Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Центр

тяжести муфты D весом Р

лежит на оси г. Шары А и

В считать точечными массами весом P

каждый. Массой стержней

пренебречь.

Ответ:

= 0, Q

= — 2

Щ sin <р, где Q — глав-

ный

вектор количеств движения; плоскость yz совпадает с пло-

скостью расположения стержней регулятора.

36.6. Определить сумму импульсов внеш-

них

сил, приложенных к регулятору, рас-

смотренному в предыдущей задаче, за про-

межуток времени, соответствующий увели-

чению

угла

ср от 30° до 60°, если <р изме-

няется

по закону f = at, где а — постоянная.

Ответ:

Суммы импульсов внешних сил

проекциях на оси х, у, z равны: S^ =

a=^

= 0, S

= — 0,73

у г

* /a.

задаче зб 7.

36.7 (969). В механизме, изображенном

на

чертеже, движущееся колесо радиуса г

имеет вес р, причем центр тяжести колеса

находится в точке Ой прямолинейный стер-

жень АВ весит в k раз больше подвижного колеса и имеет центр

тяжести в его середине. Кривошип ОО\ вращается вокруг оси О

постоянной угловой скоростью (о. Определить главный вектор ко-

личеств движения системы, пренебрегая массой кривошипа.

Ответ:

Проекции главного вектора количеств движения системы

на

оси координат:

1) на ось Ох: —— r

2) на ось Оу: — rw (I -f-

sin

36.8 (970). Ствол орудия весит 11 000 кГ, Вес снаряда равен

54 кГ. Скорость снаряда у дульного среза г»

= 900 м/сек. Определить

скорость свободного отката ствола орудия в момент вылета снаряда.

Ответ:

Скорость отката ствола орудия равна 4,42

м/сек

и на-

правлена в сторону, противоположную движению снаряда.

36.9 (972). Граната весом 12 кГ, летевшая со скоростью 15 м/сек,

разорвалась в

воздухе

на две части. Скорость осколка весом 8 кГ

возросла в направлении движения до 25 м/сек. Определить скорость

второго осколка.

Ответ:

м/сек

в направлении, противоположном движению

первого осколка.

36.10 (973). Буксирный пароход весом 600 т приобрел скорость

1,5 м/сек, после чего натянулся буксирный канат и баржа весом

400 т тронулась вслед за пароходом. Найти общую скорость парохода

баржи, считая, что движущая сила и сила сопротивления воды

уравновешиваются.

Ответ:

0,9

MJceg,

281

„- 36.11. По горизонтальной платформе А, движущейся по инерции

со скоростью Ф

, перемещается тележка В с постоянной относитель-

ной

скоростью и

. В некоторый момент времени тележка была за-

торможена. Определить общую скорость v платформы с тележкой

после ее остановки, если М—

масса платформы, а т — масса

тележки.

Ответ:

задаче 36.11. ч\ —

<п

Л.

36.12. Сохранив условие предыдущей задачи, определить путь 5,

который

пройдет тележка В по платформе А с момента начала

торможения

до полной остановки, и время торможения т, если счи-

тать, что при торможении возникает постоянная по величине сила

сопротивления

Указание.

дифференциальном уравнении движения тележки

ис-

пользовать соотношение

Mv-{-m

(u +

t»)

const,

где а и о

—переменные

скорости.

, *—

т + м

-у.

Ответ--.-

umeem.

s—

36.13(975). Из наконечника пожарного рукава с поперечным се-

чением

16 см

бьет струя воды под углом

а.

= 30° к горизонту со

скоростью 8 м/сек. Определить давление струи

на

вертикальную стену, пренебрегая действием

силы

тяжести на форму струи и считая, что

частицы жидкости после встречи со стеною при-

обретут

скорости, направленные вдоль стены.

Ответ:

9,05 кГ.

36.14(976). Определить горизонтальную со-

ставляющую N возникающего при движении воды давления на опору

колена

трубы диаметром й = 300 мм, по которой течет вода со ско-

ростью г) = 2 м/сек.

Ответ:

N=28,9 кГ.

36.16(977). Вода входит в

неподвижный

канал переменного

задаче36.13.

задаче

36.14.

задаче

36.15.

сечения,

симметричный относительно вертикальной плоскости, со ско-

ростью т/

= 2

м/сек

под углом а

= 90

0 к

горизонту; сечение

282

задаче

36.16.

задаче

36.17.

канала

при

входе

0,02

(

; скорость воды у выхода из канала v

4 MJceK и направлена под углом aj = 30° к горизонту. Опреде-

лить модуль горизонтальной составляющей реакции, которую вода

оказывает на стенки ка'

ала

Ответ:

14,1 кГ.

36.16 (978). Определить давление на опору А колена трубы диа-

метром 20 см, которое возникает при движении воды. Ось трубы

расположена в горизонтальной плос-

кости

(на чертеже указан вид

сверху). По

трубе

те'ет

вода со

скоростью 4 м/сек, скорость воды

при

входе

трубу

образует

угол

60° со скоростью воды при выходе

из

трубы.

Ответ:

51,2 кГ.

36.17 (979). Определить модуль

горизонтальной составляющей давле-

ния

струи воды на неподвижную ло-

патку турбинного колес*.

если

объемный расход воды Q, удельный

вес у, скорость подачу воды на лопатку ©i горизонтальна, скорость

схода

воды г>

образует

a c

горизонтом.

Ответ:

N = — Q{Vi -j- v^ cos a).

36.18 (980). Пароьой котел весом 10,35 г заполнен водой в

количестве 15 г при давлении на свободной поверхности р

=\0ат

по

манометру. В некотСР

й момент

времени

происходит

раФ

ыв

болтов,

которыми

крышка А прикреплена к

патрубку В посредствен фланцевого

соединения;

вследствие фыва крыш-

ки

А горячая вода

™

361

выте-

кать в атмосферу; Н

1 м, d =

0,4 м, относительней удельный

вес горячей воды f=«0,9. Прене-

брегая гидравлическими сопротивле-

ниями,

скоростями частиц воды

внутри котла и явлением парообра-*

зования

воды по выходе из пат-

рубка В, вычислить давление котла

на

опоры в момент срь?в

крышки А.

Среднюю скорость, с которой вода

будет

вытекать в атмосферу после срыва крышки, вычислить по

формуле

задаче

36.18.

Ответ:

Давление *# опоры равно нулю.

283

37. Теорема об изменении главного момента количеств

движения материальной системы. Дифференциальное уравнение

вращения твердого тела

вокруг

неподвижной оси

37.1 (981). Однородный круглый диск весом

Р = 50 кГ и

радиуса

за 30 см

катится

без

скольжения

по

горизонтальной плоскости,

делая вокруг своей

оси 60

об/мин.

Вычислить главный момент количеств движения диска относительно

осей:

проходящей через центр диска перпендикулярно

плоско-

сти движения;

относительно мгновенной

оси.

Ответ:

1) 1,44 кГм

cert;

2) 4,32

кГмсек.

37.2. Вычислить главный момент количеств движения линейки

АВ

эллипсографа

абсолютном движении относительно

оси z,

совпадаю-

щей

осью вращения кривошипа

ОС, а

также

относительном

дви-

жении

по

отношению

к оси,

проходящей через центр тяжести

линейки

параллельно

оси z.

Кривошип вращается

угловой скоро-

стью, проекция которой

на ось z

равна

со

;

масса линейки равна

т;

ОС = АС — ВС = I (см.

чертеж

задаче 34.5).

Ответ:

2 „ . тР

—

-g- ml'm/, Lcz='

3- и

37.3. Вычислить главный момент

количеств движения планетарной

передачи относительно неподвижной

задаче З7.з.

оси z>

совпадающей

осью враще-

ния

кривошипа

ОС

Неподвижное

колесо

/ и

подвижное колесо

8 —

одинакового радиуса

г.

Масса

колеса

равна

т.

Колесо

массой

/я

имеет

радиус

Кривошип

вращается

угловой скоростью, проекция которой

на ось z

равна

Массой кривошипа пренебречь. Колеса считать однородными дисками.

umeem:

= — ^-~ ' (г

-j-

г ) со^.

37.4. (990). Натяжения ведущей

ведомой ветвей ремня, приво-

дящего

во

вращение шкив радиуса

г = 20 см,

весом

Р = 3,27 кГ,

соответственно равны: 7\=10,1

кГ, Т

— 5,05 кГ.

Чему должен

быть равен момент

сил

сопротивления

для

того, чтобы шкив

вра-

щался

угловым ускорением

8=1,5

сек"

Шкив

счиаагь однород-

ным

диском.

Ответ:

1 кГм.

37.5 (991).

Для

определения момента трения

цапфах

на вал

насажен маховик весом

0,5 т;

радиус

инерции маховика

р = 1,5 м.

Маховику сообщена угловая скорость, соответствующая

п = 240

об/мин;

предоставленный самому себе,

он

остановился через

10 мин.

Опре-

делить момент трения, считая

его

постоянным.

Ответ:

4,8 кГм.

37.6 (992). Однородный круглый диск диаметром

10 еж и

весом

делает

100 об j

мин. Постоянная сила трения,

будучи

приложена

284

на

ободе диска, может остановить

его в 1 мин.

Определить вели-

чину силы трения.

Ответ:

4,4-

1СГ*

н.

37.7 (993).

Для

быстрого торможения больших маховиков приме-

няется

электрический тормоз, состоящий

из

двух

диаметрально

рас-

положенных полюсов, несущий

на

себе обмотку, питаемую постоян-

ным

током. Токи, индуцируемые

массе маховика

при его

движении

мимо полюсов, создают тормозящий момент

пропорциональный

скорости

v на

ободе маховика: M

^=kv,

где k —

коэффициент, зави-

сящий

от

."магнитного потока

размеров маховика. Момент

от

трения

подшипниках можно считать постоянным; диаметр маховика

£), момент инерции

его

относительно

оси

вращения

Найти, через

какой

промежуток времени остановится маховик, вращающийся

угло-

вой скоростью

со

Ответ:

7 =

^1^1+-^).

37.8 (994). Твердое тело, находившееся

покое, приводится

во

вращение вокруг неподвижной вертикальной

оси

постоянным момен-

том, равным

М; при

этом возникает момент

сил

сопротивления

пропорциональный

квадрату угловой скорости вращения твердого

тела: vM

aa>

. Найти закон изменения угловой скорости; момент

инерции

твердого тела относительно

оси

вращения равен

„

-шГЪ

Ответ:

w= |/ -^

—

„ 2

где

р =

37.9 (995). Решить

предыдущую

задачу

предположении,

что

момент

сил

сопротивления

пропорционален угловой скорости

вращения

твердого тела: Л'1

асо.

„ М!

ш.\

Ответ: ш = — 1— е—

< .

37.10 (996). Шарик

А,

находящийся

сосуде

жидкостью

прикрепленный

концу

стержня

АВ

длиной

приводится

во вращение вокруг вертикальной

оси О

с начальной угловой скоростью

Сила

сопротивления жидкости пропорциональна

угловой скорости вращения:

—

am(o,

где

т —

масса шарика,

а —

коэффициент

пропорциональности.

Определить, через

какой

промежуток времени угловая

Ско-

рость вращения станет

в два

раза меньше начальной,

также число

оборотов, которое

сделает

стержень

шариком

за

этот промежуток

времени.

Массу шарика считать сосредоточенной

в его

центре,

мас-

сой

стержня пренебречь.

Ответ\

Т = — In 2; п — -~- об.

37.11. Определить,

какой угловой скоростью

упадет

на

землю

спиленное

дерево весом

О,

если

его

центр тяжести

расположен

на

расстоянии

h от

основания,

силы сопротивления

воздуха

создают

ШШШШШШШШ/'.

задаче

37.10.

285

момент сопротивления

причем т

ся

—аф

где

— const. Момент

инерции

дерева относительно

оси z,

совпадающей

осью, вокруг

которой

поворачивается дерево при падении,

равен

Ответ:

w—y -,

^ ~v T

37.12 (997). Вал радиуса

приводите» во

вращательное движение вокруг горизонтальной

оси

гирей, подвешенной посредством троса. Для

того чтобы угловая скорость вала через

неко-

торое время после начала движения имела вели-

чину, близкую

постоянной,

валом соедине-

ны

одинаковых пластин; сопротивление воз-

духа,

испытываемое пластиной, приводится

задаче

37.il.

силе, нормальной

пластине, приложенной на

расстоянии

от оси вала

пропорциональной

квадрату

ее

угловой скорости, причем коэффициент пропорциональ-

ности

равен

Масса гири

от,

момент инерции всех вращающихся

частей относительно оси вращения равен

массой троса

трением

опорах пренебречь.

Определить

угловую

скорость со вала, предполагая, что

началь-

ный

момент она равна нулю.

Ответ:

®-у^^прг, где a^j^^V

mgnkrR

i ,

при

достаточно большом значении

угловая скорось

близка

постоянной

величине

1/ ,

„ •.

г knti

37.13 (998). Определить закон вращения вала, рассмотренного

в предшествующей задаче, считая, что при

отсутствии

гири начальная

угловая

скорость вала равнялась <в

. Начальный

угол

поворота счи-

тать

равным нулю.

Ответ:

= ~Ш (l

)

37.14 (999). Определить закон вращения вала, рассмотренного

задаче

37.12,

считая силу сопротивления движению пропорциональ-

ной

угловой скорости вала. Начальный

угол

поворота принять рав-

ным

нулю.

Ответ:

= а[<

|(^-1)],

где

37.15 (1014).

Упругую

проволоку, на которой подвешен однород-

ный

шар

радиусом

г и

массой

т,

закручивают на

угол

затем

предоставляют ей свободно раскручиваться. Момент, необходимый для

закручивания

проволоки на один радиан, равен

с.

Определить движение, пренебрегая сопротивлением

воздуха

считая момент силы упругости закрученной проволоки пропорцио-

нальным

углу

кручения

ф.

Ответ:

<р

— ф

cos I/ ^—^

•

" f

imr' •

286

задаче

37.16.

37.16 (1015). Часовой балансир А может вращаться вокруг пер-

пендикулярной к его плоскости оси, проходящей через центр тяже-

сти О, имея относительно этой оси момент инерции J. Балансир при-

водится в движение спиральной пружиной, один конец которой с ним

скреплен,

а другой присоединен к неподвижному корпусу часов.

При

повороте балансира возникает момент сил

упру-

гости пружины, пропорциональный

углу

поворота.

Момент, необходимый для закручивания пружины на

один радиан, равен с. Определить закон движения

балансира, если в начальный момент в условиях

отсут-

ствия сил упругости балансиру сообщили начальную

угловую

скорость ш

Ответ:

<р

= а>

Т/ — sin l/ -jt.

37.17 (1016). Для определения момента инерции J

тела А отно-

сительно вертикальной оси Oz его прикрепили к

упругому

верти-

кальному стержню ОО\, закрутили этот стер-

жень, повернув тело А вокруг оси Oz на ма-

лый

угол

ср

, и пустили колебаться; продолжи-

тельность 100 размахов оказалась равной

1007*1

2 мин, где 7*1 — половина периода;

момент сил упругости относительно оси Oz

равен т

= — сер. Для определения

коэффи-

циента с проделали второй опыт: на стержень

точке О был надет однородный круглый диск

радиуса г = 15 см, весом Р = 1,6 кГ, и тогда

продолжительность одного размаха оказалась

равной 7*2=1,5 сек. Определить момент инер-

ции

тела J

задаче

37.17.

Ответ:

=^-i^) =0,117 кГ см сек

37.18 (1017). Решить предыдущую задачу в предположении, что

для определения коэффициента с второй опыт проделывают иначе:

однородный круглый диск весом Р и радиуса г прикрепляется к

телу,

момент инерции которого требуется определить.

Найти

момент инерции тела J

, если период ко-

лебаний тела ti, а период колебаний тела с при-

крепленным к нему диском -eg.

Ответ:

/,=-

ч,

I—

37.19 (1018). Бифилярный подвес состоит из

однородного стержня АВ длиной 2а, подвешенно-

го ГОрИЗОНТаЛЬНО ПОСреДСТВОМ

ДВуХ

ВерТИКаЛЬНЫХ К задаче

37.19.

нитей длиной /, отстоящих

друг

от

друга

на рас-

стоянии

2Ъ. Определить период крутильных колебаний стержия, по-

лагая, что стержень в течение всего времени движения остается в

горизонтальном положении и натяжение каждой из нитей равно

половине веса стержня.

287

Указание. При определении горизонтальной составляющей натяжения

каждой из нитей, считая колебания бифиляра малыми, заменить синус

угла

между

направлением нити и вертикалью самим

углом.

Ответ:

Г=^|

37.20

(1019). Диск, подвешенный к

упругой

проволоке, совершает

крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относи-,

тельно оси проволоки равен J. Момент, необходимый для закручива-

ния

проволоки на один радиан, равен с. Момент сопротивления дви-

жению равен aSa>, где а — коэффициент вязкости жидкости, 5 — сумма

площадей верхнего и нижнего оснований диска, со — угловая скорость

диска. Определить период колебаний диска в жидкости.

Ответ:

Т—

— c.

37.21 (1020). Определить закон убывания амплитуд колебаний ,

диска, рассмотренного в предыдущей задаче. »

Ответ:

Амплитуды

колебаний диска

убывают

по геометрической^

anS i

прогрессии со знаменателем е

—<*

37.22.

Твердое тело, подвешенное на

упругой

проволоке, сов ер-

шает крутильные колебания под действием внешнего момента т-ц,

причем >пв —

mism

at -\- m

sin dat, где т

и со — постоянные,

а г —ось, направленная вдоль проволоки. Момент

упругости

прово-

локи

равен

/я

упр

причем OT

=—

Ф>

Де

— коэффициент

упру-

гости, а ф —

угол

закручивания. Определить закон вынужденных кру-

тильных колебаний твердого тела, если его момент инерции относи-

тельно оси z равен' J

. Силами сопротивления движению пренебречь.

Считать, что Т/^-^сои 1/ у-

Ответ:

ф= * stnco^ -f-

^—^-5-sin3otf,

где

. и

l U

И. j-, Ui — у- , Из —

~Т~ •

37.23. Решить

предыдущую

задачу

учетом

момента сопротивле-

ния

от

, пропорционального угловой скорости твердого тела, причем

fft

— —РФ, где р — постоянный коэффициент.

Ответ:

ф = А

sin

(fttf

— ex) + А

sin

(3co£

— е

), где

—

со

)

4п*ш*'

V{№ —

9со

2/ио

, бшв

eact

37.24

(1021). Для определения коэффициента вязкости жидкости

наблюдают колебания диска, подвешенного к

упругой

проволоке

жидкости. К диску приложен внешний момент, равный

sinpt

(М

= const), при котором наблюдается явление резонанса. Момент

сопротивления движению диска в жидкости равен aSa, где а —

коэф-

фициент

вязкости жидкости, 5 — сумма площадей верхнего и нижнего

оснований

диска, со —угловая скорость диска. Определить

коэффи-

288

циент а вязкости жидкости, если амплитуда вынужденных колебаний

диска при резонансе равна ср

От

вет:

а = —£-.

37.25

(1022).

Призматический магнит массой т граммов, длиной

1а и шириной 2Ь сантиметров, полюсы которого находятся на его

концах, может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через

его центр тяжести, в земном магнитном поле.

Отклонив магнит из положения равновесия SN S_ _^_

на

весьма малый

угол,

предоставляют его са-

мому себе. Определить движения магнита, если

ИЗВеСТНО,

ЧТО

ГОрИЗОНТалЬНаЯ

СОСТаВЛЯЮЩаЯ К задаче 37.25.

магнитного поля Земли

действует

на единицу

магнетизма с силою Н дан, а магнитный момент магнита, т. е. про-

изведение количества магнетизма, сосредоточенного в полюсах, на

расстояние 2а

между

полюсами, равен А единицам в системе CGS.

Ответ:

Гармонические колебания с периодом

=„/»

зля •

37.26

(1026). При полете снаряда вращение его вокруг оси сим-

метрии замедляется действием момента силы сопротивления

воздуха,

равного ku>, где со —угловая скорость вращения снаряда, k — посто-

янный

коэффициент пропорциональности. Определить за-

кон

убывания угловой скорости, если начальная угловая

скорость равна со

, а момент инерции снаряда относительно

оси симметрии равен J.

Ответ:

со = со

37.27

(1003). Для определения ускорения силы тяжести

пользуются оборотным маятником, который представляет

собой стержень, снабженный двумя трехгранными ножами

и В. Один из ножей неподвижен, а второй может пе-

ремещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на

один,

то на

другой

нож и меняя расстояние АВ

между

к задаче

ними,

можно добиться равенства периодов качаний маят-

ника

вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение

силы тяжести, если расстояние

между

ножами, при котором периоды

качаний

маятника равны, AS — /, а период качаний равен Г?

4пЧ

Ответ:

g=-^-.

37.28

(1004). Два

твердых

тела

могут

качаться вокруг одной и

той же горизонтальной оси как отдельно

друг

от

друга,

так и скреп-

ленные вместе. Определить приведенную длину сложного маятника,

если веса

твердых

тел р

и р

, расстояния от их центров тяжести до

общей оси вращения а

и а

, а приведенные длины при отдельном

качании

каждого 1

и /

Ответ:

пр

10 И, В.

Мещерский

Й8Э

37.29 (1005). Для регулирования

хода

часов

маятнику весом

приведенной длины

/ с

расстоянием

от его центра тяжести до оси

привеса прикрепляют добавочный

груз

весом

на расстоянии

от

оси привеса. Принимая добавочный

груз

за

материальную точку, оп-

ределить изменение Л/ приведенной длины маятника при данных зна-

чениях

р и х и

значение

х = х

при котором заданное изменение Д/

приведенной длины маятника достигается

при

помощи добавочного

груза

наименьшей

массы.

Ответ:

Приведенную длину маятника

надо уменьшить на

37.30 (1006). Для определения момента

инерции

данного тела относительно

неко-

задаче З7.зо. торой оси АВ, проходящей через центр тя-

жести

тела, его подвесили жестко скреп-

ленными

ним стержнями AD

BE, свободно насаженными на не-

подвижную горизонтальную ось DE, так, что ось АВ параллельна DE;

приведя затем тело

колебательное движение, определили продол-

жительность

одного размаха. Как велик момент инерции

если

вес тела

р и

расстояние

между

осями

АВ и

DE равно /г? Массами

стержней пренебречь.

(Т*

Ответ:

J=hp

—=•

37.31. Решить предыдущую задачу

учетом массы тонких одно-

родных прямолинейных стержней AD

BE, если вес каждого из них

равен

/л

u[(P + Q)

* ЗР +

Q . 1

Ответ:

J=n\ ^ о "[•

37.32 (1007). Для определения момента инерции шатуна его за-

ставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев через

втулку

'/////////SSS///////////,

задаче

37.32.

цапфы

крейцкопфа тонкий цилиндрический стержень. Продолжитель-

ность ста размахов 1007

100 сек, где Г —половина периода. Затем

для определения расстояния AC

h центра тяжести

от центра

290