Хейденрайх Р. Основы просвечивающей электронной микроскопии
Подождите немного. Документ загружается.
162
ГЛ.
5.
ВОЛНОВАН
МЕХАНИНА
И
Ф
___________
O_P_M_I-=-I=--Р-=-О-=вАнИЕ
изо
ЕР
АЖЕ
НИН
х
О
t
-
Плоскость
06'ы:нта
L
o
х
-
Линза
--..L.~r-~t--~~-~L_-..
___
~.
Задняя
фокальная
-3
__
плоскость
3
Аперmурная
плоскость
Lj
L
~----:~----rl~-4-+---4t
_____
Плосность
IРо
О
.
I
Р,
i
Р2
'
изображени.
~
Фиг.
64.
Ход
лучей
при
Ф
.
~
периодом
о,
рас~g:о~z::~:ив
И~~~~~~~~И~б~~~~~НОЙ
решетки
ТОЧКИ
pl
р'"
И
.
ро рО
О'
1
т.
Д.-
ТОЧКИ
гауссова
ИЗОбражения,
соответствующие
точкам
объекта
О'
1
и
т.
д.
Нак
показано
на
схеме
точки
и
б
нулевого
и
первого
порядков
с
l = ± ;
и
t3
::--..
л
ЗО
ражения
создаются
маКсимумами
плоскости
равны
fP
fn
ix:'-"';:;
/iic
Амплитуды
в
задней
Фокальной
о,
'<'-1
е
и
fPte
1,
где
"1
-
фаза.
~ббе
1).
Вначале
предположим,
что
объект
освещается
плоскопарал
б
льным
пучком;
вопрос
О
Влиянии
конечной
апертуры
источника
удет
рассмотрен
в
гл.
10.
Суть
принципа
Аббе
в
.
дении,
что
в
задней
фокальной
плоскости
линзы
фт~:~тверж-
~Ифракционное
распределение
амплитуд
рассеянного
и~лу~:=~~я
аждая
точка
заднеи
фокальной
ПЛОскости
рассматривается
Ka~
1)
Изложение
этой
теории
Можно
u
б
[
рия
формирования
изображения
ана
внаити
в
ра
отах
20,
21].
Общая
тео
опубликовали
ряд
статей
[22]
д
книге
[23]
(стр.
420).
Наули
и
Муди
ской
аналогии
физической
оп;и~~~я(~нных
ВОП[Рз
0
7
С1
Оз
б
8
эJлектронно.
-ОПтиче-
.
также
,*
.-
ПРUJ~.
перев.)
5.
ДИФРАНЦИОННЫй
ПРИНЦИП
АББЕ
163
источник
волн
Гюйгенса,
распространяющихся
к
сопряженной
плоскости
изображения.
Распределение
амплитуды
в
плоскости
изображения
определяется
суммой
всех
волн
Гюйгенса,
источни
ком
которых
является
задняя
фокальная
плоскость
линзы,
с
уче
том
соответствующих
фаз.
На
фиг.
64
показано
формирование
дифракционной
картины
(дифракция
Фраунгофера)
в
задней
фокальной
плоскости
линзы.
Здесь
точки
О,
1,
-1,
2,
-2
и
т.
д.
соответствуют
максимумам
амплитуды.
Если
плоскости
объекта
и
изображения
являются
сопряженными,
оптические
длины
путей
P~OP~,
Pg1P~,
P~1P~
и
т.
д.
равны
между
собой
(таутохронизм).
Лучи,
соответствующие
этим
направлениям,
приходят
к
плоскости
изображения
в
фазе.
.
Но
из-за
наличия
апертурной
диафрагмы
в
задней
фокальной
плоскости
гауссово
изображение
каждой
точки
превращается
в
круг
Эйри,
создаваемый
фоном.
Этим
явлением
и
сферической
аберрацией
(см.
приложение
11
и
гл.
10)
определяется
разрешаю
щая
способность
линзы.
Принцип
Аббе
легче
всего
уяснить
себе
на
простом
примере,
когда
объектом
является
одномерная
решетка
1).
Электроны,
рассеянные
решеткой,
дают
дифракционные
максимумы
в
поло
жениях
О,
1,
-1
и
т.
д.
Если
изменение
фазы
для
l-ro
спектра
обозначить
Х
(l),
то
максимумы
l-ro
порядка
в
задней
фокальной
ПЛОСI\ОСТИ
могут
быть
охарактеРИЗ0ваны
:комплексными
амплиту
дами
fPo,
fPzeiX(l)
, fPze-i"(l).
Положения
О,
1,
-1,
.
..
будем
счи
тать
ТОЧI\ами,
для
:которых
угол
рассеяния
~l
= 1
(л/а)
2),
где а
-
постоянная
решет:ки.
:Н:оординаты
в
плос:кости
объекта
х
О
,
пло
скости
лин.зы
х,
задней
фокальной
плоскости
~
и
плос:кости
изоб
ражения
x~
отсчитываются
от
оптичес:кой
оси.
Ма:ксимумы
в
зад
ней
фо:кальной
плоскости
расположены
в
точках,
для
которых
(5.20)
Амплитуда
'ф
(x
i
)
в
произвольной
точ:ке
плос:кости
изображения
представляет
собой
сумму
амплитуд
всех
волн,
пришедших
с
задней
фо:кальной
плоскости:
[=+rn
'Ф
(x
i
)
=
cpoe
i
(Кго)
+
~
CPleiX
(l)ei
(Кг)
=
[=-m
l=+m
= e
i
(Кго)
(fPo
+
~
fPleX
(l)
/K6r
l
),
(5.21а)
l=-т
1)
Общий
случай
рассмотрен
в
[23] .
2)
См.
соотношения
(8.10г)
и
(8.10д).
11*
164
гл.
5.
ВОЛНОВАЯ
МЕХАНИКА
И
ФОРМИРОВАНИЕ
ИЗОБРАЖЕНИЯ
где
1
=F
О.
Величина
бгz-
геометрическая
разность
хода
между
rl
и
ro·
Из
схемы
фиг.
64
на
основании
соотношения
(5.20)
получим
l)rz =
~zxi
= l
~
~
(5.21б)
L
i
а
JI;f
для
малых
углов.
Здесь
М
-
увеличение.
Используя
полученное
,выражение
для
разности
хода,
перепишем
(5.21а)
1)
в
виде
. .
('
~
,
хЧ)
'Ф
(x
t
)
= e
t
(Кго)
.
СРО
+ 2
L.J
cpze
ix
(l)
СОБ
2л
_ .
,
аМ
l=1
(5.21в)
Распределение
интенсивности
в
ПЛОСКОсти
изображения
удобно
'Проанализировать,
рассматривая
только
один
спектральный
поря
'док
1 = 1,
кроме
нулевого.
Интенсивность
в
тОчке
x
i
[см.
(5.21в)
]
равна
" . x
i
x
i
I
'Ф
(x
t
)
J2
= I
fPo)2
+ 4 !
ер!
12
COS
2
2л
аМ
+
4fPOCPl
СОБ
Х
СОБ
2л
аМ'
(5.22а)
Из
этого
простого
примера
легко
могут
быть
получены
некоторые
интересующие'нас
данные.
Изменение
фазы
при
рассеянии
состав
'ляет
примерно
л
/2
[24],
так что
на
сфокусированном
изображении
интенсивность
будет
изменяться
периодически
с
периодом
1/2
аМ,
соответствующим
периоду
2~e в
задней
фокальной
плоскости.
При
Х
=
+л
к
периоду
решетки
объекта
на
изображении
добав
ляется
еще
Половина
периода.
Rонечно,
данное
изображение
весьма
примитивно,
ибо
оно
получено
с
учетом
лить
одного
члена
разложения
Фурье.
Большая
часть
информации
потеряна
вслед
ствие
того,
что
апертурная
диафрагма
устранила
спектры
высоких
порядков
и
возникл.О
изображение
за
счет
дuфра1iЦUOl-tl-lого
1iOl-lm-
раста.
Если
устра'нить
нулевой
порядок,
так
Что
СРО
=
О,
Тl1,
как
видно
из
(5.22а),
будет
получено
изображение,
период
которого
равен
половине
периода
объекта.
Если
же
в
апертуру
проходит
тОлько
один
максимум,
распределение
интенсивности
на
изобра
жении
не
будет
периодическим.
И,
наконец,
если
в
апертуру
про
ходят
два
спектра
1 =
О
и
l = + 1
,то
на
изображении
будет
зафин
сирована
решетка
с
цравильным
периодом.
В
данном
случае
интен
СИвность
будет
равна
I
'Ф
(x
i
)
/2
= I
Ч>о
)2
+ r
Ч>1
[2
+
2СРОСРl
COS
(2л
:~
+
Хl)'
(5.226)
Влияние
фазы
Х
1
проявляется
в
смещении
изображения,
так
что
максимумы
наблюдаются
не
в
точках,
соответствующих
гаус
совым
изображениям,
хотя
период
изображения
равен
периоду
объекта.
Смещение
изображения
было
ИСПОльзовано
для измерения
внутреннего
потенциала
[§ 4,
(5.19г)].
Фаза
Х
сказывается
на
1)
В
выражении
(5.21в)
учитываются
оба
знака
1
(плюс
и
минус).
§ 5.
ДИФРАКЦИОННЫЙ
ПРИНЦИП
АБВЕ
165
:контрасте
толь:ко
тогда,
когда
симметричные
спе:ктры
1
и
-l
про-
ходят
в
апертуру.
б
Фазовый
1iOHmpaCm
на
изображении
1)
может
ыть
определен
:как
максимальное
изменение
интенсивности
относительно
фона.
Из
(5.22а)
имеем
б
1
'\J
12
=
81.-91..1
cos
Х.
1
fPo
12
fPo
(5.22в)
Если
Х
~
л
/2,
то
контраст
на
изображении
исходной
решет:ки
n
и
точной
фокусировке
примерно
равен
нулю.
Эт~
происходи:
п~тому,
чтО
сдвиг
фазы,
обусловленный
сферическои
аберрациеи
[приложение
11,
(II.3B)],
мало
влияет
на
контраст
при
ускоряIp
щем
напряжении
100
кв
до
тех
пор,
пока
расстояние
а
<
10
А.
В
этих
условиях
более
значительную
роль
играет
член,
обусловлен
ный
дефокусировкой
[приложение
11,
(I1.3r)],
и
Х
б~дет
равно
л
2
'
-
~
+
~
Лf
А
2
"""
~
+
~
д!
--
для
малых
углов.
(5.22г)
Х
- 2
л
Ll
t-'
;-.; 2
л
а
2
Сдвиг
фазы
за
счет
дефокусировки,
при
котором
контраст
на
изоб
ражении,
соответствующем
периоду
аМ,
будет
максимальным,
определяется
условием
л
1
fJ.t
(:l2 =
целое
число
-""2
.
(5.23а)
При
а
= 10}..
и
л
= 0,037
А
получим,
что
дефокусировка
JJ2a
Д!
~
=t=
1350
А
приводит
н
фазе
Х
=
о
или
л
в
выражении
(5.22а)
)
и
дает
максимальный
контраст
согласно
(5.22в).
Таким
обраЗ0М,
дефокусировкой
можно
усил~вать
контраст,
причем
изменения
интенсивности
будут
связаны
с
изменением
фазы.
Это
так
1Iазы
ваемый
фазовый
11,О1lmрасm
за
счет
дефокусировки.
Величина
дефо
I{УСИРОВКИ,
необходимая
для
получения
первого
максимума
контраста
на
изображении,
соответствующем
периоду
а,
из
(5.22г)
при
Х
=
о
равна
3)
(5.23б)
Пример
фазового
контраста,
обусловленного
дефокусировкой,
показан
на
фиг.
65.
Такой
способ
усиления
контраста
удовлетво:
рителен
до
тех
пор,
пока
размытие,
вызванное
дефокусировкои
деталей
фона,
не
уничтожит
изображения
решетки.
1)
Амплитудным
:контрастом,
обусловленным
рассеянием
вне
апертуры
объекта
(см.
гл.
1),
:мы
здесь
пренебрегаем.
2)
При
изменении
Х
от
О
до
л
максимумы
интенсивности
на
изображении
1800
т
е
максимумы
становятся
минимумами.
Если
фоку.с
-
сдвигаются
на
,..
с
ное
расстояние
линзы
уменьшается,
т.
е.
Д!
отрицательно,
то
этому
оот-
ветствует
отставание
по
фазе.
~
J
3)
«Коэффициент
дефокусировкИ>),
используемыи
в
[27
,~CTЬ
вел~чина
дефокусировки
между
эквивалентными
положени:.
:ми,
при
Х
-
о
и
Х
-.
2л
..
,
скажем
ДЬ.
Тогда
(лдЫл)
~2
=
2л
и
дЬ
= 2
(а
/л).
166
гл.
5.
ВОЛНОВАЯ
МЕХАНИКА
И
ФОРМИРОВАНИЕ
ИЗОБРАЖЕНИЯ
Фазовый
контраст
наблюдается
и
в
случае
обычных
объектов,
а
не
только
решеток
[23].
Когда
в
образце
имеется
много
разных
периодически
повторяющихся
расстояний,
дефокусировкой
выде
ляются
те
их
них,
для
которых
точнее
всего
удовлетворяется
выражение
(5.23б).
С
точки
зрения
разрешения
деталей
на
элект
ронном
изображении
необходимая
для
фазового
контраста
дефо
кусировка
служит
помехой.
В
световой
микроскопии
фазовый
контраст
создается
не
дефокусировкой,
а
введением
четверть
волновой
пластинки,
которую
помещают
на
пути
нулевого
пучка
в
задней
фокальной
плОскости
[23, 25].
Это
особенно
выгодно
в
том
случае,
когда
объект
рассеивает
очень
слабо,
так
что
еро
~
~
ер1-
При
этом
интенсивность,
связанная
с
I
ер11
2,
очень
мала
по
сравнению
с
epoepi.
В
кинематической
теории
электронной
диф
ракции
еро
~
1
~
ер1,
тогда
как
в
динамической
теории
еро
и
ер!
могут иметь
сравнимую
величину
(см.
гл.
8, § 2).
Фиг.
65.
Влияние
фокусировки
на
фазовый
контраст
на
изображении
графитовой
нити,
в
которой
введением
тяжелых
атомов
получен
период,
равный
примерно
40
А.
а
-
фОКУСИРОВRа,
дающая
минимальный
нонтраст;
б
-
фОRУСИРОВRа
в
соответствии
с
выражением
(5.236),
дающая
маRсимальный
нонтраст.
§ 5.
ДИФРАНЦИОННЫЙ
ПРИНЦИП
АББЕ
167
ф
и
г.
66.
а
-
обычная
электронная
микрофотография
коллодиевой
пленни;
б
-
фазово-нонтрастная
микрофотография
той
же
самой
пленки.
Получена
при
использовании угольной
фазовой
плаСТИНRИ
[25,
261.
В
§ 3
мы
видели,
что
наличие
внутреннего
потенциала
V
o
тонкой
пленки
приводит
к
увеличению
фазы
<<Вышедшего»
пучка,
равно
му
(лVо/лV
а
)
t.
Изменение
фазы
можно
контролировать
в
такой
мере,
что
этим
можно
пользоваться
практически
1)
.
Так,
для
элек
тронов
с
энергией
105
эв
при
V
o
~
10
эв
изменение
фазы
равно
nt/406.
Подобный
сдвиг
фазы
даст
углеродная
пленка
толщи-
ной
"'"
200
А.
НО
установить
такую
пленку
в
задней
фокаль
ной
плоскости
объектива
-
это
целая
проблема,
так
как
ее
необ
ходимо
поместить
либо
только
на
пути
нулевого
спектра,
не
зат
рагивая
спектров
высоких
порядков,
либо
наоборот.
Rаная
И
Ко
вокацу
[26]
добились
некоторого
эффекта,
помещая
углеродную
пленку
с
отверстием
в
ней
над
апертурной
диафрагмой.
Централь
ный
пучок
проходил
в
основном
сквозь
отверстие,
а
некоторые
спектры
-
сквозь
углеродную
пленку.
Такое
устройство
не
очень
удовлетворительно,
поскольку
загрязнения
быстро
изме
няют
толщину
«фазовой
пластинкИ>).
Фаже,
Фаго
и
Ферт
[27, 28]
предложили
более
совершенную
методику
увеличения
фазового
контраста.
Вместо
того
чтобы
помещать
фазовую
пластинку
в
задней
фокальной
плоскости
объ-
1)
Оптичесная
длина
пути
для
пленни
толщиной
t
равна
(2n/'A)t
(I-t
- 1),
где
!А.
-
поназатель
преломления.
Используя
выражение
(5.11д),
получаем
оптичесную
длину
пути,
или
фазу
(лVо/'А
Уа)
t.
168
ГЛ.
5.
ВОЛНОВАЯ
МЕХАНИКА
И
ФОРМИРОВАНИЕ
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ектива,
ОНИ
поместили
ее
в
задней
фокальной
плоскости
пр
оме
жуточной
линзы,
имеющей
большее
рабочее
пространство.
Была
использована
напыленная
углеродная
пленка
с
тОнкой
щелью
дляоаксиального
пучка.
Пленка
поддерживалась
при
температуре
20.0
С,
что
предохраняло
ее
от
наслаивания
загрязнений.
Все
это
вместе
с
малой
угловой
апертурой
осветительной
системы
дало
сильное
увеличение
контраста на
изображении
коллодиевой
пленки,
показанной
на
фиг.
66.
Сравнение
фотографий
говорит
само
за
себя.
Такая
методика
неоценима
при
исследовании
биоло
гическ~их
объектов
и
полимерных
образцов,
дающих
низкий
ампли
тудныи
контраст.
Теория
Аббе
очень
хорошо
описывает
формирование
изобра
жени.JI
и
в
световом,
и
в
электронном
микроеJ\опе.
Во
втором
слу
чае
ода,
возможно,
даже
более
важна,
поскольку
дифракционная
картина
в
задней
фокальной
плоскости
имеет
самостоятельную
ценность
в
микродифракции.
Все
это
дает
основание
для
того,
чтобы
рассматривать
электронную
микроскопию
в
неразрывном
един
стве
с
дифракцией
электронов.
§
6.
Векторный
и:
мнимый
потенциалы
Уравнение
Шредингера
применимо
к
движению
электронов
в
оптичес~их
системах
в
тех
~лучаях,
когда
V
(Х,
у,
z)
представ
ляет
собои
электростатическии
потенциал.
Движение
же
элеI{ТРО
нов
в
магнитных
полях
линз
описывается
на
основе
классической
ме~аники
с
использованием
силы
Лоренца
(1/с)
(v
х
Н).
Сила~
деиствующая
на
электрон
со
стороны
электростатического
поля
F,
равна
еР,
прич:ем
напряженность
поля
F
связана
с
электроста
тическим
потенциалом
V,
который
входит
в
уравнение
Пуассона.
В
случае
магнитного
поля
нет
скалярного
потенциала,
соответст
вующего
электростатическому
потенциалу.
Из
математических
соображений
оказалось
целесообразным
ввести
векторный
потен
ци~л
А,
RОТОРЫЙ
определяется
соотношением
Н
=
rot
А.
Вектор
ныи
потенциал
~еиствительно
является
вектором,
тогда
как
электростатическии
потенциал
-
скаляр.
Тем
не
менее
А
удов
летворяет
уравнению
Пуассона
и
волновому
уравнению
для
воз
мущения,
распространяющегося
со
скоростью,
равной
СRОРОСТИ
света.
Хотя
векторный
потенциал
и
облегчает
расчеты,
он не
имел
реально;о
физического
смысла,
поскольку
с
точки
зрения
клас
сичеСRОИ
физики
его
невозможно
обнаружить.
!-харанов
и
Бом
[291
УRазали,
что
в
квантовой
теории
вектор
ныи
потенциал
должен
обнаруживаться
вполне
реально,
изменяя
фазы
электронов.
Этот
эффект
обусловлен
не
действием
каRОЙ
либо
силы,
а
именно
наличием
векторного
потенциала.
Названные
авторы
предположили,
что
фазовый
сдвиг
можно
будет
обнаружить.
§ 6.
ВЕКТОРНЫЙ
И
МНИМЫЙ
ПОТЕНЦИАЛЫ
169
в
электроннОМ
интерференционном
микроскопе,
и
преДСI\.азали
его
величину.
Сдвиг
фазы
дается
выражением
2л~S
_
2ле
~"
А
d _
2ле
Ф
---
h
Х-
h '
h.
с
с
(5.24)
где
интеграл
берется
по
замкнутому
контуру,
охватывающему
маг
нитный
поток
Ф.
Если
расщепленные
пучки
винтерференционном
микроскопе
могут
проходить
по
обе
стороны
ограниченного
потока
Ф
и на
них
не
действуют
никакие
внешние
поля,
то
будет
иметь
место
сдвиг
фазы
(5.24).
Чамберс
[30]
выполиил
такой
ЭRсперимент,
используя
ните-
видный
Rристалл
железа
диаметром
около
1
.м~.
Ему
уда
лось
наблюдать
сдвиг
фазы,
RОТОРЫЙ
можно
было
согласовать
с
выражением
(5.24).
Но
поскольку
нитевидНЫЙ
кристалл
имел
коническую
форму,
в
этом
эксперименте
возможно
было
рассеяние
поля,
ноторое
могло
дать
таRОЙ
же
эффект.
Однано
Фаулер
и
др.
[31]
повторили
ЭI{сперимент
Чамберса
и
подтвердили
правиль
ность
его
результатов.
Бёрш
и
др.
[32]
также
наблюдали
сдвиг
фазы,
обусловленный
магнитНЫМ
векторным
потенциалом.
Недавно
Байх
(33]
сообщил
о
совершенно
убедительном
ЭRспе
рименте.
Он
использовал
интерференционный
МИКРОСRОП,
в
ното
ром
можно
было
довольно
сильно
разделить
пучки
(60
.м~)
без
превышения
поперечной
когерентной
длины.
Магнитный
потоК
создавался
соленоидом
с
диаметром
менее
2.0
.м~!
Изменяя
ток
в
соленоиде,
можно
было
плавно
изменять
векторный
потенциал.
Наблюдаемое
плавное
изменение
фазы
совпадало
с
преДСRазанным
формулой
(5.24).
Из
этих
экспериментов
можно
сделать
заключение
.
о
том,
что
электроны
«чувствуют»
векторный
потенциал
и
что
результирующие
изменения
фазы
должны
учитываться
в
дифрак
ционном
интеграле
Кирхгоффа,
ибо
они
столь
же
реальны,
иак
и
разности
хода.
В
гл.
2
уже
упоминал
ось
о
том,
что
в
случае
рассеяния
сплош-
ным
объеRТОМ
простое
сложение
сечений
рассеяния
дает
неудов
летворительные
результаты.
При
анализе
неупругого
рассеяния
(гл.
2, § 2)
не
учитывалисъ
потери
за
счет
коллективного
возбуж
дения,
которые
возникают
как
результат
того,
что
атомы
сконден-
сированы
в
твердое
тело.
К
числу
таких
потерь
относятся
потери
на
плазменное
воз-
буждение,
которые
являются
основными
потерями
коллективного
возбуждения
в
металлах
и
ПОЛУПРОВОДНИRах.
Сечение
потерь
кол
лективногО
возбуждения
можно
вычислить
через
комплексную
диэ
леRтрическую
проницаемость
[34]
или
путем
введения
мнимого
потенциала
в
уравнение
Шредингера,
как
это
было
показано
Слэ
тером
[35].
Метод
Слэтера
нам
более
подходит,
ибо
он
довольно
нагляден
и
допускает
интересную
физическую
интерпретацию.
170
гл.
5.
ВОЛНОВАЯ
МЕХАНИКА
И
ФОРМИРОВАНИЕ
ИЗОБРАЖЕНИЯ
Добавление
мнимой
компоненты
энергии
в
уравнение
Шредин
гера
непосредственно
приводит
к
экспоненциальному
затуханию
или
увеличению
(в
зависимости
от
знака)
плоской
волновой
функ
ции.
Поскольку
энергия
падающего
электрона
Е
-
действитель
ная
величина,
для
того
чтобы
она
была
действительной
и
в
среде,
мы
должны
приписывать
мнимые
значения
потенциалу,
хотя
конечный
результат
будет
тем
же
самым.
Если
в
уравнение
Шре
дингера
ввести
средний
внутренний
мнимый
потенциал
iP
o
[3611):
8л
2
m
V
2
'1'
+
~
[Е
+
е
(V
o
+
iP
o
)]
'1'
=
О,
(5.25а)
то
решением
будет
плоская
волна
вида
ер
=-
Ce
i
(K+ia)
r = Ce
i
(Kr)e-(ar)
,
(5.25б)
где
а
- ee1imop
затуханuя.
Положительный
знак
iP
o
означает,
'Что
электроны
переходят
из
энергетического
состояния
Е
в
неко
торое
другое
состояние
или
состояния.
Но
удаление
электронов
из
оптической
системы
апертурной
диафрагмой
не
учитывается
мнимым
потенциалом
2).
Переход
в
другое
состояние
должен
происходить
в
области
объекта,
где
применимо
уравнение
(5.25а).
Если
решение
(5.25б)
подставить
в
(5.25а)
и
приравнять
нулю
действительную
и
мнимую
части,
то
получим
h
2
Е
+eV
o
=
8л
2
m
(IK
1
2
-
(2
),
(
К)
=
8л
2
m
Р
О
а
h
2
2.
(5.25в)
Если,
далее,
предположить,
что
на
входную
поверхность
-среды
z =
О
падает
плоская
волна,
то
в
силу
граничных
условий
(5.11а)
тангенциальная
компонента
вектора
затухания
а
должна
равняться
нулю.
Поэтому
вектор
а
должен
быть
нормальным
к
поверхности
и
направленным
внутрь,
как
показано
на
фиг.
67.
С
первого
взгляда
может
показаться,
что
это
приводит
К
анизо
тропности
линейного
коэффициента
поглощения.
Но,
согласно
(5.25в),
постоянным
является
(аК)
(проекция
а
на
К),
так
что
величина
а
на
входной
поверхности
дается
выражением
8л
2
m
Р()
!
а
! =
/1,2
2 J
к
I
cos
у
(5.25г)
и
для
произвольного
направления
r
I
8л2mРо
(ar)
=
а
11
r \ cos
у
=
h221
к
11 r
].
(5.25д)
1)
Потенциал
Р
О
-
первый
член
в
фурье-разложении
мнимого
потен
циала
в
нристаJlЛе.
Если
учесть
и
другие
члены
разложения,
то
вектор
зату-
хания
а
не
будет
изотропным.
,
2)
См.
приложение
VI,
где
рассматривается
случай
плазменного
воз
буждения.
,
ВЕ
КТОРНЫЙ
И
МНИМЫЙ
ПОТЕНЦИАЛЫ
§
6.
171
и.
u
коэффициент
поглощения
изотропен.
Следовательно,
линеиныИ
в
рассматриваемом
случае
является
Показатель
преломления
!l
комплексной
величиНОЙ:
_
K+ia.
I
!;:::::;;
1 +
..
/V~+Рб
.
(5.25е)
!l
--
K
v
'
!l
V v
а
Волновая
функция
в
диссипативной
среде,
данная
выраже
близкого
к
нормальному,
при
исполь-
нием
(5.25б)
для
падения,
е
З0вании
граничных
условий
может
быть
записана
в
вид
2 I K
v
\
С
ei
(K+i
a
)
г.
ер
;:::::;;
\ K
v
! + \
к
I + ia v
(5.26а)
Граничные
условия
при
z = t
дают
вышедшую
волну
')
'(К
)
лV'Vб+Р~
t
(5.26б)
(
~a
-ш~.
v
r
ехр
i .
ep'1;:::::;;C
v
1-21Kvl
е е
ЛV
а
Здесь
мы
приняли
\
К
12
~
«2.
Нужно
()тметить,
по
фазе,
обусловленное
прохождением
через
z
что
опережение
объект
-
пленку
v=o
р=о
у=
-vo
р=
-Ро
v=o
р=о
С
оотношения
для
волновых
векторов
при
учете
Фиг.
67.
Геометрические
поглощения.
Вектор
затухания
а
перпендикулярен
входной
поверхности
пленкИ;
'\'i = "r;
р
= _
Р
О
_
средниЙ
внутренний
МНИМЫЙ
потенциал.
172
гл.
5.
ВОЛНОВАЯ
МЕХАНИНА
И
ФОРМИРОВАНИЕ
ИЗОБРАЖЕНИЯ
с
внутренним
потенциалом
V
o
,
В
данном
случае
равно
__
л
VV8+P8
л
х-
---мт-
а
-
!
=т
()
f-t
J
-1)
t.
(5.27
а)
В
том
случае,
когда
потерь
энергии
нет,
соответствующая
вели
чина
равна
Х
=
(л/лv,J
Vot.
В
выражение
(5.27а)
входит
эффе:к-
тивный
потенциал
VV~
+
P~,
:который
И
измеряется
при
помощи.
интерференционного
ми:крос:копа.
Величина
Р
О
обычно
мала
п~
сравнению
с
V
o
,
та:к
что
поправ:ка
не
очень
вели:ка.
Влияние
Р
с)
на
фазу
эле:ктрона,
не
теряющего
энергию,
является
прямым
следствием
принципа
неопределенностей
:в
:квантовой
механике.
Введение
мнимой
части
внутреннего
потенциала
iP
о
приводиТ'
:к
э:кспоненциальному
затуханию
в
виде
е-(аг)
для
волновой
Фун:к
ции
и,
следовательно,
в
виде
е-(2аг)
для
интенсивности.
Из
ска
занного
В
гл.
1
следует,
что
2а
равно
полцому
эффективному
сече
нию
для
взаимодействий,
приводящих
к
потере
энергии.
На:к
изве
стно,
:к
потере
энергии
эле:ктрона
могут
приводить
нес:коль:к~
различных
процессов.
Основным
соотношением
для
процесса
типа
j
будет
(5.27б)
Мнимый
потенциал
Р
о
в
этом
случае,
согласно
выражению
(5.25в)
~
равен
. h
2
K
pJ=
__
Q.
о
8л2m
J'
(5.27в)
Таким
образом,
мнимый
потенциал
Р6
немедленно
определяется.
если
известно
сечение
взаимодействия,
приводящего
I{
потере
энергии.
Так
ка:к
hK
/2лm
-
скорость
падающего
электрона
и,
то,
если
потери
энергии
намного
меньше
Е,
выражение
(5.27в)
может
быть
представлено
в
чрезвычайно
интересной
форме
. h
hv·
Р
ь
=
4л
vQj=
4:
.
Здесь
v j =
vQ
j -
частота
стол:кновений
и
hv j -
энергия.
Вели
чина
VJl
равна
среднему
времени
между
столкновениями
дtj~
так
что
предыдущее
выражение
можно
представить
в
виде
Рtдt
j
=
:л
(5.27г)
Отсюда
следует,
что
мнимый
потенциал
равен
минимальной
неопре
деленности
энергии
электрона,
движущегося
в
среде
та:к,
что
время
между
стол:кновениями
равно
дt
j
•
В
этом
нет
ничего
неожиданного,
так
:как
если
эле:ктрон
сохраняет
состояние
движения
с
полной
энергией
Е
в
течение
интервала
времени
дt,
энергия
электрона
не
определенна
по
:крайней
мере
на
величину
дЕ.--
(h/4л)
дt.
,
§ 6.
ВЕНТОРНЫЙ
И
МНИМЫЙ
ПОТЕНЦИАЛЫ
173
Для
спектральных
линий
неопределенность
энергии
проявляется
как
уширение
дЕ
для
короткоживущих
состояний.
Та:ким
обра
зом,
в
случае
электронов,
испытывающих
стол:кновения
в
среде,
мнимый
потенциал
есть
ширина
линии
перехода.
Из
(5.27б)
легко
получается
соотношение,
сопряженное
выражению
(5.27г).
Так
lI\aK
средняя
длина
свободного пробега
между
столкновениями
равна
A
j
=:
Qj\
то
1
aj Aj
=2
.
Если
в
(5.27д)
подставить
aj
=
(2л/h)ДРj,
то
получим
h
дрjАj=t;Л
.
(5.27д)
(5.27
е)
Таким
образом,
вектор
затухания
равен
минимальной
неопреде
ленвости
импульса,
соответствующей
неопределенности
положения
электрона
A
j
•
Соотношение
(5.25в),
полученное
из
уравнения
Шре
дингера,
представляет
собой
выражение
принципа
неопределен:
ности
для
электрона,
испытывающего
столкновения
с
потереи
энеРГИИ4
Член
с
а
2
в
выражении
для
энергии
(5.25в)
характери-
2ует
неопределенность
Rинетической
энергии.
В
случае
падающих
электронов
с
кинетичеСRОЙ
энергией
свыше
104
эв
величина
Р
о
имеет
порядок
неСКОЛЬRИХ
десятых
элеRТРОН
вольт
[36 J
для
плазменных
возбуждений
и
для
возбуждения
и
иони
зации
внутренних
элеRТРОНОВ.
Ве:ктор
затухания
а
вслвдствие
этого
равен
примерно
10-4
А
-1.
Величина
da/dE
мала,
так
что
мнимый
потенциал
не
ОRазывает
существенного
влияния
на
форму
падающего
волнового
пакета.
По
мере
проникновения
в
среду
амплитуда
пакета
экспоненциально
уменьшается
и
образуется
'новый
волновой
пакет,
состоящий
из
эле:ктронов,
потерявших
часть
своей
энергии
в
среде.
Форма
и
про.тяженность
нового
вол
НОВОГО
па:кета
могут быть
совсем
иными
и
зависят
от
спектра
потерь
энергии.
Если
спектр
широкий,
пакет
может
быстро
размазаться
и
иметь
корот:кую
когерентную
длину.
Первостепенное
значение
имеют
начальные
фазы
электронов,
потерявших
часть
своей
энер
тии
в
среде,
та:к
как
если
они
совершенно
различны,
элеRТРОНЬ!
будут
существенно
не:когерентными
друг
с
другом
и
с
падающеи
волной.
Способность
среды
отнимать
энергию
у
падающего
пучка
часто
характеризуют
«тормозящей
способностью»,
измеряемой
в
элект
ронвольтах
на
единицу
пути.
"Установлено,
что
в
случае
электрона
со
скоростью
v
тормозящая
способность
следующим
образом
выра
жается
через
мнимый
потенциал:
d.E
I =
4л
pt
БЕ
'.
(5.28)
dz
j h v J
174
ГЛ.
5.
ВОЛНОВАЯ
МЕХАНИКА
И
ФОРМИРОВАНИЕ
ИЗОБРАЖЕНИЯ
Здесь
dE
/dz I j -
тормозящая
способность
(см.
фиг.
75),
а
БЕ
j
-
энергия,
теряемая
в
одном
столкновении.
Различные
виды
процессов,
при
которых
электроны
теряют
энергию,
рассматриваются
в
гл.
6
на
основе
результатов,
получен
ных
в
данном
параграфе.
Здесь
же
мы
скажем
лишь,
что
при
столк
новениях
В
твердом
теле
падающий
электрон,
производящий
воз
буждение
или
ионизацию,
не
может
быть
локализован
в
пределах
одного
межа
томного
расстояния.
Если
падающий
электрон
теряет
энергию
более
1
эв,
то
это
можно
экспериментально
обнаружить,
и
в
таком
случае
с
полным
основанием
можно
пользоваться
мнимым
потенциалом
в
уравнении
Шредингера.
Для
потерь
же,
меньших
примерно
0,5
эв,
картина
не
ясна,
так
как
величина
потери
энергии
в
этом
случае
сравнима
с
тепловым
разбросом
для
65 %
электронов
падающего
пучка.
Поскольку
в
данном
случае
потери
невозможно
точно
определить
из-за
теплового
разброса,
такие
электроны
рассматриваются
как
упруго-рассеянные
и
мнимый
потенциал
в
уравнение
Шредингера
не
вводится.
ЛИТЕРАТУрА
1.
Stone
J.
N.,
Radiation
and
Optics, New York, 1963, ch. 11.
2.
Fuj
iwara
К.,
Journ.
Phys.
SOC.
Japan,
16,2226
(1961).
3.
L
е
i g h t
о
n R.
В.,
Princip1es
о!
Modern
Physics,
New York, 1959.
Р..
98.
4. R
'о
j
а
n s k
у
У.,
Introducing
Quantum
Mechanics, Eng1ewood Cliffs
(New
Jersey),
1946,
р.
25.
5.
von
L
а
u
е
М.,
Phys.
Rev.,
37, 53 (1931).
6.
С
о
w 1
е
у
J.
М.,
М
о
о
d i
е
А.
F.,
Acta
Cryst.,
10, 609 (1957).
7.
Marton
L.,
Phys.
Rev.,
85,1057
(1952).
8.
Marton
L.,
Simpson
J.A.,Suddeth
J.
А.,
Rev. Sci.
Instr.,
25, 1099 (1954).
9.
М
о
11
е
n s t
е
d t
G.,
D
ii
с
k
е
r
Н.,
Naturwiss.,
42,
41
(1955).
10. F
е
r t
С.,
F
а
g
е
t
J.,
IV.
Int.
Kongr. E1ektronenmikrQskopie,
Bd.
1,
Berlin,
1958, S. 234.
11.
Fert
С.,
Proc.
Int.
Conf. E1ectron Microscopy,
London,
1954,
р.
161.
12.
Mo11enstedt
G.,
Lenz
F.,
Journ.
PllYS.
SOC.
Japan,
17,
Suppl.
В-П,
183 (1962).
13.
В
u h 1
R.,
ZS.
PllYS., 155, 395 (1959).
14.
К
е
11
е
r
М.,
ZS.
Phys.,
164, 274 (1961).
15. F
е
r t
С.,
F
а
g
е
t
J.,
F
а
g
о
t
М.,
F
е
r r
е
J.,
J
ourn.
de Microscopie,
1, 1 (1962).
16. G
а
Ь
о
r
D.,
Proc. Roy. Soc.,
А197,
454 (1949).
17.
Н
а
i n
е
М.
Е.,
М u 1 v
е
у
Т.,
Journ.
Opt.
SOC.
Amer.,
42, 763 (1952).
18.
В
r
а
g g W.
L.,
The
Crystalline
State,
vo1.
1, I"ondon, 1949,
р.
229.
19.
Z
е
r n i k
е
F.,
Physica,
9, 974 (1942).
20.
Р
о
r t
е
r
А.
В.,
Phil.
Mag.,
11,154
(1906).
21.
М
а
r t i n L.
С.,
Proc.
Phys.
Soc., 43, 186 (1931).
22.
С
о
w 1
е
у
J.
М.,
М
о о
d i
е
А.
F.,
Proc.
PllYS.
Soc.,
В70,
486 (1957);
В70,
497 (1957);
В70,
505 (1957).
,
ЛИТЕРАТУРА
175
23.
В
о
r n
М.,
W
о
1 f
Е.,
Princip1es
о!
Physica1 Optics, New
York,
1959,
р.425.
24.
Haine
М.
Е.,
Coss1ett
У.
Е.,
Tlle E1ectron Microscope,
The
Present
State
о!
the
Art,
New
York,
1961,
р.
77.
25.
Bennett
А.
Н.,
Jupnik
А.,
Osterberg
Н.,
Richards
О.
W.,
Phase
Microscopy, New
York,
1951.
26.
К
а
n
а
у
а
К.,
К
а
w
о
k
а
t s u
Н.,
IV.
Int.
Kongr. E1ektronenmikro-
skopie, Bd.
1,
Berlin,
1958,
S.
3388.
27.
Faget
J.,Fagot
M.,Fert
C.,Proc.
European
Reg.Conf.E1ectron
Microscopy, vo1.
1,
Delft,
1960,
р.
18.
28.
Faget
J.,
Fagot
М.,
Ferre
J.,
Fert
С.,
Fifth
Int.
Congr.
E1ectron Microscopy,
vo1.
1,
А-7,
New
York,
1962.
29.
А
11
а
r
а
n
о
v
У.,
В
о
h m
D.,
Phys.
Rev.,
115,485
(1959).
30.
С
h
а
m
Ь
е
r s R.
G.,
Phys.
Rev.
Letters,
5, 3 (1960).
31.
Fow1er
Н.А.,
Marton
L.,
S
impsonJ.A.,Suddeth
J.A.
t
Journ.
Арр1.
Phys.,
32, 1153 (1961).
32.
В
о
r s
с
h
Н.,
Н
а
m i s
с
h
Н.,
G r
о
h m
а
n n
К.,
W
о
h
11
е
Ь
е
n
D.,
Zs.
Phys.,
165,79
(1961).
33.
В
а
у
h
W.,
ZS.
РЬУБ.,
169,492
(1962).
34.
G 1 i
с
k
А.
J.,
Fifth
Int.
Congr. E1ectron Microscopy,
vo1.
1,
АА-8,
New
York,
1962.
35.
S 1
а
t
е
r
J.
С.,
Phys.
Rev.,
51, 840 (1937).
36.
Н
е
i d
е
n r
е
i
с
h R.
D.,
Journ.
Appl.
Phys.,
33, 2321 (1962).
37*.Д
ж
е
й
м
с
А.,
Оптические
принципы
дифракции
рентгеновских
лучей,
М.,
1950,
СТр.
355.
З8*.Л
а
н
Д
с
б
е
р
г Г.
С.,
Оптика,
М.
1947,
стр.
198.
ГЛАВА
6
КО.JI.JIективное
возбуждение
и
знер~етичеСRие
потери
в
твердых
Te.;'Iax
В
гл.
2
при
обсуждении
вопросов
рассеяния
электронов
отдель
ными
а
томами
мы
сослались
на
настоящую
главу,
когда
говорили
о
том,
действительно
ли,
как
предполагается,
полное
сечение
рассеяния
в
твердом
теле
равно
просто
Na,
где
N -
число
атомов
1
3 . ,
В
СМ,
а
а
-
полное
сечение,
приходящееся
на
один
атом.
В
гл.
1
было
ПOIшзано,
что
при
упругом
рассеянии
в
тве'рдом
теле
интер
ференция
рассеянных
волн
приводит
К
образованию дифракцирн
ной
картины
в
задней
фокальной
плоскости
объективной
линзы~
.это
l{оллективное
упругое
рассеяние,
дифференциальное
сече
ние
I{OTOPOfO
сильно
отличается
от
величины
Nf2
(оно
будет
под
робно
рассмотрено
в
следующих
главах).
:Кроме
того,
конденса
ция
атомов
при
образовании
твердого
тела
приводит
к
появлению
~ечений
неупругого
рассеяния,
отсутствующих
в
случае
рассеяния
на
изолированных
атомах.
Рассеяние
за
счет
неупругих
коллек
тивных
процессов
(коллективного
возбуждения)
обусловлено
наличием
в
твердом
теле
таких
состояний
движущихся
частиц
тела,
которых
нет
в
случае
изолированных
атомов.
Это
состояния,
,соответствующие
колебаниям
атомов
в
узлах
решетки
(фоuоuuые
состояния)
и
колебаниям
валентных
электронов
(nлазмеuuые
состоя
ния).
Энергетические
потери
электронов
в
твердом
теле,
обуслов
ленные
возбуждением
плазменных
колебаний,
на
порядок
и
более
превышают
потери
на
возбуждение
фононных
колебаний
и
сравни
мы
по
величине
с
энергетическими
потерями
на
ионизацию
элект
ронов
внутренних
атомных
орбит.
При
интерпретации
электрон
ных
изображений
и
дифракционных
картин
необходимо
иметь
в
виду,
что
плазменное
возбуждение
приводит
l{
двум
основным
'эффектам.
Первый
из
них
является
следствием
нелокального
характера
столкновения,
в
котором
участвует
весь
объект.
Точка,
в
которой
произошла
потеря
энергии
в
твердом
теле,
неопределенна,
и
поэто
му
электрон,
возбудивший
в
образце
плазменное
колебание,
не
несет
информации
о
расположении
атомов
в
объекте,
разумеется,
-если
он
в
дальнейшем
не
подвергнется
упругому
рассеянию
на
§
1.
ПЛАЗМЕННОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ
177
атомах.
В
равной
мере
это
относится
и
к
фононным
возбуждениям.
Хорошо
известно,
что
неупругие
столкновения
с
электронами
внутренних
атомных
орбит
не
являются
строго
локализованными.
Поэтому
положение
электрона,
испытывающего
столкновение,
не
может
быть
полностью
определенным.
Так
как
электроны,
испытывающие
неупругие
столкновения,
сильно
рассеиваются
в
апертуру
объектива,
распространяясь
затем
к
изображению,
то
они
дают
дuффузuый
вклад
в
интенсивность
последнего
и
умень
шают
контраст.
Это
обстоятельство
существенно
при
получении
изображения
отдельных
атомов.
Второй
эффект,
вызванный
неупругими
столкновениями,
свя
зан
с
выделением
тепловой
энергии
в
объек'те.
При
этом
в
соот
ветствии
с
теплопроводностью
и теплоемкостью
материала
будет
наблюда
ться
рост
темпера
туры
и
увеличение
теплового
движения
атомов.
В
случае
органических
объектов
важную
роль
играет
еще
один
эффект
-
химическое
превращение
и
разрушение
кристал
лического
состояния.
Об
этом
упомииалось
в
первой
части,
при
чем
в
качестве
примера
был
указан
полиэтилен.
Отчасти
данное
явление
объясняется
выбиванием
отдельных
а
томов
из
своих
поло
п~ений,
В'
которых
они
были
недостаточно
сильно
связаны.
Все
перечисленные
факторы
приводят
'к
'уменьшению
информации,
содержащейся
в
электронном
изображении
объекта.
Плазменное
возбуждение
представляет собой
основное
коллективное
возбуж
дение
в
твердом
теле,
и
поэтому
мы
рассмотрим
его
более
подробно.
§
,1.
Плазменное
возбуждение
:Когда
отдельные
атомы
конденсируются
в
твердое
тело,
про
исходит
значительная
перестройка
их
валентных
электрOl~ОВ,
что
приводит
к
появлениJO
межатомной
связи.
Валентные
электро
ны
могут
быть
либо
полностью
локализованы,
как
в
случае
гомео
полярной
связи
или
ионных
кристаллов,
либо
же
могут
перем;е
щаться
по
всему
твердому
телу
как
почти
свободн~е
электроны
в
металле.
В
любом
из
этих
случаев
при
столкновении
с
быстрым
падающим
электроном
свойства
валентных
электронов
проявляют
ся
в
виде
коллективного,
или
волнового,
возбуждения.
Столкно
вению,
вызывающему
плазменное
возбуждение,
межзонный
пере
ход
и
т.
д.,
соответствуют
определенная
угловая
частота
(J)
и
квант
возбуждения
6Е
=
(h/2л)UJ.
Поведение
падающего
электрона
после
столкновения
не
зависит
от
того,
как
именно
происходит
эта
характеристическая,
или
собственная,
потеря.
Он
теряет
энергию
6Е
и
отклоняется
на
угол
~.
.
Читателю,
не
знакомому
с
предметом,
будет
полезно
позна
комиться
с
классическим
описанием
плазменных
осцилляций
Рэймса
[1, 2].
Обзор
Пайнса
[3],
посвященный
коллективному
'12
Р.
Хейценрайх
178
ГЛ.
6.
НОЛЛЕНТИВНОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ
И
ЭНЕРГЕТИЧЕСНИЕ
ПОТЕРИ
поведению
эле:ктронов
в
твердых
телах,
содержит
ссыл:ки
на
ори
гинальную
:квантовомеханичес:кую
тра:ктов:ку
Бома
и
ПаЙнса.
Другая
обзорная
статья
ПаЙнса.
[4]
:касается
возбуждения
плазмы
быстрыми
эле:ктронами.
В
ней
рассматриваются
вопросы,
относя
щиеся
:ка:к
:к
полупроводни:кам
и
изоляторам,
та:к
И
:к
металлам.
Эффе:кт
поверхностной
деполяризации
в
тон:ких
плен:ках,
вызы
вающий
появление
субплазменных
частот,
анализируется
в
статье
Ритчи
[5].
Ка:к
:классичес:кая,
та:к
и
:квантовая
теория
приводит
:к
следующему
выражению
для
частоты
продольной
плазменной
осцилляции:
Ш
р
=(4:е
2
)Ч2,
(6.1)
где
n -
число
свободных
эле:ктронов
в
единице
объема,
а
е
и
т
-
заряд
и
масса
эле:ктрона.
Энергия
плазменного
:кванта,
или
плаз
мона,
определяется
выражением
h
БЕ
=
2л
Юр
(6.2)
и
в
случае
твердых
тел
меняется
в
интервале
от
8
до
30
эв.
Спе:ктр
энергетичес:ких
потерь
не:которых
материалов
содержит
очень
уз:кий
ма:ксимум,
например
при
энергии
14,7
эв
в
случае
алюми
ния.
Другие
материалы,
та:кие,
:ка:к
переходные
металлы,
имеют
не
отдельный
уз:кий
ма:ксимум,
а
широ:кий
спе:ктр.
Вплоть
до
недавнего
времени
э:кспериментальная
работа
по
исследованию
хара:ктеристичес:ких
потерь
была
связана
в
основ
ном
с
измерениями
потерь
методом
анализа
с:коростеЙ.
Первое
наблюдение
хара:ктеристичес:ких
потерь
было
выполнено
Руд
бергом
[6
J.
В
случае
благородных
металлов
наличие
та:ких
потерь
связывал
ось
с
одноэле:ктронными
межзонными
переходами.
Эта
интерпретация,
по-видимому,
правильна.
Раземан
[7]
обнаружил
весьма
большие
собственные
потери
для
ряда металлов
в
интервале
от
10
до
30
эв.
Мартон
и
Лидер
[8 J
обнаружили
собственные
потери
в
щелочных
металлах,
для
:которых
отсутствует
оптическое
погло
щение,
а
следовательно,
отсутствует
одноэле:ктронный
механизм.
Та:кого
рода
потери
могут быть
вызваны
:колле:ктивными
возбуж
дениями.
С
этого
времени
было
исследовано
большое
:количество
материалов
и
на:коплены
данные
по
хара:ктеристичес:ким
потерям.
Последние
данные
и
свод:ки
данных
можно
найти
в
статьях
Робин
са
и
Беста
[9
-11
J.
Большое
значение
для выяснения
происхождения
плазменных
потерь
имело
исследование
Ватанабе
потери
энергии
:ка:к
фун:кции
угла
рассеяния
[12
J.
Его
данные
согласуются
с
за:коном
дисперсии
Бома
и
Пайнса
для
плазменных
осцилляций.
Феррел
[13 J
вывел
выражения
дифференциального'
сечения
для
плазменного
возбуж
дения,
которое
было
э:кспериментально
проверено
многими
иссле-
§ 1.
ПЛАЗМЕННОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ
179
дователями
на
различных
материалах.
"Увеличение
точности
э:ксперимента
не
привело
к
расхождению.
Последнее
обстоятель
ство
позволяет
считать
установленным
тот
фа:кт,
что
плазменные
осцилляции
играют
преобладающую
роль
при
неупругом
рассеянии
электронов
твердыми
телами.
Для
нас
в
теории
плазменных
:коле
баний
наибольший
интерес
представляет
вычисление
дифферен
циального
сечения
рассеяния,
та:к
:ка:к
знание
его
дает
возможность
определить
полное
сечение
рассеяния
(см.
гл.
1).
Мы
обсудим
в:кратце
результаты
та:ких
вычислений
и
сравним
их
с
э:ксперимен
тальными
данными.
При
анализе
колле:ктивного
рассеяния
эле:к
тронов
мы
будем
пользоваться
простой
ве:кторной
диаграммой,
представленной
на
фиг.
68.
Здесь
q -
волновой
ве:ктор
плазмен
ного
возбуждения,
удов.цетворяющиЙ
ве:кторному
соотношению
К'
=K-q,
(6.3а)
причем
в
силу
за:кона
сохранения
энергии
Е
(К')
=Е
(К)-
(2~)
Шр=Е
(K)-БЕ.
Изменение
величины
волнового
ве:ктора
эле:ктрона
I
БК
I ,
вызван
ное
дис:кретной
потерей,
дается
выражением
I
БК
1 = I
~
I
6:
'
(6.3б)
следующим
из
выражения
для
:кинетической
энергии
h
2
1
К
I
2/8л
2
m.
Длина
волны
плазменной
осцилляции,
равная
Ь
=
2л/
I q I '
умень
шается
с
увеличением
угла
рассеяния
~.
Величина
Ь
представляет
собой
меру
числа
электронов,
участвующих
в
:колебании:
она
вели:ка
при
очень
малых
углах.
С
увеличением
угла
~,величина
Ь
уменьшается
до
величины,
приблизительно
равной
среднему
расстоянию
между
почти
свободными
эле:ктронами.
В
этой
точ:ке
~
=
~c
В
плазменном
:колебании
участвует
только
один
электрон,
а
при
~
>
~c
рассеяние
становится
одноэле:ктронным.
Этот
кри
тичес:кий
угол
~c
представляет
собой
границу
плазменного
погло
щения
и
дается
выражением
~c
=
~
=
0,353~
(
;0
)1/2
.
(6.3в)
Здесь
r
/ао
есть
межэле:ктронное
расстояние
в
единицах
боровс:кого
радиуса
ао,
k
o
-
волновое
число
электрона,
находящегося
на
поверхности
Ферми,
а ЧС
-
:критичес:кий
волновой
вшаор
плаз
мона.
При
q <
qc
возбуждение
носит
:коллективный
хара:ктер
тогда
:ка:к
при
q >
qc
рассеяние
является
одночастичным.
На
фиг.
68,
б,
взятой
из
работы
Феррела
[14],
приведена
зави
симость
энергетичес:ких
потерь
от
угла
или
q,
по:казывающая
уве
личение
одноэлектронного
в:клада.
На
самом
~еле
плазменная
12*
180
гл.
6.
RОЛЛЕНТИВНОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ
И
ЭНЕРГЕТИЧЕСНИЕ
ПОТЕРИ
частота
имеет
дисперсию
и
дается
выражением
U>
~
U>p
+
~
I
к
12~2
~:
+ ... ,
(6.3г)
где
(v~)
-
среднее
значение квадрата
скорости
электронов
на
поверхности
Ферми.
Величина
U>p
дается·
(6.1),
так что
а
6Е
р
€O
i~~----------
6
Фиг.
68.
а
-
Соотношения
между
волновыми
векторами
падающего
излу
чения,
рассеяlШОГО
излучения
и
коллективного
возбуждения,
следующие
из
закона
сохранения
энергии
и
Импульса.
Векторы
К,К'
и
q -
волновые
векторы
падающей
волны, волны,
рассеянной
на
угол
(З,
и
элементарного
возбуждения
(плазмона).
Вектор
qn
есть
нОрмальная
КОМпонен-
та
волнОвого
веКтора
плазмона,
а
J
БК
I =
nБЕ/'АЕ,
где
БЕ
-
величина
потери
энергии.
6 -
зависимость
потери
энергии
lJE,
отнесенной
к
энергии
Ферми
80,
от
вол-
нового вектора
плазмона
Ч,
отнесенного
к
волновому
числу
Ферми
k
o
-
Плазменная
чаСТота
имеет
.
дисперсию,
и
величина
потери
энергии
увеличивается
с
ростом
q
Вплоть
до
Своего
предельного
значения,
характеризуемого
вектором
обреза-
"
lfИЯ
qc'
§
1.
ПЛАЗМЕННОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ
181
для
удо6ства
численных
расчетов
(6.3г)
может
быть
выражено
в
виде
(6.3д)
Здесь
п-
константа
дисперсии,
определяемая
в
виде
D
3во
~
5БЕ
р
,
где
€o
-
уровень
Ферми.
Дифференциальное
сечение
рассеяния
на
угол
dQ,
вызванное
плазменным
возбуждением
в
твердом
теле,
определяется
выражением
[13]
л(
п)-~
mБЕ
(64)
,:;,~
-
2лао
[(h/2л)q]2
. .
а
Из
геометрической
схемы
фиг.
68,
а
следует
соотношение
I q
12
= 1
qn
12
+ I
К'
12
sin
2
~,
которое
для
малых
углов
может
быть
записано
как
1 q
12
~
I
qn
12
А2
JК'Т2
""
I
К'
12
+
t-'
•
(6Аб}
При
БЕ
~ Е
и
1
К
12
~
I
К'
12
нормальная
составляющая
волнового
вектора
плазмона
ЧN
~
I
БК
1.
Используя
(6.36)
в
(6.46)
и
под
ставляя
результат
в
(4.4а),
получаем
D
(Q)
""'
~
~E
(6.4в)
~
2па
о
~k+~2
где
~E
=
6Е/2Е
= qn/K.
Нак
показано
в
гл.
1,
дифференциаль
ное
сечение
рассеяния
характеризует
распределение
интенсив
ности
в
процессе
рассеяния
и,
таким
образом,
(6.4в)
описывает.
зависимость
интенсивности
от
угла
рассеяния
при
величине
потери
БЕ.
Интенсивность
1
(О)
при
~
=
О
равна
1 1
1(0)=-2
-~,
лао
"'Е
а
угол
~1/2'
при
котором
интенсивность
падает
до
1/2·1
(О),
равец
~1/2
=
~E'
(6.4г)
При
БЕ
~
15
эв
и
Е
= 5·104
эв
угол
~1/2
=
~E
~
1,5·10-4
рад.
Эта
величина
на
порядок
меньше
угловой
апертуры
объекти;ва,
так
что
основная
доля
излучения,
рассеянного
плазмой,
попадает
в
апертуру.
Что
касается
упруго
рассеянного
излучения,
то
·оно
в
большей
мере
выходит
за
пределы
апертуры
объектива.
Прямым
следствием
малого
углового разброса
эле:ктронов,
исn:wтащ:цц~
потери,
является
тот
фа:кт,
что
в
любой
точке
картины
рассеянил