Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

301

Тот факт, что число b есть предел функции f (x, y) при

M(x, y) → M

, y

), записывается так:

lim ( , ) , lim ( ) .

x x

y y

M M

f x y b f M b

→

= =

или

(25.13)

О п р е д е л е н и е. Функция z = f(x, y) называется непрерывной

в точке M

, y

), если она определена в этой точке, имеет конеч-

ный предел при M(x, y) → M

, y

) и если выполняется равенство

lim ( , ) ( , ).

x x

y y

f x y f x y

→

0 0

(25.14)

Назовем полным приращением функции разность ∆z = f(M) –

– f(M

) = f (x, y) – f(x

, y

). Если обозначить x – x

= ∆ x, y – y

= ∆ y,

то равенство (25.14) можно переписать так:

lim .

∆ →

∆ =

(25.15)

Функция, непрерывная в каждой точке данной области D, на-

зывается непрерывной в области D.

Геометрический смысл непрерывности функции двух аргу-

ментов очевиден: график непрерывной функции z = f(x, y) пред-

ставляет собой сплошную поверхность, не имеющую разрывов.

вопросы

Что такое n-мерное евклидово пространство?

Как определяется n-мерный шар в евклидовом пространстве?

Что такое открытый n-мерный шар? n-мерная сфера?

Как определяется n-мерный параллелепипед в евклидовом

пространстве?

Что такое ε-окрестность точки в n-мерном евклидовом про-

странстве?

Какие точки называются внутренними точками множества в

евклидовом пространстве?

Что такое замкнутое множество?

Может ли множество быть неоткрытым и незамкнутым одно-

временно?

Что называется линией уровня функции двух аргументов?

302

Что называется поверхностью уровня функции трех аргумен-

тов?

Что такое функция Кобба – Дугласа? Что она выражает?

Что такое полное приращение функции двух аргументов?

Как определяется понятие непрерывности функции двух аргу-

ментов?

10.

11.

12.

13.

303

Глава 26

частные проИзводные

И Их экономИческИй смысл.

полный дИфференцИал

26.1. частные прИращенИя

И частные проИзводные

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности

точки M

, y

). (Для краткости записи проводим рассуждения

для функции двух переменных.) Придадим аргументу x прираще-

ние ∆ x (т.е. перейдем от значения x

к значению x

+ ∆ x) при

фиксированном y = y

, причем так, чтобы точка M (x

+ ∆ x, y

)

принадлежала указанной окрестности. Тогда функция z изме-

нится на величину

∆

z = f(x

+ ∆ x, y

) – f(x

, y

Эта разность называется частным приращением функции z по ар-

гументу x. Аналогично определяется частное приращение по ар-

гументу y:

∆

z = f(x

, y

+ ∆ y) – f(x

, y

О п р е д е л е н и е. Частной производной функции нескольких

переменных по одной из этих переменных называется предел от-

ношения частного приращения функции к приращению рассма-

триваемой независимой переменной при стремлении последнего

к нулю (если этот предел существует).

Частные производные функции z = f (x, y) в точке M

, y

)

обозначаются так:

′

∂

′

f x y

x x

, , ( , )

0 0

(производная по x);

′

∂

′

f x y

y y

, , ( , )

0 0

(производная по y).

Таким образом, по определению

′

∆

+ ∆ −

∆ → ∆ →

f x x y f x y

lim lim

( , ) ( ,

0 0

0 0 0 0

))

∆x

(26.1)

304

′

∆

+ ∆ −

∆ → ∆ →

f x y y f x y

lim lim

( , ) ( ,

0 0

0 0 0 0

))

∆y

(26.2)

Из определения частных производных следует, что для нахож-

дения частной производной f ′

(x, y) надо рассматривать функцию

z = f(x, y) как функцию о д н о г о аргумента x при постоянном y.

Аналогично для нахождения f ′

(x, y) константой следует считать x.

П р и м е р 26.1. Найти частные производные функций:

а) z = x

+ x

; б) z = y

Р е ш е н и е.

а) Считая y = const, находим z′

= 5x

+ 3x

. Считая теперь

x = const, находим z′

= 2x

y + 4x

б) Считая y = const, находим z ′

как производную показатель-

ной функции: z′

= y

ln y. Считая теперь x = const, находим z′

как

производную степенной функции: z′

= xy

x – 1

Частные производные второго и высших порядков

Частные производные z′

= f ′

(x, y) и z′

= f ′

(x, y) являются

функциями от x и y, поэтому можно находить частные производ-

ные от них. Эти производные называются частными производными

второго порядка от функции z = f(x, y):

′′

′ ′ ′′

′ ′ ′

z z z z z z

xx x x xy x y yx y x

( ) , ( ) , ( ) ,

′′

′ ′

z z

yy y y

( ) .

Аналогично определяются частные производные третьего и

более высоких порядков, например:

′′′

′′ ′

z z

xxy xx y

( ) .

П р и м е р 26.2. Найти частные производные второго порядка

от функции z = x

+ x

Р е ш е н и е. В примере 26.1 уже были найдены частные про-

изводные первого порядка:

z′

= 5x

+ 3x

; z′

= 2x

y + 4x

Найдем теперь частные производные второго порядка:

′′

= +

′′

= +z x y xy z x y x y

xx xy

20 6 10 12

3 2 4 4 2 3

; ;

′′

= +

′′

= +z x y x y z x x y

yx yy

10 12 2 12

4 2 3 5 3 2

; .

Частные производные z ″

и z ″

называются смешанными

частными производными.

305

П р и м е р 26.3. Найти z″

и z″

от функции z = x

Р е ш е н и е: z′

= 2x e

, z″

= 2x e

; z′

= x

, z″

= 2x e

Как видим, для функций, рассмотренных в примерах 26.2

и 26.3, смешанные производные совпадают: z″

= z″

. Это не слу-

чайно. Справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а 26.1. Если частные производные второго порядка

функции z = f(x, y) непрерывны в точке (x

, y

), то в этой точке

z″

= z″

Не будем доказывать эту теорему. Заметим только, что обычно

функции, используемые в экономике, имеют непрерывные част-

ные производные второго порядка.

Экономический смысл частных производных

Рассмотрим в качестве примера производственную функцию

Кобба – Дугласа [см. формулу (25.12)]:

Q = AK

1 – α

Найдем скорость изменения объема продукции Q при измене-

нии одного из факторов: затрат капитала K или величины трудо-

вых ресурсов L. Решение этой задачи дают частные производные

функции Q:

Q′

= Aα K

α – 1

1 – α

, Q′

= A(1 – α)K

–α

Частная производная Q′

= AαK

α – 1

1 – α

называется предельной

фондоотдачей, a частная производная Q ′

= A (1 – α)K

–α

–

предельной производительностью труда.

Напомним, что в случае функции одной переменной y = f(x)

эластичностью функции по аргументу называется величина

E y x

( ) =

′

[см. формулу (20.2)].

Для функции нескольких переменных обычная производ-

ная заменяется частной производной. Для функции Кобба –

Дугласа эластичность выпуска продукции по затратам капитала

E Q K

( ) .=

′

= α

Аналогично эластичность выпуска по труду

E Q L

( ) .=

′

= −1 α

306

Итак, в функции Кобба – Дугласа показатели степеней α и

1 – α представляют собой соответственно коэффициенты элас-

тичности по каждому из ее аргументов.

26.2. полное прИращенИе

И полный дИфференцИал

Полным приращением функции z = f(x, y) в точке M

, y

соответствующим приращениям аргументов ∆x и ∆y, называется

разность

∆ z = f(x

+ ∆ x, y

+ ∆ y) – f(x

, y

). (26.3)

О п р е д е л е н и е. Функция z = f(x, y) называется дифферен-

цируемой в точке M

, y

), если ее полное приращение (26.3) в

этой точке можно представить в виде

∆ z = A

∆ x + A

∆ y + α

∆ x + α

∆ y, (26.4)

где A

, A

– не зависящие от ∆ x, ∆ y константы, а α

, α

– бесконеч-

но малые при ∆ x → 0, ∆y → 0.

Если хотя бы одно из чисел A

, A

отлично от нуля, то сумма

L = A

∆ x + A

∆ y (26.5)

есть главная линейная относительно ∆ x, ∆y часть приращения

дифференцируемой функции. Эта главная часть приращения

функции называется полным дифференциалом.

Т е о р е м а 26.2. Если функция z = f(x, y) дифференцируема

в точке M

, y

), то она имеет в этой точке частные производные

по x и y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства (26.4) следует, что ∆

z =

= A

∆ x + α

∆ x, откуда

∆

= +

1 1

α .

(*)

Так как α

→ 0 при ∆ x → 0, то из (*) следует, что существует

предел

lim ,

∆ →

∆

т.е. z′

существует (и z′

= A

Аналогично доказывается, что существует z′

(и z′

= A

307

Таким образом, главная линейная часть приращения функции

z = f(x, y) имеет вид z ′

∆ x + z′

∆ y.

Теперь мы можем сформулировать понятие полного диффе-

ренциала в следующем виде.

Опр е де л ени е. Полным дифференциалом dz функции z = f(x, y)

называется сумма произведений частных производных этой

функции на приращения соответствующих независимых аргу-

ментов, т.е.

dz = z′

∆ x + z′

∆ y. (26.6)

Рассмотрим, в частности, функцию z = f (x, y) = x. Очевидно,

dz = dx = 1 ⋅ ∆ x, т.е. dx = ∆ x. Аналогично, рассматривая z = f(x, y) =

= y, получаем dy = ∆y. Поэтому формулу (26.6) можно записать в

виде

dz = z′

dx + z′

dy, (26.7)

или, что то же самое,

dy=

∂

Заметим, что дифференциал, являясь главной частью прира-

щения функции, применяется в приближенных вычислениях.

П р и м е р 26.4. Вычислить приближенно

( , ) ( , ) .1 02 1 97

3 3

Р е ш е н и е. Искомое число будем рассматривать как значение

функции

z f x y x y= = +( , )

3 3

при x = x

+ ∆ x, y = y

+ ∆ y, где

= 1, y

= 2, ∆ x = 0,02, ∆y = –0,03. Имеем:

f ( , ) ,1 2 1 2 3

3 3

= + =

∆ ≈ =

z dz

x dx y dy

x y

3 3

2 2

3 3

∆ ≈

⋅ ⋅ + ⋅ −

⋅

−

=z( , )

, ( , ) , ,

1 2

3 1 0 02 3 2 0 03

2 3

0 06 0 36

−− 0 05, .

Следовательно,

( , ) ( , ) , , .1 02 1 97 3 0 05 2 95

3 3

+ ≈ − =

Т е о р е м а 26.3. Если функция z = f(x, y) дифференцируема

в данной точке, то она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия дифференцируемости (26.4)

следует, что

308

lim ,

∆ →

∆ =

а это и означает непрерывность функции [см. формулу (25.15)].

Напомним, что для функции о д н о г о аргумента y = f(x)

существование производной равносильно дифференцируемости.

Однако для функции н е с к о л ь к и х аргументов аналогичное

утверждение, вообще говоря, не верно. Из существования част-

ных производных по всем аргументам не следует, что функция

дифференцируема, и даже не следует, что она непрерывна. Мож-

но показать (мы этого делать не будем), что функция

x y

+ ≠

= =











2 2

0 0 0

, ,

, , ,

если

не является дифференцируемой (и не является непрерывной) в

точке O(0, 0). Тем не менее в этой точке (и во всех других точках)

указанная функция имеет частные производные по x и y.

Итак, существования частных производных, вообще говоря,

недостаточно для дифференцируемости функции нескольких пе-

ременных.

Д о с т а т о ч н ы е условия дифференцируемости дает следу-

ющая теорема (приведем ее без доказательства).

Т е о р е м а 26.4. Если функция z = f(x, y) имеет частные про-

изводные f ′

(x, y) и f ′

(x, y) в некоторой окрестности точки M и

эти производные н е п р е р ы в н ы в точке M, то данная функция

дифференцируема в точке M.

Дифференциалы высших порядков

Пусть в области D задана функция z = f (x, y), имеющая непре-

рывные частные производные первого порядка. Тогда, как мы уже

знаем, дифференциалом dz называется следующее выражение:

dy=

∂

где dx, dy – дифференциалы независимых аргументов x и y, или,

что то же самое, произвольные приращения этих аргументов.

Очевидно, dz также является некоторой функцией от x, y.

Если функция z имеет непрерывные частные производные вто-

рого порядка, то дифференциал dz имеет непрерывные частные

309

производные первого порядка и можно поставить вопрос о диф-

ференциале от этого дифференциала dz, т.е. о d(dz). Последний

называется дифференциалом второго порядка (или вторым диффе-

ренциалом) и обозначается символом d

z = d(dz).

При вычислении второго дифференциала дифференциалы

независимых аргументов (т.е. их приращения) dx и dy рассмат-

риваются как константы. Поэтому d

x = d

y = 0. Итак,

d z d dz d

dy d

= =

∂













∂













( )

xx d

dy+

∂













Отсюда

d z

x y

dy dx

y x

2 2 2

∂

∂ ∂













∂

∂ ∂

∂

dy dy

∂













и с учетом того, что

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

2 2

x y

y x

получаем

d z

x y

dx dy

2 2

∂

∂ ∂

∂

Разумеется, можно было записать это выражение несколько

иначе, учитывая, что мы по-разному можем обозначать одни и те

же частные производные, например

∂

можно обозначать и как

∂

и как z″

и т.д.

Аналогично записываются дифференциалы второго порядка

для функций трех и большего числа аргументов, т.е. для функций

w = f(x, y, z), w = f (x

, x

, ..., x

Дифференциалы более высоких порядков определяются по

тому же правилу:

z = d(d

z), ..., d

z = d(d

n – 1

z).

Мы здесь рассматривали функции независимых аргументов.

Для случая, когда аргументы сами являются функциями, например

x = ϕ(s, t ), y = ψ(s, t), можно показать (подобно тому, как это де-

лалось для функций одного аргумента), что форма дифференциа-

ла первого порядка и н в а р и а н т н а, а для дифференциалов

310

второго и высших порядков – н е и н в а р и а н т н а. Не будем

останавливаться на этом подробно.

З а м е ч а н и е. Несмотря на то что для дифференциалов вто-

рого и более высоких порядков инвариантность формы вообще не

имеет места, тем не менее в некоторых простых частных случаях

форма дифференциала любого порядка может оставаться неиз-

менной. В частности, в случае когда аргументы x и y функции

z = f (x, y) л и н е й н о зависят от независимого аргумента t :

x = a

t + a

, y = b

t + b

, форма дифференциала любого порядка d

остается неизменной. В этом легко убедиться.

26.3. проИзводная по направленИю.

ГрадИент

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности

точки M

, y

). Рассмотрим некоторое направление, задаваемое

единичным вектором

l = (cos , cos ),α β

где cos

α + cos

β = 1

(рис. 26.1). На прямой, проходящей по этому направлению через

точку M

, возьмем точку M(x

+ ∆ x, y

+ ∆ y). Обозначим через

∆ l длину отрезка M

M. Очевидно,

∆ = ∆ + ∆l x y

2 2

+ ∆х

+ ∆у

рис. 26.1. Направление

l = (cos , cos ),α β

Рассмотрим приращение функции f(x, y):

∆ z = f(x

+ ∆ x, y

+ ∆ y) – f(x

, y

где ∆ x и ∆y связаны соотношениями ∆x = ∆ l cos α, ∆y = ∆ l cos β.