Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

весом р

граммов и предоставляют ему падать без начальной скорости.

Определить наибольшее расстояние h, на которое опустится

груз

предполагая, что длина нити достаточно велика и jt?

<2/?. Размерами

блоков пренебречь.

,, ,

4ppi/

Ответ:

п= .

. _-

задаче 38.15.

задаче 38.16.

38.16 (1056). К концам гибкой нерастяжимой нити, переброшенной

через ничтожно малый блок А, подвешены грузы Р и P

Груз

может скользить вдоль гладкого вертикального стержня CD, отстоя-

щего от оси блока на расстоянии а; центр тяжести

груза

начальный момент находился на одном уровне с осью блока; под

действием силы тяжести

груз

начинает опускаться без начальной

скорости. Найти зависимость

между

скоростью

груза

и высотой

его опускания h.

—а)

Ответ:

38.17 (1057).

Груз

Р с наложенной на него нагрузкой Р

посред-

ством шнура, перекинутого через блок, приводит в движение из

состояния

покоя тело А ве-

сом Q, находящееся на неглад-

кой

горизонтальной плоскости

ВС. Опустившись на расстоя-

ние

груз

Р проходит через

кольцо D, которое снимает

нагрузку Р

после чего

груз

Р,

опустившись на расстояние s

приходит в состояние

покоя.

Определить коэффициент тре-

ния

между

телом А и плоскостью, пренебрегая массой шнура и

блока и трением в блоке; дано Q = 0,8 кГ, Р = Р

=0,1 кГ, s

==50 см,

= 30 см.

задаче 38.20.

Ответ,

-0,2.

Q[Si{P+Q)+Si(p+Pi+Q)]

38.18 (1058). Однородная нить длиной L, часть которой лежит

на

гладком горизонтальном столе, движется под влиянием веса другой

301

части, которая свешивается со стола. Определить промежуток вре-

мени

Т, по истечении которого нить покинет стол, если известно,

что в начальный момент длина свешивающейся части равна /, а на-

чальная скорость равна нулю.

Ответ:

Т = Л/ — In

38.19 (1059). Однородная весомая нить длиной 2а, висевшая на

гладком штифте и находившаяся в покое, начинает

двигаться

с на-

чальной скоростью v

Определить скорость нити в тот

момент, когда она сойдет со штифта.

Ответ:

v =

g-\-

38.20

(1064). Транспортер приво-

дится в движение из состояния покоя

приводом, присоединенным к нижнему

шкиву В. Привод сообщает этому шкиву

постоянный

вращающий момент М.

Определить скорость ленты транспортера v в зависимости от ее

перемещения s, если вес поднимаемого

груза

А равен Р, а шкивы В

С радиуса г и весом Q каждый представляет собой однородные

круглые цилиндры.

Лента транспортера, массой которой

следует

пренебречь,

образует

с горизонтом

угол

а. Скольжение ленты по шкивам

отсутствует.

п 1 f

S {М —

Pr sin а

)

Ответ-

г,

= j/ *\

{P+Q>

38.21. Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться

вокруг вертикальной оси АВ (см. чертеж к задаче

37.56).

Внутри

трубки на расстоянии МС — х

от оси лежит тело М. В некоторый

момент времени

трубке

сообщена начальная угловая скорость и

Определить скорость v

тела

М относительно трубки в момент,

когда тело вылетит из трубки. Момент инерции трубки относительно

оси вращения равен J, L — длина трубки; трением пренебречь. Тело

считать материальной точкой массы т.

,' .Указание. Воспользоваться ответом к задаче

37.56*

' ,

Ответ:

v = ©

Т/ -•

38.22. По горизонтальной платформе А, движущейся при

отсут-

ствии трения, перемещается тело В с постоянной относительной ско-

ростью н

(см. чертеж к задаче

36.11).

При затормаживании

тела

между

ним и платформой А возникают силы трения. Определить

работу

внутренних сил трения

между

телом В и платформой А от

момента начала торможения до полной остановки

тела

В относи-

тельно платформы А, если их массы соответственно равны т и М.

Указание. Воспользоваться ответом задачи 36,11.

Ответ:

Л = _

38.23. При пуске в ход с помощью электромотора лебедки к валу

барабана А радиуса г и весом Р

приложен вращающий момент /я

вр

пропорциональный

углу

поворота ф барабана, причем коэффициент

пропорциональности равен а (см. чертеж к задаче 37.42). Определить

скорость поднимаемого

груза

В весом Р

в зависимости от высоты

его подъема h. Барабан А считать сплошным цилиндром. Массой

троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

Ответ

1 ,/'2

Рг + 2Р, •

38.24. На чертеже изображен подъемный механизм лебедки.

Груз

весом Р

поднимается посредством троса, переброшенного через

блок С и навитого на барабан В ра-

диуса г и весом Р

. К барабану при-

ложен вращающий момент, который с

момента включения пропорционален

квадрату

угла

поворота ф барабана:'

вр

ац>

где а — постоянный

коэф-

фициент.

Определить скорость

груза

момент, когда он поднимется на вы-

соту h. Массу барабана В считать

задаче

38.24.

равномерно распределенной по его

ободу.

Блок С —сплошной диск весом Р

. Массой троса пренебречь.

В начальный момент система находилась в покое.

-, 2 -. / gh

(ah

—

Ответ:

v= *' —-— —

38.25 (1062). Какую начальную скорость, параллельную линии

наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса

радиуса г для того, чтобы оно, катясь без скольжения, поднялось на

высоту h по наклонной плоскости, образующей

угол

а с горизонтом?

Коэффициент

трения качения равен f

. Колесо считать однородным

диском.

Ответ:

« = -g-|/ Ч^

(

1 + -у ctg а).

38.26. Два цилиндра одинакового веса и радиуса скатываются без

скольжения по наклонной плоскости. Первый цилиндр сплошной, массу

второго цилиндра можно считать равномерно распределенной по его

ободу.

Найти зависимость

между

скоростями центров тяжести ци-

линдров при опускании их на одну и ту же высоту. В начальный

момент цилиндры находились в покое.

Ответ:

= у 3 /2.

38.27

(1066). Эпициклический механизм, расположенный в гори-

зонтальной плоскости, приводится в движение из состояния покоя

посредством постоянного вращающего момента М, приложенного к

кривошипу ОА. Определить

угловую

скорость кривошипа в зависи-

мости от его

угла

поворота, если неподвижное колесо / имеет радиус

подвижное колесо // — радиус г

и вес Р, а кривошип ОА —

303

вес Q. Колесо II считать однородным диском, а кривошип — однород-

ным

стержнем.

Ответ:

со

= — ]/ ^гщ <р.

38.28

(1067). В кулачковом механизме, расположенном в гори-

зонтальной плоскости, эксцентрик А приводит в возвратно-поступа-

тельное движение ролик В со штангой D. Пружина Е, соединенная

со штангой, обеспечивает постоянный контакт ролика с эксцентриком.

задаче

38.27.

Вес эксцентрика равен р, эксцентриситет е равен половине его радиуса;

коэффициент

упругости

пружины равен с. При крайнем левом по-

ложении штанги пружина не напряжена. Какую

угловую

скорость

надо сообщить эксцентрику для того, чтобы он переместил штангу D

из

крайнего левого в крайнее правое положение? Массой ролика,

штанги и пружины пренебречь. Эксцентрик считать однородным

круглым диском.

Ответ:

= 21/^.

38.29

(1068).

Какой

путь

проедет велосипедист не вращая педаля-

ми

до остановки, если в начальный момент он двигался со скоростью

км/час?

Общий вес велосипеда и велосипедиста равен 80 кГ, вес

каждого из колес равен 5 кГ, массу каждого из колес считать равно-

мерно распределенной по окружности радиуса 50 см. Коэффициент

трения качения колес о землю равен 0,5 см.

Ответ:

35,6 м.

38.30

(1069). При посадке на аэродром самолет имел скорость

м/сек.

Определить путь, пройденный самолетом до остановки, если

сила сопротивления

воздуха

приближенно равна 60 кГ, вес каждого

из

двух

передних колес равен 100 кГ,

радиус

колес равен 0,5 м, вес

самолета без колес равен 1100 кГ, коэффициент трения качения колес

землю 1 см. Колеса считать однородными круглыми дисками. Массой

заднего колеса и наличием тормозов пренебречь.

Ответ:

332,1 м.

38.31.

Груз

А весом Р

опускаясь

вниз,

при помощи троса,

перекинутого через неподвижный блок D, поднимает

вверх

груз

весом Р

, прикрепленный к оси подвижного блока С. Блоки С и D

считать однородными сплошными дисками весом Р

каждый. Опре-

делить скорость

груза

А в момент, когда он опустится на высоту h.

Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и силами

304

сопротивления пренебречь.

покое.

начальный момент система находилась

Ответ:

v=2T/

2gft-

2Р

-Р,~Р

38.32.

ведущему колесу —барабану

А —

снегоочистителя

при-

ложен постоянный вращающий момент

М.

Массу барабана

можно

считать равномерно распределенной

по его

ободу.

Суммарный

вес

снега

щита

В и

всех прочих поступательно движущихся частей

постоянен

равен

Коэффициент трения скольжения снега

щита

землю равен

коэффициент трения

качения

барабана

землю равен

Вес барабана равен

его

радиус

г.

задаче

J8.31.

задаче

38.32.

Определить зависимость

между

путем

пройденным щитом

снегоочистителя,

модулем

его

скорости

если

начальный момент

система находилась

покое.

Ответ:

S=K-

38.33. Скорость автомашины, движущейся

по

прямой горизонталь-

ной

дороге, возросла

от

<0у

до г>

за

счет

увеличения мощности

мо-

тора.

При

этом

был

пройден путь

Вычислить работу, совершенную

мотором

на

этом перемещении автомашины, если

— вес

каждого

из

четырех колес,

—вес кузова,

—радиус колес,

—

коэффи-

циент трения качения колес

шоссе. Колеса, катящиеся

без

сколь-

жения,

считать однородными сплошными дисками.

Кинетической

энергией всех деталей, кроме колес

кузова, пренебречь.

Ответ:

А— ',

{v\

— v\)

'-j-(4P

-f

)s.

j)i \E

38.34

(1071). Стремянка

ABC с

шарниром

стоит

на

гладком горизонтальном полу, длина

АВ

— ВС —

21,

центры тяжести находятся

середи-

'///////777?////////////?/тяь

нах

D и Е

стержней, радиус инерции каждой

аа

даче

38.34.

лестницы относительно

оси,

проходящей через

центр тяжести, равен

р,

расстояние шарнира

В от

пола равно

некоторый момент времени стремянка начинает падать вследствие

разрыва стяжки

FO.

Пренебрегая трением

шарнире, определить:

1) скорость точки

В в

момент

удара

ее о пол; 2)

скорость точки

тот

момент, когда расстояние

ее от

пола

будет

равно

„ Л.

305

Ответ:

1) г- = 21

; 2) v = I

16/

—

/г*

38.35

(1072). Стержень АВ длиной 2а падает, скользя концом А

по

гладкому горизонтальному полу. В начальный момент стержень

занимал вертикальное положение и находился в

покое.

Определить скорость центра тяжести стерж-

ня

в зависимости от его высоты h над полом.

задаче 38.3

38.36

(1073). В дифференциальном вороте два

жестко соединенных вала К

и К

с радиусами г

и моментами инерции относительно оси О

соответственно Ji и J

приводятся во вращение рукояткой АВ.

Подвижный блок С подвешен на невесомой нерастяжимой нити,

левая ветвь которой навита на вал К

, а правая ветвь —на вал К

При

вращении рукоятки АВ левая ветвь нити сматывается с вала К\,

а правая ветвь наматывается на вал К

- К рукоятке АВ приложен

постоянный

вращающий момент М. К блоку С подвешен

груз

весом Р. Найти

угловую

скорость вращения рукоятки в момент,

соответствующий концу подъема

груза

D на высоту s. В начальный

момент система находилась в покое. Массами рукоятки и блока пре-

небречь.

V™~

{

'*~'

Ответ:

со

= 2

V2gs

задаче

3836.

задаче

38.37.

38.37

(1074). Ворот приводится в движение посредством ременной

передачи, соединяющей шкив //, сидящий на валу ворота, со шкивом

/, сидящим на валу мотора. К шкиву / весом /\ и радиуса г при-

ложен постоянный вращающий момент М. Вес шкива // равен Р

радиус его R. Вес барабана ворота Р

> радиус его г, вес подни-

маемого

груза

. Ворот приводится в движение из состояния

покоя.

Найти

скорость

груза

в момент, когда он поднимается на высоту

Массами ремня, каната и трением в подшипниках пренебречь.

Шкивы

и барабан считать однородными круглыми цилиндрами.

обо

Ответ:

v =

38.38

(1075). Решить предыдущую

задачу,

принимая во внимание

массу каната, к которому привязан

груз

- Длина каната /, вес еди-

ницы

длины каната р. В начальный момент с вала барабана ворота

свисала часть каната длиной 2/г.

Ответ:

v — 2

38.39

(1076). Постоянный вращающий момент М приложен к ба-

рабану ворота с радиусом г и весом P

К концу А намотанного на

барабан троса привязан

груз

, который поднимается по наклонной

плоскости, расположенной под

углом

горизонту. Какую

угловую

скорость

приобретет барабан ворота, повернувшись

на

угол

ф? Коэффициент трения скольже-

ния

груза

о наклонную плоскость pa-

вен /. Массой троса пренебречь, барабан

считать однородным круглым цилиндром.

В начальный момент система была в

покое.

Ответ:

=—

М — P

r (sin <x+/cos a)

задаче 38.39.

. со-

у л

38.40

(1077). Решить предыдущую задачу с учетом массы троса,

которому привязан

груз

. Длина троса равна /, вес единицы длины

троса равен р. В начальный момент с барабана ворота свисала часть

троса длиной а. Изменением потенциальной энергии троса, намотан-

ного на барабан, пренебречь.

2РгГ Ш

«+/cosa)-pr (2a-np) sin a

_____

38.41. К барабану ворота радиуса г

и весом Р

приложен по-

стоянный

вращающий момент М. К

концу троса, намотанного на бара-

бан,

прикреплена ось С колеса ве-

сом Р

- Колесо катится без скольже-

ния

вверх по наклонной плоскости,

расположенной под

углом

а к гори-

зонту. Какую

угловую

скорость при-

обретет барабан, сделав я оборотов?

Барабан и колесо считать однород-

ными

круглыми цилиндрами. В на-

чальный момент система находилась

трением пренебречь.

задаче 38.41.

покое. Массой троса

387

r\ 2-i Г

М — P

r, sin a

Ответ:

to = -1/

2пя#—

_? * —.

38.42.

Решить

предыдущую

задачу

учетом

массы троса и трения

качения

колеса о наклонную плоскость, если /—длина троса, р —

вес его единицы длины, а —длина части троса, не намотанной на

барабан в начальный момент, f

— коэффициент трения качения, г

—

радиус

колеса. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного

на

барабан, пренебречь.

Ответ:

_ 1 / М — гЛ P

(sina-|-— cos a j + p (a — nnr

) sin a

—'V

»**—

[ l

p.'U-.iv

38.43

(1078). Колесо А скатывается без скольжения по наклонной

плоскости ОК, поднимая посредством нерастяжимого троса колеса В,

которое катится без скольжения по наклонной плоскости ОМ Трос

задаче 38.43. К задаче 38.45.

переброшен через блок С, вращающийся вокруг неподвижной гори-

зонтальной оси О. Найти скорость оси колеса А при ее перемещении

параллельно линии ОК наибольшего ската наклонной плоскости на

расстояние s. В начальный момент система была в покое. Оба колеса

блок считать однородными дисками одинакового веса и радиуса.

Весом троса пренебречь.

~~\

Ответ:

v = 2 1/ -у- gs (sin a — sin P). -

38.44

(1079). Решить

предыдущую

задачу,

принимая во внимание

трения качения колес о наклонные плоскости. Коэффициент трения

качения

равен f

, радиусы колес равны г.

Ответ:

v = 2 1/ у gs sin a — sin P — '-у (cos a + cos p) .

38.45.

грузу

А весом Р

прикреплена нерастяжимая нить, пере-

брошенная через блок D весом Р

и намотанная на боковую поверх-

ность цилиндрического катка В весом Р

. При движении

груза

вниз

по наклонной плоскости, расположенной под

углом

а к гори-

зонту, вращается блок D, а каток В катится без скольжения

вверх

по

наклонной плоскости, образующей с горизонтом

угол

р.

Определить скорость

груза

А в зависимости от пройденного им

пути s, если в начальный момент система находилась в покое. Блок

308

каток

считать однородными круглыми цилиндрами.

СИЛЭМР

трения

весом нити пренебречь.

л-i/~o 2Pisma—

Ответ:

v =

21/

%gs-

sin

38.46.

Решить предыдущую задачу

предположении,

что

коэффи-

циенты трения скольжения

качения соответственно равны

и /^

Радиус катка

равен

г.

Ответ:

2gs-

(sin a—/ cos a) —P

( sin

— cos

38.47

(1080).

Груз

весом

подвешен на нерастяжимом однородном

тросе длиной

навитом

на

цилиндрический барабан

горизонтальной

осью вращения. Момент инерции барабана относи-

тельно

оси

вращения

радиус барабана

R, вес

еди-

ницы

длины каната

р.

Определить скорость

груза

момент, когда длина свисающей части каната равна

х,

если

начальный момент скорость

груза

длина свисающей части каната была равна

;

тре-

нием

на оси

барабана, толщиной троса

изменением

потенциальной энергии троса, навитого

на

барабан,

пренебречь.

Ответ-

v о

итвет.

—

t^+?(*+*.)]

(*-*•)

задаче 38.47.

'////////77///////////'/////,

Jg+(

)Ri

38.48

(1081).

Груз

весом

подвешен

однородному нерас-

тяжимому канату длиной

L и

весом

Канат переброшен через блок

В, вращающийся вокруг оси

О,

перпенди-

кулярной

плоскости чертежа. Второй ко-

ней

каната прикреплен

оси

катка

С,

катящегося

без

скольжения

по

неподвиж-

ной

плоскости.

Блок

В и

каток С

—

однородные круглые диски

радиусом

весом

каждый. Коэффициент трения

качения

катка

горизонтальную плос-

кость равен

. В

начальный момент, когда система находилась в, по-

кое,

блока

свисала часть каната длиною

Определить скорость

груза

А в

зависимости

от его

вертикального перемещения

Ответ:

задаче 38.48.

-1 /~4h {Л +

(2/

+ 2r +

A)-^[j

пг

"4Z'

'41

38.49.

Механизм эллипсографа, расположенный

горизонтальной

плоскости, приводится

движение посредством постоянного вращаю-

щего момента

приложенного

кривошипу

ОС.

начальный

момент

при

механизм находился

покое. Найти

угловую

ско-

рость кривошипа

ОС

момент, когда

он

сделал четверть оборота.

Дано:

— масса стержня

АВ,

тА~тв=т

— массы ползунов

309

В, ОС = АС = ВС = /; массой кривошипа ОС и Силами сопротнв*

ления

пренебречь.

Отее

«^

38.50.

Решить

предыдущую

задачу

учетом

постоянного момента

сопротивления тс в шарнире С.

±у?ПЕ5Е

Г М+Зт '

38.51. К кривошипу ОО

эпициклического механизма, расположен-

ного в горизонтальной плоскости, приложен вращающий момент

— сил, где MQ И а — положительные постоянные, а ю —

угловая скорость кривошипа. Масса кривошипа равна т, Ж —масса

задаче

38.49.

задаче

38.51.

сателлита (подвижного колеса). Считая кривошип тонким однород-

ным

стержнем, а сателлит —однородным круглым диском радиуса г,

определить

угловую

скорость со кривошипа как функцию времени.

В начальный момент система находилась в покое. Радиус неподвиж-

ной

шестерни равен R; силами сопротивления пренебречь.

Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии

дифференциальной форме.

Ответ:

со

= -—- \ I — е

38.52.

Решить

предыдущую

задачу

учетом

постоянного момента

трения

гр

на оси О

сателлита.

Ответ:

со = u — e

JJI

j, где

38.53. Кривошип ООх гипоциклического механизма, расположен-

ного в горизонтальной плоскости, вращается с постоянной угловой

скоростью щ. В некоторый момент времени двигатель был отключен

под действием постоянного момента М

1р

сил трения на оси сател-

лита (подвижного колеса) механизм остановился.

310