Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

34.21. Маятник состоит из тонкого однородного стержня АВ

весом Р{, к концу которого прикреплен однородный диск С весом Р

Длина стержня равна 4г, где г

—радиус

диска. Вычислить момент

инерции

маятника относительно его оси привеса О, перпендикуляр-

ной

к плоскости маятника и отстоящей на расстоянии г от конца

стержня.

„ 14Р, + 99Р

„

Ответ:

•

~ г

34.22.

Вычислить

радиус

инерции маят-

ника,

рассмотренного в предыдущей за-

даче, относительно оси, проходящей через • —-^

конец

А стержня АВ перпендикулярно л сс;^^

плоскости маятника.

Ответ:

Рл-r]/

34.23. Тонкий однородный стержень АВ ^

ДЛИНОЙ

21 И весом Р прикреплен В Цент-

задаче 34.23.

ре О к вертикальной оси, образуя с ней

угол

а. Вычислить моменты инерции стержня J

, J

и центробежный

момент инерции J

. Оси координат показаны на чертеже.

pfi pp рр

Ответ: J

—

-5—

cos

a; J

-5—

sin

а; J

-%—

sin 2а.

6g •> ig •> bg

34.24. По данным условия задачи 34.1 определить центробежные

моменты

инерции

, J

коленчатого вала.

3 1^3~

Ответ:

—w-md{a-\-b);

= ——^-md(a-\-b); J

= 0.

34.25. Однородный круглый диск весом Р эксцентрично насажен

на

ось z, перпендикулярную к его плоскости. Радиус диска равен г,

Ж задаче

34.25.

задаче 34 27.

эксцентриситет

ОС = а, где С — центр тяжести диска, вычислить

осевые J

, J

и центробежные J

, J

моменты

инерции

диска.

Оси

координат показаны на чертеже.

Рг

Р I

\ Р / г*

Ответ:

—-fir>

"(у ~ "Т Г4" "т"

)» "^^"ГЧТ"

=jj.»

= j

= и.

34.26. Использовав условие и

ответ

предыдущей задачи, опреде-

лить величины полуосей эллипсоида инерции, построенного в точке О.

271

Ответ:

а,= —

34.27. По данным условия задачи

34.25

вычислить момент инер-

ции

диска относительно оси z

лежащей в вертикальной плоско-

сти xz и образующей с осью z

угол

ф.

Ответ:

= -

- sin

ф + у (д + a

] cos

ф.

34.28. Однородный круглый диск весом Р насажен на ось z,

проходящую через его центр тяжести С. Ось симметрии диска z

задаче 34 23.

лежит в вертикальной плоскости симметрии xz я образует с осью z

угол

а. Радиус диска равен г. Вычислить центробежные моменты

инерции

диска J

, J

(оси

координат показаны на чертеже).

Ответ-

= 0; J

34.29. Решить предыдущую

задачу в предположении, что диск

эксцентрично

насажен на ось z,

причем эксцентриситет

ОС=а.

Ответ:

= 0; J

задаче

3*30.

)

34.30. Однородный круглый диск радиуса R насажен на ось вра-

щения

z, проходящую через точку О и составляющую с осью сим-

метрии диска Czi

угол

а. Масса диска равна М. Определить момент

инерции

диска относительно оси вращения z и центробежные

пометы инерции J

и J

, если OL — проекция оси z на плоскость

диска,

ОЕ=^а,

ОК*=Ь.

Ответ:

R.A

cos*

•a

] sin a cos a;

Sln2

Жа& sin a.

272

34.31. Однородная прямоугольная пластинка весом

Р со

сторо-

нами

длиной

а и b

прикреплена

к оси z,

проходящей через одну

из

ее

диагоналей. Вычислить центробежный момент инерции

пла-

стинки

относительно осей

у и г,

лежащих вместе

пластинкой

плоскости

чертежа.

Начало координат совмещено

центром тяже-

сти пластинки.

Р аЬ(а

— Ь

)

Ответ:

•yz-

задаче 34.31.

задаче 34.32.

34.32.

Определить относительно осей

х, у, z

осевые

центро-

бежные моменты инерции изображенного

на

чертеже

однородного

тетраэдра

ОАВС

массы

М.

Ответ:

= jx

(/>"

4- с

10'

—

Tfiv"

Л1

То

(

J их —

34.33. Приняв

условии предыдущей задачи а=Ь=с, найти

уравнение эллипсоида инерции тетраэдра относительно точки

О.

г,

Ма

, , , ,. , М , ,

Ответ:

—^-

{х

+ y

) +

-yg-

аН\ =

1; ось z

симметрии

эллипсоида

инерции

составляет

осями

х, у, г

равные

углы.

Оси х

и у

занимают

произвольное положение

плоскости,

проходящей через точку

перпенди-

кулярно

к z

34.34.

Вращающаяся часть подъемно-

го крана состоит

из

стрелы

CD дли-

Ной

L и

весом

О,

противовеса

Е ве-

сом

Q и

груза

весом

Р.

Рассматри-

вая

стрелу

как

однородную тонкую

балку,

противовес

Е и

груз

К как

точечные массы, определить момент

инерции

крана относительно вертикальной

оси

вращения

г и

центробежные моменты инерции относительно осей координат

х, у,

г, связанных

краном. Центр тяжести всей системы находится

на

оси

стрела

расположена

плоскосги

yz.

273

задаче 34.34.

Ответ:

p + -1 o\

sin

a] j

sin 2a ——

£/sin

a, l

§ 35. Теорема о движении центра масс

материальной системы

35.1.

Определить главный вектор внешних сил, действующих на

маховик М, вращающийся вокруг оси АВ с угловым ускорением е.

Ось АВ, укрепленная в круговой раме, в свою очередь вращается

равномерно

вокруг оси DE. Центр тяжести С маховика находится

точке пересечения осей АВ и DE.

Ответ:

Главный вектор внешних СИЛ равен нулю.

К задаче 35.1. К задаче 35.2.

35.2. Определить главный вектор внешних сил, приложенных

линейке АВ эллипсографа, изображенного на чертеже. Кривошип ОС

вращается с постоянной угловой скоростью ю; вес линейки АВ равен Р;

Ответ:

Главный вектор внешних сил параллелен СО и равен по

модулю •—

/Й>

К задаче 35.3.

задаче 35.4.

К задаче 35 5.

35.3. Определить главный вектор внешних сид, действующих на

колесо весом Р, скатывающееся с наклонной плоскости

вниз,

если

его центр масс С движется по закону Хс =

/2.

Ответ:

Главный вектор внешних сил параллелен оси х, направ-

лен

в сторону движения и равен по

модулю

Pa/g.

274

35.4. Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой

под действием силы F, изображенной на чертеже. Найти закон дви-

жения

центра масс С колеса, если коэффициент трения скольжения

равен /, a

F=5fP,

где /> —вес колеса. В начальный момент колесо

находилось в покое.

Ответ:

xc =

'2fgt

35.5. Колесо' катится со скольжением по горизонтальной прямой

под действием приложенного к нему вращающего момента. Найти

закон

движения центра масс С колеса, если коэффициент тре-

ния

скольжения равен /. В начальный момент колесо находилось

покое.

Ответ:

XQ=Щ~,

35.6 (958). Вагон трамвая совершает вертикальные гармонические

колебания

на рессорах амплитуды 2,5 см и периода Г = 0,5 сек.

Вес кузова с нагрузкой 10 т, вес тележки и колес 1 т. Определить

давление вагона на рельсы.

Ответ:

Давление изменяется от 7 до 15 т.

35.7 (959). Определить давление на

грунт

насоса' для откачки

воды при его работе

вхолостую,

если вес неподвижных частей кор-

пуса D и фундамента Е равен Р

вес криво-

шипа

ОА = а равен Р

, вес кулисы В и

поршня

С равен Р

. Кривошип ОА, вращаю-

щийся

равномерно с угловой скоростью со,

считать однородным стержнем.

Ответ:

*'~

™

)cosarf.

vmi

35.8. Использовав данные предыдущей

задачи, считать, что насос установлен на уп-

ругом

основании, коэффициент

упругости

которого равен с. Найти закон движения

оси

О кривошипа ОА по вертикали, если в

начальный

момент ось О находилась в поло-

жении

статического равновесия и ей была

сообщена по вертикали вниз скорость v

. Взять начало отсчета оси x

направленной

вертикально вниз, в положении статического равнове-

сия

оси О. Силами сопротивления пренебречь.

задаче 35.7.

Ответ:

1) При

Pi+Pi+Рз

—<п

cos (d,

где k =

aco*

2) при

35.9 (961). Ножницы для резки металла состоят из кривошипно-

шатунного механизма ОАВ, к ползуну В которого прикреплен

275

подвижный

нож. Неподвижный нож укреплен на фундаменте С. Опре-

делить давление фундамента на грунт, если длина кривошипа г, вес

кривошипа

длина шатуна /, вес ползуна В с подвижным ножом Р

вес фундамента С и корпуса D равен Р

. Массой шатуна пренебречь.

Кривошип

ОА, равномерно вращающийся с угловой скоростью to,

считать однородным стержнем.

Указание.

Выражение

1—(-=-)

sin

urf

следует

разложить

в ряд

тброс

вс /1 в

отбросить

второй.

все члены ряда, содержащие отношение

г/1 в

степени выше

Ответ:

N= Р

+ Р

-—- [(Pi

cos at +

±-

cos

35.10 (962). Электрический мотор весом Р установлен без креп-

лений

на гладком горизонтальном фундаменте; на валу мотора под

прямым

углом

закреплен одним концом однородный стержень дли-

ной

11 и весом р, на другой конец стержня насажен точечный

груз

угловая скорость вала равна со.

задаче 35.9

задаче

35.10.

Определить: 1) горизонтальное движение мотора; 2) наибольшее

горизонтальное усилие R, действующее на болты, если ими

будет

Закреплен

кожух электромотора на фундаменте.

Ответ:

1) Гармонические колебания

2я

амплитудой

2Q)

P+P + Q

периодом —

л.) t\ =

/ш

35.11 (963). По условиям предыдущей задачи вычислить ту угло-

вую скорость со вала электромотора, при которой электромотор

будет

подпрыгивать над фундаментом, не

будучи

к нему прикреплен болтами.

Ответ:

36.12. При сборке электромотора его ротор В был эксцентрично

насажен

на ось вращения Cj на расстоянии

С^^^а,

где С\ — центр

тяжести статора А, а С

~ центр тяжести ротора В. Ротор равно-

мерно

вращается с угловой скоростью ш. Электромотор установлен

посередине упругой балки, статический прогиб которой равен Д;

Р]

— вес статора, Р

— вес ротора.

Найти

уравнение движения точки С] по вертикали, если в началь-

ный

момент она находилась в покое в положении статического рав-

новесия.

Силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х

взять в положении статического равновесия точки С].

Ответ:

1) При ]/|

- ^

sin At

где k=Yii

при ]/

-f

—a

2^^

35.13 (872). Электрический мотор весом 30 кГ з'становлен на

фалке,

жесткость которой с = 300

кГ[см.

На вал мотора насажен

задаче 35.13.

груз

весом 200 Г на расстоянии 1,3 см от оси вала. Угловая ско-

рость мотора

со

= const = 90

сек'

Определить амплитуду вынужден-

ных колебаний мотора и критическое число его оборотов в минуту,

пренебрегая массой балки и сопротивлением движению.

Ответ:

а = 0,410 мм; и

кр

= 950

об/мин.

35.14 (873). Мотор весом Р = 50 кГ установлен на балке, жест-

кость

которой с = 500

гсГ/см.

При свободных колебаниях балки

мотором уменьшение амплитуд последовательных отклонений от

равновесного положения оказалось равным -

-^- = -

?г

. На валу

мотора имеется неуравновешенный

груз

весом р = 0,2 кГ на рассто-

янии

г = 6 см от оси вращения. Найти амплитуду и сдвиг фаз вы-

нужденных колебаний мотора, когда угловая .скорость вращения вала

соответствует п — const = 980

об/мин.

Ответ:

а =

0,253

см; 8=137°.

35.15. На чертеже изображена крановая тележка А весом Р

которая

заторможена посередине балки BD. В центре тяжести С

?77

тележки подвешен трос длиной

/ с

привязанным

нему грузом

весом

Трос

грузом совершает гармонические колебания

в вер-

тикальной

плоскости. Определить:

суммарную вертикальную

ре-

акцию

балки

BD,

считая

ее

жесткой;

закон движения точки

вертикальном направлении, считая

балку

упругой

коэффициентом

упру-

гости, равным

с.

В начальный момент балка,

будучи

недеформированной,

находилась

покое

горизонтальном положении. Считая

задаче

35.18.

колебания троса малыми, принять:

БШф^ф,

соэф^«1. Начало отсчета

оси

взять

положении статического равновесия точки

. Мас-

сой

троса

размерами тележки

по

сравнению

длиной балки

пре-

небречь.

Ответ:

Ry=Py\-P

точка

совершает свободные коле-

бания

по

закону Ух

cosl/

35.16.

Сохранив данные предыдущей задачи

считая балку

жесткой, определить:

суммарную горизонтальную реакцию рельсов;

предположении,

что

тележка

не

заторможена, закон движения

центра тяжести

тележки

вдоль

оси х.

В начальный момент точка

находилась

покое

начале

от-

счета

оси х.

Трос совершает колебания

по

закону ф

Ответ: 1) R

—

/ф

со

cos at; 2)

точка

совершает колеба-

«йш

амплитудой

^фо й

круговой частотой

со по

закону

Хх =

—

cos at).

35.17 (951).

На

средней скамейке лодки, находившейся

покое,

сидели

два

человека. Один

из них,

весом

= 50 кГ,

переместился

вправо

на нос

лодки.

каком направлении

и на

какое расстояние

должен переместиться второй человек весом

= 70 кГ для

того,

чтобы лодка осталась

покое? Длина

лодки

4 м.

Сопротивлением воды

дви-

жению лодки пренебречь.

Ответ:

Влево

на

корму лодки

на

расстояние

1,43 м.

35.18 (952).

На

однородную приз-

му

А,

лежащую

на

горизонтальной

плоскости,

положена однородная приз-

ма

В;

поперечные сечения призм

—

прямоугольные треугольники,

вес

призмы

втрое больше веса призмы

В.

Предполагая,

что

призмы

горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину

/, на

которую передвинется призма

А,

когда призма

В,

спускаясь

по А,

дойдет

до

горизонтальной плоскости.

Ответ:

1—^~~.

задаче 35,18.

278

35.19".

По

горизонтальной товарной платформе длиною

6 м и

весом

2700

кГ,

находившейся

начальный момент

покое, двое

рабочих перекатывают тяжелую стальную отливку

из

левого конца

платформы

правый.

какую сторону

насколько переместится

при

этом платформа, если общий вес

груза

рабочих равен 1800 кГ?

Силами сопротивления движению платформы пренебречь.

Ответ:

Налево

на 2,4 м.

35.20 (954). Грузы

и Р

соединенные нерастяжимой нитью,

переброшенной через блок

А,

скользят

по

гладким боковым сторо-

нам

прямоугольного клина, опирающегося основанием

ВС на

гладкую

горизонтальную плоскость. Найти перемещение клина

по

горизон-

тальной плоскости

при

опускании

груза

на

высоту h =10

см.

Вес клина

Р =

4Р£=16Р

; массой нити

блока пренебречь.

Ответ:

Клин

переместится вправо

на 3,77 см.

шжшшшШЯжшшш

задаче

35.20.

м,

задаче 35.21.

35.21 (955).

Три

груза

весом Pf

н,

=15

н и Р

соединены невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через

неподвижные блоки

М и N.

При опускании

груза

вниз

груз

перемещается

по

верхнему основанию четырехугольной усеченной

пирамиды

ABCD

весом

Р =

100

вправо,

груз

поднимается

по

боковой грани

АВ

вверх. Прене-

брегая трением

между

усеченной

пи-

рамидой

ABCD

полом, определить

перемещение усеченной пирамиды

ABCD

относительно пола, если

груз

опустится вниз

на 1 м.

Ответ:

Влево

на 14 см.

35.22. Определить перемещение не-

заторможенного грузовика-самосвала,

находившегося

начальный момент

покое,

если

его

кузов весом

из

горизонтального положения повернулся вокруг

оси О,

перпендику-

лярной

плоскости чертежа,

на

угол

30°. Вес

грузовика

без

кузова

равен

1,5 т.

Положение центра тяжести

кузова указано

на

чер-

теже, причем ОА — 2

м,

АС

см.

Сопротивлением движению

грузовика пренебречь.

Ответ:

Влево

на 39 см.

задаче

35.22.

279

36. Теорема об изменении главного вектора

количеств движения материальной системы. Приложение

к сплошным средам

36.1.

Определить главный вектор количеств движения работаю-

щего редуктора скоростей, изображенного

на

чертеже, если центры

тяжести каждого

из

четырех

вращающихся

зубчатых

колес

лежат

на

осях вращения.

Ответ:

Главный вектор количеств движения равен нулю.

36.2. Определить

сумму

импульсов внешних

сил,

приложенных

редуктору,

рассмотренному

предыдущей задаче,

за

произвольный

конечный

промежуток времени.

Ответ:

Сумма импульсов внешних

сил

равна нулю.

У///Л

V//7A

К зэдаче 36.1.

К задаче 36.3

К задаче 36.4.

36.3. Определить главный вектор количеств движения маятника,

состоящего

из

однородного стержня

ОА

весом

длиной

4г и

одно-

родного диска

весом

радиуса

г,

если угловая скорость маят-

ника

данный момент равна

со.

Ответ:

Главный вектор количеств движения направлен перпен-

2Р

-4-5Р

дикулярно

к ОА и по

модулю

равен ———-тт.

36.4 (968). Определить величину

направление главного вектора

количеств движения механизма эллипсографа,

если

вес

кривошипа равен

вес

линейки

АВ

эллипсографа равен

вес

каждой

из

муфт

и В

равен

;

даны размеры:

ОС — АС —

СВ?=1.

Центры тяжести кривошипа

и ли-

нейки

расположены

в их

серединах. Кривошип

вращается

угловой скоростью

ш.

Ответ:

Модуль главного вектора равен

= — (5Р

-J- 4Р

); направление главного

век-

тора перпендикулярно

кривошипу.

36.5. Определить главный вектор количеств

движения центробежпого регулятора, ускоренно

задаче 36.5. вращающегося вокруг вертикальной

оси. При

этом

углы

изменяются

по

закону

ф-=ф(/)

верхние стержни, поворачиваясь, поднимают шары

А я В.

Длины

стержней:

OA*=OB

= AD = BD = l.

280