Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

отверстия шатун положили горизонтально, подвесив

его в

точке

талям

оперев точкой

В на

платформу десятичных весов; давле-

ние

на нее

оказалось

при

этом равным

Р = 50 кГ.

Определить цент-

ральный момент инерции

шатуна относительно

оси,

Ап

перпендикулярной

плоскости чертежа, имея следующие

данные:

вес

шатуна

Q = 80 кГ,

расстояние

между

верти-

калями,

проведенными через точки

А к В (см.

правый

чер-

теж),

1=1 м,

радиус цапфы крейцкопфа

г = 4 см.

Ответ:

37.33

(1008). Маятник состоит

из

стержня

АВ с при-

крепленным

нему шаром

массой

т и

радиусом

г,

центр которого

находится

на

продолжении стержня.

Определить, пренебрегая массой стержня,

какой точке

эт!аз

че

стержня нужно поместить

ось

привеса

для

того, чтобы

продолжительность одного размаха

при

малых качаниях имела

дан-

ную величину

Т-.

Ответ:

ОС

= -~

(gT*

+ V g*T*-

\,%п*г*).

Так

как

должно быть

ОС^г, то

решение возможно, если

^l,i — г;

решение, соответствующее знаку минус перед радикалом, невозможно.

37.34

(1009).

На

каком расстоянии

от

центра тяжести должен

быть подвешен физический маятник, чтобы период

его

качаний

был

наименьшим?

Ответ:

На

расстоянии, равном радиусу инерции маятника отно-

сительно

оси,

проходящей через

его

центр тяжести перпендикулярно

плоскости качаний.

37.35

(1010). Маятник состоит

из

стержня

двумя закрепленными

на

нем

грузами, расстояние

между

которыми равно

верхний

груз

имеет массу

нижний —,массу

Определить,

на

каком расстоя-

нии

х от

нижнего

груза

нужно поместить

ось

привеса

для

того, чтобы период малых качаний

маятника

был

наименьшим; массой стержня

пренебречь

грузы считать материальными

точками.

Ответ:

х-

37.36

(1011).

На

каком расстоянии

от оси

привеса должен быть присоединен

физиче-

скому маятнику добавочный груз, чтобы период

качаний

маятника

не

изменился?

Ответ:

На

расстоянии приведенной длины

физического маятника.

37.37

(1012). Круглый цилиндр

с мас-

сой

М,

длиной

21 и

радиусом

г =

1/6 качается

пендикулярной

плоскости чертежа.

10*

291

Как

изменится период качаний цилиндра, если прикрепить к нему

на

расстоянии

ОК—-—1

точечную массу от?

(А

Ответ:

Период качаний не изменится, так как точечная масса

добавлена в центре качаний цилиндра.

37.38. Найти уравнение малых колебаний

однородного диска весом Р и радиуса г, совер-

шающего колебания вокруг горизонтальной оси

Oz, перпендикулярной к его плоскости и отстоя-

щей от центра тяжести С диска на расстоянии

ОС = г72. К диску приложен вращающий мо-

мент ти

вр

, причем т

врг

sinpt,

где т

и р —

задаче

37.38.

постоянные. В начальный момент диску, нахо-

дившемуся в наинизшем положении, была сооб-

щена угловая скорость щ. Силами сопротивления пренебречь. Счи-

тая колебания малыми, принять sincp^qj.

•"~ 1 / hp

Ответ:

1) При Р

—p

sin kt -f-

ЗР/-

где й = -

t, где « =

2) при р —

37.39

(1013). В сейсмографах —приборах для регистрации земле-

трясений—применяется физический маятник, ось подвеса которого

образует

угол

а с вертикалью. Расстояние от оси привеса до центра

тяжести маятника равно а, момент инерции маятника относительно

оси,

проходящей через его центр тяжести парал-

лельно оси привеса, равен JQ, вес маятника равен Р.

Определить период колебаний маятника.

Ответ:

Т = 2л

задаче

37.40.

Pga sin a '

37.40

(1023). В вибрографе для записи горизон-

тальных колебаний фундаментов машин маятник ОА,

состоящий из рычага с грузом на конце, может ка-

чаться вокруг своей горизонтальной оси О, удержи-

ваясь в вертикальном положении устойчивого равно-

весия собственным весом и спиральной пружиной.

Определить период собственных колебаний маятника

при

малых

углах

отклонения, если максимальный ста-

тический момент веса маятника относительно его оси вращения

Qh — 4,5

кГсм,

момент инерции относительно той же оси

J=0,03

кГсмсек

коэффициент жесткости пружины, сопротивление

которой пропорционально

углу

закручивания, равен с = 0,1

кГсм;

при

равновесном положении маятника пружина находится в ненапря-

женном

СОСТОЯНИИ.

Сопротивлениями пренебречь.

Ответ:

Т = 0,5 сек.

292

37.41 (1024). Виброграф (см.

предыдущую

задачу)

закреплен на

фундаменте, совершающем горизонтальные гармонические колебания

по

закону х — a sin QOt см. Определить

амплитуду

а колебаний фун-

дамента, если амплитуда вынужденных колебаний маятника вибрографа

оказалась равной 6°.

Ответ:

а = 6,5 мм.

37.42. При пуске в ход электрической лебедки к барабану А при-

ложен вращающий момент т

вр

, пропорциональный времени, причем

p — at, где а —постоянная.

Груз

В весом Р

поднимается посред-

ством каната, навитого на барабан А радиуса г и

весом Р

. Определить

угловую

скорость барабана,

считая его сплошным цилиндром.

В начальный момент лебедка на-

ходилась в покое.

37.43 (1002). Для определе-

ния

момента инерции J махового

колеса А радиуса R = 50 см

относительно оси, проходящей

через центр тяжести, колесо об-

мотали тонкой проволокой, к ко-

торой привязали гирю В весом

— 8 кГ и наблюдали продол-

жительность Г =16 сек опуска-

ния

гири с высоты h — 2 м. Для

исключения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей ве-

сом р

= 4 кГ, причем продолжительность опускания оказалась равной

= 25 сек при прежней высоте. Считая момент силы трения посто-

янным

и не зависящим от веса гири, вычислить момент инерции J.

- -

(Рх_Р-^

* Й

задаче

37.42.

Ответ:

J=R

108

кГмсек

1 1

~Т\

~т\

37.44. К

валу

/ присоединен электрический мотор, вращающий

момент которого равен т^. Посредством

редуктора скоростей, состоящего из

четырех

зубчатых

колес 1, 2, 3 и 4,

этот вращающий момент передается на

шпиндель /// токарного станка, к ко-

торому приложен момент сопротивле-

ния

(этот момент возникает при

снятии

резцом стружки с обтачиваемого

изделия).

Определить

угловое

ускоре-

ние

шпинделя III, если моменты инер-

ции

всех

вращающихся деталей, наса-

женных на валы /, // и ///, соответственно равны Ji, Ju, Jm. Радиусы

колес равны г

и г

задаче

37.44.

293

tll

•

— m

s r r

Ответ:

(

___

где *„ = -, *„=-

37.45. Барабан

весом

Pi и

радиуса

приводится

во

вращение

посредством

груза

весом

привязанного

концу нерастяжимого троса. Трос перебро-

шен

через блок

В и

намотан

на

барабан

А.

барабану

приложен момент сопротив-

ления

пропорциональный угловой скоро-

сти барабана; коэффициент пропорциональ-

задаче 37.45. ности равен

а.

Определить

угловую

скорость

барабана, если

начальный момент система

находилась

покое. Массой каната

блока

пренебречь. Барабан

считать сплошным однородным цилиндром.

Ответ:

—(1—е~^),

где р =

ф .

?р

•

lim

со

=— =

const.

37.46. Определить

угловое

ускорение

ведущего

колеса автома-

шины

весом

Р и

радиуса

г-»

если

колесу приложен вращающий

момент от

вр

. Момент инерции колеса относительно

оси,

проходящей

через центр тяжести

перпендикулярно

плоскости материальной

симметрии, равен

Jc, fu —

коэффициент трения качения,

—

сила

трения.

Найти также значение вращающего момента,

при

котором

колесо катится

постоянной угловой скоростью.

Ответ:

е=

-P/

-F

37.47. Определить

угловую

скорость ведомого автомобильного

колеса весом

Р и

радиуса

г.

Колесо, катящееся

со

скольжением

по

горизонтальному шоссе, приводится

движение посредством гори-

зонтально направленной силы, приложенной

в его

центре

тяжести

С.

Момент инерции колеса относительно

оси С,

перпендикулярной

плоскости материальной симметрии,

равен

JQ; /

—

коэффициент трения качения,

/—коэффи-

циент трения

при

качении

со

скольжением.

началь-

ный

момент колесо находилось

покое.

Ответ:

-у-(/г—f

)t.

37.48. Изменится

ли

угловая скорость колеса,

рас-

смотренного

предыдущей задаче, если

модуль

силы,

приложенной

в его

центре тяжести

С,

увеличится

задаче

37.49.

ДВЭ

раза?

Ответ:

Не

изменится.

37.49

(982). Через блок, массой которого пренебрегаем, переки-

нут канат;

за

точку

каната

ухватился

человек,

точке

В под-

вязан

груз

одинакового веса

человеком.

Что

произойдет

грузом,

если человек станет подниматься

по

канату

со

скоростью

отно-

сительно каната?

294

Ответ'.

Груз

будет

подниматься с канатом со скоростью ~.

37.50

(983). Решить предыдущую

задачу,

принимая во внимание

вес блока, который в четыре раза меньше веса человека. Считать,

что масса блока равномерно распределена по его

ободу.

Ответ:

Груз

будет

подниматься со скоростью -^ а.

37.51 (984). Круглая горизонтальная платформа может вращаться

без трения вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через ее центр О;

по

платформе на неизменном расстоянии ог оси Oz, равном г, идет

с постоянной относительной скоростью и человек, вес которого

равен р.

какой угловой скоростью со

будет

при этом вращаться плат-

форма вокруг оси, если вес ее Р можно считать равномерно распре-

деленным по площади круга радиуса R, а в начальный момент плат-

форма и человек имели скорость, равную нулю?

Ответ:

2pr2

и.

37.52

(985). Круглая горизонтальная платформа вращается без

трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр тяжести,

с постоянной угловой скоростью ш

;

при

этом на платформе стоят четыре А

—

2а

человека одинакового веса: два — на

краю платформы, а два — на расстоя-

ниях

от оси вращения, равных половине

радиуса платформы. Как изменится уг-

ловая скорость платформы, если люди,

стоящие на краю,

будут

двигаться по

окружности в сторону вращения с от-

носительной линейной скоростью и, а

к за

аче 37

люди, стоящие на расстоянии поло-

вины

радиуса от оси вращения,

будут

двигаться по окружности в

противоположную сторону с относительной линейной скоростью 2н?

Людей считать точечными массами, а платформу—круглым однород-

ным

диском.

Ответ:

Платформа

будет

вращаться с той же угловой скоро-

стью.

37.53 (986). Решить предыдущую задачу в предположении, что

все люди двигаются в сторону вращения платформы. Радиус плат-

формы R, ее масса в четыре раза больше массы каждого из людей

равномерно распределена по всей ее площади. Выяснить также, чему

должна быть равна относительная линейная скорость и для того,

чтобы платформа перестала вращаться. '

л 8 « 9 „

Ответ:

^j^co,,—-K"D'<

и=-^Н

о-

37.54

(987). Человеку, стоящему на скамейке Жуковского, в то

время, когда он протянул руки в стороны, сообщают начальную

угловую

скорость, соответствующую 15

об/мин;

при этом момент

295

инерции

человека и скамейки относительно оси вращения равен

0,8

кГмсек\

С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка

с человеком, если, приблизив руки к туловищу, он уменьшит момент

инерции

системы до 0,12 кГмсек*?

Ответ:

100 об j мин.

37.55

(988). Два твердых тела вращаются независимо

друг

от

друга

вокруг одной неподвижной оси с постоянными угловыми ско-

ростями о), и ш

. Моменты инерции твердых тел относительно этой

оси соответственно равны J\ и j

. С какой угловой скоростью ста-

нут вращаться оба тела, если они

будут

во время вращения соеди-

нены?

Ответ:

и>

= '"' , ,

8(йз

•Л

+Л

37.56.

Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться

вокруг вертикальной оси АВ. Внутри трубки на расстоянии МС = а

от оси находится шарик М. В некоторый момент времени трубке

сообщается начальная угловая скорость щ. Определить

угловую

ско-

рость со трубки в момент, когда шарик вылетит из трубки. Момент

инерции

трубки относительно оси вращения равен J, L — ее длина;

трением пренебречь, шарик считать

материальной точкой массы т.

М D л J 4- та

Ответ:

» =

задаче 37,56.

задаче 37.67.

37.57

(989). Однородный стержень АВ длиной 2L=180 см и

весом Q = 2 н подвешен в устойчивом положении равновесия на

острие так, что ось его горизонтальна. Вдоль стержня

могут

пере-

мещаться два шара Mi и 7И

, весом каждый Р = Ъ н, прикрепленные

концам

двух

одинаковых пружин. Стержню сообщается вращатель-

ное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, соот-

ветствующей «1 = 64

O6JMUH,

причем шары расположены симметрично

относительно оси вращения и центры их с помощью нити удержи-

ваются на расстоянии 2l

= 72 см

друг

от

друга.

Затем нить пере-

жигается, и шары, совершив некоторое число колебаний, устанавли-

ваются под действием пружин и сил трения в положение равновесия

на

расстоянии 2/

= 108 см

друг

от

друга.

Рассматривая шары как

материальные точки и пренебрегая массами пружин, определить новое

число Hi оборотов стержня в минуту.

Ответ:

= „ ' Т д^

"i = 34

об/мин.

„

296

37.58. Тележка поворотного подъемного крана движется

посто-

янной

скоростью

относительно стрелы. Мотор, вращающий

кран,

создает

период разгона постоянный момент, равный

Определить

угловую

скорость

вращения крана

зависимо-

сти

от

расстояния

тележки

до оси

вращения

АВ, если

вес

тележки

грузом равен

Р, J—

момент инерции крана

(без

тележки) относи-

тельно

оси

вращения; вращение начинается

в мо-

мент, когда тележка находится

на

расстоянии

от

оси АВ.

щ х—х

Ответ:

со

задаче 37.58.

37.59. Сохранив условие предыдущей задачи,

определить

угловую

скорость

со

вращения крана,

если мотор создает вращающий момент, равный

—

ао),

где т

—

положительные постоянные.

Ответ:

и =

—

arctg

-г

dx, где

= ~l/ jL

(ОСЬ

направлена горизонтально вправо вдоль стрелы).

38. Теорема об изменении кинетической энергии

материальной системы

38.1.

Вычислить кинетическую энергию плоского механизма,

со-

стоящего

из

трех

стержней

АВ, ВС и CD,

прикрепленных цилиндри-

ческими шарнирами

А и D к

потолку

соединенных

между

собой

шарнирами

В и С. Вес

каждого

из

стержней

АВ и CD

длиной

равен

Pi, вес

стержня

ВС

равен

причем

BC = AD.

Стержни

АВ

вращаются

угловой скоростью

со.

Ответ:

T =

задаче

38.1.

задаче

38.2.

38.2. Однородный тонкий стержень

АВ

весом

опирается

на

угол

D и

концом

скользит

по

горизонтальной направляющей. Упор

перемещается вправо

постоянной скоростью

<о.

Определить кинети-

ческую энергию стержня

зависимости

от

угла

<р, если длина стержня

297

равна 21, а превышение

угла

равно Я.

РФ II

Ответ:

r =

ig-(l-2^

над горизонтальной направляющей

38.3 (1043). Вычислить кинетическую энергию кулисного

меха-

низма,

если момент инерции кривошипа ОА относительно оси

вращения,

перпендикулярной к плоскости чертежа, равен J

; длина

кривошипа

равна а, масса кулисы равна т, массой камня А пре-

небречь. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью ш. При каких

положениях механизма кинетическая энергия достигает наибольшего

наименьшего значений?

Ответ;

Т = -у (J

+ ma?

sin

cp) u>

Наименьшая

кинетическая энергия — при крайних положениях кулисы,

наибольшая — при прохождении кулисой среднего положения.

задаче 38.3.

задаче 38.4.

38.4 (1042). Вычислить кинетическую энергию гусеницы трактора,

движущегося

со

скоростью

<в

Расстояние

между

осями колес равно

радиусы колес равны

г, вес

одного погон-

,4—

ного метра гусеничной цепи равен

у.

Ответ:

7" =

2—(/4-яг)

г)*.

38.5 (1044). Вычислить кинетическую

энергию кривошипно-шатунного механиз-

задаче

38.5. ма,

если масса кривошипа

длина

кри-

вошипа

г,

масса ползуна

длина

шату-

на

Массой шатуна пренебречь. Кривошип считать однородным стерж-

нем.

Угловая скорость вращения кривошипа

ш.

Ответ:

Т=-^\-^

sin 2ср

Г'ш"

sin

ер

38.6 (1045). Решить

предыдущую

задачу,

принимая во внимание

положении, когда кривошип ОА перпендикулярен к направляющей

ползуна, массу шатуна т

Ответ:

Т = -^ Ьг m

-f т

+ т

) г

38.7 (1046). Планетарный механизм, расположенный в горизон-

тальной плоскости, приводится в движение кривошипом ОА, соеди-

няющим

оси

трех

одинаковых колес J, II и ///, Колесо / неподвижно;

кривошип

вращается с угловой скоростью ю. Вес каждого из колес

равен Р,

радиус

каждого из колес равен г, вес кривошипа равен Q.

Вычислить кинетическую энергию механизма, считая колеса однород-

ными

дисками, а кривошип — однородным стержнем. Чему равна

работа пары сил, приложенной к колесу ///?

2щ2

Ответ:

Т=-^-(ЗЗР-{-8Q); работа равна нулю.

задаче

38.7, К

задаче

38.8.

38.8 (1047). Мельничные

бегуны

А и В насажены на горизонталь-

ную ось CD, которая вращается вокруг вертикальной оси EF; вес

каждого

бегуна

200 кГ; диаметры бегунов одинаковые, каждый

равен 1 м; расстояние

между

ними CD равно 1 м. Найти кинети-

ческую

энергию бегунов, когда ось CD совершает 20

об/мин,

допуская,

что при вычислении моментов инерции

бегуны

можно рассматривать

как

однородные тонкие диски.

!><?

Ответ:

39 кГм.

задаче

38.9.

задаче

38.10.

38.9 (1048). В кулисном механизме при качании рычага ОС вокруг

оси

О, перпендикулярной к плоскости

чертежа,

ползун А, переме-

щаясь

вдоль рычага ОС, приводит в движение стержень АВ,

движущийся в вертикальных направляющих К. Рычаг ОС длиной R

считать однородным стержнем с массою т

масса ползуна равна /я

масса стержня АВ равна т

, ОК—1. Выразить кинетическую энергию

механизма в функции от угловой скорости и

угла

поворота рычага

ОС. Ползун считать точечной массой.

Ответ:

Т =

З/

«»)].

38.10.

Вычислить кинетическую энергию системы, состоящей из

двух

колес, соединенных паровозным спарником АВ и стержнем

если оси колес движутся со скоростью «г

. Вес каждого колеса

равен P

Спарник АВ и соединительный стержень

весят Р

каждый. Масса более равномерно распределена по их ободам; О

А =

— О

В — г/2, где г —радиус колеса. Колеса катятся без скольжения

по

прямолинейному рельсу.

Ответ:

T=^

38.11. Автомобиль весом Р движется прямолинейно по горизон-

тальной дороге со скоростью V. Коэффициент трения качения

между

колесами автомобиля и дорогой равен f

, радиус колес г, сила аэро-

динамического сопротивления JR

воздуха

пропорциональна квадрату

скорости: R

iiPv

где ц — коэффициент, зависящий от формы

автомобиля. Определить мощность N двигателя, передаваемую на оси

ведущих колес, в установившемся режиме.

Ответ:

N=P&A

38.12 (1052). На вал диаметром 60 мм насажен маховик диамет-

ром 50 см, делающий 180

об/мин.

Определить коэффициент трения

скольжения /

между

валом и подшипниками, если после выключения

привода маховик сделал 90 оборотов до остановки. Массу маховика

считать равномерно распределенной по его

ободу.

Массой вала

пренебречь.

Ответ:

/==0,07.

38.13 (1053). Цилиндрический вал диаметром 10 см и весом 0,5 т,

на

который насажено маховое колесо диаметром 2 м и весом 3 г,

вращается в данный момент с угловой скоростью 60

об/мин,

а затем

он

предоставлен самому себе. Сколько оборотов

еще сделает вал до остановки, если коэффициент

трения в подшипниках равен

0,05?

Массу махо-

вика

считать равномерно распределенной по его

ободу.

Ответ:

109,8 оборота.

38.14. Однородный стержень О А длиной / и

весом Р может вращаться вокруг горизонтальной

неподвижной оси О, проходящей через его конец

перпендикулярно к плоскости чертежа. Спираль-

ная

пружина, коэффициент упругости которой ра-

•»;--Ж задаче

38.14.

вен с, одним концом скреплена с неподвижной

осью О, а другим — со стержнем. Стержень нахо-

дится в покое в вертикальном положении, причем пружина при этом

не

деформирована. Какую скорость надо сообщить концу А стержня

для того, чтобы он отклонился от вертикали на

угол,

равный

60°?

Ответ:

v = A/

——тгр

38.15 (1055).. Через два блока А я В, находящихся на одной

горизонтали на расстоянии АВ — 21

друг

от

друга,

перекинута нить,

концам которой привешены два равных

груза

М весом по р грам-

мов.

К нити в середине С

между

блоками привешивают

груз

7И

300

'.Л