Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.2. Общие положения: постулаты ньютоновской механики и механики жидкости и газа



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 11

4-й п о с т у л а т – о текучести жидкости. Особенностью всех жидких

сплошных сред является их способность изменять свою форму, объем и не-

прерывно двигаться (течь) даже при очень малых внешних нагрузках. Для

упругого тела деформации всегда конечны: если внешние нагрузки малы, то

и деформации будут малы.

Количественно свойства

текучести определяют вязкостью жидкости,

используя в простейшем случае линейный закон Ньютона о связи касатель-

ных напряжений и скорости деформации вида



где



 динамический коэффициент вязкости;







 кинематический

коэффициент вязкости (молекулярной). При этом вводят число Рейнольдса

как отношение динамических и вязкостных сил:















~Re

LVV

Здесь

– характерная скорость течения;

– размер тела (трубы, канала и

т. п.).

5-й п о с т у л а т – о сплошности  основывается на молекулярно-

кинетических представлениях о строении жидкости и газа. За материальную

точку в МЖГ принимается такой малый (но физически конечный) объем, в пре-

делах которого находится большое количество молекул. Их среднестатические

характер

истики обеспечивают макроскопические свойства жидкости и газа.

Если, например, за характерный размер такого микрообъема





взять

1 мм (что достаточно, когда рассматривается обтекание, в частности крыла

судна на подводных крыльях с размером хорды в 1 м), то в его пределах бу-

дет находиться молекула размерами

104,3А4,3

10





м,

103

ì 104,3

ì 101









Дополнительно вводят понятие массовой плотности сплошной среды

(континуума)

lim









причем







6-й п о с т у л а т – о сжимаемости среды. Все жидкости под действи-

ем нагрузки изменяют свой объем. Изменение удельного объема во времени

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.2. Общие положения: постулаты ньютоновской механики и механики жидкости и газа



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 12

.div













Для несжимаемых жидкостей, следовательно,

0Vdiv



. Чаще всего

в МЖГ мерой сжимаемости сплошной среды служит скорость звука – ско-

рость распространения малых упругих колебаний –







например, для адиабатических течений газа

,const



к 





кC

Для воздуха скорость звука С = 330 м/с, для воды С = 1540 м/с (при

стандартных условиях Р = 1 атм, Т = 15 С), для стали С = 4500 м/с. В возду-

хе уже достигнуты скорости движения порядка или даже больше скорости

звука.

Для этого вводят число Маха



и говорят о дозвуковом







, околозвуковом



1~M

и сверхзвуко-

вом течениях жидкости



1M

. В воде скорость звука около 1000 м/с встре-

чается при падении метеоритов, подводных взрывах и кавитации.

Физические свойства любого вещества, в т. ч. находящегося в жидком

состоянии, определяются его атомно-молекулярной структурой. По причине

недостаточной изученности этой структуры нередко пользуются гипотезой

сплошности (гипотезой о непрерывности распределения массы и физико-

механических характеристик среды). Следует отметить, что, заменяя реаль-

ную жидкость ее моделью в виде континуума, в действительности, не делает-

ся никако

й ошибки до

тех пор, пока не исследуется движение и взаимодейст-

вие молекул или состояние межмолекулярного пространства. Это объясняет-

ся чрезвычайной малостью молекул жидкости и малыми межмолекулярными

расстояниями. Гипотеза сплошности позволяет объяснить макроскопические

свойства жидкости, которые можно разделить на две группы: свойства жид-

кости, непрерывно распределенные по объему среды, и свойств

а, проявляю-

щиеся по внутренним или внешни

м поверхностям такого объема.

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3. Основные физические свойства жидкостей



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 13

Плотность является основной физической характеристикой сплошной

среды и представляет собой отношение массы жидкости к ее объему:

lim

0Δ







, (1.1)

где



 масса, заключенная в элементарном объеме

WΔ

, включаю-

щем i-ю точку среды, в которой определяется плотность. Размерность плот-

ности





. В единицах СИ плотность измеряется в кг/м

Плотность неоднородной жидкости в общем случае зависит от коор-

динат пространства (

221

, , xxx

), времени t, давления P и температуры T жид-

кости, т. е.





TPtxxx , , , , ,

221







(1.2)

Поверхности равных значений плотности в пространстве называются

изостерическими. Плотность однородной жидкости по всему объему одина-

кова и зависит только от давления и температуры:





TP ,







. (1.3)

Выражение (1.3), по сути, является уравнением состояния для сжимае-

мой среды (газ). Для несжимаемой среды











. (1.4)

На практике о массе жидкости судят по ее весу. В связи с этим в техни-

ке пользуются понятием удельного веса



, определяемого силой тяжести

или весом жидкости

G в объеме



, (1.5)

где g  ускорение свободного падения. Размерность





 MTL

LMT

Для воды при нормальных физических условиях (T = 0 С, P = 101,325 кПа)



= 999,87 кг/м

Легкоподвижность, или текучесть, – свойство жидкости, обуслов-

ленное тем, что для большинства жидкостей касательные напряжения в среде

(внутреннее трение) отличны от 0 только при наличии относительного сдвига

между слоями среды. Этим свойством объясняется то, что жидкость прини-

мает форму сосуда, в который помещена. Весьма малые напряжения сдвига,

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3. Основные физические свойства жидкостей



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 14

приложенные к жидкому объему, вызывают в нем непрерывные деформации,

проявляющиеся в текучести. Текучесть обусловлена слабым взаимодействи-

ем между молекулами жидкости по сравнению с твердыми телами.

Сжимаемость – свойство жидкости (газа) изменять свой объем и, сле-

довательно, плотность под действием внешних сил.

По механическим свойствам жидкости делятся на несжимаемые (ка-

пельные) и сжимаемые (газообразные). Для несжимаемо

й среды пло

тность в

большом диапазоне P слабо зависит от изменения давления.

Сжимаемость жидкостей оценивается величиной модуля объемной уп-

ругости k, а точнее, величиной, обратной модулю упругости:





, или









. (1.6)

В подавляющем большинстве случаев, встречающихся в практике, из-

менение давления не влияет на изменение объема жидкости. Поэтому, как

правило, сжимаемостью среды можно пренебречь. Например, с увеличением

давления с 1 до 100 атм плотность воды возрастает только на 0,5 %. Для нор-

мальных условий атмосферный воздух в 22 000 раз более сжимаем, чем вода.

Коэффициент температурного расширения капельных жидкостей так

же

незначителен:





Для воды при изменении температуры в диапазоне от 10 до 20 С и

P = 101,325 кПа

= 0,00015.

Скорость распространения звука в веществе является косвенной мерой

его сжимаемости и представляет собой скорость распространения малых

возмущений давления. Для любого термодинамического состояния вещества

справедлива зависимость, определяющая скорость звука как





(1.7)

В воде при T = 25 С a = 1497 м/с.

Вязкость (внутреннее тр

ение) 

способность жидкостей оказывать со-

противление касательным напряжениям сдвига, развивающимся по внутрен-

ним поверхностям между движущимися объемами. Еще в 1687 г. И. Ньюто-

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3. Основные физические свойства жидкостей



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 15

ном была высказана гипотеза о том, что сила трения пропорциональна скоро-

сти относительного перемещения, т. е.



(1.8)

где



 динамический коэффициент вязкости, кг/м·с;

 градиент

скорости,

;



 касательные напряжения сдвига.

Зависимость (1.8

) выражает закон трения Ньютона. Скорость деформа-

ции

в (1.8) является характеристикой данного состояния среды в некото-

рый момент времени.

В отличие от твердого тела жидкость под действием даже малых напря-

жений сдвига деформируется непрерывно, т. е. течет со скоростью, пропорцио-

нальной приложенным напряжениям. При отсутствии скорости сдвига





Динамический коэффициент вязкости практически не зависит от дав-

ления и характера движения и определяется только физическими свойствами

жидкости и ее температурой. Вязкость жидкости с увеличением температуры

уменьшается. Для воды при нормальных условиях



= 1,79 МПас.

Наряду с динамическим в дальнейшем будем часто иметь дело с кине-

матическим коэффициентом вязкости







(1.9)

Кинематический коэффициент вязкости для капельных жидкостей при

P  20 МПа весьма мало зависит от давления. Для воды при нормальных ус-

ловиях

v10

= 1,792 м

/с.

Поверхностное натяжение. Молекулы жидкости, в отличие от газов,

расположены друг от друга на крайне малых расстояниях, вследствие чего

возникают значительные межмолекулярные силы сцепления, особенно ин-

тенсивно проявляющиеся на внешних поверхностях, отделяющих данную

жидкость от других жидкостей или газов. Под действием поверхностных сил

жидкость подвергается значительному сжатию. В этих условиях изменения

давления, наблюдаемые при обычных движениях жидкости, почти не влияют

на изменение объема (сжи

аемость жидкости). Вот почему, в отличие от га-

зов, жидкости можно считать несжимаемыми.

В результате стремления поверхностной энергии к минимуму свобод-

ная поверхность жидкости в свою очередь стремится принять наименьшую

площадь. Этим объясняется стремление жидкости в атмосфере принять фор-

му шар

. Правильную форму сферы принимают капли жидкости в невесомо-

сти. Мерой поверхностной энергии является коэффициент поверхностного

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3. Основные физические свойства жидкостей



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 16

натяжения



как отношение энергии молекул поверхностного слоя E

к пло-

щади S, занимаемой этими молекулами:



, или



. (1.10)

Поверхностное натяжение на границе воды с воздухом невелико ( = 0,073

Н/м), почти в 7 раз меньше, чем  ртути. Величина  определяется физиче-

скими свойствами жидкости.

Своеобразие молекулярного строения механизма взаимодействия меж-

ду молекулами в жидкости приводит к характерным для них капиллярным

свойствам, возникающим на границе двух различных жидкостей, а также

жидкости и твердого или газообразного тела. Таковы явлен

я смачиваемости

твердых поверхностей, образования менисков и капель.

Сегодня, исследуя космос, ученые проводят различные эксперимен-

ты, в т. ч. с целью выяснения влияния условий невесомости на некоторые

технологические процессы (например при выращивании правильных кри-

сталлов).

Практически в любом технологическом процессе присутствует

жидкость. Поэтому поведение покоящейся (движущейся) жид

ости в ус-

ловиях невесомости в том или ином случае представляет определенный

интерес. Например, в условиях относительно большой силы тяжести по-

верхностное натяжение проявляется в малой степени. В условиях же не-

весомости это основная сила, которая обусловливает поведение жидко-

сти. Под действием поверхностного натяжения жидкость образовывает

капли идеальной шарообразной формы; в условиях невесомости сосу

Дюара, предназначенный для хранения сжиженных газов, уже не выпол-

няет своих функций

и т. д.

Попытайтесь ответить на вопрос: что произойдет, если в невесомо-

сти открыть бутылку с водой. Рассмотрите два случая: бутылка стеклянная

и из полиэтилена. Почему в условиях невесомости сосуд Дюара не будет

«ра

ботать».

Любая реальная жидкая среда обладает бесчисленным множеством

свойств. Совокупность наиболее существенных свойств позволяет сформу-

лировать определение модели жидкой среды, используемое в технической

механике жидкости: жидкой средой называется сплошная, легкоподвиж-

ная, сжимаемая и вязкая среда.

Здесь рассматриваются только текучие среды и только идеально теку-

чие жидкости, т. е. удовлетворяющие условию (1.8

). Такие жидкости с ли-

нейной зависимостью между скоростью деформации и касательными напря-

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.3. Основные физические свойства жидкостей



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 17

жениями сдвига называются ньютоновскими (вода, глицерин и многие ре-

альные жидкости, расплавленные металлы).

К неидеальнотекучим ньютоновским жидкостям относятся вязкопла-

стичные жидкости (тиксотропные жидкости, глинистые растворы), псевдопла-

стичные (растворы полимеров, коллоидные суспензии), многие краски, битумы,

сыпучие тела и т. д. Количественная связь между напряжениями деформации и

скоростями сдвига в таких жидкостях может быть различ

ной. Уста

новлением

общих законов этой связи занимается специальная наука – реология.

В механике жидкости для упрощения решения некоторых задач ис-

пользуется модель идеальной жидкости  модельная жидкая среда, лишен-

ная внутреннего трения, абсолютно несжимаемая и неспособная сопротив-

ляться разрыву. Дополнительными условиями могут быть

k



a

История развития механики жидкости и газа (гидрогазодинамики) пол-

ностью подтверждает наличие взаимосвязи между наукой и практикой, тео-

рией и бытием общества, условиями его жизни и корнями уходит в далекое

прошлое, к гидротехническим работам Египта, Вавилона, Месопотамии, ко-

гда гидравлика являлась только искусством без каких-либо научных основ.

Отдельные результаты наблюдений за движением жидк

остей и газов

дошли до наших дней в трудах великого древнегреческого философа Аристоте-

ля (384–322 г. до н. э.). Некоторые законы гидростатики и плавания тел были

сформулированы математиком и механиком Архимедом (287–212 г. до н. э.). За

истекшее время к труду Архимеда по гидростатике мало что удалось добавить.

Работы Архимеда послужили толчком к появлению ряда замечатель-

ных гидравлических апп

ратов: насоса, духового ружья и водяных часов Кте-

зибия; сифона, автомата для дозировки жидкости Герона Александрийского и

др.

Эпоха Римской империи характеризуется возведением грандиозных

гидротехнических сооружений: акведуки, системы водоснабжения и т. п.

Период средневековья, длившийся после падения Римской империи более

1000 лет, характеризуется регрессом. В этот период развивалось во многом оши-

бочное учение Аристотеля, которое ра

зличные философы изменяли и приспо-

саблив

али к христианскому вероучению. Затем идеи Архимеда были возрожде-

ны и получили дальнейшее развитие. Большой вклад в развитие основ гидроме-

ханики был сделан Леонардо да Винчи (1452–1519), Стевиным (1548–1620), Га-

лилеем (1564–1642), Паскалем (1623–1662) и Гюйгенсом (1629–1695).

Ньютон (1642–1727) в своих «Началах» приводит квадратичный закон

сопротив

ления, выведенный теоретическим путем

. В этой первой в истории

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ

1.4. Из истории возникновения науки «Механика жидкости и газа»



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 18

механики попытке выяснения природы сопротивления уже можно найти

идеи, близкие современным представлениям.

Начало механике жидкости и газа как науке было положено в XVIII сто-

летии трудами: Михаила Васильевича Ломоносова (1711–1765), Леонардо

Эйлера (1707–1783), Даниила Бернулли (1700–1782), Жана Лерона Д’ Алам-

бера (1717–1783).

Работы М. В. Ломоносова по металлургии, горному делу, водяным

двигателям и метеорологии явились крупным вкладом в гидромеханику.

Л. Эйлером были выведе

ны уравнен

ия движения и равновесия жидко-

сти, указаны некоторые интегралы этих уравнений и сформулирован закон

сохранения массы применительно к жидкости. Кстати, Эйлер первым вы-

сказал предположение, что жидкость несжимаема.

Д. Бернулли в труде «Гидродинамика» осветил целый ряд вопросов равнове-

сия жидкостей, неустановившегося течения жидкости при пост

оянном на

поре и др.

Дальнейшее развитие механики жидкости и газа (конец XVIII  начало

XIX века) характеризуется математической разработкой гидродинамики иде-

альной жидкости. К этому периоду относятся труды французских математи-

ков Лагранжа (1736–1813) и Коши (1789–1857). Основы теории движения

вязкой жидкости были заложены французским ученым Навье (1785–1836) и

английским физиком-математиком Стоксом (1819–1903).

Однако применение получаемых уравнений на практике давало удов-

летворительные результаты лишь в немногих случаях. В этой связи с конца

XVIII века многие ученые и инженеры (Шези, Дарси, Базен, Вейсб

ах, Пуай-

зель и др

.) опытным путем изучали движение воды и для различных случаев

получили большое число эмпирических формул гидравлики. Создавшаяся

таким образом практическая гидравлика все больше отдалялась от теорети-

ческой гидродинамики.

Лишь во второй половине XIX века, после открытия Рейнольдсом ус-

ловий перехода ламинарного движения в турбулентное и создания теории

подобия, многие исследователи в области механики жидкости и газа поняли,

что без т

ории, ставящей задачи опыту и обобщающей его результаты, не

может быть и научно поставленного эксперимента.

Мо

щный толчок в развитии механика жидкости и газа получила в нача-

ле XX столетия в результате стремительного развития авиационной техники,

гидромашиностроения, гидротехнического строительства и теплоэнергетики.

В славную плеяду русских и советских ученых-гидромехаников вошли имена

Н. Е. Жуковского (1834–1907), С. Я. Чаплыгина (1869–1942), К. Э. Циолков-

ского (1857–1935), И. В. Мещерского (1859–1935) и А. А. Фрид

мана (1888–

1925). Со

временный этап развития гидромеханики характеризуется появлени-

ем ее новых разделов: физико-химической, электромагнитной, космической

гидродинамики, что обусловлено развитием многих областей техники. Среди

современных выдающихся ученых в области механики жидкости и газа из-

вестны такие имена, как Л. И. Седов, М. А. Лаврентьев, Л. Г. Лойцянский и др.

1. ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОМЕХАНИКУ



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 19

Во многих областях техники используются достижения механики жид-

кости и газа. Авиация и кораблестроение, основными проблемами которых

являются скорость, устойчивость, снижение сопротивления, неразрывно свя-

заны с аэро- и гидродинамикой. В ракетостроении не только нашли примене-

ние настоящие достижения науки, но и был поставлен ряд новых задач перед

газодинамикой, послуживших развитию этой еще молодой отрасли механики

жидкости и газа.

Проточные части гидротурбин и насосов, компрессоров и газовых тур-

бин двигателей реактивного самолета – это сложное сочетание неподвижных

и подвижных лопаточных систем самой различной конфигурации, обтекае-

мых при высоких скоростях газом, паром или водой. От правильного гидро-

динамического расчета формы проточной части зависит требуемая мощность

машин, ее высокий КПД.

Знание гидромеханики необходимо в гидротехни

ческом строительстве,

металлургии, при решении вопросов интенсификации технологий химиче-

ской индустрии, водоснабжения и добычи полезных ископаемых.

Вычислительные машины позволили расширить круг решаемых анали-

тических задач гидродинамики и сократить время на их решение. Однако тех-

нический прогресс не стоит на месте, и в механике жидкости и газа по

являются

новые направления, продиктованные современным и перспективным разви-

тием техники. Так, например, становление криодинамики обусловлено разви-

тием атомной энергетики и новыми задачами волновой энергетики, связан-

ной с утилизацией энергии волн мирового океана. Кроме того, это и разра-

ботка энергетики ветра и многое другое.

В этом взаимодействии науки с растущими потребностями техники, в

этом непрерыв

ном прогрессе, отчетливо проявляется диалектический путь по-

знания истины. При этом понимание состоит в нахождении существенных при-

знаков явлений и связей между ними на общенаучной методологической осно-

ве.



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 20

В механике жидкости и газа для описания свойств среды, ее движения

и кинетического взаимодействия с телами существенно необходимо введение

и использование понятий скалярных (например плотность , температура T),

векторных (скорость



, ускорение



, сила



) и тензорных величин с соот-

ветствующими математическими операциями над ними.

Совокупность значений (множеств) этих величин для каждой точки M

трехмерного евклидова пространства E

называют полем соответственно ска-

лярным, векторным или тензорным.

Систему координат x

вводят для удобства рассмотрения явления и

решения соответствующих задач. Поля физических характеристик среды (,

T,



и др.), законы ее движения и различные процессы взаимодействия оп-

ределяются свойствами материи и не зависят от выбора системы координат,

т. е. инвариантны.

Исследование инвариантных характеристик геометрических объектов и

физических величин при переходе от одной к другой системе координат со-

ставляет предмет тензорного анализа.

Академику А. Н. Крылову приписывают шутливое изречение «… век-

торное исчисление сокращает время, но иссушает мозг». Как во всякой шут-

ке, здесь есть и доля

правды. Однако соответствующие математический ап-

парат и формализм вводятся не столько ради сокращения записи (что также

немаловажно), но главным образом с целью создания существенно

необходимого компактного, легкообозримого (т. е. почти всегда безошибоч-

ного) и эффективно

го правила действия, позволяющего выразить основные

свойства изучаемого явления и процесса.

В МЖГ и ее основных уравнениях фигурируют не сами силы или другие

величины, а их плотности на единицу массы (объема) или поверхности: соответ-

ственно массовые (объемные) или по-

верхностные силы, энергии и т. д.

Необходимость введения понятия

тензора (например напряжений – для

поверхностных сил) в механике сплош-

ной среды можно пояснить на простом

примере  растяжении бруса (рис. 2.1

Для нормального сечения II с

площадью S будем иметь удельную на-

Рис. 2.1