Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

54.38

(1330). Определить уравнения вынужденных колебаний

системы дисков, описанной

задаче

54.2, при

действии

на

средний

диск

возмущающего момента

М = М

sin

pt.

Ответ:

ф1

= •щё^ШТ^ГЩ

sin

ysin/^,

где

ki и k

—

частоты главных колебаний системы.

54.39

(1331). Электромотор весом

закреплен

на

упругом

бетон-

ном

фундаменте

(в

виде сплошного параллелепипеда) весом

коэф-

фициентом

жесткости

установленном

на

жестком грунте. Ротор

весом

насажен

на

упругий горизонтальный

вал с

коэффициентом

жесткости

при

изгибе С\, эксцентриситет ротора относительно вала

г;

угловая скорость вала

со.

Определить вынужденные вертикальные

колебания

статора электромотора.

Учесть

влияние массы фундамента

путем присоединения одной трети

его

массы

массе статора.

Ответ:

у =

-1 (

1 Г~

где

у —

отклонение статора

от

положения равновесия.

54.40.

точке

балки

АВ (см.

задачу

54.14)

приложена сила

sinpt(F

и р =

постоянные), составляющая

все

время

нитью

ОА прямой

угол

расположенная

плоскости движения балки.

Какова

должна быть длина

нитей,

на

которых подвешена балка

CD,

чтобы амплитуда вынужденных колебаний балки

АВ

равнялась

нулю?

Ответ:

— Л;.

54.41 (1334).

Для

поглощения крутильных колебаний

одной

из

колеблющихся масс системы прикрепляется маятник.

На

чертеже

..1

К задаче 54. 41.

схематически изображена система, состоящая

из

двух

масс

/ и //, вра-

щающихся

постоянной угловой скоростью

ш. Ко

второй массе

при-

креплен маятник. Моменты инерции масс относительно

оси

вращения

431

Ji и Л; момент инерция маятника относительно оси, параллельной

оси

вращения системы и проходящей через центр тяжести маятника,

J& Расстояние

между

осью вращения системы и осью подвеса маят-

ника

ОА — 1; расстояние

между

осью подвеса и параллельной осью,

проходящей через центр тяжести маятника, АС = а; масса маятника т.

Коэффициент

упругости (жесткость при кручении) участка вала

между

массами ci Ко второй массе приложен внешний момент М =

Afosinu>£.

Написать

дифференциальные уравнения движения обеих масс системы

маятника. При составлении выражения для потенциальной энергии

системы пренебречь потенциальной энергией

маятника

в поле силы тяжести.

Ответ:

J$y -f- С\ (<pi — ера) = О;

(Л -f- mP) ср

-\-

таЩъ

cos (cp

— о?

) -\-

таЩ\ sin (<р» — <р

) + ci (<p

— ср,) =

sin tot;

-j-

таЩч

cos (<рз—ерз)—

mal§\

sin (<рз—¥з) = 0-

54.42

(1335). Бак, имеющий форму куба,

задаче 54 42 опирается четырьмя нижними углами на че-

тыре одинаковые пружины; длина стороны

хуба

2а. Жесткости пружин в направлении осей, параллельных сто-

ронам

куба, равны с

, с

; момент инерции куба относительно

главных центральных осей J. Составить уравнения малых колебаний

определить их частоты в

случае

— с

. Вес бака равен Р.

Ответ:

тх -\- с

х —

ауа

= 0,

т$>

-)-

у -f-

a^i

= 0,

mz -j- с

г = 0,

где х, у, г—координаты центра

куба,

<pi, ср* ?»—

углы

поворота

куба относительно координатных

осей. Если с

= с„, то

_ т (с

+ с

) а

,=о.

задаче 54 43.

54.43(1336).

Однородная ГОрИ-

зонтальная прямоугольная пластина

со сторонами а и Ь опирается своими углами на четыре одинаковые

пружины жесткости с; масса пластины М. Определить частоты сво-

бодных колебаний.

Ответ;

ki —

54.44

(1337). Три железнодорожных груженых вагона весом Q

<2з сцеплены между собой. Жесткости сцепок равны с

и с*

В начальный момент два вагона находятся в положении равновесия,

с,

МЛМЛЛ

с,

млмллл

СО

задаче

64.44.

а крайний правый вагон отклонен на лг» от положения равновесия.

Найти

частоты главных колебаний системы.

Ответ:

£i=0,

а к

и ft

суть корни уравнения

i£]

—

64.45

(1338). При условиях предыдущей задачи найти уравнения

движения вагонов и построить формы главных колебаний для случая

вагонов равного веса Qi = Qa = Q

= Q> соединенных сцепками оди-

наковой

жесткости ci =

c<j

= c.

Ответ:

= ^ — £? cos

cos йз4

лг

— f cos V,

Формы главных колебаний изображены на чертеже.

задаче 54 45.

задаче 54 46.

54.46

(1339). Найти частоты и фермы главных колебаний системы,

состоящей из трех одинаковых масс т, закрепленных на балке на

одинаковых расстояниях

друг

от

друга

и от опор. Балку считать

-433

свободно положенной

на

опоры; длина балки

момент инерции попе-

речного сечения

модуль Юнга материала -балки

Е.

Ответ:

=,4,93j/|/

;

Формы

главных колебаний показаны

на

чертеже.

54.47

(1340). Система

одинаковых масс

т,

соединенных

пру-

жинами

жесткости

с,

образует механический фильтр

для

продольны:

колебаний.

Считая

заданным закон поступательного движения левой масс

—

sin

at,

показать,

что

систем

т т , т' т

является фильтром низких частот,

••)—|*>Л*Т~~^>УУУ4

-Kwf-- -^/wf^- т. е. что

после перехода частоты

ам-

задаче

54.47.

плитуды вынужденных колебаний

отдельных масс изменяются

зави-

симости

от

номера массы

по

экспоненциальному закону,

а до

пере-

хода

— по гармоническому.

Ответ:

Фильтр пропускает колебания

частотой

0<(Й<;

21/

— .

54.48

(1341). Фильтр крутильных колебаний схематизируется

виде

длинного вала

насаженными

на

него дисками.

Считая

заданным закон движения левого диска

форме

•&„'sin

at,

определить вынужденные

колебания

системы

вычислить

амплитуды колебаний отдельных

дисков.

Моменты

инерции дисков

жест-

задаче м.48. кости участков вала

между

дисками

одинаковы

равны

с.

Исследовать

полученное решение

показать,

что

система является фильтром низ-

ких частот.

Ответ:

= (р

cos

цк

-{-

sin \ik) sin

at,

sin-й-

= yl/

— i

®k — У

поворота

А-го

диска,

— постоянная, определяемая

из гра-

ничного

условия

на

втором конце вала; первый диск имеет нулевой

номер;

частота

должна заключаться

пределах

л/wwv

Л/VWW

54.49

(1342). Механическая система, образующая полосовой фильтр

для продольных колебаний, состоит

из

звеньев, каждое

из

которых

образовано массой

от,

соединенной

массой следующего звена пружи-

ной

жесткости

с.

Параллельно

этой

пружиной

массе присоединена

пружина жесткости

ci,

связывающая массу

т с

неподвижной точкой.

Закон

продольных колебаний левой массы

— x

s\nat задан.

задаче 54.49.

434

Показать,

что при

значениях.

<в,

лежащих

определенных грани-

цах, амплитуды колебаний отдельных масс изменяются

расстоянием

по

гармоническому закону. Найти соответствующие граничные частоты.

Ответ:

Полоса пропуска*

ния

определяется неравенством

ГА mm т т т в Т

^лг^+ъ

1 ч\

\...А

\.„Л.

p m '

54.50

(1343). Система боль-

задме 54

шого числа масс

т,

насажен-

ных

на

расстоянии

друг

от

друга

на

струну

АВ,

натянутую

с усилием

Т, и

поддерживаемых пружинами жесткости

с,

является

полосовым механическим фильтром поперечных колебаний.

Вычислить частоты, отвечающие границам полосы пропускания.

Ответ:

Полоса пропускания определяется неравенством

£_

, 4Г

' та '

54.51 (1344). Нить длиной

подвешена вертикально

за

один

конец

нагружена

на

равных расстояниях

друг

от

друга

мате-

риальными точками

массами

т.

Составить уравнения движения.

Определить

для # = 3

частоты поперечных колебаний системы.

Ответ:

Уравнения движения имеют

вид

= f

[(и

— k) х

_г — (2л — 2k + 1) x

-f (» — k + 1)

k+l

где

—

поперечное смещение

А-й

частицы (отсчет номеров ведется

сверху);

_ _ _

А,

0,646

k,= 1,515 j/f;

2,505

]/"f.

54.52

(1345). Определить частоты свободных поперечных колеба-

ний

натянутой нити

закрепленными концами, несущей

на

себе

масс

т,

отстоящих

друг

от

друга

на

расстояниях

Натяжение нити

Р.

Ответ:

k = 2"\/

—jsm^-;

—1.

55. Устойчивость движения

55.1 (1346). Двойной маятник, образованный

двумя

стержнями

длиной

/ и

материальными точками

массами

т,

подвешен

на

гори-

зонтальной

оси,

вращающейся

постоянной угловой скоростью

вокруг

оси z.

Исследовать устойчивость вертикального положения

равновесия маятника. Массой стержней пренебречь.

Ответ:

При

у^^> 1

-\~

1/ -л-

вертикальное положение равновесия

маятника

устойчиво.

435

55.2 (1347). Весомый шарик находится в полости гладкой трубки,

изогнутой по эллипсу

-\—2=

1, вращающемуся вокруг вертикаль-

ной

оси Oz с постоянной угловой скоростью со (ось Oz направлена

вниз).

Определить положения относительного равновесия шарика и

исследовать их устойчивость.

Ответ:

При ю

существуют

два положения равновесия:

а) х = 0, z — c (устойчивое); б) лг = О, z = — с (неустойчивое).

При

>™

существуют

три положения равновесия: а) дг = О,

z=-\-c

(неустойчивое); б) лг = О, г = — с (неустойчивое); в) z = ~~

(устойчивое).

55.3 (1348). Весомый шарик находится в полости гладкой трубки,

изогнутой по параболе х

— 2рг и вращающейся с постоянной угло-

вой

скоростью ш вокруг оси Oz. (Положительное направление оси

Oz —

вверх.)

Определить положение относительного равновесия шарика и иссле-

довать его устойчивость.

Ответ:

Существует единственное положение равновесия z = 0;

оно

устойчиво при со

<С glp и неустойчиво при и

>•

glp; при to

glp — безразличное равновесие.

55.4 (1349). Материальная точка может двигаться по гладкой

плоской

кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с узловой

скоростью со. Потенциальная энергия V(s) точки задана и зависит

только от ее положения, определяемого другой s, отсчитываемой

вдоль кривой; г (s) — расстояние точки от оси вращения.

Определить частоту малых колебаний точки около ее относитель-

ною

положения равновесия.

Ответ:

= —

[-j-r-

— -у \тг 4- w

1 . где s

определяется из

т \ as* ds[_ as] /s=s.

уравнения

ldV\

= ш2

\ds)s=s,

55.5 (1350). Материальная точка с массой т описывает окруж-

ность

радиуса г

под действием центральной силы притяжения, про-

порциональной

л-й степени расстояния: F = ar

Найти

условия, при выполнении которых траектория возмущенгого

движения

близка к исходной окружности.

Ответ:

При л-< —3 движение неустойчивое, а при л> — 3

устойчивое.

55.6 (1351). Твердое тело свободно качается вокруг горизонталь-

ной

оси NT, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с угловой

скоростью со. Точка G —центр инерции тела; плоскость NTG является

плоскостью симметрии, ось OG — главной осью инерции. Ось KL па-

раллельна NT, ось ED проходит через точку О и перпендикулярна

NT и OG. Моменты инерции тела относительно осей OG, KL и ED

436

равны соответственно С, А и В; А —длина отрезка OG; М — масса

тела.

Определить возможные положения относительного равновесия и

исследовать их устойчивость.

Ответ:

Возможным положением относитель- •

ного равновесия отвечают следующие значения

угла

отклонения линии 00 от оси Oz:

а) ф = 0 [устойчиво, если В<С; при Z?>C

оно

устойчиво, если ш

i, и неустойчиво при

"^ в~сг

б) ф = л (неустойчиво, если S>C; при

B<ZC

оно

устойчиво, если

при

в) ф =

неустойчиво

задаче

55.6.

[

существует,

если

(о

>•,

» „.; устойчиво при В~>С и неустойчиво при 5<С).

55.7. При условии задачи

48.29

исследовать малые движения си-

стемы вблизи положения равновесия а=0, ф=— и выяснить, устой-

чиво это положение равновесия или нет.

Ответ:

Положение равновесия а —0, ф=

Y неустойчиво.

55.8 (1352). Определить положения отно-

сительного равновесия маятника, подвешенного

с помощью универсального шарнира О к вер-

тикальной оси, вращающейся с постоянной

угловой скоростью со; маятник симметричен

относительно своей продольной оси; А к С —

его моменты инерции относительно главных

центральных осей инерции £, х\ и £; Л —рас-

стояние центра тяжести маятника от шарнира.

Исследовать устойчивость положений равнове-

сия

маятника и определить период колебаний

около среднего положения равновесия.

Ответ:

Положения равновесия и их устой-

чивость определяются формулами, данными в

ответе

к задаче 55.6 (в них нужно положить B=A-\-M№). Период

колебаний

Т-

задаче

55.S.

56.9 (1353). Вертикальная ось симметрии гонкого однородного

круглого диска радиуса г и весом Q может свободно вращаться

вокруг точки А. В точке В оно удерживается

двумя

пружинами. Оси

437

пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жесткости

соответственно равны cf и с

, причем с

> c

Пружины крепятся

оси диска на расстоянии L от нижней опоры; расстояние диска от

нижней

опоры /. Определить

угловую

ско-

рость <й, которую нужно сообщить диску

для обеспечения устойчивости вращения.

Ответ:

При

Ql<.CiL

система устой-

чива при любой угловой скорости; при

Q/>c

система устойчива, если

co>to*,

где

'-¥+

задаче 55.9.

Ответ:

Движение по

При

< Ql <Z с

система неустой-

чива при любой угловой скорости.

55.10 (1354). Материальная точка М

движется под действием силы тяжести по

поверхности кругового цилиндра радиуса

а, ось которого наклонена под

углом

вертикали. Исследовать устойчивость

движения

по нижней

(<?

= 0) и верхней

(ср

= тс) образующим. Определить период

колебаний

при движении по нижней об-

разующей,

верхней образующей неустойчиво; период

колебаний

при возмущении движения вдоль нижней образующей

g sin a *

55.11 (1355). Материальная точка вынуждена двигаться по глад-

кой

поверхности тора, заданного параметрическими уравнениями

тд

задаче

55.10.

jc = рcos«5*; .y=psint|>; 2=6sin&; p = a +

°s$

(ось z направ-

лена вертикально вверх). Найти возможные движения точки, харак-

теризующиеся постоянством

угла

%, и исследовать их устойчивость.

438

Ответ'.

Значения

&==&;

= const находятся из уравнения

где а=—, р= —^-;

(J)

со

= const. Это уравнение допускает два

существенно различных решения:

Движение, соответствующее первому решению, устойчиво, второму —•

неустойчиво.

55.12 (1356). Исследовать устойчивость движения обруча, равно-

мерно

катящегося с угловой скоростью ш по горизонтальной пло-

скости.

Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча а.

Ответ:

Движение устойчиво, если ш

>^.

55.13 (1357). Колесо с четырьмя симметрично расположенными

спицами

катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса верти-

кальна.

Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой прово-

локи.

Радиус колеса а, скорость центра его в исходном движении v.

Исследовать устойчивость движения.

Ответ:

Движение устойчиво при v

>•

•

- •

ag.

55.14 (1358). Исследовать устойчивость движения однородного

обруча радиуса а, вращающегося вокруг вертикального диаметра

угловой скоростью со.

Нижняя

точка обруча соприкасается с гори-

зонтальной

плоскостью.

Ответ:

Движение устойчиво при ш

>. — &-,

Л-

V/ /

/ Ш.

задаче 55.15.

55.15 (1359). На материальную точку массы т, отклоненную от

положения

равновесия, действуют: сила F

по величине пропорцио-

нальная

отклонению ОМ = г =

]/^

этого положения и

439

направленная к нему, сила F

перпендикулярная к первой (боковая

сила),

по величине

тоже

пропорциональная отклонению г:

Исследовать методом малых колебаний устойчивость равновесного

положения точки.

Указание.

таких условиях

будет

находится точечная масса,

за-

крепленная

на

свободном конце сжатого

скрученного стержня

(с

одинако-

выми главными жесткостями

на

изгиб), нижний конец которого заделан.

Прямолинейной

форме стержня

соответствует

состояние равновесия.

Коэф-

фициенты

сп, С(2

зависят

от

сжимающей силы, скручивающего момента,

длины стержня

и от

жесткостей

на

изгиб

кручение.

Ответ:

Равновесие неустойчивое.

55.16 (1360). При исследовании устойчивости движения точки

предыдущей задаче принять во внимание силы сопротивления, про-

порциональные первой степени скорости: R

= — $Я, R

— — PJ>

'ф

— коэффициент сопротивления).

Ответ:

Равновесие устойчиво при

>> тс\

55.17 (1361). Если у стержня, описанного в задаче

50.15,

жест-

кости на изгиб не равны, то реакции конца стержня, действующие

на

массу т, определяются выражениями

Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости равно-

весия.

Ответ:

При (с

— с

)

-f- 4с

> 0 равновесие устойчиво.

55.18 (1362). Уравнение движения муфты центробежного регуля-

тора двигателя имеет вид

тх +

PJP

+ сх = А (ш — а>

где х—перемещение муфты регулятора, т — инерционный

коэффи-

циент системы, р — коэффициент сопротивления, с — жесткость пру-

жин

регулятора,

— мгновенная и ш

— средняя угловая скорость

машины,

А—постоянная. Уравнение движения машины имеет вид

(В—постоянная,

J—приведенный момент инерции вращающихся ча-

стей двигателя).

Установить условия устойчивости системы, состоящей из дви-

гателя и регулятора.

Ответ:

Система устойчива при

(с, р, J, А, В считаются положительными).

55.19 (1363). Симметричный волчок, острие которого помещено

неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально располо-

женной

оси. На него поставлен второй симметричный волчок, кото-

440