Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

421

Следовательно,

S′(x) = u ′

(x) + u ′

(x) + ... + u ′

(x) + ... ,

что и требовалось доказать.

33.3. степенные ряды

О п р е д е л е н и е. Функциональный ряд вида

a x a a x a x a x

∞

∑

= + + + + +

0 1 2

... ...

(33.14)

называется степенным рядом. Постоянные числа a

, a

, …, a

, …

называются коэффициентами степенного ряда (33.14).

Область сходимости степенного ряда

Заметим, что область сходимости ряда (33.14) всегда является

непустым множеством, поскольку этот ряд сходится при x = 0.

Т е о р е м а 33.6 (теорема Абеля). 1. Если степенной ряд (33.14)

с х о д и т с я при некотором x = x

≠ 0), то он сходится, и при-

том абсолютно, при всех x, удовлетворяющих условию |x| < |x

2. Если ряд (33.14) р а с х о д и т с я при некотором x = x

, то он

расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x| > |x

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. По условию числовой ряд

a x a a x a x a x

0 1 0 2 0

∞

∑

= + + + + +... ...

с х о д и т с я, поэтому его общий член a

стремится к нулю при

n → ∞. Следовательно, последовательность {a

} ограничена,

т.е. существует такое число M > 0, что для всех n выполняется

неравенство

| a

| < M. (33.15)

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов

ряда (33.14):

| | | | | | | | ... | | ..a x a a x a x a x

∞

∑

= + + + + +

0 1 2

.. .

(33.16)

Представим его в виде

a x

∞

∑

= + + + +

0 1 0

2 0

|| | ... .a x

(33.17)

422

Пусть x < x

. Тогда

= <

Из (33.15) и (33.17) следует, что

члены ряда (33.16) меньше соответствующих членов ряда

M M

0 00 0

= + + + + +

∞

∑

... ... ,

который является суммой бесконечной убывающей геометриче-

ской прогрессии со знаменателем q < 1 и потому сходится. Следо-

вательно, на основании первого признака сравнения (см. теорему

32.2) ряд (33.16) сходится, т.е. ряд (33.14) сходится абсолютно.

2. По условию ряд (33.14) р а с х о д и т с я при x = x

. Докажем,

что он расходится для всех x, удовлетворяющих условию |x| > |x

Предположим противное, т.е. что при некотором x, таком, что

|x | > |x

|, ряд (33.14) сходится. Тогда по доказанному первому

утверждению теоремы он должен сходиться при x = x

, что про-

тиворечит условию. Теорема доказана.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходи-

мости и расходимости степенного ряда. Из нее следует, что если

степенной ряд сходится при x = x

, то он сходится абсолютно на

интервале (–| x

|, | x

|); если же ряд расходится при x = x

, то он

расходится всюду вне отрезка [–| x

|, | x

|]. Отсюда следует, что су-

ществует такое число R, что степенной ряд с х о д и т с я (и притом

абсолютно) в интервале (–R, R ) и р а с х о д и т с я вне отрезка

[–R, R].

Число R называется радиусом сходимости, а интервал (–R, R) –

интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала

сходимости (т.е. при x = –R и x = R) ряд может как сходиться, так

и расходиться.

Укажем способ нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

Рассмотрим ряд (33.14). Для каждого фиксированного x приме-

ним к этому ряду признак Даламбера (см. теорему 32.4). Ряд схо-

дится, если

lim lim | | .

a x

→∞

= <

Пусть

lim .

→∞

Тогда по признаку Даламбера ряд (33.16)

сходится, если |x|

L < 1, и расходится, если |x|

L > 1. Следователь-

423

но, ряд (33.14) с х о д и т с я а б с о л ю т н о при

и р а с х о -

д и т с я при

Таким образом, число

является радиусом

сходимости ряда (33.14), т.е.

→∞

lim .

(33.18)

При этом, в частности, может быть R = 0 или R = ∞, т.е. об-

ласть сходимости может состоять из одной точки или совпадать со

всей числовой прямой.

П р и м е р 33.2. Найти область сходимости степенного ряда

∞

∑

Р е ш е н и е. Здесь

n n

= =

1 1

, .

Найдем радиус сходи-

мости по формуле (33.18):

= =

→∞

lim lim .

Интервал сходимости есть (–1, 1).

Выясним теперь поведение ряда на концах интервала сходи-

мости: а) при x = –1 получаем знакочередующийся ряд

( )

−

∞

∑

который сходится по признаку Лейбница (см. теорему 32.7);

б) при x = 1 получаем гармонический ряд

∞

∑

который, как

известно, расходится.

Итак, на левом конце интервала сходимости ряд сходится

(условно), на правом конце – расходится.

П р и м е р 33.3. Найти область сходимости степенного ряда

∞

∑

(Напомним, что 0! = 1.)

Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости по формуле (33.18):

n n

= =

= + = ∞

→∞

→∞ →∞

lim lim

( )!

lim ( )

1 ..

Данный ряд сходится (абсолютно) на всей числовой прямой.

424

Свойства степенных рядов

Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда:

f x a x

( ) ,=

∞

∑

(33.19)

интервал сходимости которого (–R, R). В этом случае говорят,

что функция f(x) р а з л а г а е т с я на интервале (–R, R) в степен-

ной ряд.

Из теоремы Абеля следует, что степенной ряд мажорируем на

любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Поэтому степенные ряды обладают рядом свойств, аналогичных

свойствам обыкновенных многочленов.

Доказательства теорем о свойствах степенных рядов основаны

на равномерной сходимости степенного ряда на любом отрезке,

содержащемся в интервале сходимости.

Т е о р е м а 33.7. Степенной ряд

+ a

x + a

+ ... + a

+ ... (33.14)

мажорируем на любом отрезке [–r, r], целиком лежащем внутри

его интервала сходимости.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим числовой ряд

| + |a

|r + |a

+ ... + |a

+ ... . (33.20)

Надо доказать, что при r < R, где R – радиус сходимости ряда,

существует для ряда (33.20) сходящаяся числовая мажоранта

(с положительными членами).

Так как r < R, то по теореме Абеля этот ряд сходится. Но при

x ∈ [–r, r], т.е. при |x| ≤ r, для членов ряда (33.14) выполняются

неравенства |a

| ≤ |a

. Следовательно, ряд (33.14) мажориру-

ем на отрезке [–r, r], что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е. Степенной ряд сходится равномерно на всяком

отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Действительно, так как ряд мажорируем на [–r, r] при r < R, то

по признаку Вейерштрасса (см. теорему 33.1) он сходится равно-

мерно на [–r, r].

Т е о р е м а 33.8. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри

интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная

функция.

Эта теорема есть непосредственное следствие теорем 33.1, 33.2

и 33.7.

425

Т е о р е м а 33.9. Степенной ряд можно почленно интегриро-

вать на любом отрезке [0, x], где –R < x < R. При этом интеграл от

суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:

a x dx a x

∞

∑

∫













= + + + +

2 3

...

... .

Эта теорема также есть непосредственное следствие предыду-

щих утверждений – теорем 33.4 и 33.6.

Выясним теперь возможность почленного дифференцирования

степенного ряда.

Т е о р е м а 33.10. Пусть функция f(x) разлагается на интер-

вале (–R, R) в степенной ряд

f x a x a a x a x a x

( ) ... ... .= = + + + + +

∞

∑

0 1 2

(33.19)

Тогда степенной ряд

na x a a x a x na x

n−

∞

−

∑

= + + + + +

1 2 3

2 1

2 3 ... ... ,

(33.21)

полученный почленным дифференцированием ряда (33.19), име-

ет тот же интервал сходимости (–R, R) и функция f(x) на всем

интервале (–R, R) имеет производную f ′(x), которая разлагается

в степенной ряд (33.21):

f ′(x) = a

+ 2a

x + 3a

+ ... + na

n – 1

+ ... . (33.22)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что ряд (33.21) мажорируем

на любом отрезке [–r, r] при r < R. Возьмем произвольно точку r

удовлетворяющую условиям r < r

< R. В этой точке ряд (33.19)

сходится, следовательно, общий член этого ряда при x = r

стре-

мится к нулю, а потому ограничен. Иначе говоря,

lim ,

a r

→∞

поэтому существует такое M > 0, что

| r

< M (n = 1, 2, …).

Тогда при x ∈ [–r, r] имеем

− − −

−

≤ =













≤

1 1

0 0













−

426

Обозначим

= =, ;

по условию q < 1.

Итак, | n a

n – 1

| ≤ nM

n – 1

. Следовательно, все члены ряда

(33.21) для указанных значений x не превосходят соответству-

ющих членов мажорантного числового ряда

+ 2M

q + 3M

+ ... + nM

n – 1

+ ... .

А этот последний ряд сходится, в чем нетрудно убедиться с помо-

щью признака Даламбера. Обозначим a′

= nM

n – 1

, a′

n + 1

= (n + 1)M

. Тогда

lim lim

( )

n q

→∞

−

′

= <

Итак, ряд (33.21) мажорируем на отрезке [–r, r], и на основа-

нии теоремы 33.5 можно утверждать, что ряд (33.19) можно по-

членно дифференцировать и верно равенство (33.22).

Так как для всякой точки x ∈ (–R, R) существует такое r < R,

что x ∈ [–r, r], то из доказанного следует, что ряд (33.21) сходится

в любой внутренней точке интервала (–R, R).

Мы доказали, что при дифференцировании степенного ряда

его радиус сходимости не может уменьшиться.

Для завершения доказательства теоремы надо доказать теперь,

что радиус сходимости не может увеличиться в результате диффе-

ренцирования. Предположим противное, т.е. что ряд (33.21)

сходится при некотором x

> R. Интегрируя этот ряд в пределах

от 0 до x

, где R < x

< x

, мы получили бы, что исходный ряд

(33.19) сходится в точке x

, а это противоречит условию теоремы.

Итак, интервал сходимости ряда (33.19), т.е. (–R, R), есть в то же

время интервал сходимости ряда (33.21), полученного почленным

дифференцированием ряда (33.19). Теорема доказана.

Теоремы 33.9 и 33.10 означают, что по отношению к дифферен-

цированию и интегрированию степенные ряды (в пределах их ин-

тервала сходимости) ведут себя как обыкновенные многочлены.

Заметим, что, применяя теорему 33.10 повторно, легко убе-

диться, что функция, которая разлагается в степенной ряд, беско-

нечно дифференцируема на интервале сходимости этого ряда.

427

Степенные ряды с произвольным центром

Степенным рядом называется также функциональный ряд вида

a x x a a x x a x x a

( ) ( ) ( ) ...− = + − + − + +

∞

∑

0 1 0 2 0

(( ) ... .x x

− +

(33.23)

Это степенной ряд по степеням двучлена x – x

. Очевидно, сте-

пенной ряд (33.14) является частным случаем ряда (33.23).

Для определения области сходимости ряда (33.23) сделаем за-

мену:

x – x

= X.

После этой замены ряд (33.23) примет вид

+ a

X + a

+ ... + a

+ ... . (33.24)

Пусть (–R, R ) – интервал сходимости ряда (33.24). Тогда

ряд (33.23) с х о д и т с я при |x – x

| < R и р а с х о д и т с я при

|x – x

| > R. Поэтому интервалом сходимости ряда (33.23) бу-

дет множество всех значений x, удовлетворяющих неравенству

–R < x – x

< R, т.е. x

– R < x < x

+ R.

Следовательно, интервалом сходимости ряда (33.23) будет ин-

тервал (x

– R, x

+ R) с центром в точке x

. Все свойства сте-

пенного ряда (33.14) полностью сохраняются для степенного ряда

(33.23).

вопросы

Что такое область сходимости функционального ряда?

Какой функциональный ряд называется равномерно сходя-

щимся?

Какой функциональный ряд называется мажорируемым?

Всякий ли мажорируемый ряд является равномерно сходя-

щимся?

Всегда ли сумма функционального ряда, состоящего из непре-

рывных функций, есть непрерывная функция?

Какой функциональный ряд называется степенным рядом?

Что такое радиус сходимости степенного ряда? Может ли ра-

диус сходимости быть равным нулю или бесконечности?

Каковы основные свойства степенного ряда?

428

Глава 34

ряды тейлора И маклорена

34.1. разложенИе функцИИ в степенной ряд

Пусть функция f(x) на некотором интервале (–R, R) может

быть разложена в степенной ряд

f(x) = a

+ a

x + a

+ ... + a

+ ... . (34.1)

Из теоремы 33.4 следует, что этот ряд можно дифференци-

ровать почленно любое число раз. Тогда, дифференцируя n раз

равенство (34.1), получаем

f ′(x) = a

+ 2a

x + ... + na

n – 1

+ ... ,

f ″(x) = 2a

+ ... + n(n – 1)a

n – 2

+ ... ,

.............................................................

(n)

(x) = n!a

+ (n + 1)n ⋅⋅⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ a

n + 1

x + ... .

Полагая в этих равенствах, а также в разложении (34.1) x = 0,

имеем f(0) = a

, f ′(0) = a

, f ″(0) = 2!a

, …, f

(n)

(0) = n!a

. Отсюда

= =

( )

( , , , ...).

0 1 2

(34.2)

Подставив коэффициенты (34.2) в (34.1), получаем разложение

функции f(x) в степенной ряд:

f x f

( ) ( )

( )

...

( )

= +

′

′′

+ +0

+... .

(34.3)

Ряд (34.3) называется рядом Маклорена для функции f(x).

Мы доказали следующую теорему.

Т е о р е м а 34.1. Если функция f(x) может быть разложена

на интервале (–R, R) в степенной ряд, то этот ряд является ее

рядом Маклорена.

Теорема 34.1 означает, что разложение функции в степенной

ряд е д и н с т в е н н о. Коэффициенты этого разложения одно-

значно определяются формулами (34.2).

429

Известно, что для любой функции, имеющей производные до

(n + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Маклоре-

на [см. формулу (17.18)]:

f x f

( ) ( )

( )

...

( )

= +

′

′′

+ +0

( )

( )!

где ξ – точка, расположенная между 0 и x (ξ = θ x, 0 < θ < 1).

Если обозначить в этой формуле остаточный член через R

(x):

R x

( )

( )!

( )

а частичную сумму ряда Маклорена через S

(x), то формулу Мак-

лорена можно записать в следующем виде:

f(x) = S

(x) + R

(x). (34.4)

Из равенства (34.4) легко следует критерий разложимости функ-

ции в ряд Маклорена.

Т е о р е м а 34.2. Для того чтобы бесконечно дифференци-

руемая функция f(x) разлагалась в ряд Маклорена на интервале

(–R, R), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член фор-

мулы Маклорена для этой функции стремился к нулю на указан-

ном интервале при n → ∞.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Необходимость. Пусть

lim ( ) ( )

S x f x

→∞

для всех x ∈ (–R, R). Тогда для всех x ∈ (–R, R ) в силу (34.4)

lim ( ) lim [ ( ) ( )] ( ) ( ) .

R x f x S x f x f x

→∞ →∞

= − = − = 0

2. Достаточность. Пусть теперь дано, что

lim ( )

R x

→∞

= 0

для

всех x ∈ (–R, R). Тогда из (34.4) получаем

lim ( ) lim [ ( ) ( )] ( ) ( ),

S x f x R x f x f x

→∞ →∞

= − = − =0

т.е. ряд Маклорена сходится к функции f(x). Доказательство за-

кончено.

Заметим, что если

lim ( ) ,

R x

→∞

≠ 0

то ряд Маклорена не пред-

ставляет данной функции, хотя и может сходиться (к некоторой

другой функции).

Как известно, формула Маклорена является частным случаем

формулы Тейлора [см. формулы (17.7) и (17.12)]:

430

f x f a

f a

x a

f a

x a

( ) ( )

( )

( ) ...= +

′

− +

′′

− + +

1 2

(( )

( )

( ) ( ),

x a R x− +

где

R x

x a

( )

( )!

( ) .

( )

−

Если функция f(x) имеет производные любого порядка в ок-

рестности точки x = a, то получим бесконечный ряд, который

называется рядом Тейлора:

f a

x a

f a

x a

f a

( )

( ) ...

(

( )

′

− +

′′

− + +

1 2

))

( ) ... .

x a

− +

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора при a = 0.

Ряд Тейлора для функции f(x) сходится к этой функции тогда

и только тогда, когда остаточный член в формуле Тейлора для

этой функции стремится к нулю:

lim ( ) .

R x

→∞

= 0

Легко убедиться в том, что если все производные ограничены:

(n)

(x) ≤ M (n = 1, 2, …), то

lim ( ) .

R x

→∞

= 0

34.2. разложенИе некоторых

элементарных функцИй в ряд маклорена

1. Пусть f(x) = e

. По формуле Тейлора

x x x

R x= + + + + +1

1 2

! !

...

( ),

где

R x

( )

( )!

, .=

< <

0 1е

Так как при любом фиксированном x величина e

ограниче-

на, то

lim ( ) .

R x

→∞

= 0

Следовательно, при всех x ∈ (–∞, ∞)

x x x

= + + + + +1

1 2

! !

...

... .

(34.5)

2. Аналогично получаем разложение в ряд Маклорена функ-

ций f(x) = sin x и f(x) = cos x (см. § 17.3; здесь также

lim ( ) .

R x

→∞

= 0

при всех x):

sin

... ( )

( )!

... ,x x

x x

= − + + −

+3 2 1

2 1

(34.6)

cos

... ( )

( )!

... .x

x x

= − + + − +1

2 2

(34.7)