Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

3. ГИДРОСТАТИКА

3.4. Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 51

ментов составляющих ее сил. В данном случае момент равнодействующей

силы

DcDp

SxhxPМ





изб

, (3.23)

а сумму составляющих элементарных моментов

dM можно определить

как





JdSxdMdSM

sinsin

, (3.24)

где





dSxJ

момент инерции рассматриваемой фигуры относительно

оси

Oх

, x

 координата центра давления.

Из условия

M = M

после подстановки имеем



(3.25)

Заменив в формуле (3.25

) момент инерции J

центральным моментом

инерции

, окончательно получим

SxJ







(3.26)

где



момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходя-

щей через центр тяжести площади плоской фигуры параллельно данной оси.

Последнее уравнение свидетельствует о том, что центр давления всегда рас-

положен ниже центра тяжести плоской фигуры.

В более общем случае криволи-

нейной поверхности, в отличие от рас-

смотренного примера плоской фигуры,

элементарные составляющие полного

давления, действуя по нормали к по-

верхности

S (рис. 3.6), не будут парал-

лельны между собой, могут не пересе-

каться в одной точке и не иметь равно-

действующей силы.

Найдем аналитическое выраже-

ние для определения давления на кри-

волинейную поверхность

ABCD, по-

груженную в жидкость (рис. 3.6

). Эле-

Рис. 3.6

3. ГИДРОСТАТИКА

3.4. Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 52

ментарная сила



, действующая на площадку dS нормально,

dSnpdPd





(3.27)

и имеет соответствующие проекции на оси координат:





dSxnpdP

^cos







dSxnpdP

^cos







dSxnpdP

^cos



т. к. проекции орта нормали на оси координат равны косинусам углов

между нормалью и соответствующей осью. Соответственно





,^cos

xndSdS







,^cos

xndSdS







.^cos

xndSdS



Тогда, если воспользоваться формулой (3.13) и пренебречь константой

(т. е. внешним давлением), составляющие силы давления можно представить в

виде

111

dSxdP 



222

dSxdP 



(3.28)

333

dSxdP





Отсюда следует, что





321

, dPdPdP

есть элементарная сила давления на

плоскую площадку

, лежащую на той же глубине x

под свободной по-

верхностью, что и элементарная криволинейная площадка.

Для нахождения компонент силы полного давления проинтегрируем

выражения (3.28

) по поверхности ABCD:

131





dSxP

232





dSxP





333

GWdSxP

(3.29)

где W

 объем жидкости, заключенный между криволинейной поверх-

ностью

ABCD и свободной поверхностью. Таким образом, вертикальная со-

ставляющая суммарного давления жидкости на криволинейную стенку рав-

няется весу жидкости

, заключенной в объеме цилиндрической поверхно-

сти с вертикальными образующими, ограниченной снизу плоскостью

ABCD и

сверху свободной поверхностью. Эту призму еще называют телом давления

WG 



3. ГИДРОСТАТИКА

3.4. Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 53

где G

 вес тела давления; W

 объем тела давления.

Горизонтальные составляющие полного давления тоже определяются

через вес некоторых объемов:

111

SxP





222

SxP





где

, x

 глубина погружения центра тяжести соответствующей

проекции

S на координатные плоскости.

Главный вектор сил давления на криволинейную стенку

PPPP 

(3.30)

а его направление определяется из соотношений



cos

XP 





cos

XP 





cos

XP 



(3.31)

В инженерной практике гидравлических расчетов часто приходится

встречаться как с простыми, так и со сложными поверхностями, подвержен-

ными действию гидростатического давления (например шаровые клапаны

насосов, трубопроводы и резервуары, крышки и водные преграды и т. п.).

Решение задач о плавании тел, конструирование разнообразных гидро-

машин и приборов самого различного назначения (ареометры – для измере-

ния плоскости жидкости, лактометры – измерители жирности молока и т. п.)

основываются на применении закона Архимеда. Этот закон гласит: на тело,

погруженное в покоящуюся жидкость, со стороны жидкости действует подъ-

емная сила, равная весу жидкости, вытесн

енной телом. Она напр

авлена вер-

тикально вверх и стремится вытолкнуть тело из жидкости. Эта сила называ-

ется

гидростатической подъемной силой, или силой Архимеда.

Гидростатическая подъемная сила возникает за счет неравномерного

распределения давления в жидкости, которое возрастает с увеличением глу-

бины. Математически архимедова сила записывается так:

TTA

GWP







, (3.32)

где

 объем вытесняемой телом жидкости; G

 вес вытесненной жид-

кости.

3. ГИДРОСТАТИКА

3.5. Закон Архимеда



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 54

Получить это выражение рекомендуем самостоятельно, применив из-

вестные уже понятия тела давления, гидростатического давления и полного

давления на (в общем случае) криволинейные поверхности. Рассуждения

можно проводить на примере тела любой конфигурации, от этого они не ста-

нут более трудными.

Линия действия силы Архимеда

проходит через центр тяжести мас-

сы вытесненной жидкости. Если жидкость однородна, то центр вытесненной

массы совпадает с центром тяжести вытесненного объема (иногда его назы-

вают центром водоизмещения). В общем случае для тел, погруженных в сре-

ду с неоднородной плотностью, сила Архимеда и ее линия действия сущест-

венно зависят от положения тела в жидкости и от его ориентации.

Если си

ла Архимеда мень

ше веса тела, то тело, предоставленное само-

му себе, тонет. Если сила Архимеда больше веса тела, оно всплывает до тех

пор, пока его вес не сравняется с гидростатической подъемной силой. При

плотности тела, равной плотности жидкости, оно будет плавать внутри жид-

кости на любой глубине и мо

жет занимать любое положение.

С за

конами гидростатики Архимеда за всю историю развития гидрав-

лики было связано много курьезных случаев (например построение самых

разнообразных по конструкции «вечных двигателей»), которые сейчас счи-

тают парадоксами гидростатики. Рассмотрим два из них.

1. Парадокс Жуковского. В стенке сосуда с жидкостью помещен ци-

линдр (рис. 3.7

), который может вращаться вокруг оси. Казалось бы, со-

гласно закону Архимеда, на погруженную в жидкость часть тела должна

действовать подъемная гидростатическая сила. Тогда за счет момента этой

силы относительно оси вращения цилиндр должен вращаться, т. е. налицо

вечный двигатель 1-го рода. Однако вращения не будет. Парадокс заключа-

ется в том, что зде

сь закон Архимеда, относящ

ийся только к полностью по-

груженным или свободно плавающим телам, неприменим. Силы гидроста-

тического давления, действующие на боковую поверхность цилиндра, на-

правлены по нормали, и линии их действия пересекутся на оси цилиндра, т.

е. равнодействующая сил гидростатического давления проходит через ось, и

вращения цилиндра не будет.

Рис. 3.7 Рис. 3.8

3. ГИДРОСТАТИКА

3.5. Закон Архимеда



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 55

2. Парадокс Седова объясняется существенным моментом в выводе

закона Архимеда о замкнутости поверхности соприкосновения тела с жидко-

стью. Если поверхность не замкнута, то закон Архимеда не имеет места (это

не относится к плавающим телам, где поверхность замыкается воображаемой

горизонтальной плоскостью, проходящей через тело и совпадающей с уров-

нем покоящейся жидкости).

Если тело со всех сторон окружено водой, на него действует выталки-

вающая сила. Если то же тело плотно опустить на дно (рис. 3.8

), то вместо

архимедовой силы на него будет действовать сила, прижимающая тело ко

дну, которую называют силой присоса – она зависит от глубины погружения

по выражению (3.14

) и площади поверхности в проекции на горизонтальную

плоскость (см. выражение (3.17

)).

Этим явлением объясняются случаи, когда подводные лодки ложились

на дно океана, теряли плавучесть и не могли всплыть. Этим же обстоятельст-

вом осложнен подъем со дна затонувших кораблей и грузов.

Рассмотрим равновесие капельной жидкости относительно вращаю-

щейся с постоянной угловой скоростью



системы координат. Задачи по-

добного рода имеют место, например, в практике центробежного литья

и т. п. Наибольший практический ин-

терес представляет нахождение зако-

на распределения давления в жидко-

сти, находящейся в состоянии отно-

сительного покоя, и формы свобод-

ной поверхности (или поверхности

равного давления).

Пусть сосуд вращается вокруг

вертикальной оси

с постоянной

угловой скоростью



(рис. 3.9). Оп-

ределим форму поверхности жидко-

сти при условии, что она неподвижна

относительно сосуда. На элементар-

ный жидкий объем



в точке M дей-

ствуют массовые силы тяжести и

центробежные силы инерции. В

уравнения равновесия (3.6

) в этом

Рис. 3.9

3. ГИДРОСТАТИКА

3.6. Равновесие жидкостей в относительной системе координат



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 56

случае подставим плотности сил тяжести и центробежных сил инерции.

Уравнения относительного равновесия имеют вид













(3.33)

где

x

 проекции центробежной силы (



) на соответствую-

щие оси координат. Легко видеть общее решение этих уравнений:



















const,

xxr

(3.34)

Для точки 0

xx 

на свободной поверхности P = P

, тогда

const gxP









330

xxgPP





, (3.35)

а уравнение свободной поверхности жидкости при P = P

имеет вид





, (3.36)

т. е. представляет собой параболоид вращения. Аналогична форма и

всех других изобарических поверхностей, что

видно из (3.36

), если произвольно изменять

Формула (3.35

) показывает, что давление в жидко-

сти, находящейся в относительном покое, распре-

деляется по гидростатическому закону (сравните с

выражением (3.13

)).

Вектор grad

P = g + 

направлен по нор-

мали к соответствующим параболоидам (рис. 3.9

Рис. 3.10

3. ГИДРОСТАТИКА

3.6. Равновесие жидкостей в относительной системе координат



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 57

Если в жидкости находятся взвешенные частицы различной плотности,

то частицы с меньшей по отношению к жидкости плотностью (например час-

тицы масла по отношению к воде) под действием силы Архимеда, обуслов-

ленной силой тяжести и центробежной силой, поднимутся вверх и соберутся

вблизи оси вращения, а более плотные, наоборот, опустятся вниз и располо-

жатся по периферии.

Это явление объясняет процесс центрифугирова

ния, лежащий

в основе

работы гидроциклона – устройства

для разделения веществ, работаю-

щего на несущей жидкости – воде

(рис. 3.10

). На частицу с объемом



взвешенную в жидкости, кроме объ-

емной силы Архимеда, действует (во

времени) ее аналог – сила

, на-

правленная по радиусу к оси вра-

щения. Сумма центробежной силы

и аналога архимедовой силы F

, обусловленной различием в плотности час-

тицы и жидкости, и определяет процесс центрифугирования (совместно с си-

лами тяжести и Архимеда, действующими в вертикальной плоскости):





rFF

÷Ai



где



и   плотности взвешенных частиц и несущей жидкости (воды)

соответственно.

В случае равновесия жидкости в сосуде (например, в железнодорожной

цистерне), движущейся поступательно с ускорением (рис. 3.11

), свободная

поверхность представляет собой наклонную плоскость под углом к горизонту















arctg

. Направление результирующей массовых сил тяжести и инер-

ции R, действующей на частицы жидкости, составляет постоянный угол с

вертикалью.

Рис. 3.11



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 58

Кинематика – раздел механики капельных жидкостей, в котором рас-

сматриваются виды и формы движения жидкости без выяснения природы и

сил, вызывающих это движение. По образному выражению Н. Е. Жуковско-

го, кинематика – это «геометрия движения». В кинематике используется

свойство, общее для всякой сплошной среды, – непрерывность распределе-

ния параметров движения в пространстве и дифференцируемость их в про-

странств

е и времен

и. Способы задания движения в кинематике жидкости (га-

зов) отличаются от известных способов в кинематике отдельной материаль-

ной точки или системы точек. При движении свободного жидкого объема (в

отличие от твердого тела) в его разных точках скорости частиц жидкости

различны и объем деформируется. Движение жидкости будет определенным

тогда, когда извест

ны перемещения все

х ее элементов.

Чтобы описать движение жидкости, необходимо задаться определен-

ными свойствами ее в каждой точке (скоростью, давлением, плотностью и

др.). Непрерывность распределения характеристик в сплошной среде приво-

дит к понятию поля физической величины, под которым понимают часть про-

странства, в каждой точке которого физическая величина определена одно-

значно.

Если поле физической величины не зависит от времени, его называют

стационарным, или установившимся. Поле фи

зической величины нестацио-

нарно, если его параметры

зависят от времени. Однако понятие стационарно-

сти (нестационарности) поля относительно.

В зависимости от скорости и направления движения наблюдателя от-

носительно исследуемой системы «жидкость – тело» картина одного и того

же течения существенно изменяется. Если наблюдатель неподвижен по от-

ношению к телу, например находится на корабле, движущемся поступатель-

но, прямолинейно и равномерно, он видит картину линий тока относительно-

го движения воды (рис. 4.1

). Поле скоростей, возникающее при этом, стацио-

нарно, если движение относить к координатной системе, связанной с кораб-

лем. Если же наблюдатель неподвижен относительно жидкости, например

находится на берегу, то движущимся элементом в системе координат, свя-

занной с берегом, становится и корабль, и вода. В этом случае наблюдатель

видит картину линий тока абсолютного движения жидкост

и (рис. 4.2

Линия тока – линия, в каждой точке которой в один и тот же момент

времени вектор скорости частицы жидкости касателен к ней. При неизменных

4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.1. Понятие поля физической величины



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 59

условиях обтекания твердого тела жидкостью абсолютные течения являются

неустановившимися, а относительные  установившимися, стационарными

(их еще называют обращенными движениями). Следовательно, от выбора при-

вязки системы координат зависит, каким будет представляться течение.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Поля могут быть скалярных, векторных и тензорных величин. Скаляр-

ное поле – поле скалярной величины, или множество





txxx , , ,

321





К скалярам в механике жидкости относятся плотность, давление, тем-

пература и др. Значения этих параметров в данной точке и при данных усло-

виях не зависят от выбора системы координат, т. е. скалярные величины ин-

вариантны относительно системы координат.

С целью наглядного представления о поле вводят понятие поверхно-

стей уровня, т. е. таких геометрических мест (в данный момент времени), в

которых физическ

ая ве

личина имеет одно и то же значение (изотермы, изо-

бары, изопотенциальные поверхности и др.).

Уравнение поверхности уровня:





Ctxxx





const , , ,

321

4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.1. Понятие поля физической величины



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 60

«Расслоив» мысленно пространство поверхностями уровня (рис. 4.3),

упростим рассмотрение поля. Условимся называть внешним пространством

по отношению к данной поверхности уровня ту область, где константа

имеет большее значение. Нормаль, направленная в сторону возрастания

функции (рис. 4.3

), является главной, или внешней, нормалью, направление

которой принимается за положительное.

Рис. 4.3

Интенсивность поля скалярной величины (функции) определяется ее

градиентом



grad

. Градиент функции есть вектор, направленный по внешней

нормали к поверхности уровня и равный по величине производной от этой

функции по внешней нормали:





grad

;

0



Следовательно, несмотря на то что скаляры определяются одним веще-

ственным значением, изменение их в пространстве характеризуется вектор-

но, т. е. фиксируется направление изменения физической величины. Гради-

ент функции по внешней нормали, по определению производной, есть вели-

чина всегда положительная.

Кроме того, grad, взятый по направлению главной нормали (рис. 4.3

есть максимальное значение производной от функции. Например, возьмем

произвольное направление



в поле



(рис. 4.3) и вычислим производную от

 по этому направлению; т. к.





(всегда),

d 





по определению

производной.

С векторным полем связаны понятия линий и трубок тока. Проведем в

данный момент времени замкнутый, себя не пересекающий контур. Через

каждую точку этого контура можно провести линию тока. Совокупность ли-