Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
1
Глава
сисТеМЫ лиНеЙНЫх урАвНеНиЙ
.1. осНовНЫе ПоНяТия
Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид
a x a x a x b
a x a x a x
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2
+ + + =
+ + + =
…
…
,
bb
2
,
....................................................
.a x a x a x b
m m mn n m1 1 2 2
+ + + =
…
(4.1)
Матрица, составленная из коэффициентов уравнений систе-
мы (4.1), т.е.
A
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
,
называется матрицей системы.
Если обозначить через X матрицу-столбец неизвестных, а че-
рез B матрицу-столбец свободных членов:
X
x
x
x
B
b
b
b
n m
=
=
1
2
1
2
,
,
то система (4.1) запишется в виде одного матричного уравнения:
AX = B.
2
Добавив к матрице A столбец свободных членов, получим рас-
ширенную матрицу системы (4.1):
A
a a a b
a a a b
a a a b
n
n
m m mn m
=
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
.
(Обычно столбец свободных членов отделяют вертикальной чер-
той.)
Расширенная матрица содержит всю информацию о системе.
Решением системы (4.1) называется набор чисел
x
1
= a
1
, x
2
= a
2
, ..., x
n
= a
n
,
при подстановке которых в эту систему все уравнения обращают-
ся в тождества.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хо-
тя бы одно решение. Система, не имеющая ни одного решения,
называется несовместной.
Совместная система, имеющая един-
ственное решение, называется определенной. Если же система
имеет более одного решения, она называется неопределенной.
Решить систему – значит найти множество всех ее решений.
Множество всех решений системы называется ее общим реше-
нием.
Две системы называются эквивалентными (или равносильны-
ми), если они имеют одно и то же множество решений, или, что то
же самое, одно и то же общее решение.
Обычно для того, чтобы решить систему, ее сначала преобразо-
вывают. При этом преобразованная система должна быть эквива-
лентна исходной.
Перечислим элементарные преобразования системы (4.1):
перестановка уравнений;
умножение обеих частей одного уравнения на любое число,
отличное от нуля;
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы
соответствующих частей другого уравнения, умноженных
на одно и то же число;
вычеркивание уравнения вида 0⋅x
1
+ 0⋅x
2
+ … + 0⋅x
n
= 0.
В результате элементарных преобразований получается систе-
ма, эквивалентная исходной.
•
•
•
•
.2. МеТодЫ решеНия
сисТеМ лиНеЙНЫх урАвНеНиЙ
1. Метод Гаусса. Это наиболее удобный метод решения систем
вида (4.1). Изложим его суть.
Пусть для определенности в системе (4.1) a
11
≠ 0 (если a
11
= 0, то
переставим на первое место другое уравнение с ненулевым пер-
вым коэффициентом). Умножим п е р в о е уравнение
на
−
a
a
21
11
и
прибавим ко второму. Затем умножим первое уравнение на
−
a
a
31
11
и
прибавим к третьему и т.д. Наконец, умножим первое уравнение
на
−
a
a
m1
11
и прибавим к последнему уравнению. В результате этих
элементарных преобразований получим систему, эквивалентную
исходной, однако в новой системе ни одно из уравнений, кроме
первого, не содержит неизвестное x
1
:
a x a x a x a x b
a x a x
n n11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3
+ + + + =
′
+
′
+
… ,
……
…
+
′
=
′
′
+
′
+ +
′
=
′
a x b
a x a x a x b
n n
n n
2 2
32 2 33 3 3 3
,
,
....................................................
.
′
+
′
+ +
′
=
′
a x a x a x b
m m mn n m2 2 3 3
…
(4.2)
Заметим, что преобразованы только коэффициенты и свобод-
ные члены, поэтому удобнее записывать преобразование системы
как преобразование ее расширенной матрицы:
′
=
′ ′ ′ ′
′ ′
A
a a a a b
a a a b
a a
n
n
11 12 13 1 1
22 23 2 2
32 3
0
0
33 3 3
2 3
0
′ ′
′ ′ ′ ′
a b
a a a b
n
m m mn m
.
(4.3)
На втором этапе с помощью в т о р о г о уравнения аналогич-
ным образом преобразуем все уравнения, начиная с третьего, или,
что то же самое, умножая вторую строку матрицы
′
A
на соответ-
Говоря об умножении уравнения на число, мы, разумеется, имеем в виду
умножение всех членов обеих частей этого уравнения на это число.
ствующие числа
−
′
′
−
′
′
a
a
a
a
m32
22
2
22
, ,…
и прибавляя к третьей, …,
m-й строкам, получим
′′
=
′ ′ ′ ′
′′
A
a a a a b
a a a b
a
n
n
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33
0
0 0
′′ ′′
′′ ′′ ′′
a b
a a b
n
m mn m
3 3
3
0 0
.
Продолжим этот процесс аналогичным образом: далее будут
преобразовываться все строки, кроме первых двух, затем кроме
первых трех и т.д.
Мы не исследовали заранее систему на совместность. Тем не
менее метод Гаусса позволяет на одном из этапов установить воз-
можность несовместности системы. Действительно, если в ре-
зультате преобразований получим строку, у которой все члены,
кроме последнего, равны нулю, а последний – отличен от нуля, то
это соответствует уравнению вида
0⋅x
1
+ 0⋅x
2
+ … + 0⋅x
n
= b ≠ 0,
не имеющему решений. Стало быть, система, содержащая такое
уравнение, несовместна.
В процессе применения метода Гаусса могут также появляться
строки, целиком состоящие из нулей, что соответствует уравне-
ниям вида
0⋅x
1
+ 0⋅x
2
+ … + 0⋅x
n
= 0.
Такое может произойти, если соответствующие уравнения исход-
ной системы являются линейными комбинациями других уравне-
ний системы.
Если система (4.1) определенна, то ее матрица в результате
преобразований
примет вид
a a a a b
a a a b
a
n
n
11 12 13 1 1
22 23 2 2
0
0 0 0
′ ′ ′ ′
nnn
n
n
n
b
( ) ( )
,
− −
1 1
Заметим, что метод нахождения обратной матрицы (см. § 2.4) основан на
аналогичных преобразованиях.
т.е. система будет иметь треугольный вид:
a x a x a x a x b
a x a x
n n11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3
+ + + + =
′
+
′
+
… ,
…… +
′
=
′
a x b
n n2 2
,
..................................................
( ) ( )
a x b
nn
n
n n
n− −
=
1 1
(4.4)
(верхние индексы и штрихи указывают, сколько раз менялись ко-
эффициенты и свободные члены в процессе преобразований).
Из последнего уравнения системы (4.4) сразу найдем
x
b
a
n
n
n
nn
n
=
−
−
( )
( )
,
1
1
затем, подставив найденное x
n
в предпоследнее уравнение (содер-
жащее только x
n
и x
n–1
), найдем x
n–1
и т.д. Таким образом, после-
довательно найдем все остальные неизвестные. (Такой процесс
иногда называют обратным ходом метода Гаусса.)
П р и м е р 4.1. Решить систему
x x x x
x x x x
x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
2 3
2 3 5 3 9
2
+ + + =
+ + + =
− + =
,
,
−−
+ + + =
3
2 2 6 4 8
1 2 3 4
,
.x x x x
Р е ш е н и е. Составим расширенную матрицу системы и
применим метод Гаусса:
1 1 2 1 3
2 3 5 3 9
1 1 2 0 3
2 2 6 4 8
2 1
2
− −
−l l l,
33 1 4 1
2
1 1 2 1 3
0 1 1 1 3
0 2 0 1 6
0 0 2 2
− −
→
− − −
l l l,
22
→
l l l
3 2
2
1 1 2 1 3
0 1 1 1 3
0 0 2 1 0
0 0 2 2 2
+
→
44 3
1 1 2 1 3
0 1 1 1 3
0 0 2 1 0
0 0 0 1 2
−
→
l
.
Полученная расширенная матрица соответствует системе
x x x x
x x x
x x
x
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
2 3
3
2 0
2
+ + + =
+ + =
+ =
=
,
,
,
,
которая эквивалентна исходной системе. Подставляя x
4
= 2 в
предпоследнее уравнение, находим x
3
= –1; подставляя x
4
и x
3
во
второе уравнение, находим x
2
= 2; наконец, подставляя найденные
x
4
, x
3
, x
2
в первое уравнение, находим x
1
= 1.
Итак, система имеет единственное решение:
x
1
= 1, x
2
= 2, x
3
= –1, x
4
= 2.
Можно решать такую систему, не приводя ее к треугольному
виду, а превращая в так называемую разрешенную систему. Пояс-
ним это на примере, а затем опишем процесс в общем виде.
П р и м е р 4.2. Решить систему
x x x x
x x x x
x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
2 4 7
3 2 3
2
+ + + =
+ + + =
+ +
,
,
++ =
+ + + =
2 4
2 5 3 9 15
4
1 2 3 4
x
x x x x
,
.
Р е ш е н и е. Составим расширенную матрицу и преобразуем
ее таким образом, чтобы каждая строка и каждый столбец преоб-
разованной матрицы системы содержали один элемент, равный
единице, а остальные – равные нулю:
1 2 1 4 7
3 2 1 1 3
1 1 2 2 4
2 5 3 9 15
2 1 3
3
−l l l, −− −
→
− − − −
− − −
l l l
1 4 1
2
1 2 1 4 7
0 4 2 11 18
0 1 1 2
,
33
0 1 1 1 1
→
l l l l l l
3 4 2 4 1 4
4 2
1 0 1 2 5
0 0 2 7 14
+ + −
→
−
− −
, ,
00 0 2 1 2
0 1 1 1 1
1 0 1 2 5
0 0 2 7 14
0 0− −
→
−
− −
−
22 1 2
0 1 1 1 1
→
l l l l l l
4 3 2 3 1 3
7 2
1 0 3 0 1
0 0 12 0 0
0 0
− + −
→
−
, ,
22 1 2
0 1 3 0 1
1 0 3 0 1
0 0 1 0 0
0 0 2 1 2
0 1 3 0−
→
−
−−
→
1
l l l l l l
1 2 3 2 4 2
3 2 3
1 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0
− + −
→
, ,
11 2
0 1 0 0 1−
.
Итак, получена система
x
x
x
x
1
3
4
2
1
0
2
1
=
=
=
= −
,
,
,
,
т.е. решение x
1
= 1, x
2
= –1, x
3
= 0, x
4
= 2, или (1, –1, 0, 2).
Очевидно, система (4.1) приводится к виду (4.4), когда ранг ее
матрицы совпадает с числом неизвестных: rg A = n.
В случае же, когда система совместна и rg A = r < n, расширен-
ная матрица
A
методом Гаусса преобразовывается к виду
a a a a b
a a a b
r n
r n
11 12 1 1 1
22 2 2 2
0
0 0
′ ′ ′ ′
a a b
rr
r
rn
r
r
r( ) ( ) ( )
,
− − −
1 1 1
где
a a a
rr
r
11 22
1
0 0 0≠
′
≠ ≠
−
, , .
( )
,…
Соответствующая система имеет
трапециевидную форму:
a x a x a x a x b
a x a
r r n n11 1 12 2 1 1 1
22 2 2
+ + + + + =
′
+ +
′
… …
…
,
rr r n n
rr
r
x a x b
a
+ +
′
=
′
−
…
2 2
,
( 11 1 1) ( ) ( )
.x a x b
r rn
r
n r
r
+ + =
− −
…
(4.5)
В этом случае объявляем неизвестные x
r +1
, …, x
n
свободными и
переносим в правые части уравнений.
П р и м е р 4.3. Решить систему
x x x x
x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
2 1
2 3 3 5
4 2 6
+ − + =
+ − =
+ + −
,
,
==
− − + = −
11
5 6 6
1 2 3 4
,
.x x x x
Р е ш е н и е. Преобразуем расширенную матрицу системы:
1 1 2 1 1
2 3 3 0 5
1 4 2 6 11
1 1 5 6 6
2
2
−
−
−
− − −
−l ll l l l l
1 3 1 4 1
1 1 2 1 1
0 1 1 2 3
0 3 4 7 10
, ,− −
→
−
−
−
00 2 3 5 7− − −
→
l l l l
3 2 4 2
3 2
1 1 2 1 1
0 1 1 2 3
0 0 1 1 1
0 0 1 1
− +
→
−
−
−
−
,
−−
→
−
−
−
+
1
1 1 2 1 1
0 1 1 2 3
0 0 1 1 1
0
4 3
l l
00 0 0 0
.
Получаем систему
x x x x
x x x
x x
1 2 3 4
2 3 4
3 4
2 1
2 3
1
+ − + =
+ − =
− =
,
,
.
Неизвестные x
4
объявляем свободными: x
4
= c. Из последнего
уравнения получаем: x
3
= 1 + c. Подставляем это значение во вто-
рое уравнение, получаем x
2
= 2 + c. Подставляя найденные x
3
и x
2
в
первое уравнение, получаем x
1
= 1.
Система имеет бесконечное множество решений:
x c c c= + +( , , , ),1 2 1
где c принимает любые числовые значения. Это общее решение
системы.
Рассмотрим теперь метод Гаусса в несколько ином виде. Метод
состоит из нескольких шагов. Предположим, что первые k – 1 ша-
гов сделаны, и дадим описание очередного k-го шага.
1. Проверяем, есть ли в системе (полученной после предыду-
щих k –1 шагов) хотя бы одно п р о т и в о р е ч и в о е уравнение.
Если такое уравнение в системе есть, то она несовместна – работа
с ней прекращается.
2. Если в системе есть т р и в и а л ь н ы е уравнения 0 = 0, уда-
ляем их.
3. Пусть противоречивых уравнений в системе нет. Тогда одно
из них выбирается в качестве разрешающего уравнения, а одно из
неизвестных объявляется разрешающим неизвестным. При этом
должны быть выполнены следующие условия:
1) на предыдущих шагах это уравнение не было разреша-
ющим;
2) в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем
неизвестном должен быть отличен от нуля
(этот коэффициент
называют иногда разрешающим элементом);
3) из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разре-
шающее неизвестное. Для этого к каждому из этих уравнений
прибавляем разрешающее уравнение, умноженное на соответ-
ствующее число.
Через конечное число шагов процесс остановится, и будет ли-
бо установлена несовместность системы, либо получено общее
решение этой системы. Это произойдет, когда все уравнения по-
бывают в роли разрешающих.
Рассмотрим примеры. Как обычно, будем преобразовывать не
сами системы, а их расширенные матрицы.
П р и м е р 4.4. Н
айти общее решение и одно частное реше-
ние системы уравнений
x x x x x
x x x x
x x
1 2 3 4 6
1 2 3 6
1 3
4 3 1
2 5 7
3 4
+ − − + = −
+ − + =
+
,
,
++ − = −
− + − =
x x
x x x x
5 6
1 3 4 6
3 2
2 8
,
.
Р е ш е н и е. Запишем расширенную матрицу системы:
1 1 4 1 0 3 1
2 1 5 0 0 1 7
3 0 4 0 1 3 2
1 0 1 1 0 2 8
− − −
−
− −
− −
.
С помощью элементарных преобразований можно сделать разрешающее
уравнение таким, чтобы коэффициент при разрешающем неизвестном
стал равным единице.
0
Шаг 1. Убеждаемся, что данная система не содержит противо-
речивых и тривиальных уравнений. Выбираем первое уравнение в
качестве разрешающего уравнения, а коэффициент a
12
= 1 – в ка-
честве разрешающего элемента. Совершаем преобразование l
2
– l
1
:
1 1 4 1 0 3 1
1 0 1 1 0 2 8
3 0 4 0 1 3 2
1 0 1 1 0 2 8
− − −
− −
− −
− −
.
Шаг 2. Полученная после первого шага матрица есть расши-
ренная матрица системы, не содержащей противоречивых и три-
виальных уравнений. Берем в качестве разрешающего уравнения
второе уравнение, а в качестве разрешающего элемента – коэф-
фициент a
24
= 1. Совершаем преобразования l
1
+ l
2
, l
4
– l
2
:
2 1 5 0 0 1 7
1 0 1 1 0 2 8
3 0 4 0 1 3 2
0 0 0 0 0 0 0
−
− −
− −
.
Шаг 3. Система уравнений, полученная после второго шага,
содержит тривиальное уравнение – удаляем его (удаляем строку,
состоящую из нулей):
2 1 5 0 0 1 7
1 0 1 1 0 2 8
3 0 4 0 1 3 2
−
− −
− −
.
В третьем уравнении коэффициент a
35
= 1. Его можно взять в
качестве разрешающего, однако остальные уравнения уже не со-
держат разрешающего неизвестного x
5
. Получаем систему
2 5 7
2 8
3 4 3
1 2 3 6
1 3 4 6
1 3 5
x x x x
x x x x
x x x
+ − + =
− + − =
+ + −
,
,
xx
6
2= −
,
у которой неизвестные x
2
, x
4
, x
5
выражаются через свободные не-
известные x
1
, x
3
, x
6
:
x x x x
x x x x
x
2 1 3 6
4 1 3 6
5
7 2 5
8 2
= − + −
= − + +
,
,
== − − − +
2 3 4 3
1 3 6
x x x .