Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
21
При этом легко убедиться, что умножение матриц A и A
–1
ком-
мутативно:
AA
–1
= A
–1
A = E.
В дальнейшем покажем, что обратная матрица существует
только для н е в ы р о ж д е н н о й к в а д р а т н о й матрицы.
Д
ля практического вычисления обратной матрицы применя-
ется, в частности, так называемый метод элементарных преобразо-
ваний.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
перестановка строк (столбцов);
умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
прибавление к элементам строки (столбца) соответству-
ющих элементов другой строки (столбца), умноженных на
некоторое число.
Нетрудно показать, что в результате элементарных преобразо-
ваний невырожденной матрицы снова получим невырожденную
матрицу.
Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобра-
зований:
1. Пусть A – невырожденная квадратная матрица. Припишем
к ней единичную матрицу E того же размера – получим «сдвоен-
ную» матрицу (A |E).
2
. Далее проделаем такие элементарные преобразования над
строками матрицы (A|E), чтобы на месте A получилась единичная
матрица E. Тогда на месте первоначально приписанной матри-
цы E возникнет матрица A
–1
.
(Заметим, что при практическом применении этого метода нет
необходимости предварительно проверять невырожденность мат-
рицы A. Это следует из самой возможности приведения A к E.)
П р и м е р 2.7. Дана матрица
A =
1 2 3
2 2 3
3 3 4
.
Найти обратную матрицу A
–1
.
Р е ш е н и е. Составим матрицу (A |E) и применим метод
элементарных преобразований. Здесь l
i
обозначает i-ю строку
(i = 1, 2, 3):
•
•
•
22
( )
,
A E
l l l
| =
−
1 2 3 1 0 0
2 2 3 0 1 0
3 3 4 0 0 1
2 1
2
33 1
3
1 2 3 1 0 0
0 2 3 2 1 0
0 3 5 3 0 1
−
→ − − −
− − −
l
→
l l l l
1 2 3 2
3
1 0 0 1 1 0
0 2 3 2 1 0
0 0 1 0 3
+ −
→
−
− − −
− −
, 2
22
→
l l
2 3
3
1 0 0 1 1 0
0 2 0 2 10 6
0 0 1 0 3 2
−
→
−
− − −
− −
→
−
−
−
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 5 3
0 0 1 0 3 2
.
Итак,
A
−
=
−
−
−
1
1 1 0
1 5 3
0 3 2
.
С помощью обратной матрицы решают матричные уравнения
видов: AX = B, XA = B.
П р и м е р 2.8.
Решить матричные уравнения:
1
1 2
3 4
5 6
11 12
1 0 2
2 1 4
1 1 1
) ; 2)
=
X
=
X
1 3 5
4 7 11
3 3 3
;
3) X
1 2 2
2 5 4
2 4 5
1 2 3
1 4 1
5 11 11
−
−
− −
=
− −
−
−
.
Р е ш е н и е. 1. Это уравнение вида AX = B. Его решение
X = A
–1
B. Здесь
A =
1 2
3 4
.
Найдем A
–1
:
1 2 1 0
3 4 0 1
1 2 1 0
0 2 3 1
1 0 2 1
0 2 3 1
− −
−
− −
→ →
−
−
→
1 0 2 1
0 1
3
2
1
2
,
т.е.
A
−
=
−
−
1
3
2
1
2
2 1
.
Тогда
2
X =
−
−
=
2 1
5 6
11 12
1 0
2 3
3
2
1
2
.
Итак,
X =
1 0
2 3
.
2. Это уравнение также имеет вид AX = B. Здесь
A =
1 0 2
2 1 4
1 1 1
.
Найдем A
–1
:
1 0 2 1 0 0
2 1 4 0 1 0
1 1 1 0 0 1
1 0 2 1 0 0
0 1 0 2 1 0
0
→ −
11 1 1 0 1− −
→
→ −
− −
→
−1 0 2 1 0 0
0 1 0 2 1 0
0 0 1 1 1 1
1 0 0 3 2 2
0 1 0 −−
− −
2 1 0
0 0 1 1 1 1
,
т.е.
A
−
=
−
−
− −
1
3 2 2
2 1 0
1 1 1
.
Тогда
X =
−
−
− −
3 2 2
2 1 0
1 1 1
1 3 5
4 7 11
3 3 3
=
−
1 1 1
2 1 1
0 1 3
.
3. Это уравнение имеет вид XA = B. Его решение X = BA
–1
. Здесь
A =
−
−
− −
1 2 2
2 5 4
2 4 5
.
Найдем A
–1
:
1 2 2 1 0 0
2 5 4 0 1 0
2 4 5 0 0 1
1 2 2 1 0 0
0 1 0
−
−
− −
→
−
−−
→2 1 0
0 0 1 2 0 1
→
− −
−
→
−1 0 2 5 2 0
0 1 0 2 1 0
0 0 1 2 0 1
1 0 0 9 2 2
0 1 0 −−
2 1 0
0 0 1 2 0 1
,
2
т.е.
A
−
=
−
−
1
9 2 2
2 1 0
2 0 1
.
Тогда
X =
− −
−
−
−
−
1 2 3
1 4 1
5 11 11
9 2 2
2 1 0
2 0 1
= −
−
1 0 1
1 2 1
1 1 1
.
(Обратите внимание на порядок сомножителей при решении
последнего уравнения.)
П р и м е р 2.9. Решить матричное уравнение
1 2 2
2 5 4
2 4 5
1 0 4
1 1 5
0 2 3
−
−
− −
X ==
−
6 1 24
15 4 62
11 1 40
.
Р е ш е н и е. Это уравнение вида AXB = C. Можно решать его,
например, так: сначала найти A
–1
и, умножив эту матрицу слева на
обе части уравнения, получить XB = A
–1
C, затем найти B
–1
и, умно-
жив ее справа на обе части полученного равенства, найти X = A
–1
CB
–1
.
Можно проделать эту процедуру в обратном порядке. Итак,
A A=
−
−
− −
=
−
−
−
1 2 2
2 5 4
2 4 5
9 2 2
2 1 0
2 0
1
,
11
(см. пример 2.8);
XB =
−
−
−
9 2 2
2 1 0
2 0 1
6 1 24
15 4 62
11 1 40
=
2 3 12
3 2 14
1 3 8
,
B =
1 0 4
1 1 5
0 2 3
.
Найдем B
–1
:
1 0 4 1 0 0
1 1 5 0 1 0
0 2 3 0 0 1
1 0 4 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0
→ −
22 3 0 0 1
→
→ −
−
→
− −1 0 4 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 1 2 2 1
1 0 0 7 8 4
0 1 0 −− −
−
3 3 1
0 0 1 2 2 1
,
т.е.
B
−
=
− −
− −
−
1
7 8 4
3 3 1
2 2 1
.
Тогда
X =
− −
− −
−
2 3 12
3 2 14
1 3 8
7 8 4
3 3 1
2 2 1
=
1 1 1
1 2 0
0 1 1
.
вопросы
В каком месте матрицы A = (a
ij
) расположен элемент a
52
?
Может ли матрица состоять: а) из одной строки; б) из одного
столбца; в) из одной строки и одного столбца?
Может ли какой-нибудь элемент a
ii
диагональной матрицы
быть равным нулю?
Могут ли быть равными квадратные матрицы, одна из кото-
рых третьего порядка, а другая – четвертого?
Можно ли найти сумму двух матриц, одна из которых имеет
размер 3×4, а другая – размер 4×3?
Существует ли произведение матриц AB, если матрица A имеет
размер 3×4, а матрица B – размер 4×2? Существует ли для этих
матриц произведение BA?
Можно ли найти произведение двух матриц, одна из кото-
рых – квадратная, а другая не является квадратной?
Пусть для матриц А и В существуют произведения AB и BA.
Можно ли утверждать, что матрицы AB и BA одного размера?
Может ли произведение двух ненулевых матриц быть нулевой
матрицей?
Что такое квадрат матрицы? Может ли квадрат ненулевой мат-
рицы быть нулевой матрицей?
Существует ли обратная матрица A
–1
для диагональной матри-
цы
A =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
?
Если A
–1
существует, то каков ее вид?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2
Глава
оПределиТели
.1. осНовНЫе ПоНяТия
Существует правило, в соответствии с которым каждой квад-
ратной матрице ставится в соответствие ч и с л о, характеризу-
ющее эту матрицу.
Рассмотрим матрицу второго порядка:
a a
a a
11 12
21 22
.
(3.1)
Число a
11
a
22
– a
12
a
21
называется определителем (или детерми-
нантом) матрицы (3.1) и записывается в виде
a a
a a
11 12
21 22
(это определитель второго порядка).
Итак,
a a
a a
a a a a
11 12
21 22
11 22 12 21
= − .
(3.2)
Например,
2 3
4 5
2 5 3 4 2= ⋅ − ⋅ = − .
Понятие определителя связано, в частности, с решением сис-
тем линейных уравнений. Рассмотрим систему
a x a x b
a x a x b
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
+ =
+ =
,
.
2
Чтобы исключить x
2
, умножим первое уравнение на a
22
, а вто-
рое – на a
12
и из первого уравнения вычтем второе:
(a
11
a
22
– a
12
a
21
)x
1
= b
1
a
22
– b
2
a
12
, или dx
1
= d
1
,
где
d
a a
a a
d
b a
b a
= =
11 12
21 22
1
1 12
2 22
, .
Если d ≠ 0, то
x
d
d
1
1
= .
Аналогично получим
dx
2
= d
2
,
x
d
d
2
2
= ,
где
d
a b
a b
2
11 1
21 2
= .
Применение формул
x
d
d
x
d
d
1
1
2
2
= =и
для решения системы
уравнений называется правилом Крамера.
П р и м е р 3.1. Решить систему
2 3 7
4 6
1 2
1 2
x x
x x
+ =
+ =
,
.
Р е ш е н и е:
d d= = ⋅ − ⋅ = = = ⋅ − ⋅ =
2 3
1 4
2 4 3 1 5
7 3
6 4
7 4 3 6 10
1
, ,
d
2
2 7
1 6
2 6 7 1 5= = ⋅ − ⋅ = ,
x
d
d
x
d
d
1
1
2
2
10
5
2
5
5
1= = = = = =, .
Аналогичное правило для систем с любым числом неизвестных
будет рассмотрено далее.
Для квадратной матрицы третьего порядка определитель (или
детерминант) третьего порядка есть число, определяемое фор-
мулой
a a a
a a a
a a a
a a a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 2
= +
33 31 13 21 32
a a a a+ −
– a
13
a
22
a
31
– a
12
a
21
a
33
– a
11
a
23
a
32
.
(3.3)
2
Определитель третьего порядка есть алгебраическая сумма
шести произведений элементов, взятых по одному из каждой
строки и каждого столбца. Эти произведения называются членами
определителя. Формула (3.3) схематически может быть изображе-
на в следующем виде:
Со знаком «плюс» берутся произведения, сомножители кото-
рых находятся на г л а в н о й диагонали и в вершинах равнобед-
ренных треугольников с основаниями, параллельными главной
диагонали; со знаком «минус» – на п о б о ч н о й диагонали и в
вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, парал-
лельными побочной диагонали.
Введем теперь понятие определителя любого порядка.
Рассмотрим натуральные числа от 1 до n. Эти n чисел могут
быть записаны в том или ином порядке. Всякое расположение
чисел 1, 2, …, n называется их перестановкой. Например,
3, 1, 5, 4, 2 (3.4)
есть перестановка из пяти чисел.
Нетрудно доказать, что число различных перестановок из n чи-
сел равно произведению 1⋅2⋅⋅⋅n, обозначаемому n! (читается: «эн
факториал»).
Рассмотрим произвольную перестановку a
1
, a
2
, …, a
n
, состав-
ленную из n первых натуральных чисел. Выберем в этой переста-
новке два произвольных числа a
i
и a
j
. Если i < j, но a
i
> a
j
, то гово-
рят, что числа a
i
и a
j
образуют инверсию. (Иначе говоря, если в
перестановке большее число предшествует меньшему, то эти два
числа образуют инверсию.) В частности, в перестановке (3.4) чис-
ла a
3
= 5 и a
5
= 2 образуют инверсию. Если же при i < j выполняет-
ся неравенство a
i
< a
j
(т.е. меньшее число предшествует больше-
му), то числа a
i
и a
j
инверсию не образуют. Например, в переста-
новке (3.4) числа a
2
= 1 и a
4
= 4 не образуют инверсию.
2
Перестановка называется четной, если в ней четное число ин-
версий. В противном случае перестановка называется нечетной.
Рассмотрим квадратную матрицу:
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
.
Составим какое-нибудь произведение n ее элементов, взятых
по одному из каждой строки и каждого столбца:
a
1a
1
a
2a
2
⋅⋅⋅ a
na
n
. (3.5)
В произведении (3.5) сомножители записаны в порядке возрас-
тания их первых индексов – номеров строк. Вторые индексы –
номера столбцов – образуют перестановку a
1
, a
2
, …, a
n
. Произве-
дение (3.5) называется членом определителя матрицы A. Опреде-
лим правило знаков: если вторые индексы образуют ч е т н у ю
перестановку, то произведение (3.5) берется со знаком «плюс»,
если н е ч е т н у ю – со знаком «минус». Таких произведений
(3.5), очевидно, n! – столько, сколько различных перестановок
образуют их вторые индексы.
О п р е д е л е н и е. Определителем квадратной матрицы поряд-
ка n (определителем n-го порядка) называется составленная в со-
ответствии с правилом знаков алгебраическая сумма n! членов,
каждый из которых является произведением n элементов матри-
цы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
Определитель n-го порядка обозначается так:
d A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
= =
11 12 1
21 22 2
1 2
.
(3.6)
В дальнейшем будем говорить об элементах, строках и столб-
цах определителя, имея в виду элементы, строки и столбцы соот-
ветствующей матрицы.
Следует отметить, что вычислять определитель n-го порядка
при n > 3, основываясь непосредственно на определении, было бы
затруднительно. (Например, чтобы найти определитель шестого
порядка, надо вычислить сумму 720 слагаемых, каждое из кото-
0
рых – произведение шести элементов). Поэтому для того, чтобы
вычислить определитель, его предварительно упрощают, преоб-
разовывая с учетом его свойств.
.2. своЙсТвА оПределиТелеЙ
1. Определитель не меняется при транспонировании:
A A=
′
.
Из свойства 1 вытекает, что всякое утверждение о строках оп-
ределителя справедливо и для столбцов и наоборот. В этом смыс-
ле строки и столбцы определителя р а в н о п р а в н ы. Поэтому да-
лее будем формулировать свойства для строк, имея в виду при
этом, что они справедливы и для столбцов.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то опреде-
литель равен нулю.
Доказывается это свойство просто. Пусть все элементы i-й
строки определителя равны нулю. Каждый член определителя
содержит множитель, являющийся элементом этой строки. По-
этому каждый член определителя равен нулю, а следовательно, и
сам определитель равен нулю.
3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
(Иначе говоря, если поменять местами две строки в матрице A,
получим матрицу B, такую, что
A B= − .
)
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен
нулю.
Для доказательства поменяем местами эти две одинаковые
строки. Определитель не изменится, но по свойству 3 он поменяет
знак: d = –d. Следовательно, d = 0.
5. Если все элементы какой-либо строки определителя умно-
жить на число k, то определитель умножится на это число k.
Действительно, в этом случае каждый член определителя ум-
ножится на число k, следовательно, весь определитель умножится
на это число.
Из свойства 5 следует, что общий множитель любой строки оп-
ределителя можно вынести за знак определителя.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки,
равен нулю.
Докажем это утверждение. Пусть i-я и j-я строки пропорцио-
нальны: элементы j-й строки получаются умножением элементов
i-й строки на число k. Вынесем k за знак определителя и получим