Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
1
определитель, содержащий две одинаковые строки. По свойству 4
он равен нулю.
7. Если элементы одной из строк определителя d имеют вид
a
ik
= b
ik
+ c
ik
(k = 1, 2, …, n),
то определитель равен сумме двух определителей d
1
и d
2
, у которых
все строки, кроме указанной, совпадают с соответствующими
строками определителя d, а на месте указанной строки определи-
тель d
1
содержит строку, состоящую из элементов b
ik
, а определи-
тель d
2
– строку, состоящую из элементов c
ik
(k = 1, 2, …, n):
d
a a a
b c b c b c
a
n
i i i i in in
=
+ + +
11 12 1
1 1 2 2
nn n nn
a a
d d
1 2
1 2
= + =
= +
a a a
b b b
a a a
a
n
i i in
n n nn
11 12 1
1 2
1 2
11
aa a
c c c
a a a
n
i i in
n n nn
12 1
1 2
1 2
.
Это утверждение легко следует из того, что всякий член опре-
делителя d может быть представлен как сумма двух слагаемых,
одно из которых есть член определителя d
1
, а другое – член опре-
делителя d
2
.
8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация
других его строк, то определитель равен нулю.
Свойство 8 есть обобщение свойства 6.
9. Определитель не меняется, если к элементам любой его стро-
ки прибавить соответствующие элементы другой строки, умно-
женные на одно и то же число.
Это свойство есть следствие свойств 4–7.
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен
произведению их определителей:
AB A B= ⋅ .
2
В заключение еще раз напомним, что все утверждения, сфор-
мулированные здесь для строк определителя, остаются верными и
для его столбцов. (Имеются в виду строки и столбцы соответству-
ющей матрицы.)
.. МиНорЫ и АлГеБрАические доПолНеНия
Рассмотрим определитель n-го порядка. Выделим в нем ка-
кой-либо элемент a
ij
и вычеркнем i-ю строку и j-й столбец, на
пересечении которых расположен этот элемент. Получится оп-
ределитель (n – 1)-го порядка, который называется минором M
ij
элемента a
ij
.
Например, возьмем определитель четвертого порядка:
d =
1 0 2 1
3 1 2 5
0 2 1 3
1 0 4 3
.
Минор M
23
элемента a
23
получается вычеркиванием второй
строки и третьего столбца, на пересечении которых стоит элемент
a
23
= 2:
M
23
1 0 1
0 2 3
1 0 3
4= = .
О п р е д е л е н и е. Алгебраическим дополнением элемента a
ij
определителя (3.6) называется число
A
ij
= (–1)
i+j
M
ij
.
В частности, в приведенном примере алгебраическое допол-
нение
A
23
= (–1)
5
⋅ 4 = –4.
Миноры и алгебраические дополнения играют важную роль в
линейной алгебре и ее приложениях. Одним из таких приложений
является следующее утверждение.
Т е о р е м а 3.1. О
пределитель равен сумме произведений
элементов любой его строки на их алгебраические дополнения:
d = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ … + a
in
A
in
. (3.7)
(Примем эту теорему без доказательства.)
Формула (3.7) называется разложением определителя по i-й
строке. Аналогичное утверждение справедливо и для разложения
определителя по любому столбцу. Формула (3.7) сводит вычисле-
ние определителя n-го порядка к вычислению n определителей
(n – 1)-го порядка.
З а м е ч а н и е. Сумма попарных произведений элементов
i-й строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраи-
ческие дополнения к элементам j-й строки (столбца) при i ≠ j рав-
на нулю, т.е.
a
i1
A
j1
+ a
i2
A
j2
+ … + a
in
A
jn
= 0,
a
1i
A
1j
+ a
2i
A
2j
+ … + a
ni
A
nj
= 0
при i ≠ j.
Д о к а ж е м, например, последнее из этих двух равенств. Раз-
ложим определитель
d
a a a a
a a a a
a
i j n
i j n
n
=
11 1 1 1
21 2 2 2
1
aa a a
ni nj nn
по j-му столбцу:
d = a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ … + a
nj
A
nj
.
Теперь заменим элементы j-го столбца элементами i-го столбца
(оставляя i-й столбец неизменным). Получим определитель
′
=d
a a a a
a a a a
a
i i n
i i n
n
11 1 1 1
21 2 2 2
1
a a a
ni ni nn
,
содержащий два одинаковых столбца на i-м и j-м местах и, очевид-
но, равный нулю: d′ = 0. Его разложение по j-му столбцу имеет вид
d′ = a
1i
A
1j
+ a
2i
A
2j
+ … + a
ni
A
nj
.
Следовательно,
a
1i
A
1j
+ a
2i
A
2j
+ … + a
ni
A
nj
= 0,
что и требовалось доказать.
Обычно перед вычислением определитель предварительно пре-
образуют с учетом его свойств. Нередко его приводят к треуголь-
ному виду, так как справедливо следующее у т в е р ж д е н и е:
Если все элементы определителя, расположенные по одну сторону
от главной диагонали, равны нулю, то этот определитель равен про-
изведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Д о к а ж е м это утверждение, применив метод математичес-
кой индукции (см. с. 142).
Для определителя второго порядка это утверждение очевидно.
Предположим, что оно доказано для определителя (n – 1)-го по-
рядка, и рассмотрим определитель n-го порядка:
d
a a a a
a a a
a a
n
n
n
=
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
0 0
0 0 0
a
nn
.
Разложим его по первому столбцу:
d a
a a a
a a
a
n
n
nn
=
11
22 23 2
33 3
0
0 0
.
В правой части полученного равенства – определитель (n – 1)-го
порядка. Для него справедливо равенство
a a a
a a
a
a a a
n
n
nn
nn
22 23 2
33 3
22 33
0
0 0
= .
Следовательно, d = a
11
a
22
a
33
⋅⋅⋅a
nn
.
П р и м е р 3.2. Вычислить следующие определители:
1
1 2 4 3
0 3 1 0
0 2 0 0
1 3 2 1
1 2 3 2
1 3 4 5
1 2 5
1 2
) ; 1)d d= =
33
1 2 7 8
.
Р е ш е н и е. 1. Разложить определитель d
1
можно по любой
строке. Однако минимальный объем вычислений получается при
разложении его по строке с наибольшим числом нулей. Разлагаем
d
1
по третьей строке, а затем A
32
по второй строке:
d
1
2
1 4 3
0 1 0
1 2 1
2 1
1 3
1 1
4= − ⋅ = − ⋅ ⋅ = .
2. Вычтем первую строку определителя d
2
из всех остальных,
а затем вычтем удвоенную третью строку из четвертой:
d
2
1 2 3 2
0 1 1 3
0 0 2 1
0 0 4 6
1 2 3 2
0 1 1 3
0 0 2 1
0 0 0 4
1 1 2= = = ⋅ ⋅ ⋅44 8= .
Мы воспользовались тем, что полученный «треугольный» оп-
ределитель равен произведению элементов главной диагонали.
.. ПриМеНеНие оПределиТелеЙ
О п р е д е л е н и е. Квадратная матрица A называется невырож-
денной, если ее определитель отличен от нуля:
A ≠ 0.
В против-
ном случае матрица называется вырожденной.
Т е о р е м а 3.2. Для
матрицы A обратная матрица A
–1
сущест-
вует тогда и только тогда, когда матрица A невырожденная.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть матрица A имеет
обратную матрицу A
–1
. Тогда A
–1
A = AA
–1
= E. Так как
E = ≠1 0.
и
так как определитель произведения матриц равен произведению
их определителей, то
A A A A E
− −
= ⋅ = ≠
1 1
0,
следовательно,
A
−
≠
1
0
и
A ≠ 0.
Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
и ее определитель
A d= ≠ 0.
Транспонируем матрицу A и затем заменим ее элементы их ал-
гебраическими дополнениями:
A
A A A
A A A
A A A
n
n
n n nn
=
11 21 1
12 22 2
1 2
.
(3.8)
Матрица A
называется присоединенной к матрице A.
Найдем произведение AA. Учитывая разложение (3.7) и следу-
ющее за ним замечание, получим
AA
d
d
d
dE =
=
0 0
0 0
0 0
.
(3.9)
(Распишите это произведение AA
подробно и убедитесь в
справедливости равенства (3.9) самостоятельно.)
Нетрудно убедиться также в том, что AA = AA.
Итак, AA = AA = dE. Отсюда
A
d
A
d
A A E
1 1
= = .
Следовательно,
A
d
A
−
=
1
1
,
или, более подробно,
A
d
A A A
A A A
A A A
n
n
n n nn
−
=
1
11 21 1
12 22 2
1 2
1
.
(3.10)
Теорема доказана.
Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы:
1. Находим определитель исходной матрицы d =
A
. Если d = 0,
т.е. матрица A вырожденная, то обратной матрицы не существует.
Если же d ≠ 0, продолжаем процесс.
2. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A
и составляем из них присоединенную матрицу A.
3. Находим обратную матрицу по формуле (3.10). В ряде случа-
ев полезно сделать проверку, т.е. вычислить произведения A
–1
A и
AA
–1
(или одно из них) и убедиться, что получилась единичная
матрица E.
П р и м е р 3.3. Найти матрицу, обратную матрице A:
A =
1 2 3
2 3 1
1 2 1
.
Р е ш е н и е. 1. Вычисляем определитель:
d A= = − − − + − =( ) ( ) ( ) .3 2 2 2 1 3 4 3 2
2. Находим алгебраические дополнения:
A A A
A
11
1 1
21 31
12
1
3 1
2 1
1
2 3
2 1
4 7= − = = − = = −
+
( ) , , ,
== − = − = = − =
=
+
( ) , , ,1
2 1
1 1
1
1 3
1 1
2 5
1 2
22 32
13
A A
A
(( ) , , .− = = − = = −
+
1
2 3
1 2
1
1 2
1 2
0 1
1 3
23 33
A A
Составляем присоединенную матрицу:
A =
−
− −
−
1 4 7
1 2 5
1 0 1
.
3. Вычисляем обратную матрицу:
A
−
=
−
− −
−
=
−
− −
1
1
2
7
2
1
2
5
2
1
2
1 4 7
1 2 5
1 0 1
2
1
11
2
1
2
0 −
.
При желании проверить себя легко убеждаемся в том, что A
–1
A =
= AA
–1
= E.
Заметим, что для нахождения обратных матриц высокого по-
рядка обычно применяют другой метод – метод элементарных
преобразований (см. § 2.4).
.. рАНГ МАТрицЫ
Пусть A – матрица размера m × n. Выделим в ней k строк и
k столбцов произвольным образом. Элементы, находящиеся на
пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную
матрицу k-го порядка; ее определитель называется минором k-го
порядка матрицы A. При этом, очевидно, k ≤ min(m, n).
О п р е д е л е н и е. Наибольший порядок отличных от нуля
миноров матрицы A называется рангом матрицы A.
П р и м е р 3.4. Вычислить ранг матрицы
A =
2 3 4 5 6
1 2 1 2 1
0 0 0 0 0
3 6 3 6 3
.
Р е ш е н и е. Легко видеть, что ранг матрицы A равен двум:
rg A = 2. Действительно, минор второго порядка, стоящий в левом
верхнем углу, отличен от нуля:
2 3
1 2
1 0= ≠ ,
однако всякий минор третьего порядка содержит либо нулевую
строку, либо две пропорциональные строки и, следовательно, ра-
вен нулю.
В § 1.4 мы определили ранг системы векторов как наибольшее
число ее линейно независимых векторов. В связи с этим есте-
ственно определить ранг матрицы как наибольшее число ее линейно
независимых строк. Это определение равносильно предыдущему.
Можно доказать (это делается в курсе алгебры), что наибольшее
число линейно независимых строк матрицы равно наибольшему
числу ее линейно независимых столбцов, а также наибольшему
порядку отличных от нуля миноров.
Приведем основные методы вычисления ранга матрицы.
1. Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице A найден
минор M порядка k, отличный от нуля. Рассматриваем миноры
(k + 1)-го порядка, но не все, а только те, которые содержат в себе
(«окаймляют») минор M. Если все они равны нулю, то ранг матри-
цы равен k. В противном случае процедура продолжается.
П р и м е р 3.5. Найти ранг матрицы
A =
2 3 0 2 4
5 8 0 2 5
0 0 2 4 6
0 0 1 2 3
.
Р е ш е н и е. Фиксируем отличный от нуля минор второго
порядка:
M
2
2 3
5 8
1 0= = ≠ .
Один из окаймляющих миноров третьего порядка также отли-
чен от нуля:
M
3
2 3 0
5 8 0
0 0 2
2 0= = ≠ .
Однако оба минора четвертого порядка, окаймляющие M
3
, рав-
ны нулю (так как у каждого из них третья и четвертая строки про-
порциональны). Следовательно, ранг матрицы равен трем: rg A = 3.
2. Метод элементарных преобразований. Элементарные преоб-
разования не меняют ранга матрицы. Применяя элементарные
преобразования, можно привести матрицу к такому виду, когда
все элементы, кроме a
11
, a
22
, …, a
rr
, равны нулю. Число отличных
от нуля элементов преобразованной матрицы, очевидно, равно
рангу матрицы.
П р и м е р 3.6. Найти ранг матрицы
A =
− −
1 2 3
2 5 7
0 1 1
1 0 1
.
Р е ш е н и е:
1 2 3
2 5 7
0 1 1
1 0 1
1 2 3
0 1 1
0 1 1
0 2 2
− −
→
− −
− −
→
→
1 0 1
0 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 11 0
0 0 0
0 0 0
.
Ранг преобразованной матрицы равен двум, следовательно,
rg A = 2.
вопросы
При каких условиях определитель матрицы второго порядка
равен нулю?
С каким знаком в определитель матрицы четвертого порядка
входит слагаемое a
11
a
23
a
34
a
42
?
Может ли произведение a
12
a
23
a
32
a
41
a
54
, взятое с соответству-
ющим знаком, быть членом определителя матрицы пятого
порядка?
Чем отличается минор M
54
от алгебраического дополнения A
54
?
Пусть матрица А содержит минор пятого порядка, отличный
от нуля. Что можно сказать о ранге матрицы А?
Чему равна сумма произведений элементов какой-нибудь
строки матрицы на алгебраические дополнения элементов
другой строки этой матрицы?
Можно ли вычислить определитель произведения двух квад-
ратных матриц, не перемножая эти матрицы?
Чему равен определитель треугольной матрицы?
Какой метод для вычисления обратной матрицы седьмого по-
рядка предпочтительнее: метод присоединенной матрицы или
метод элементарных преобразований?
Может ли ранг матрицы А размера 7×3 равняться четырем?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.