q
2
q
3
q
4
–
q
1
q
2
q
3
q
4
–
q
1
q
2
q
4
q
5
–
q
1
q
3
q
4
q
5
+ 2
q
1
q
2
q
3
q
4
q
5
, (6.30)
124
где
р
(
а
i
) = 1 –
р
(
а
i
) = 1 –
р
i
=
q
i
– вероятность отказа
i
-го элемента,
кроме того, аналогично формуле (6.28):
p
(
i
a
)
p
(
i
a
) =
p
(
i i
a a
) =
p
(
i
a
) .
Для системы равнонадежных элементов (
q
i
=
q
) уравнение (6.30) при-
обретает вид
Q
= 2
q
2
+ 2
q
3
– 5
q
4
+ 2
q
5
.
(6.31)
ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЙ
МЕТОД МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ
ДЛЯ РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТИ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ЛЮБЫХ
СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
НАДЕЖНОСТИ. ОДНАКО ПРИ ЕГО
ИСПОЛЬЗОВАНИИ НЕ ВСЕГДА
УДАЕТСЯ СОСТАВИТЬ
ЛОГИЧЕСКУЮ ФУНКЦИЮ
РАБОТОСПОСОБНОСТИ,
ДОСТАТОЧНО ТОЧНО
СООТВЕТСТВУЮЩУЮ
СТРУКТУРЕ СИСТЕМЫ. КРОМЕ
ТОГО, ДЛЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С
БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЭЛЕМЕНТОВ
125
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ СТАНОВЯТСЯ ОЧЕНЬ
ГРОМОЗДКИМИ, А
ТРУДОЕМКОСТЬ МЕТОДА
ПРАКТИЧЕСКИ СОИЗМЕРИМА С
МЕТОДОМ ПРЯМОГО ПЕРЕБОРА.
Для сокращения объема преобразований при составлении
логических формул можно на основании структурной схемы
предварительно составить логическую схему системы. Логические
схемы могут составляться двумя методами; минимальных путей и
минимальных сечений (при анализе аварийных отказов используются
аналогичные им методы минимальных проходных сочетаний и
минимальных аварийных сочетаний).
Минимальным путем (или кратчайшим путем успешного
функционирования или минимальным проходным сочетанием )
называется последовательный набор работоспособных элементов,
который обеспечивает ее работоспособность, а отказ любого из них
приводит к ее отказу [24, 26].
Минимальных путей в системе может быть один или несколько.
Очевидно, система с последовательным соединением элементов имеет
только один минимальный путь, включающий все ее элементы. В
системе с параллельным соединением элементов число минимальных
путей совпадает с числом элементов и каждый включает один из них.
Пример 6.4.
У мостиковой системы из пяти элементов (рис. 6.4,
а
)
четыре минимальных пути: 1) элементы 1 и 4; 2) 2 и 5; 3) 1, 3 и 5;
4) 2, 3 и 4. Логическая схема такой системы (рис. 6.5,
а
) составляется
таким образом, чтобы элементы каждого минимального пути были
соединены последовательно, а все минимальные пути – параллельно.
Функция алгебры логики
А
n
для логической схемы составляется по
общим правилам расчета вероятности безотказной работы, но вместо
символов вероятностей безотказной работы элементов
р
i
используются символы событий (работоспособности элемента)
а
i
:
A
n
= 1 – (1 –
a
1
a
4
)(1 –
a
2
a
5
)(1 –
a
1
a
3
a
5
)(1 –
a
2
a
3
a
4
) . (6.32)