Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.7. Справочные данные по тензорному исчислению



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 41



100

010

001

















(2.82)

где





 символ Кронекера:















. если ,1

, если ,0

4. Два тензора

R, S равны (R = S), если





, т. е.

333231

232221

131211

333231

232221

131211



























SSS

RRR

(2.83)

Правило суммирования:

,SR







если









(2.84)

или

).()()(









Правило умножения на скаляр :

,SS











если













(2.85)

или

.)()()(













5. Разложение тензора

Сопряженный (транспонированный) тензор





(2.86)

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.7. Справочные данные по тензорному исчислению



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 42

Тензор T называется симметричным, если







или









(т.

е. имеет 6 независимых компонент), и соответственно асимметричным, если





или





(т. е. имеет три компоненты).

Любой тензор можно представить как сумму симметричной и асиммет-

ричной части







, т. е.











(2.87)

С другой стороны, любой тензор можно разложить на шаровой тензор

и девиатор тензора T

TIJT 

т. е.

αβαβ1αβ

TJT



, (2.88)

где

3322111

TTTJ



– первый линейный инвариант тензора, а



JTTT

TJTT

TTJT

















3333231

2322221

1312111

αβ

причем очевидно, что







. (2.89)

В этом смысле асимметричная часть тензора

есть частный случай

девиатора, у которого





.αTTT 0

αβ

βα

αβ



(2.90)

Формулы тензорных операций приведены в прил. 1



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 43

В общем случае гидростатика – это теория равновесия жидкости и

газов относительно выбранной системы координат. В гидростатике рас-

сматриваются задачи о силах, действующих со стороны жидкости на пла-

вающие тела и элементы инженерных конструкций, о равновесии воды в

океанах, вопросы устойчивости судов и множество других практически

важных задач. В главе 3 рассмотрим некоторые аспекты гидростатики

ка-

пельных жидкостей.

Все реальные жидкости находятся под непрерывным воздействием

различных сил природы. Как правило, эти силы оказываются распределен-

ными по объему рассматриваемой жидкости или по ее поверхности. В со-

ответствии с этим действующие силы разделяют на

объемные (массовые) и

поверхностные.

К массовым силам относятся: сила тяжести, силы электромагнитного

происхождения, различные силы инерции (кориолисова сила, центробежная

сила и др.) и т. д.

Примером поверхностных сил являются силы трения (обусловленные

свойством вязкости), поверхностного натяжения (вызванные молекулярными

силами сцепления), давления.

Для описания массовых (объемных) сил обычно используется понятие

плотности их распределения внутри некоторого объема

 :











lim

, (3.1)

где





 массовая сила, действующая на единицу массы жидкости



W

. Размерность



совпадает с размерностью ускорения: м/с

В отличие от объемных сил, вектор которых для частиц среды опреде-

ляется однозначно, величина поверхностной силы в данной точке в общем

случае зависит от ориентации площадки действия.

Если жидкость находится в состоянии покоя, то на нее не действуют

сдвиговые силы (по определению идеальнотекучей жидкости). Это справед-

ливо и для вязкой жидкости. На жидкость действуют сжимаю

щие напряже-

ния, вызванные поверхностными силами натяжения и массовыми силами тя-

жести. При отсутствии касательных напряжений закон гидростатики заклю-

3. ГИДРОСТАТИКА

3.1. Силы, действующие в жидкости. Понятие гидростатического давления



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 44

чается в том, что напряжения внутри жидкости всегда нормальны к лю-

бой ее поверхности, т. е.

npF





, (3.2)

где

 напряжение, направленное по орту n



, т. е. перпендикулярно к

площадке действия.

Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взятое

со знаком минус, называется давлением и обозначается буквой

npP





Знак минус указывает на то, что нормальное напряжение



, прило-

женное в точках поверхности выделенного объема, направлено в сторону,

противоположную орту внешней нормали к данной поверхности, т. е. внутрь

выделенного объема. Чтобы подчеркнуть, что данное определение справед-

ливо лишь для случая равновесия жидкости, это давление называют

гидро-

статическим давлением

, которое представляет собой физический скаляр, как

плотность, температура и др.

Размерность гидростатического давления

Πа



 ΜΤL

. Следует от-

личать гидростатическое давление, отнесенное к данной точке и выражаю-

щее напряжение сжатия, от силы гидростатического давления, отнесенной к

площади поверхности,

const





pSP

которую в дальнейшем будем для краткости называть просто давлени-

ем.

В жидкостях (практически только в особых случаях: чистые жидкости,

лабораторные условия и т. п.) возможны растягивающие напряжения или от-

рицательные давления в отличие от газов, где давление всегда положительно.

Из факта, что в неподвижной жидкости нет сдвигов, т. е. нет касатель-

ных напряжений, следует

, что напряжение давления действует по всем на-

правлениям одинаково:

ppppp





321

, (3.3)

т. е. три нормальных напряжения, приложенные к трем взаимно пер-

пендикулярным площадкам, как угодно ориентированным в пространстве,

равны между собой. Этот закон изотропии нормальных напряжений в точках

сплошной среды, находящейся в равновесии, был открыт в середине XVII ве-

ка Паскалем и носит его имя.

Закон Паскаля находит широкое применение в технике и используется

при конструировании различных гидравлических установок (гидра

влические

прессы, подъемники, тормоза, поршневые насосы, гидравлические аккумуля-

торы и мультипликаторы и т. п.).

3. ГИДРОСТАТИКА



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 45

Рассмотрим равновесие жидкости, на которую действует та или иная

массовая сила



. Для этого выделим в жидкости элементарный объем в виде

параллелепипеда (рис. 3.1

) со сторонами

321

, , dxdxdx

(в общем случае можно

выбрать форму объема какую угодно). Параллелепипед выбирают произ-

вольно для удобства и наглядности математических выкладок.

Рис. 3.1

Пусть на грани, пересекающейся в точке

A, действует давление P, тогда

соответственно на противоположные грани действуют давления













(3.4)

где



соответственно изменения давления вдоль осей Ох

Ох

, Ох

на отрезках

321

, , dxdxdx

Для равновесия параллелепипеда (см. рис. 3.1

) необходимо, чтобы

сумма проекций всех внешних сил на соответствующую ось равнялась нулю.

Тогда для оси

Ох

уравнение равновесия примет вид

3211321





























 dxdxdxFdxdxdx

(3.5)

Если отнести проекции сил к единице массы жидкости и записать ана-

логичные выражения для двух других осей, будем иметь следующие уравне-

ния Эйлера статики среды в дифференциальной форме:

























(3.6)

3. ГИДРОСТАТИКА

3.2. Уравнения равновесия



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 46

Уравнения (3.6) были получены Эйлером в 1755 г. и называются основ-

ными уравнениями гидростатики

. В векторной форме система уравнений

(3.6

) может быть представлена как

.grad







(3.7)

Исследуя систему (3.6

), последовательно умножив уравнения на

321

, , dxdxdx

и сделав перегруппировку членов, получим













332211

dxFdxFdxF







(3.8)

Так как левая часть есть полный дифференциал, выражение (3.8

) при-

мет вид





332211

dxFdxFdxFdP







(3.9)

Уравнения гидростатики (3.6

) в общем случае не имеют решения. Если

плотность изменяется в пространстве произвольным образом, то невозможно

уравновесить все силы и жидкость не может находиться в покое. В ней воз-

никнут различные конвекционные потоки.

В частном случае, при



= const, выражение в скобках в уравнении (3.9)

также является полным дифференциалом (обозначим его через

dФ) с проек-

циями













(3.10)

Отсюда видно, что массовые силы имеют потенциал (т. е. зависят толь-

ко от координат, частные производные по координатам дают соответствую-

щие проекции) и проекции, удовлетворяющие условию (3.10

). Тогда уравне-

ние (3.9

) можно записать в виде







ddP

. (3.11)

Следовательно, жидкость может находиться в равновесии только под

действием внешних массовых сил, имеющих потенциал.

Введем понятие поверхности уровня, такой поверхности, в каждой точке

которой давление одинаково. При

 = const уравнением поверхности уровня бу-

дет





, (3.12)

а значит, поверхность уровня одновременно является и поверхностью

равного потенциала, т. е. эквипотенциальной поверхностью.

3. ГИДРОСТАТИКА



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 47

Рассмотрим частный случай

уравнений Эйлера для равновесия

жидкостей, находящихся под дей-

ствием только одной массовой

силы – силы тяжести. Выберем

систему координат с осью

Oх

направленной вверх, начинаю-

щуюся на поверхности уровня с

= P

(рис. 3.2). Тогда проекциями

силы тяжести на оси координат

будут



gF 

, соот-

ветственно

gdxd 

, после

нтегрирования

.constΦ







Отсюда вид-

но, что



xPP 



x

. Следовательно, в данном случае поверхности

постоянного давления (изобары) и постоянной плотности (изостеры) яв-

ляются горизонтальными плоскостями. По (3.11

) с учетом последнего вы-

ражения

 g

, следовательно, давление с увеличением высоты пада-

ет.

Подставив

d

в (3.11), после интегрирования получим

const









gzP

, (3.13)

где постоянная интегрирования определяется из условия



, т. е.

равна

(рис. 3.2). Теперь, если



заменим глубиной погружения h рас-

сматриваемой точки

A и используем выражение для удельного веса







получим практическое выражение для определения гидростатического дав-

ления в любой жидкости:

hPP







. (3.14)

Этот вывод не зависит от вида области, в которой находится жидкость,

и от физических свойств жидкости. Разница в давлениях в двух точках, нахо-

дящихся на разных глубинах, равна весу столба жидкости (



h) с площадью

основания, равной единице, и высотой, равной

Рис. 3.2

3. ГИДРОСТАТИКА

3.3. Равновесие жидкостей в поле сил тяжести



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 48

В технической механике часто используется понятие абсолютного дав-

ления, определяемого выражением (3.14

), где P

называют внешним, или по-

верхностным

, давлением, а величину h, обусловленную весом столба жид-

кости на единичную площадь, при

атм0



называют избыточным, или ма-

нометрическим

. Тогда (3.14) можно переписать в виде

изб0абс

PPP 

. (3.15)

В случае если внешним давлением является атмосферное





атм0



давление

абсатмвак

PPP 

при

атмабс

PP 

называют вакуумным или вакуум-

метрическим

. Иногда вакуумным называют абсолютное давление меньше

атмосферного, т. е.

атмабсвак

PPP





Если гидростатическое давление в точке равно P, то сила dP, дейст-

вующая на элементарную площадку

dS,



. (3.16)

Сила давления жидкости на конечную площадь

S представляет собой

равнодействующую всех элементарных сил

dP, действующих на элементар-

ные площадки

dS.

Рассмотрим простой случай определения давления на горизонталь-

ное дно. Если взять сосуды различной формы (рис 3.3

) и налить в них одну

и ту же жидкость, то на одной и той же глубине будут одинаковые давле-

ния во всех сосудах, независимо от их формы. Если площади дна сосудов

равны между собой, то и силы, действующие со стороны жидкости на дно

сосудов, равны.

Чашки весов на рис. 3.4

будут уравновешены, т. к. они являются поршня-

ми, воспринимающими одинаковые усилия, хотя вес находящейся над ними

жидкости различен. Если же, например, сосуды

A и B просто поставить на весы,

то они воспримут разные веса жидкости и сосудов.

Сопоставив (3.14

) и (3.16), видим, что давление жидкости на горизон-

тальную плоскость зависит только от глубины ее погружения

h. Этот факт

носит в гидравлике название гидростатического парадокса, т. к. считалось до

известной степени парадоксальным равенство сил давления на дно, напри-

мер, в сосудах

B и C.

3. ГИДРОСТАТИКА

3.4. Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 49

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Проинтегрировав (3.16

), получим полное давление на горизонтальное

дно:

hSSPP







, (3.17)

где

S  внешнее давление, которое передается жидкостью по закону

Паскаля;

hS  избыточное давление, равное весу столба жидкости с основа-

нием, равным площади

На основе законов гидро-

статики построены приборы

для измерения давления – ма-

нометры, зачастую представ-

ляющие собой сообщающиеся

сосуды, в которых находится

покоящаяся жидкость: ртуть,

вода, спирт. При подаче на од-

но колено манометра измеряе-

мого давления, а на другое из-

вестного противодавления (в

частности, атмосферного) по

разности уровней в сосудах

оп-

ределяют разность переданных

давлений.

Чтобы оп

ределить давле-

ние на наклонную плоскость,

нужно, во-первых

, вычислить

полное давление и, во-вторых, найти точку приложения силы полного давле-

ния – центр давления.

Рис. 3.5

3. ГИДРОСТАТИКА

3.4. Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 50

Определим силу давления жидкости P на плоскость S, расположенную

под углом α к горизонту (рис. 3.5

Сила давления на элементарную площадку





dShPdP







. (3.18)

Всю плоскость

S можно рассматривать как совокупность множества

элементарных площадок

dS, на каждую из которых действует гидростатиче-

ское давление, определяемое выражением (3.18

) и непрерывно изменяющее-

ся в зависимости от глубины

h расположения данной площадки, но всегда

направленное по нормали к плоскости

S. Тогда суммарная сила на всю плос-

кость





hdSSPP

. (3.19)

Учитывая, что



sin

xh 

(рис. 3.5), интеграл в уравнении (3.19) можно

представить в виде





dSxhdS

sin

. (3.20)

Как известно из теоретической механики, интеграл



xdS

выражает ста-

тический момент площади фигуры

S относительно оси Oх

SxdSx





(3.21)

Тогда формулой для определения давления на площадь с учетом того,

что

hx sin

, будет





ShPP







, (3.22)

где

 глубина погружения центра тяжести плоской фигуры S относи-

тельно свободной поверхности. При этом сила полного избыточного давле-

ния

ShP





изб

Положение центра давления зависит только от величины избыточного

давления, действующего на плоскую фигуру. Из механики известно, что мо-

мент равнодействующей силы относительно выбранной оси равен сумме мо-