Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

рый

также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго

волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М и М — массы

верхнего и нижнего волчков, С и С — их моменты инерции относи-

тельно осей симметрии; А и А' — моменты инерции относительно го-

ризонтальных осей, проходящих через острия; сие' — расстояния

центров тяжести волчков от соответствующих остриев; h — расстоя-

ние

между

остриями. Угловые скорости волчков Q и Q'. Вывести

условия устойчивости системы.

Ответ:

Система устойчива, если все корни уравнения четвертой

степени

[А

А' + Mh

(А — Мс

)]

-f

[A'C'Q'

+ CQ (A' -f Mh

)] X

[A (Me' + Mh)g+ (A' + Mh

)

Mcg+

CC'QQ']

[CQ (Me' + Mh) g+

C'2'Mcg]

+ Mc (Me' + Mh) g

различны

и вещественны.

55.20.

Деталь / перемещается поступательно с постоянной скоро-

стью v

и через пружину передает движение ползуну 2. Сила тре-

ния

между

ползуном и направляющими 3 зависит от скорости пол-

зуна v следующим образом:

//=//

sign

v—<ro -f- $гР,

где H

, a, p — положительные коэффициенты. Определить, при каких

значениях

равномерное движение ползуна является устойчивым.

Ответ:

задаче 55.20.

задаче 55.21.

55.21.

Агрегат,

состоящий из двигателя / и машины 2, соединен-

ных упругой муфтой 3 с жесткостью с, рассматривается как

двух-

массовая система. К ротору двигателя, имеющему момент инерции J

приложен

момент M

зависящий от угловой скорости ротора $ сле-

дующим образом:

валу машины, имеющему момент инерции J

> приложен момент сил

сопротивления,

зависящий от угловой скорости вала ф:

= М

—р-

(ф—о»

Коэффициенты

(^ и fi

положительны. Определить условия, при ко-

торых вращение системы с угловой скоростью ю

является усгойчивым.

Ответ:

441

55.22. Уравнения возмущенного движения имеют

вид

Л _ . 9v V v v v- v V

и-]_

- '

A.~*V

j "'З ~"~ "*3 ~"~ "

*"—*

1 """"" 4*

Определить собственные числа

устойчивость системы.

Ответ:

'k-

='k

—1,

—

—0;

движение устойчиво.

55.23. Уравнения возмущенного движения имеют

j '~

—

^™* &Ж j ~' •Л'2 " *^3 "™""" АР'

*^2

—*

•

, TV* О V* _^ О V*

лз

— ^^1 ""^З

*"-*"4'

Определить собственные числа

и устойчивость

системы.

Ответ:

Я,

Лз

= —Ь

Яз

= Я

= 0;

движение

неустойчиво (сравнить

ответом

задаче

55.22).

55.24. Исследовать устойчивость установившегося

задаче

55.24.

Движения

(8 =

C0nst,

i|)

—Const) СферичеСКОГО МЭЯТ-

ника

относительно величин

б, 9 и ф.

Указание. Воспользоваться линейной связкой интегралов.

Ответ:

Движение устойчиво.

56. Нелинейные колебания

56.1 (1291).

При

испытаниях рессор была получена

«треугольная»

характеристика изменения

упругой

силы.

При

отклонении рессоры

от положения статического равновесия имеет место верхняя ветвь

(cj)

характеристики,

при

возвращении

—

нижняя ветвь

(с

)

характеристики.

В начальный момент рессора отклонена

от

положения статического

равновесия

на х

и не

имеет

начальной скорости. Масса

рес-

соры

т\

коэффициенты жестко-

сти рессоры

и с

Написать

уравнения свободных колеба-

ний

рессоры

для

первой поло-

вины

полного периода колеба-

ний

найти полный период

колебаний

Г.

Ответ:

При

возвращении

рессоры

положение статиче-

ского равновесия

x —

cosk%t;

при

отклонении

от

положения стати-

ческого равновесия

задаче

56.1.

442

56.2 (1292). Определить закон убывания амплитуд свободных

колебаний

рессоры, рассмотренной

предыдущей задаче.

При

записи

свободных колебаний

был

получен следующий

ряд

последовательно

убывающих амплитуд:

13,0 мм, 7,05 мм, 3,80 мм, 2,05 мм и i. д.

Определить согласно данным виброграммы отношение

коэффициентов

жесткости

с^с^,

соответствующих

верхней

нижней ветвям

«треугольной»

характери-

стики.

Ответ:

Последовательные значения амплитуд

через каждые полпериода колебаний убывают

по

закону геометрической прогрессии

со

знаменателем

56.3. Масса

колеблется

на

пружине,

коэф-

фициент

жесткости которой

с. На

одинаковых

рас-

стояниях

А от

положения равновесия установлены

жесткие упоры. Считая,

что

удары

об

упоры проис-

задаче

5б.з.

ходят

коэффициентом восстановления, равным

еди-

нице,

определить закон движения системы

при

периодических коле-

баниях

частотой

<в.

Найти возможные значения

<в.

д / я \ п , я { * с

Ответ: х = —г— sin д г —

д—

при Oss^rsg: — Ik — —

kn \

2(о

/ со \ от

8Ш

56.4. Решить предыдущую задачу

предположении,

что

имеется

только нижний упор.

/я \ 2я

Ответ:

х= rcosf п при 0^/^ —; k*e^a>*£^Zk.

Jlft

СО

/ (О

COS

56.5. Определить зависимость амплитуды первой гармоники свобод-

ных колебаний

от их

частоты

системе, уравнение движения которой

имеет

вид

тх

+ F

sign

-j- ex=0.

Ответ:

а, =

—

;

—^—r.

(mo)

— c)

56.6. Движение системы описывается уравнением

+ (i

- а

) к + А

дг = 0.

Определить амплитуду автоколебательного процесса, возникающего

системе; исследовать

его

устойчивость.

Ответ:

a =

a/k; автоколебания устойчивы

большом.

56.7 Выявить условия,

при

которых

системе, рассмотренной

задаче

55.20,

могут

возникнуть автоколебания, близкие

гармони-

ческим колебаниям частоты А

Т/—,

где с —

коэффициент жест-

кости пружины,

т —

масса ползуна! Определить приближенно ампли-

туду

этих автоколебаний.

Ответ:

0,8

^<vl<^; *~£($-*5).

443

56.8. Предполагая,

что в

системе, рассмотренной

задаче

55.20,

сила трения

постоянна

равна

при v^O и

равна

#i при

г/

= 0

(«трение покоя»), определить период автоколебаний. Принять,

что масса ползуна равна

т, а

коэффициент жесткости пружины

с.

Ответ:

Т=^+ -^(1 —

cosktj,

гж *=

--±

-, k==y -,

—

наименьший корень уравнения

sin kt

cos

kti — 1.

56.9. Macca

связана

неподвижным основанием пружиной

с жесткостью

с и

демпфером

сухого

трения, величина силы сопро*

тивления

котором

не

зависит

от

скорости

равна

Н. На

одинако-

вых расстояниях

Д от

положения равновесия установлены жесткие

упоры. Считая,

что

удары

об

упоры происходят

коэффициентом

восстановления, равным единице, определить значение

И, при

котором

вынуждающая сила

Fcosiot не

может вызвать субгармонических

резонансных колебаний, имеющих

частоту

w/s (s —

целое число).

Указание. Определить

условия существования периодического

режима, близкого

свободным колебаниям системы

частотой

и/s.

Ответ:

Для

четного

//^>0;

для

нечетного

56.10. Центр однородного кругового цилиндра, катящегося

без

скольжения

по

горизонтальной плоскости, соединен пружиной

непод-

вижной точкой

О,

находящейся

на

одной горизонтали

центром

диска. Масса цилиндра равна

т,

коэффициент жесткости пружины

с.

В положении равновесия пружина

не

деформирована, длина

ее

равна

Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около

положения равновесия

от

амплитуды

а,

сохранив

уравнении движе-

ния

члены, содержащие

третью

степень перемещения.

Ответ:

т/б £ I _^= =

4 КЗ

т/« L

Ш где

—

полный эллиптический интеграл первого рода.

56.11. Методом малого параметра определить

амплитуду

а и

период

автоколебаний, возникающих

системе, движение которой

определяется уравнением

р* К Л

•—

•-•

|л |^* А /А —

Ответ:

а —

2я;

7 = у (1 —

56.12. Уравнения движения маятника

среде

сопротивлением

постоянным моментом, действующим только

одном направлении,

имеют

вид

-Ni%

при

0 при

где A,

k и

Ж»

—

постоянные величины.

444

Считая, что у <, 1,

^-<<i,

применить метод медленно меняю-

щихся коэффициентов для нахождения установившегося движения

маятника.

Ответ:

Устойчивые автоколебания. Радиус р предельного цикла

на

плоскости (ф, ф) равен

Ак где Г —-

hT k

2 >

где

' — k-

56.13. Применяя в предыдущей задаче метод точечных преобра-

зований,

найти неподвижную точку преобразования.

Ответ:

<Po

= -jp- j—=и\ % = °-

ДОБАВЛЕНИЕ

МЕЖДУНАРОДНАЯ

СИСТЕМА

ЕДИНИЦ (СИ)

В декабре 1960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам при-

няла

единую Международную систему единиц (СИ).

Процесс

введения этой системы в практику (и особенно тех ее единиц,

которые еще не получили широкого распространения)

будет

осуществляться

постепенно,

в течение ряда лет; в переходный период, конечно,

будут

сохраняться и традиционные единицы систем СГС и МкГС, использованные

настоящем «Сборнике».

Приведем для справок выписку из таблиц Международной системы

единиц

по ГОСТу 9867-61:

446

Сокращенные

обозначения единиц

Наименование

величины Единица измерения

латинские

русские или

греческие

Основные

единицы

Длина Метр м m

Масса Килограмм кг kg

Врет, Секунда сек s

Сила электрического тока Ампер а А

Дополнительные

единица

Плоский

угол

I Радиан I pad I rad

Телесный

угол

| Стерадиан |

стер

| вг

Производные

единицы.

;

Площадь Квадратный метр м' т

Объем Кубический метр At

га'

'Частота . Герц (1/сек) гц Hz

Объемная масса (плотность) Килограмм на куб. метр кг/л

kg/m

Скорость Метр в секунду

м/cerc

m/s

Угловая скорость Радиан в секунду

рад/сек

rad/s

Ускорение Метр на секунду в квадрате

м1сек

m/s

Угловое

ускорение Радиан на секунду в квадрате

рад{сек

rad/s

Сила Ньютон (кг- м/сек

) н N

Давление (механическое напраже- Ньютон на кв. метр н/м

" N/m

ние)

Динамяческая вязкость Ньютон • секунда на Кв. метр я •

сек/м*

N • s/щ

Кинематическая вязкость Кв. метр на секунду

/сек

Работа, энергия, количество теп- Джоуль (к • л) дж J

лоты

Мощность

Ватт

(дж/сек)

em W

Количество электричества Кулон (а. сек) к С

Электрическое напряжение, раз- Вольт (в/п/а) • в V

ность потенциалов, электродви-

жущая сила

Напряженность электрического по- Вольт на метр в/* V/m

ля

Электрическое сопротивление

Ом (в/о) ом В

Электрическая емкость Фарада (к/в) ф F

Поток

магнитной индукции Вебер (к/ом) вб Wb

Индуктивность Генри (вб/а) гн Н

Магнитная индукция Тесла

(вб]м*)

тл Т

Напряженность магнитного

пол»

Ампер на метр а/м А/ш

Определения основных единиц

Метр—длина, равная

1650763,73

длин волны в вакууме излучения,

соответствующего переходу между уровнями 2р

и Ы

атома криптона —86.

и л о г р а м м—единица массы — представлен массой международного

прототипа килограмма.

Секунда—1/31556925,9747

часть тропического года для 1900 г. января

0 в 12 часов эфемеридного времени.

Ампер—сила неизменяющегося тока, который, проходя по

двум

парал-

лельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого

кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от

другого

вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 • 10~

еди-

ницы

силы Международной системы на каждый метр длины.

Некоторые

переводные множители

кГ =

9,80665

к =«9,81 я 1 кГм =

9,80665

дж«*9,81

дм

дина=

10~Б

« 1 зрг=10~

дж

кГ/см*

98066,5

н/м

' 1 кал =

4,1868

дж

дина/см*

= 0,1 н/л

Иван

Всеволодович

Мещерский

Сборник

задач по теоретической механике

М., 1975 р., 448 стр. о илл.

Редактор И. А. Маркузон

Техн. редактор В, Н.

Кондакова

Корректоры Т. С Плетнева, И. Б.

Румянцева

Печать с матриц. Подписано к печати 25Ш1

1975 г. Бумага

60x90

V».

тип

- № 3. Фнз. печ.

л.

28. Усл'овн. печ. л. 28. Уч.-изд. л. 27,98. Ти-

раж

155000

экз. Цена книги 88 коп. Заказ № 1952.

Издательство «Наука»

Главная редакция

физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, !5

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-

ское производственно-техническое объединение

«Печатный Двор» имени А. М. Горького Союз-

полиграфпрома при Государственном комитете

Совета Министров СССР по делам издательств,

полиграфии и книжной торговли.

197136,

Ленин-

град. П-136, Гатчинская ул., 26.