Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

С. А. Минюк, Е. А. Ровба

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Допущено Министерством образования

Республики Беларусь

в качестве учебного пособия

для студентов экономических специальностей

высших учебных заведений

3-е издание

Гродно 2004

Министерство образования Республики Беларусь

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ГРО ДНЕНСКИЙ ГОСУ ДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»

ИНСТИТУТ ПОС ЛЕДИПЛОМНОГ О ОБРАЗОВАНИЯ

УДК 517(075.8)

ББК 22.161

М62

Рецензенты: проф., д-р физ.-мат. наук ГГУ им. Ф. Скорины

С. Ф. Каморников;

проф., д-рпед. наук БГУ В. Г. Скатецкий;

каф. высш. мат. и мат. физ. БГУ.

Рекомендовано советом ма тем а тического факультета ГрГУ им Я.Купалы.

Минюк С.А.

Высшая математика: Учеб. пособие / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. –

3-е изд., испр. – Гродно: ГрГУ, 2004. – 407 с.

ISBN 985-417-470-0

Учебное пособие включает 60 лекций по общему курсу высшей матема-

тики. Такой объем математики (за исключением специальных курсов

«Математическо е программирование», «Теория вероятностей и математи-

ческая ст атистика» и др.) читается, как правило, в настоящее время студен-

там финансово-экономических специальностей университетов и других вузов.

Кратко сть и сжатость, а т акже принцип, что нематематику н ужно больше

рассказывать математику, чем доказывать, не потеряв при этом достаточный

уровень математичес кой строгости, лежат в основе изложения данного изда-

ния.

УДК 517(075.8)

ББК 22.161

ISBN 985-417-470-0

Минюк С . А., Ровба Е. А., 2000

М62

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие по курсу высшей математики состоит из трех

частей: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»; «Введение в

анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление»; «Функции мно-

гих переменных. Дифференциальные и разностные уравнения. Ряды». Эти

лекции читались на факультете экономики и управления в Гродненском

государственном университете имени Янки Купалы.

В содержание курса, за исключением, может быть, лекций 10 и 20,

вошел традиционный материал, изложенный в учебниках и учебных по-

собиях по высшей математике. Особенно большое влияние на содержа-

ние лекционного материала оказали следующие учебные пособия:

В.С.Шипачев «Основы высшей математики» (М., 1969); А. В. Кузнецов

и др. «Сборник задач и упражнений по высшей м атематик е. Общий курс»

(Мн., 1994); В.Г.Власов «Конспект лекций по высшей математике» (М.,

1996); Alpha C. Chiang. «Podstawy ekonomiki matematycznej» (Warszawa,

1994). Материал, изложенный в лекциях 10 и 20, в дальнейшем необхо-

дим для качественного чтения важного для экономистов курса «Мате-

матическое программирование» или ана логичного ему.

Мы старались выработать собственный стиль изложения материа-

ла, главным принципом которого является следующий: нематематику

нужно больше рассказывать математику, чем доказывать, не потеряв

при этом достаточного уровня математической строгости. Преподава-

тели и студенты знают, насколько «живые» лекции по дисциплине отли-

чаются от учебников по той же дисциплине.

В начале каждой лекции дается ее краткая аннотация, затем из-

лагается ее содержание с набором типовых практических примеров,

в заключение даются задания для самостоятельной работы, выполняя

которые обучаемый получает практические навыки решения задач по

данной теме. В каждой отдельной лекции используется одинарная ну-

мерация формул, теорем и т.д.; при ссылках используется двойная

нумерация, например, выражение «по формуле (Л.15.6)» означает,

что эта формула содержится в лекции 15 под номером 6.

В заключение выражаем глубокую благодарность рецензентам

за ряд ценных советов и замечаний.

В третьем издании устранены технические погрешности второго

издания.

Часть 1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция 1

Предмет математики. Простейшие

математические модели в экономике

Данная лекция носит вводный характер: рассмотрены

примеры математических моделей простейших

экономических ситуаций.

Одной из характерных особенностей математики является ее

абстрактность. В связи с этим, каждое отдельно взятое математическое

понятие, начиная с простейшего, усваивается нелегко. И несмотря на

это, математика доступна самому широкому кругу людей, т.к. простота

и доходчивость – это тоже особенность математики. А вот вызвать к

математике интерес по возможности у всех учащихся – дело далеко не

простое. Мы хотели бы вызвать у Вас не просто интерес, а увлеченность

математикой, чтобы она стала для Вас необходимостью, а для людей

особо одаренных – целью жизни. Математике человечество обязано мно-

гими величайшими открытиями, давшими миру гениев.

Изучение математики развивает логическое мышление, приуча-

ет человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необ-

ходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в

различных областях человеческой деятельности.

В связи с возросшей ролью математики в современной науке и

технике будущие инженеры, экономисты и научные работники нуж-

даются в серьезной математической подготовке. Сегодня математика

нужна всем. Это веление времени, настоятельная жизненная необ-

ходимость. В наше время подтверждается предвидение великого эко-

номиста К. Маркса о том, что наука тогда достигает совершенства,

когда начинает пользоваться математикой.

Рассмотрим примеры математических моделей простейших

экономических ситуаций.

Пример 1. Из некоторого листового материала необходимо вы-

кроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 680 заготовок типа

В. При этом можно применить три способа раскроя. Количество загото-

вок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указа-

но в таблице 1.

Таблица 1

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через х

, х

количество листов мате-

риала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим спо-

собами. Тогда при первом способе раскроя х

листов будет получено

3х

заготовок типа А , при втором – 2х

, при третьем – х

. Для полного

выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3х

+ 2х

+ х

долж-

на равняться 360, т.е.

3х

+ 2х

+ х

= 360. (1)

Аналогично получаем уравнения:

+ 6х

+ 2х

= 300, (2)

4х

+ х

+5х

= 680, (3)

которым должны удовлетворять неизвестные х

, х

для того, чтобы

выполнить задания по заготовкам Б и В. Система линейных уравне-

ний (1)–(3) выражает в математической форме условия выполнения

всего задания по заготовкам А, Б, В.

Пример 2. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т

железной руды и 3000 т ап атитов. Разгрузку можно производить как

непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей дос-

тавки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно за-

грузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Нужно

учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки

апатитов. Стоимость выгрузки 1т в вагоны составляет соответственно

4,3; 5,2 и 2,2 денежные единицы, при отправке на склад – 7,8; 6,4 и 3,2

денежные единицы. Записать в математической форме условия полной

разгрузки судов, если затраты на нее должны составлять 58 800 денеж-

ных единиц.

Решение. По условию задачи до ставленные в порт чугун, же-

лезную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в

железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Пусть x

–

количество груза в тоннах i-го вида (i=1,2,3), которые предполага-

ется разгрузить j-ым способом (j=1,2). Таким образом, задача содер-

жит шесть неизвестных.

Условие полной разгрузки чугуна запишется в виде:

+ x

= 6000. (4)

где x

, х

– части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и

склады.

Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

+ x

= 4000. (5)

Апатиты можно разгрузить только на склады, а поэтому неизве-

стная х

=0 и условие полной разгрузки апатитов имеет вид:

= 3000. (6)

Условие полной загрузки всех поданных в порт ва гонов:

+ x

= 8000. (7)

Затраты на разгрузку по условию определены в 58800 ден. единиц,

что можно выразить так:

4,3х

+ 7,8х

+ 5,2х

+ 6,4х

+ 3,2х

= 58800. (8)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной раз-

грузки прибывших судов выражаются в математической форме систе-

мой линейных уравнений (4)–(8).

Пример 3. Для строительства домов на 100 строительных пло-

щадках выбраны пять типов проектов. По каждому из проектов изве-

стны продолжительность закладки фундамента и строительства ос-

тальной части дома (таблица 2).

Одновременно можно вести закладку не более 10 фундаментов

и строительство не более 15 домов. Записать в математической фор-

ме условия, которым должен удовлетворять годовой план (300 рабо-

чих дней) строительства домов при дополнительном требовании, что

домов второго типа должно быть построено не менее 10.

Решение. Пусть х

, х

, x

– количество домов каждого

типа, планируемых к строительству в течение года. По условию дол-

жно быть построено 100 домов. Этот факт можно выразить так:

+ х

+ x

= 100. (9)

Так как одновременно можно вести работы по закладке не более

10 фундаментов, годовой фонд времени по этому виду работ ограни-

чен величиной 3000 рабочих дней. Для реализации плана (х

, х

, x

) только на закладку фундаментов нужно (20х

+30х

+ + 35х

+ 30x

40x

) рабочих дней. Это количество не может превышать имеющегося

фонда времени, предусмотренного для данного вида работ, значит, дол-

жно выполняться неравенство:

20х

+ 30х

+ 35х

+ 30x

+ 40x

≤ 3000. (10)

Фонд времени на строительство остальной части домов составляет

300·15 = 4500 рабочих дней. На этот вид работ фактически будет потра-

чено (40х

+20х

+60х

+35x

+25x

) рабочих дней. Ясно, что это коли-

чество не может превышать имеющийся фонд времени, т.е.

40х

+ 20х

+ 60х

+ 35x

+ 25x

≤ 4500. (11)

Учитывая последнее требование задачи, придем к нерав енству

≥ 10. (12)

Остается присоединить естественные условия неотрицательности

для остальных переменных:

≥ 0, х

≥ 0, x

≥ 0. (13)

Таким образом, любой реальный план строительства домов дол-

жен удовлетворять смешанной системе, состоящей из линейного урав-

нения (9) и линейных неравенств (10)–(13).

Пример 4. Фирма решила ежемесячно ассигновать сто тысяч дол-

ларов на производство некоторой продукции. Пусть средняя заработная

плата по фирме 2000$, а стоимо сть единицы сырья – 1000$. Требуется

определить какое количество рабочих х и какое количество сырья у

необходимо приобре сти фирме для получения наибольшего объема про-

Таблица 2

дукции z, если известно, что он им прямо пропорционален с ко эффици-

ентом пропорциональности, равным 5.

Математическая модель этой задачи:

z = 5xy → max

при условии

2000х + 1000у = 100000

и представляет собой так называемую зада чу на условный эк стремум.

! Задания для самостоятельной работы

1. Трикотажная фабрика производит свитеры и пуловеры. Все дан-

ные приведены в таблице 3.

Таблица 3

Записать в математической форме ограничения, налагаемые на

любой реальный план выпуска изделий и состоящие в том, что расход

пряжи не превышает ее запаса.

2. В хозяйстве установлено, что откорм животных выгоден лишь

тогда, когда они будут получать в суточном рационе не менее 8 ед.

питательного вещества А, не менее 14 ед. вещества Б и не менее 3 ед.

вещества В, которое содержится в кормах I и II. В таблице 4 указано,

сколько единиц каждого вещества содержится в 1кг корма.

Таблица 4

Записать в математичес-

кой форме условия, которым

должен удовлетворять суточ-

ный рацион.

Лекция 2

Прямоугольная система координат

на плоскости. Простейшие задачи

аналитической геометрии на плоскости

Дано определение декартовой системы координат на

плоскости, рассмотрены три простейшие задачи анали-

тической геометрии на плоскости.

В основе метода координат лежит построение системы коорди-

нат. Таких систем существует много. Познакомимся с прямоуголь-

ной (или декартовой) системой координат.

. Направленные отрезки и их величины. Одним из

основных понятий аналитической геометрии является понятие

направленного отрезка. Рассмотрим произвольную прямую. Укажем

на ней два взаимно противоположных направления. Выберем одно из

них и обозначим его стрелкой (рис. 1). Пусть, кроме того, выбрана

единица масштаба для измерения длин отрезков.

Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.

Рассмотрим на оси две произвольные точки А и В.

Отрезок с граничными точками А и В называется направлен-

ным, если указано, какая из точек А и В считается началом, а какая –

концом отрезка.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В

обозначим

и будем считать, что он направлен от начала к концу.

В записи

букву, обозначающую начало отрезка, пишут первой, а

букву, обозначающую его конец, – второй.

Длина направленного отрезка

обозначается так:

или

Для направленных отрезков, лежащих на оси, введем важное

понятие величины направленного отрезка.

Величиной АВ направленного отрезка

называется веще-

ственное число, равное

, если направление отрезка и оси совпа-

дают, и равное –

, если эти направления противоположны.

Отметим, что из опре деления

сле дуе т, чт о AB =–BA и

BAAB =

обозна чают о дно и то же число. Пусть даны какая-нибудь ось, масштабная

1 0

единица и точки А, В, С, D, располо ж енные так , как показано на рис.2. Тогда

2== ABAB

3−=−= CDCD

2−=−= BABA

3== DCDC

Если точки А и В направленного отр езка

совпадают, то

величина направленного отрезка

равна нулю, а направление не

определено. В дальнейшем направленные отрезки оси будем назы-

вать просто отрезками, опуская слово «направленный».

Основное тождество. Для любых трех точек А, В и С на оси

величина отрезка

равна сумме величин отрезков

, т.е.

AB + BC = AC. (1)

Для установления равенства (1) нужно рассмотреть все возмож-

ные случаи расположения точек А, В и С на оси.

. Прямоугольная система координат на плоско-

сти. Две взаимно перпендикулярные оси Oх и Оу, имеющие общее

начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 3), образуют прямо-

угольную (или декартову) систему координат на плоскости.

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат. Точка

О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в ко-

торой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоско-

стью и обозначается Оху.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из нее пер-

пендикуляры МА и МВ соответственно на оси Ох и Оу. Прямоуголь-

ными координатами х и y точки М будем называть соответственно

величины ОА и ОВ направленных отрезков

: х = ОА, у = ОВ.

Координаты х и y точки М называются соответственно ее абс-

циссой и ординатой.

Тот факт, что точка М имеет координаты х и y, символически обо-

значают так: М (х; y). При этом первой в скобках указывают абсциссу,

а второй – ординату. Начало координат О имеет координаты (0; 0).

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М

пло скости соответствует пара чисел (х; y) – ее прямоугольные коорди-

Рис. 1 Рис.2