Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1. Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 21

грузку (напряжение)

S

F

P 

11

. Для любого другого сечения IIII с площадью

cos

S

, проведенного под углом



к II, получим нормальную составляющую

напряжения









2

11

cos

S

F

S

F

P

и касательную составляющую







 2sin

2

1

cos

11

S

F

S

F

P

.

Таким образом, в одной и той же точке М значения напряжений, кроме

ее координат, зависят также и от ориентировки проведенного сечения

(угла

α ).

Уместно также напомнить, что в теоретической механике (при подсче-

те кинетической энергии системы N материальных точек с массой

x

m

) уже

использовалось понятие тензора в форме таблицы значений моментов инер-

ции





N

k

xijji

mxxJ

1

, где





ji

xx

– декартовы координаты.

Теорема Коши. Рассмотрим в жидкости элементарный тетраэдр

(рис. 2.2

) объемом



. Составим для жидкости в объеме



уравнение дина-

мического равновесия (по II закону Ньютона или принципу Д’ Аламбера):

332211

SPSPSPSP

d

t

Vd

nn







. (2.1)

Учтем, что

),( cos

1

^

1

xn

S

n





и т. д., а  – малая 3-го порядка по сравне-

нию с элементом площади

n

S



– малой 2-го порядка. Поделив в (2.1) все на

δS

n

и перейдя к пределу



0

, получим

1

PP

n









1

ˆ

,cos xn

2

P









2

ˆ

,cos xn

3

P







3

ˆ

,cos xn

, (2.2)

или, в проекциях на оси координат,

111

PP

n







1

ˆ

,cos xn

21

P







2

ˆ

,cos xn

31

P





3

ˆ

,cos xn

(2.3)

и т. д.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1. Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 22

Рис. 2.2

По формулам (2.2

), (2.3) можно получить правило преобразования

компонент тензора для системы координат

321

, , xxx



, повернутой на некото-

рый угол относительно исходной

321

, , xxx

:

111

PP 







11

ˆ

,cos xx



21

P







22

,

ˆ

cos xx



31

P





33

,

ˆ

cos xx



, (2.4)

или, проецируя на новые оси координат





3 ,2 ,1



ix

i

,







3

1

3

1kn

knjnikij

PP

, (2.5)

где



kik

xx

ˆ

,cos

1







и





njn

xx

ˆ

,cos

1







. Здесь производится двойное

суммирование по повторяющимся (немым) индексам k и n от 1 до 3.

Таким образом, для произвольно ориентированной площадки (с норма-

лью

n



) напряжения на ней можно выразить через девять величин, которые

удобно представить табличкой P

kn

:

ÏP

i

PPP

j

kn















)(

332313

322212

312111

;

,3 , 2 ,1, ji

(2.6)

которая называется тензором напряжений.

Внутренние напряжения в сплошной среде являются статистическими

средними. Они обусловлены в жидкости или газе межмолекулярным взаимо-

действием, тепловым движением молекул и турбулентными флуктуациями в

потоке.

Другим важным для МЖГ понятием служит совокупность производ-

ных от трех компонент скорости V

1

, V

2

, V

3

по всем трем координатам x

1

, x

2

, x

3

,

компактно записываемая в форме таблички

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1. Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 23

V

x

V

D

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

k

n

kn



































3

2

3

1

3

2

1

2

3

1

2

1

, (2.7)

которую называют дифференциальной диадой (или мультипликатив-

ным тензором). Она характеризует неоднородность распределения поля ско-

рости в пространстве. В преобразованных (сдвинутых) координатах

1

x



ее

компоненты





k

n

jkin

j

k

nin

j

i

x

V

x

V

x

V















. (2.8)

В (2.7

) для символического дифференциального вектора (оператора

«набла», Гамильтона) использовано обозначение

k

x

j

x

i

x



321













. (2.9)

Для удобства анализа целесообразно разложить тензор на шаровой

(среднее значение) и девиатор (отклонение от среднего значения:

 

dS

T



).

Так, для тензора напряжений будем иметь представление



11 22 33

00

3

00

3

00

3

ij

PPP

P

PPP























11 22 33

11 21 31

*

11 22 33

12 22 32

11 22 33

13 23 33

3

П ,

3

d

PPP

PP P PI

PPP













 













(2.10)

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1. Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 24

где















100

010

001

I

 единичный тензор;

3

332211

PPP

P







– среднее напря-

жение.

Кроме того, любой тензор (как и всякую величину) можно представить

в форме симметричной и асимметричной части:













ijijij

AST





, (2.11)

где

2

ij ji

ij

TT

S





и

.

2

jiij

ij

TT

A





Причем очевидно, что S

ij

= S

ji

, а A

ij

=



A

ji

, и

A

ii

= A

jji

= 0. Например, симметричная часть дифференциальной диады (для

вектора скорости

V



) будет

.

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

3

2

3

1

3

2

3

2

1

2

1

3

1

2

11

1

















































































































































































x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

x

V

S



(2.12)

Величина

S



в МЖГ носит название тензора скоростей деформации.

Связь между тензором напряжений



и тензором скоростей деформации

S



в

МЖГ устанавливают как обобщение закона Ньютона:

SIVp



















 2div

3

2

. (2.13)

Советский физик Л. Ландау, изучая сверхтекучесть гелия, ввел понятие

второй вязкости. С учетом этого связь принимается в форме

SIVp



































 2div

3

2

. (2.14)

Для гидростатики (жидкость покоится при

0



V



и

0S



)

p

I







. (2.15)

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.1. Примеры тензорных величин в механике жидкости и газа



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 25

Давление в жидкости, находящейся в состоянии покоя, в выбранной

точке не зависит от ориентировки площадки, на которой его измеряют. Этот

закон экспериментально открыл Паскаль, чье имя ему и дано.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 26

2

.

2

.

И

н

в

а

р

и

а

н

т

н

о

е

о

п

р

е

д

е

л

е

н

и

е

р

а

н

г

а

т

е

н

з

о

р

а

Рассмотрим подробнее простейшее преобразование декартовой (пря-

молинейной и прямоугольной) системы координат в E

3

типа поворота вокруг

ее центра, т. е. совершим переход от координат x

1

, x

2

, x

3

к

321

, , xxx



и наобо-

рот.

Радиус-вектор любой точки M в E

3

через эти координаты

332211332211

xixixixixixir















. (2.16)

Проецируя это векторное выражение на исходную или преобразован-

ную систему координат, устанавливаем следующие формулы преобразова-

ния:







  



















































3332321313

3232221212

3132121111

,cos,cos,cos

xxxxxxxxxx

(2.17)

или







  

.

,cos,cos,cos

3332321313

3232221212

3132121111

















































xxxxxxxxxx

(2.18)

Ранее были введены обозначения для направляющих косинусов:









kiikkiik

xxxx















,cos,cos

,

из совокупности которых можно составить следующую таблицу:

k

i

x



x



x



Тогда формулы (2.17) и (2.18) можно записать как

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.2. Инвариантное определение ранга тензора



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 27

,

3

1









k

kiki

xx

.3 ,2 ,1



i

(2.19)

,

3

1









i

ikik

xx

.3 ,2 ,1



k

(2.20)

Здесь и в дальнейшем знак суммирования писать не будем, если один

из индексов (немой) повторяется, т. е. эти формулы можно переписывать в

более компактной форме

kiki

xx 



и

ikik

xx





. (2.21)

Опираясь на свойства ранее введенных понятий и пользуясь приведен-

ным преобразованием, вводят следующие определения инвариантных вели-

чин.

1. Скаляром (тензором) нулевого ранга или нулевой валентности на-

зывают поле вещественных величин (функций) точки M в E

3

, не зависящее

(инвариантное) от преобразования (2.21

) – координат типа поворота.

Например, квадрат расстояния между полюсом и точкой будет скаляром:









jikjkijkjikikk

xxxxxxr













2

. (2.22)

В силу свойств сумм произведений направляющих косинусов имеем













. если 0,

, если ,1

ji

kjki

(2.23)

Следовательно,

,

2

iikk

xxxxr





что и требовалось доказать.

2. Вектором (тензором первого ранга или валентности) называют поле

трех величин (функций) точки M в E

3

с компонентами

k

а

(k = 1, 2, 3), инва-

риантное к преобразованию координат типа поворота, если компоненты пре-

образуются по правилу

kiki

aa 



и

ikik

aa





. (2.24)

Справедливость утверждения легко установить, повторяя преобразования

(2.17

), (2.18), (2.19), (2.20), (2.21) после их проведения для любого, представ-

ляемого через компоненты

.

332211

aiaiaia





(2.25)

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.2. Инвариантное определение ранга тензора



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 28

3. Тензором второго ранга (или валентности) называют поле девяти

величин (функций) точки M в E

3

с компонентами T

kn

(k, n = 1, 2, 3), инвари-

антное к преобразованию координат типа поворота (2.21

), если компоненты,

образующие табличку, преобразовать по правилу

kninikij

ΤααΤ 



и

ijnjkikn

ΤααΤ





. (2.26)

Тензор напряжений этому правилу удовлетворяет, т. е. является тензо-

ром второго ранга (второй валентности).

Для тензора скоростей деформаций

S



это правило проверяют путем

несложных выкладок. Так как

,

2

1



































i

j

i

ij

x

V

x

V

S



(2.27)

где

,

kikj

VV 



а





, ,cos

jn

j

n

nj

xx

x

xx















т. е.

knnjikij

SS





,

 указанное правило выполняется.

2

.

3

.

Т

е

н

з

о

р

н

а

я

а

л

г

е

б

р

а

В МЖГ встречаются различные произведения, составленные из скаля-

ров, векторов и тензоров 2-го ранга. Правила сложения для этих величин лег-

ко установить путем их обобщения из правил сложения компонент.

1. Умножение скаляра на скаляр, вектор или тензор также почти оче-

видное действие. Например,

a

ea

a

aa







(2.28)

и т. д.

2. Тензорная единица вводится определением

,

100

010

001













I

(2.29)

или, в компонентной форме,











. если ,0

, если ,1

ji

I

ij

(2.30)

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.3. Тензорная алгебра



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 29

Что это действительно тензор, нетрудно проверить:

nmiminij

II 



.

Но по определению I

mn

= 1 при

mn



и I

mn

= 0 при

mn 

. В свою оче-

редь,

1

imin

и, следовательно,

nmij

II 



и, наоборот,

nmij

II





, (2.31)

т. е. данная величина инвариантна к преобразованию координат типа

поворота.

Из компонент любого тензора Т можно составить следующие скаляр-

ные комбинации:

а) линейный инвариант

3322111

ΤΤΤJ





, (2.32)

б) квадратичный инвариант

2

ΤΤΤJ

ijij



, (2.33)

в) кубический инвариант















333231

232221

131211

3

ΤΤΤ

J

. (2.34)

Здесь













333231

232221

131211

ΤΤΤ

– определитель (а не таблица или матрица). Что эти

величины инвариантны к преобразованию декартовых координат типа пово-

рота, легко убедиться, используя свойства сумм произведений, направляю-

щих косинусов между исходной (

321

, , xxx

) и новой (

321

, , xxx



) системами

координат. При перестановке индексов получаем сопряженный (транспони-

рованный) тензор

ji

*

ij

ΤΤ 

,

ij

*

ji

ΤΤ 

. (2.35)

3. Скалярное произведение двух векторов (дает скаляр)









 

.,cos,cos abababbababa







(2.36)

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

2.3. Тензорная алгебра



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 30

Пример. Если точка приложения

F



движется со скоростью

V



, то

мощность в механике





.3 ,2 ,1 ,  iVFVFN

ii



(2.36а)

4. Векторное произведение двух векторов (дает новый вектор)





 





,

,sin ,sin

3

1

ijji

k

babaiab

abbaibabaiba



















(2.37)

где

kji , ,

от 1 до 3.

Пример. Линейная скорость твердого тела, вращающегося с угловой

скоростью





, численно равна площади параллелограмма, построенного на

векторах





и

r



:

rV





. (2.37а)

5. Скалярно-векторное произведение трех векторов (дает скаляр)

][][][ bacacbcba





(2.38)

и численно представляет собой объем параллелепипеда, построенного

на векторах

. , , cba



6. Диадное (тензорное) произведение двух векторов (дает тензор) оп-

ределяют следующим образом:

,

333231

232221

131211















bababa

baD



(2.39)

или, в компонентах,

jiji

baD



, где i, j = 1, 2, 3.

Это произведение называют также внешним, а скалярное произведе-

ние по (2.36

)  внутренним (точечным).

Нетрудно видеть, что внутреннее произведение можно получить из

внешнего, если в последнем положить равенство смежных индексов (i = j):









3

1i

iiiiii

baDbaba



. (2.40)

Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.