Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 3

Подождите немного. Документ загружается.

МАТЕМАТИКА

в примерах и задачах

Часть 3

под общ. ред.

Л. И. Майсеня

МИНСК 2007

(

)

→

limfxA

234

000

xxyyzz

−−−

(

)

()

′

AxByCzD0

+++=

МАТЕМАТИКА в примерах и задачах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

М А Т Е М А Т И К А

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Учебное пособие

для учащихся колледжей

В шести частях

Под общей редакцией Л. И. Майсеня

ЧАСТЬ 3

Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая

геометрия в пространстве. Предел и непрерывность

функции. Дифференциальное исчисление. Функции

многих переменных

Допущено Министерством образования Республики Беларусь

в качестве учебного пособия для студентов учреждений,

обеспечивающих получение высшего образования,

и учащихся учреждений, обеспечивающих получение

среднего специального образования

по специальностям электротехники, радиотехники и информатики

МИНСК 2007

УДК 51

ББК 22.1я7

М34

Рекомендовано к изданию кафедрой математики и Научно-методи-

ческим советом Учреждения образования «Минский государственный

высший радиотехнический колледж» (протокол № 3 от 04.11.2007 г.)

А в т о р ы:

Л. И. Майсеня, М. А. Калугина,

Е. В. Уласевич, Н. В. Михайлова

Р е ц е н з е н т ы:

А. В. Метельский, д-р физ.-мат. наук, профессор БНТУ,

кафедра высшей математики БГУИР

Математика в примерах и задачах : учеб. пособие для

М34 учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л. И. Майсе-

ня. – Мн. : МГВРК, 2006 – .

ISBN 978-985-6754-70-1

Ч. 3 : Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналити-

ческая геометрия в пространстве. Предел и непрерыв-

ность функции. Дифференциальное исчисление. Функции

многих переменных / Л. И. Майсеня, М. А. Калугина,

Е. В. Уласевич, Н. В. Михайлова. – 2007. – 282 с.

ISBN 978-985-6851-27-1

Пособие написано с целью реализации непрерывного образования в сис-

теме учебных заведений колледж–университет. Разработано в соответствии с

типовыми программами дисциплин «Математика» для 10-х, 11-х классов сред-

ней школы и «Высшая математика» для специальностей электро-, радиотехни-

ки и информатики. Содержатся необходимые теоретические сведения, приме-

ры с подробными решениями и задания 3-х уровней сложности для самостоя-

тельного решения.

Может быть также использовано для подготовки учащихся к централизо-

ванному тестированию по математике.

УДК 51

ББК 22.1я7

Уласевич Е. В., Михайлова Н. В.,

2007

ISBN 978-985-6851-27-1 (ч. 3) © Оформление. Учреждение обра-

ISBN 978-985-6754-70-1 зования «Минский государст-

венный высший радиотехниче-

ский колледж», 2007

ПРЕДИСЛОВИЕ

Особенностью образовательной системы Республики Бела-

русь является становление и развитие учебных заведений раз-

личного типа, в том числе колледжей и высших колледжей.

В условиях многоуровневого образования в системе учебных

заведений колледж–университет актуальна реализация принци-

пов непрерывности и преемственности в обучении.

Предлагаемое учебное пособие «Математика в примерах и

задачах» в 6-ти частях призвано обеспечить процесс изучения ма-

тематики в высших колледжах и колледжах технического профи-

ля. Оно может быть использовано учащимися на практических

занятиях, а также при самостоятельном изучении математики.

При создании настоящего пособия авторы ставили перед со-

бой несколько целей: во-первых, дать значительное количество

задач (типовых и оригинальных), которые бы достаточно полно

отображали суть основных математических понятий; во-вторых,

обеспечить необходимой теоретической информацией для их

решений; в-третьих, по каждой теме привести решение основ-

ных типов задач; в-четвертых, предлагаемый для решения набор

задач распределить по трем уровням сложности. Все эти цели и

определили структуру учебного пособия, которое делится на

главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа со-

держится необходимый справочный материал, затем – решение

нескольких задач и набор заданий трех уровней сложности.

Предлагаемая структура учебного пособия, по мнению авто-

ров, делает возможным самостоятельное изучение математики.

Его использование позволяет реализовать дифференцированный

подход в обучении – каждый учащийся может решать задания

доступного ему уровня сложности.

Пособие разработано и прошло апробацию в УО «Минский

государственный высший радиотехнический колледж» (МГВРК)

в процессе обучения учащихся после базовой школы.

Характерной особенностью методического подхода к изуче-

нию математики в МГВРК является построение интегрирован-

ного курса математических дисциплин. Этим объясняется то об-

стоятельство, что определенные темы высшей математики вве-

дены в контекст элементарной математики. Поскольку на прак-

тике широко реализуется непрерывное образование в системе

учебных заведений колледж–университет (в том числе МГВРК

интегрирован с Белорусским государственным университетом

информатики и радиоэлектроники), то при разработке данного

учебного пособия авторы использовали (как и в реальном учеб-

ном процессе) в качестве типовых программу изучения матема-

тики в средних школах Беларуси и программу изучения высшей

математики для высших учебных заведений по специальностям

электро-, радиотехники и информатики.

Таким образом реализуются основы непрерывного продол-

жения обучения в университете. Кроме того, предлагаемое

учебное пособие может быть использовано в колледжах при

изучении математики по различным базовым и рабочим про-

граммам – менее или более полным.

«Математика в примерах и задачах. Часть 3» является непо-

средственным продолжением учебного пособия «Математика в

примерах и задачах. Части 1–2». В этих изданиях принята еди-

ная нумерация глав. Предлагаемое пособие (третья часть) состо-

ит из шести глав (гл. 13–18). В отношении авторства отметим,

что они подготовлены следующим образом:

М. А. Калугина – гл. 13 «Линейная алгебра», гл. 14 «Вектор-

ная алгебра», гл. 15 «Аналитическая геометрия в пространстве»;

Е. В. Уласевич – гл. 16 «Предел и непрерывность функции»,

гл. 17 «Дифференциальное исчисление»;

Н. В. Михайлова – гл. 18 «Функции многих переменных».

Научно-методическое редактирование осуществила Л. И. Май-

сеня, она является соавтором всего пособия.

Авторы благодарны рецензентам учебного пособия – доктору

физ.-мат. наук, профессору А. В. Метельскому и сотрудникам ка-

федры высшей математики БГУИР, особенно зав. кафедрой, док-

тору физ.-мат. наук В. В. Цегельнику и профессору А. А. Карпу-

ку, за очень внимательное прочтение рукописи и ряд ценных

замечаний, устранение которых улучшило наше издание.

Надеемся, что предлагаемое издание будет содействовать ак-

тивизации мыслительной деятельности учащихся и повышению

эффективности учебного процесса при изучении математики.

13. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

13.1. Матрицы и операции над ними

Матрицей называется прямоугольная таблица, составлен-

ная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды

такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные –

ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X… . Запись a

ис-

пользуют для указания местоположения элемента матрицы (i –

номер строки, j – номер столбца). Числовую матрицу размеров

(т. е. состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем

случае записывают в виде

11121

21222

...

............

...

mmmn

aaa







или в более компактной форме





1, ,1, .

imjn

Ее обозначают также

Если m = n матрицу называют квадратной порядка n и

обычно обозначают A

. Элементы a

1, ,,

inn

=∈

такой мат-

рицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица вида

00...0

...............

000...







(13.1)

где

≠

1, ,

= называется диагональной. Если

для любого

1,,

= то матрица (13.1) называется единичной и

обозначается E

Верхней и нижней треугольными матрицами называются

квадратные матрицы вида

1112131

22232

...

0...

...............

000...

aaaa

aaa







2122

123

00...0

0...0

...............

...

nnnnn

aaaa







соответ-

ственно.

Трапециевидной матрицей называется матрица вида

111211

2222

......

0......

..................

00......

00...0...0

..................

00...0...0

kkkn

aaaa

aaa







где числа a

, a

, …, a

отличны от нуля.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы кото-

рой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.

Две матрицы одинакового размера

mnij





mnij





(13.2)

называются равными, если

ijij

для всех

1, ,1, .

imjn

Суммой матриц (13.2) называется матрица A + B размеров

m × n, состоящая из элементов

ijijij

ñ ab

где

1, ,1, .

imjn

Произведением матрицы A

m×n

на число α называется матри-

ца

[].

mnij

αα

Разностью матриц (13.2) называется матрица A – B = A + (–1)B.

Противоположной к В называется матрица –В, такая что

(1).

−=−

Свойства операций сложения матриц и умножения

на число:

;

ABBA

+=+

()();

ABCABC

++=++

3) A + 0 = А;

4) А + (–А) = 0;

⋅=

()()(), ãäå , ;

AAA

αββααβαβ

==∈

();

AAA

αβαβ

+=+

(),

ABAB

ααα

+=+

а матрицы A, B и С – одинакового

размера.

Для матриц A и B может быть введена операция умножения

A·B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество

столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.

Произведением матрицы A

l×m

на матрицу B

m×n

называется мат-

рица

CAB

=⋅

элементы которой

,1, ,

ijikkj

ñ abil

∑

1,.

Для получения элемента с

матрицы С умножают последо-

вательно каждый элемент i-й строки матрицы А на соответст-

вующий элемент j-го столбца матрицы B и находят сумму этих

произведений.

Свойства операции умножения матриц

;

nnnnn

AEEAA

⋅=⋅=

;

nnnnn

AOOAO

⋅=⋅=

()();

ABCABC

()();

ABAB

αα

();

ABCACBC

+=+

().

ABCABAC

+=+

В общем случае из существования AB не следует существо-

вание BA. Даже если оба эти произведения определены, они не

всегда равны. Матрицы, для которых

ABBA

называются

коммутативными или перестановочными.

Пусть A – квадратная матрица. Тогда k-я степень (

∈

)

матрицы A определяется равенством

....

k ðàç

AAAA

=⋅⋅⋅

14243

По опреде-

лению принимают

при условии

≠

Матрица A

, полученная из матрицы A заменой столбцов

строками с теми же номерами, называется транспонированной

к матрице A, т. е.

ijji

mnnm

Aaa

××





Свойства операции транспонирования матриц

();

(), ;

AAααα

=∈

();

TTT

ABAB

+=+

().

TTT

ABBA

=⋅

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение

то матрица A называется симметрической матрицей, а

если

=−

– то кососимметрической.

Элементарными преобразованиями над строками мат-

рицы A называют следующие операции:

1) перестановку строк;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) прибавление к элементам строки соответствующих эле-

ментов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут:

A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных

преобразований строк.

Пример 1. Найти 2A – 3B, если

124384

103120

−





−−



Решение. Прежде всего следует заметить, что матрицы A и B

имеют одинаковый размер 2×3. Поэтому по определению линейных

операций над матрицами имеем:

124384212224

2323

1031202(1)2023

333(8)3424892412

313(2)30206360

294248127284

230660566

−⋅⋅⋅



−=−=−



−−⋅−⋅⋅



⋅⋅−⋅−



−=−=



⋅⋅−⋅−−



−+−−−





−−+−−



Пример 2. Если возможно, вычислить соответствующие произве-

дения и проверить справедливость равенства AB = BA для следующих

пар матриц:

12103

43241

−−







1333

3911

−





−



204

01,;

153

−





−







100400

020,050;

003006







сd





−



Решение. 1) Матрицы A и B согласованные, так как матрица A

имеет размер 2×2, а матрица B – размер 2×3, т. е. количество столбцов

матрицы А совпадает с числом строк матрицы B.

12103

Значит,

43241

112210241(3)21385

413240344(3)3110129

−−



=⋅=





⋅−⋅⋅−⋅⋅−−⋅−−−





⋅+⋅⋅+⋅⋅−+⋅−



Умножение матрицы B на матрицу A невозможно, так как матри-

цы не согласованы (число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2

строк матрицы A).

2) Произведения AB и BA могут быть найдены, так как в обоих

случаях матрицы согласованы:

1333133(1)1(3)3100

;

3911339(1)3(3)9100

−⋅+⋅−⋅−+⋅



=⋅==



−⋅+⋅−⋅−+⋅



331331333339618

11391113131926

−⋅−⋅⋅−⋅−−



=⋅==



−−⋅+⋅−⋅+⋅



Приходим к выводу, что

ABBÀ

≠

Приведенный пример иллюстрирует не только отсутствие свойст-

ва коммутативности операции умножения для многих согласованных

для этого действия матриц, но и показывает, что при умножении двух

ненулевых матриц может быть получена нулевая.

3) Матрицы A и B согласованы для умножения, но произведения

AB и BA имеют разные размеры и элементы:

111211101(5)1413

204

010211001(5)0413

153

242241204(5)2443

151

153;

8920

ÀÂ

−⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅







=⋅=⋅+⋅⋅+⋅−⋅+⋅=





−





⋅+⋅⋅+⋅−⋅+⋅







=−



−



2042100422(1)0144

1531150321(1)5134

1014

ÂÀ

−



⋅+⋅+⋅⋅−+⋅+⋅





=⋅==





−⋅−⋅+⋅⋅−−⋅+⋅













AB и BA – квадратные матрицы размеров 3×3 и 2×2 соответствен-

но,

ABBÀ

≠

100400400

0200500100;

0030060018





=⋅=





400100400

0500200100.

0060030018





=⋅=





Приходим к заключению, что

ABBA

Очевидно, что условие будет соблюдаться для любых диагональ-

ных матриц одного размера.

5) Матрицы A и B согласованы для умножения:

12121222

;

111111

aba

с bdacbd

АВ

cda

с bdaсbd

⋅+⋅⋅+⋅++



=⋅==



−−⋅+⋅−⋅+⋅−+−+



121(1)212

111(1)212

ababababab

ÂÀ

ñdcdcdcdcd

⋅+⋅−⋅+⋅−+



=⋅==



−⋅+⋅−⋅+⋅−+



ABBA

при соблюдении условий:

acab

+=−

22,

bdab

+=+

cacd

−=−

dbcd

−=+

т. е. при

=− Таким образом,

матрица A является коммутативной с матрицей





−



или

c à

−







где a, b, с – любые действительные числа.

Пример 3. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию

AXE







если известна матрица

−







Решение. Запишем равенство

AXE







в виде

323,

AXE







а затем

AXE

+= и, наконец,

363(2).

XEATA

=−=− Поскольку





−



то

104112402172

3233

012302(2)12345

−⋅−⋅−−



=−⋅===





−−⋅−−⋅−





216

1215

−−





−



Пример 4. Найти значение матричного многочлена f(A), если

()22,

fxxx

=−+







Решение. По условию задачи

20202010

()2222

13131301

40402020

59260235

fAAAE



=−+=⋅−⋅+⋅=







=−+=





Пример 5. Привести матрицу А к треугольному виду с помощью

элементарных преобразований строк, если

274

396.

153







Решение. Поменяв строки местами, получим матрицу, эквива-

лентную исходной:

153

274.

396







Затем запишем вместо второй строки сумму первой, умноженной

на (–2), и второй, а вместо третьей – результат сложения первой, ум-

ноженной на (–3), и третьей:

153

032.

063





−−



−−



Осталось прибавить к третьей строке вторую, умноженную на (–2):

153

032.

001





−−





В результате получена треугольная матрица, эквивалентная мат-

рице A.

Эти преобразования (без комментария) записывают в виде

274153153153

396~274~032~032.

153396063001





=−−−−



−−



Задания

I уровень

1.1. Найдите линейную комбинацию 3A + 2B матриц A и B,

если:

211

014

−





−



102

;

341

−







01,





=−



−



32;

−





−



121

012,

134





−



302

421.

714





−



1.2. Вычислите:

[ ]

1052;





⋅−





[ ]

1253;





−⋅



−





3213

;

5424

−



⋅



−



123

102

312.

431

101

−





⋅



−





−



1.3. Найдите значения f(A) и f(B) функций f(х), если:

213

()34,, 231;

210

fxxAB

−





=−==







−



121

()510,, 201.

132

fxxxAB

−



−





=−+==







−



1.4. Приведите матрицу к трапециевидной или треугольной

форме:

132

213

;

354

1174





−



−





3457

2332

;

4111316

7213

−





−−



−



−





12111

21123

32112

25122

−−





−−



−−−



−−





1.5. Пусть

4123

0232

−





−



Найдите

⋅

II уровень

2.1. Найдите сумму, разность и произведение матриц A и B,

если:

cossincossin

sincossincos

ϕϕϕϕ

−





−



24323

35125

iiii

iii

−++





−+



3030

30,30.

002002

AiBi

−





==−



+−



2.2. Выполните действия:

( ) ( )

11;



+⋅+−⋅



−−



43289373

;

353812621

−



⋅⋅



−



001

1124

22.

2231

334



−−









⋅⋅













2.3. Вычислите n-ю степень матрицы, n ∈ N:

;

−





−



;

−





−





∈





2.4. Найдите матрицу X из условия

112

30322.

413

−







+−=









−



2.5. Найдите

(

)

23,

ABC

+ если:

132320

,,;

214554

ABC

−



===



−



201113230

312,102,014.

1400341012

ABC

−−





=−==



−−



2.6. Найдите значение функции f(A), если:

( )

432

()11, åñëè ;

fxxxxxxA



=−++++=





() ( )

( )

101

224,åñëè 203.

012

fxxxx À





=−++=





III уровень

3.1. Возведите матрицу в степень:

cossin

sincos

ϕϕ

−



∈





111

312,3;

210

−





−=



−



;

−





−



−





−



3.2. Найдите матрицы, коммутативные (перестановочные) с

заданной:

;







;

−





−



310

031.

003







3.3. Найдите матрицы второго порядка, квадрат которых равен:

1) нулевой матрице; 2) единичной матрице.

3.4. Определите условие, при котором справедливо равенство:

( )

ABAABB

+=++ 2)

(

)

(

)

ABABAB

+−=−

3.5. Для матриц A и B докажите равенство:

(

)

;

ÀÀ

2) (A + B)

= A

+ B

;

3) (kA)

= kA

, где k – число; 4) (AB)

= B

13.2. Определители, их свойства и вычисление

Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в

соответствие единственное число, которое вычисляется по опре-

деленному правилу. Это число называется определителем мат-

рицы A и обозначается |A| или det A, или Δ(A), Δ

. Порядок мат-

рицы A является и порядком ее определителя. Определители по-

рядка 1–3 вводятся соответственно равенствами:

1111

1112

1122122111221221

2122

111213

222321232122

212223111213

323331333132

313233

112233122331132132112332122133132231

||||,

aaaaaaaa

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

=−=−

=−+=

=++−−−

(13.3)

Минором M

элемента a

, где

,1,,

ijn

= называется опреде-

литель (n–1)-го порядка, который состоит из элементов матри-

цы, полученной из данной путем «вычеркивания» i-й строки и

j-го столбца.

Алгебраическим дополнением этого же элемента называет-

ся число А

= (–1)

i+j

. Определитель порядка n, где

≥

∈

определяется как число

11121

21222

...

............

...

jij

nnnn

aaa

∑

Последнее равенство называют разложением определи-

теля по элементам первой строки. Оно есть обобщение ра-

венств (13.3).

Свойства определителей

;

ABAB

=⋅

;

4) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца)

можно вынести за знак определителя;

5) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак опреде-

лителя на противоположный;

6) |A| = 0, если выполняется одно из следующих условий:

- в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец);

- в определителе есть пропорциональные строки (столбцы);

- в определителе есть строки (столбцы), являющиеся ли-

нейной комбинацией соответствующих элементов других строк

(столбцов);

7) если к элементам одной строки (столбца) определителя

прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов

других строк (столбцов), то значение определителя не изменится.

Основные методы вычисления определителей

1. Для определителей 3-го порядка используют правило

треугольников, которое схематично можно изобразить следую-

щим образом:

Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а

затем произведения складываются.

2. Определитель порядка n может быть вычислен разложе-

нием по любой строке (столбцу):

||,,1,.

ijijijij

AaAaAijn

===

∑∑

3. Метод эффективного понижения порядка определите-

ля: используя свойства определителя, его преобразуют к такому

виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определи-

теля, кроме одного, стали нулевыми, затем вычисляют опреде-

литель разложением по этой строке (столбцу).

4. Метод приведения к треугольному или диагональному

виду с использованием свойств определителя, когда определи-

тель равен произведению диагональных элементов.

Пример 1. Вычислить определитель

101

241

325

−

различными спо-

собами.

Решение. 1-й способ. Используем правило треугольников:

( )

101

241145013(1)22(1)43025112

325

204(122)26.

−

=⋅⋅+⋅⋅+−⋅⋅−−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

=−−−+=

2-й способ. Разложим определитель по первой строке:

111213

101

412124

2411(1)0(1)(1)(1)

253532

325

(202)0(412)26.

+++

−

=⋅−+⋅−+−⋅−=

=−+−−=

3-й способ. Занулим элементы первой строки, т. е. используем ме-

тод эффективного понижения порядка. Для этого прибавим к элемен-

там 3-го столбца элементы 1-го столбца. Затем разложим определитель

по 1-й строке:

101100

24124332626.

325328

−

===−=

4-й способ. Используя свойства определителя, приведем его к тре-

угольному виду:

101101101101

24104302802826.

3250280430013

−−−−

==−=−=

Пример 2. Вычислить определитель

4372

4201

2569

0456

−−

−

Решение. Используем метод эффективного понижения порядка.

Для этого из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную

третью строку. Полученный определитель разложим по первому

столбцу:

437207516

7516

42010121217

2(1)1212172.

25692569

456

04560456

−−−

−−

==⋅−=⋅∆

−

−−

Далее, ко второму столбцу определителя Δ прибавим третий стол-

бец, после чего преобразуем следующим образом: прибавим к первому

и третьему столбцам второй столбец, умноженный соответственно на –4

и на –6. В результате получим:

721167721110

22122917210429157

416010

−−−−

⋅∆=⋅=⋅−−=

7711077110

21(1)22(77157110104)1298.

104157104157

=⋅⋅−=⋅=⋅⋅−⋅=

−−

Пример 3. Выяснить, при каких условиях определитель

123

222

123

111

xxx

∆= не равен нулю.

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

2222

123132

2313 12

1111 11

()

xxxxxx

xxxx

∆=−+=−−

2222

23132113223221

()()()()

xxxxxxxxxxxxxx

−−+−=−−−+−+