Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Определить время т торможения и

угол

ср поворота кривошипа

за это время, если его вес равен Р,

О—вес

сателлита, R и г —соот-

ветствующие радиусы. Кривошип принять за однородный тонкий

стержень, а сателлит — за однородный диск.

Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии

дифференциальной форме.

Ответ:

*=ГГТТ—

ш=_——

о»

, где

38.54. Крестовина С приводится во вращение вокруг неподвижной

оси О

посредством однородного стержня АВ, вращающегося вокруг

задаче 38.53. К задаче

38.54.

неподвижной оси О (оси О и О

перпендикулярны к плоскости чер-

тежа). При этом ползуны А и В, соединенные при помощи шарни-

ров со стержнем АВ, скользят вдоль взаимно перпендикулярных

прорезей крестовины С. Вращение стержня происходит под дейст-

вием постоянного вращающегося момента т

ър

. Определить

угловую

скорость стержня АВ в момент, когда он

сделает

четверть оборота,

если в начальный момент при

<р

= 0 он имел

угловую

скорость ш

Величина момента сопротивления, возникающего в каждом из шар-

ниров

ползунов А и В, в два раза меньше т

вр

. Прочими силами

сопротивления пренебречь. Масса стержня равна т; момент инерции

крестовины С относительно оси О

равен J; 00

0А=ОВ

= 1,

Ответ:

« = ]/"

" ~

39.

Плоскопараллельное

(плоское)

движение

твердого

тела

39.1 (1082). Тяжелое тело состоит из стержня АВ длиной 80 см

весом 1 « и прикрепленного к нему диска с радиусом 20 см и весом 2 н.

В начальный момент при вертикальном положении стержня

телу

сооб-

щено такое движение, чю скорость центра тяжести М

стержня

311

равна нулю, а скорость центра тяжести М

диска равна 360

см}сек

направлена по горизонтали вправо.

Найти

последующее движение

тела,

принимая во внимание только

действие силы тяжести.

Ответ:

Тело равномерно вращается с угловой скоростью 6 сек'

вокруг своего центра тяжести, который описывает параболу _у

= 117,5 х

(начало координат — в точке В,

ось у направлена по горизонтали

вправо, ось х —

вниз).

39.2. Диск падает в вертикаль-

ной

плоскости под действием силы

тяжести. В начальный момент дис-

ку была сообщена угловая ско-

рость щ, а его центр тяжести С,

находившийся в начале координат,

имел горизонтально направленную

скорость Ф

Найти

уравнения движения диска. Оси х, у изображены на

рисунке. Силами сопротивления пренебречь.

at'

Ответ:

xc—v

ус — -%—,

(f==a>

где

<р

—

угол

поворота

диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в начальный

момент горизонтальное положение.

39.3. Решить

предыдущую

задачу,

считая, что момент т

сопро-

тивления движению относительно подвижной горизонтальной оси,

проходящей через центр тяжести С диска перпендикулярно к пло-

скости движения его, пропорционален первой степени угловой ско-

рости диска ф, причем коэффициент пропорциональности равен р.

Момент инерции диска относительно этой оси равен J

задаче

39.1.

задаче

39.2.

Ответ:

*=*v

t, _y

= -—

= .

— е

где ф —

угол

поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимав-

шим

в начальный момент горизонтальное положение.

39.4 (1084).

Ведущее

колесо автомашины радиуса г и весом Р дви-

жется горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вращаю-

щий

момент М. Радиус инерции колеса относительно оси, проходя-

щей через центр тяжести перпендикулярно к его плоскости, равен р.

Коэффициент

трения скольжения колеса о землю равен /. Какому

условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы

колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.

» '

Ответ:

VWsjc/P—

39.5. Решить

предыдущую

задачу

учетом

трения качения, если

коэффициент

трения качения равен /

Ответ:

M^fP

39.6 (1085). Ось ведомого колеса автомашины движется горизон-

тально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально

312

направленная движущая сила

Радиус инерции колеса относительно

оси,

проходящей через центр тяжести перпендикулярно

к его пло-

скости, равен

р.

Коэффициент трения скольжения колеса

землю

равен

Радиус колеса равен

г, вес

колеса равен

Р.

Какому усло-

вию должна удовлетворять величина силы

F для

того, чтобы колесо

катилось

без

скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.

Ответ:

F^fP

39.7. Решить

предыдущую

задачу

учетом

трения качения, если

коэффициент

трения качения равен

/*.

Ответ

^fP(r* + f)

Ph-r

39.8.

К оси

колеса весом

Р и

радиуса

приложена постоянная

по

модулю

горизонтальная сила

Найти зависимость

между

этой силой

силой трения

при

условии,

что

центр тяжести

колеса неподви-

жен

или

движется равномерно

прямолинейно. Определить также

угловую

скорость колеса, если

начальный момент

оно

находилось

покое. Массу колеса считать распределенной равномерно

по его

ободу.

Трением качения пренебречь.

Ответ:

=F;

= -^-t.

39.9. Колесо радиуса

катится

по

прямолинейному горизонталь-

ному

рельсу

под

действием приложенного вращающего момента

-y-fPr,

где/—коэффициент трения скольжения,

Р —

вес

колеса.

Определить скорость точки колеса, соприкасающейся

рельсом

(ско-

рость проскальзывания). Масса колеса равномерно распределена

по

его

ободу.

Трением качения пренебречь.

начальный момент колесо

находилось

покое.

Ответ:

Ц-t.

39.10. Решить

предыдущую

задачу

учетом

трения качения, если

коэффициент

трения качения

= —/г.

Ответ:

-jfgt.

39.11 (1087). Однородный цилиндр

горизонтальной осью

ска-

тывается

под

действием собственного веса

по

наклонной шерохова-

той плоскости

коэффициентом трения

Определить

угол

наклона

Плоскости

горизонту

ускорение

оси

цилиндра, предполагая,

что

при

движении цилиндра скольжение

отсутствует.

Сопротивлением

качения

пренебречь.

Ответ:

a<;arctg3/;

w —

-^gsina.

39.12.

Два

цилиндра одинакового веса скатываются

без

скольже-

ния

по

наклонной плоскости, расположенной

под

углом

а. к

гори-

зонту. Масса первого цилиндра равномерно распределена

по его

боко-

вой поверхности, второй цилиндр

—

сплошной. Определить разность

между

ускорениями центров тяжести второго

первого цилиндров.

Трением качения пренебречь.

313

Ответ:

Ускорение центра тяжести сплошного цилиндра больше

ускорения

центра тяжести первого цилиндра на

g sin a.

39.13. Однородный сплошной круглый диск катится без сколь-

жения

по наклонной плоскости, расположенной под углом а к гори-

зонту. Ось диска образует

угол

(3 с линией наибольшего ската. Опре-

делить ускорение центра тяжести диска, считая, что его качение

происходит в одной вертикальной плоскости.

Ответ:

•ffi>c=-7r-g'smasinp.

39.14 (1088). Однородный цилиндр с горизонтальной осью ска-

тывается под действием собственного веса со скольжением по наклон-

ной

плоскости при коэффициенте трения скольжения /. Определить

угол

наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра.

Ответ:

a>arctg3/;

w=g(sina

— /cosa).

39.15 (1089). Однородное колесо

радиуса

г скатывается без

скольжения по наклонной плоскости, образующей

угол

а с горизонтом.

При

каком значении коэффициента трения качения f

центр тяжести

колеса

будет

двигаться равномерно, а колесо

яри

этом

будет

равномерно вращаться вокруг

оси,

проходящей через центр тяжести перпен-

дикулярно к его плоскости?

Ответ:

= r tg a.

39.16 (1090). На барабан однородного катка

весом Р и радиуса г, лежащего на горизонталь-

ном

шероховатом полу, намотана нить, к ко-

торой приложена сила Т под углом <х к го-

ризонту. Радиус барабана а, радиус инерции

катка

р. Определить закон движения оси катка О. В начальный момент

каток

находился в покое, затем катился без скольжения.

г\ Т

в (г cos a —

а)

,«

Ответ:

х = -р—

, г»

причем

ось х

направлена

слева

направо.

39.17 (1092).

Однородный

стержень АВ весом Р

горизонтально

подвешен

к потолку посредством двух

вертикальных

нитей,

прикреп-

ленных

концам

стержня.

Найти

натяжение

одной

из ни-

тей

момент

обрыва другой.

Указание.

Составить

диф-

ференциальные

уравнения

движе-

ния

стержня

для весьма малого

промежутка

времени,

следующе-

го

за

моментом

обрыва

нити,

пренебрегая

изменением

направления

стержня

изменением

расстояния

центра

тяжести

стержня

от другой

нити.

Ответ:

Т=—£.

39.18

(1093).

Однородный стержень АВ весом Р подвешен

точке О на

двух

нитях равной с ним длины.

314

К задаче 39.16.

К задаче 39.17.

К задаче 39.18.

Определить натяжение одной

из

нитей

момент обрыва другой.

(См.

указание

задаче

39.17.)

Ответ:

Г =

0,266Р.

39.19 (1094). Однородный тонкий стержень длиной

21 и

весом

лежит

на

двух

опорах

А и В;

центр тяжести

стержня находится

на

одинаковых расстояниях

от

опор, причем

СА

= СВ =

а; давление

на

каждую

опору

рав- Д £ В

но

'/s

Р. Как изменится давление

на

опору

А в

тот момент, когда опора

будет

мгновенно

удалена?

(См. указание

задаче

39.17.)

Ответ:

Давление

на

опору

получит приращение,

равное

задаче

39 ]9.

2 (I

За

)

39.20

(1095). Тяжелый круглый цилиндр

А с

массой

обмотан

посредине тонкой нитью, конец которой

закреплен неподвижно.

Цилиндр

падает

без

начальной скорости, разматывая нить.

Определить скорость

оси

цилиндра, после того

как эта ось

опустится

на

высоту

h, и

найти натя-

'ШШШ

ен„

нити.

2 — 1

|/?

Ответ: v = -j y3gh; T'= j mg.

•н-

задаче

39 20.

39.21 (1096).

Две

гибкие нити обмотаны вокруг однородного

круглого цилиндра

весом

Р и

радиуса

так,

что

завитки

их рас-

положены симметрично относительно средней плоскости, параллель-

ной

основаниям. Цилиндр помещен

на

наклонной плоскости

АВ так,

что

его

образующие перпендикулярны

линии наибольшего ската,

а концы

нитей закреплены симметрично относительно вышеука-

занной

средней плоскости

на

расстоянии

2г от

плоскости

АВ.

Цилиндр

начинает двигаться без начальной скорости под действием силы тяжести,

преодолевая трение

наклонную плоскость, причем коэффициент

трения равен

Определить

путь

пройденный центром тяжести цилиндра

за

время

t, и

натяжение

нитей, предполагая,

что в

течение рассматривае-

мого промежутка времени

ни

одна

из

нитей

не

сматывается

до

конца.

Ответ:

,rg(sina

—

2/cosa)/

;

^-P(sina-j-/cosa).

Цилиндр

остается

покое, если

tga

2/.

315

39.22 (1097).

Два

цилиндрических вала весом

и Р

скаты-

ваются

по

двум

наклонным плоскостям, образующим соответственно

углы

аире горизонтом. Валы соединены нерастяжимой нитью,

концы

которой намотаны

на

валы

и к ним

прикреплены.

Определить натяжение нити

и ее

ускорение

при

движении

по

наклонным

плоскостям. Валы считать однородными круглыми цилинд-л

рами.

Весом нити пренебречь.

'''

Ответ:

задаче

39.22.

задаче

39.23

39.23 (1098). Определить период малых колебаний однородного

полукруглого диска радиуса

находящегося

на

негладкой горизон-

тальной плоскости,

по

которой

он

может катиться

без

скольжения.

Ответ:

Т =

£•

У~^Щг^ТЩ

40. Приближенная теория гироскопов

40.1 (1027). Волчок вращается

по

часовой стрелке вокруг своей

оси О

А с

постоянной угловой скоростью

w = 600

сек'

;

ось

накло-

нена

вертикали; нижний конец

оси О

остается неподвижным; центр

тяжести

волчка находится

на оси

А на

расстоянии

ОС= 30 см

от точки

О;

радиус инерции волчка относи-

'А тельно

оси

равен

10 см.

Определить движение

оси

волчка О

А,

считгя,

что

главный момент количеств

дви-

жения

волчка равен

Jut.

Ответ:

Ось

вращается вокруг

вер-

тикали

Oz по

часовой стрелке, описывая

круговой конус,

постоянной угловой

ско-

ростью

задаче

40.1. % = 0,49 СвК'

40.2 (1028). Волчок, имея форму диска диаметром

30 см,

вращается

с угловой скоростью

80 сек"

вокруг своей

оси

симметрии. Диск наса-

жен

на ось

длиной

20 см,

расположенную вдоль

оси

симметрии волчка.

Определить

угловую

скорость регулярной прецессии волчка,

полагая,

что его

главный момент количеств движения равен Ja>.

Ответ:

2,18

сек'

316

40.3 (1029). Турбина, вал которой параллелен продольной оси

судна, делает 1500

об!мин.

Вес вращающихся частей 6 т, радиус

инерции

р = 0,7 м.

Определить гироскопические давления на подшипники, если судно

описывает циркуляцию вокруг вертикальной оси, поворачиваясь на

10° в секунду._ Расстояние

между

подшипниками / = 2,7 м.

Ответ:

3090'

кГ.

40.4 (1030). Определить максимальные гироскопические давления

на

подшипники быстроходной турбины, установленной на корабле.

Корабль подвержен килевой качке с амплитудой 9° и периодом 15 сек

вокруг оси, перпендикулярной к оси ротора. Ротор турбины весом

3500

кГ с радиусом инерции 0,6 м делает

3000

об{мин.

Расстояние

между

подшипниками 2 м.

Ответ:

1320 кГ.

задаче 40.4.

задаче 40.5.

40.5 (1032). Определить время Т полного оборота оси симметрии

артиллерийского снаряда вокруг касательной к траектории центра

тяжести снаряда. Это движение происходит в связи с действием силы

сопротивления

воздуха

= 2140 кГ, приближенно направленной

параллельно касательной и приложенной к оси снаряда на расстоянии

h = 0,2 м от центра тяжести снаряда. Момент количества движения

снаряда относительно его оси симметрии равен 590

кГмсек.

Ответ:

8,66 сек.

40.6 (1033). Газотурбовоз приводится в движение турбиной, ось

которой параллельна оси колес и вращается в ту же сторону, что и

колеса, делая 1500

об/мин.

Момент инерции вращающихся частей

турбины относительно оси вращения J=20

кГмсек

Как

велико добавочное давление на рельсы, если газотурбовоз

идет по закруглению радиуса 250 м со скоростью 15 м/сек? Ширина

колеи 1,5 м.

Ответ:

На один рельс 126 кГ

вниз,

на другой рельс 126 кГ

вверх.

40.7 (1034). В дробилке с бегунами каждый бегун имеет вес

Р— 1200 кГ, радиус инерции относительно его оси р = 0,4 м, радиус

/? = 0,5 м, мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину

линии

касания бегуна с дном чаши.

317

Определить давление бегуна на горизонтальное дно чаши, если

переносная

угловая скорость вращения бегуна вокруг вертикальной

оси

соответствует л = 60

об/мин.

Ответ:

N =2740 кГ.

40.8 (1035). Колесный скат весом Р — 1400 кГ, радиуса а = 75 см

с радиусом инерции относительно своей оси р = у 0,55 а движется

равномерно

со скоростью г» = 20

м/сек

по закруглению радиуса

/? = 200 м, лежащему в горизонтальной плоскости.

задаче 40.7,

задаче 40.8.

Определить давление ската на рельсы, если расстояние

между

рельсами /=1,5 м,

Ответ:

Л/ = (700±79)лтГ.

40.9. На чертеже изображен

узел

поворотной части разводного

моста. Вал АВ с жестко прикрепленными к нему под углом а стерж-

нями

CD и СЕ вращается с угловой скоростью щ. При этом

кони-

ческие шестерни К и L, свободно насаженные на стержни CD и СЕ,

катятся

без скольжения по неподвижной плоской горизонтальной

шестерне.

задаче 40.9.

задаче 40 10.

Определить дополнительные динамические давления шестерен К

L весом Р каждая на неподвижную горизонтальную шестерню,

если радиусы всех шестерен равны л Подвижные шестерни считать

сплошными

однородными дисками.

„

Pra>i

sin a

Ответ:

1 .

40.10. Квадратная рама со стороной а = 20 см вращается вокруг

вертикальной

318

ED, совмещенной

диагональю рамы, вращается диск

радиуса

г=\0см

угловой скоростью

со

300

сек'

Определить отношение дополнительных боковых давлений

на

опоры

А и В к

соответствующим статическим давлениям. Массой

рамы пренебречь. Массу диска считать равномерно распределенной

по

ободу.

Ответ:

4,32.

40.11 (1038).

Ось АВ

рамки гироскопа установлена

на

широте

<р

= 30°

горизонтально

по

линии О

—

W. Ротор гироскопа весом

= 2 кГ,

радиуса

г = \см

вращается

постоянной угловой

скоростью (0

3000

сек'

Общий

центр тяжести

ротора

рамки

располагается

на оси Oz

ротора

на

расстоянии

OC = h от оси АВ.

Статический момент гироскопа

1,3

задаче

11.

задаче

40.12.

Определить положение равновесия рамки,

т. е.

угол

отклонения

оси ротора

Oz в

плоскости меридиана

от

вертикали

ОС

места.

Ротор считать однородным диском.

Ответ:

а = 45°.

40.12 (1039). Колесо радиуса

а и

весом

1р

вращается вокруг

горизонтальной

оси АВ с

постоянной угловой скоростью

u>i; ось АВ

вращается вокруг вертикальной

оси CD,

проходящей через центр

колеса,

постоянной угловой скоростью

со

;

направления вращений

показаны

стрелками.

Найти

давления

А/д и Л^ на

подшипники

А и В,

если длина

AO=OB

—

h; масса колеса равномерно распределена

по его

ободу.

Ответ:

=p(l-]

=p (l

40.13. Простейший гиротахометр состоит

из

гироскопа, рамка

которого удер'живается двумя пружинами, прикрепленными

корпусу

прибора. Момент инерции гироскопа относительно

оси

собственного

вращения равен

угловая скорость гироскопа равна

со.

Определить

угол

ос, на который повернется ось гироскопа вместе

с его рамкой, если прибор установлен на платформе, вращающейся

с угловой скоростью о)! вокруг оси х, перпендикулярной к оси у

вращения рамки. Коэффициенты жесткости

пружин равны с;

угол

а считать малым; рас-

стояние от оси вращения рамки до пружин

равно а.

Ответ:

2ca

аи.

задаче 40.13.

41. Метод кинетостатики

41.1 (896). Определить вес круглого

однородного диска радиуса 20 см, вращаю-

щегося вокруг оси по закону ф = 3<

. Ось

проходит через центр диска перпендику-

главный момент сил инерции диска относи-

лярно

к его плоскости;

тельно оси вращения равен 4 нем.

Ответ:

3,27 я.

41.2 (897). Тонкий прямолинейный однородный стержень длиной /

весом Р вращается вокруг оси, проходящей перпендикулярно

стержню через его конец, по закону

= at

Найти

величины, направления и точки приложения равнодействую-

щих J

и J

центробежных и вращательных сил инерции частиц

стержня.

Ответ:

Равнодействующая вращательных сил инерции J

= —

направлена перпендикулярно к стержню и приложена в точке, удален-

ной

от оси вращения на расстояние -^-/; равнодействующая центро-

бежных сил инерции ,/

направлена вдоль стержня от оси

вращения.

41.3. Колесо весом Р и радиуса г катится без скольжения по

прямолинейному горизонтальному

рельсу.

Определить главный вектор и главный момент сил инерции относи-

тельно оси, проходящей через центр тяжести колеса перпендикулярно

плоскости движения. Колесо считать сплошным однородным диском.

., „ at

Центр тяжести С движется по закону Хс = -у-

где а — постоянная

положительная величина. Ось х направлена вдоль рельса.

Ответ:

Главный вектор сил инерции равен по

модулю

— а

направлен параллельно оси х; главный момент сил инерции равен

Par

по

абсолютной величине -=—.

41.4. Определить главный вектор и главный момент сил инерции

подвижного колеса II планетарного механизма относительно оси,

проходящей через его центр тяжести С перпендикулярно к плоскости

320