Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
141
Лекция 24
Предел функции
Даются определ ения предела функции в точке и одно-
сторонних пределов функции, рассматриваются основные
свойства пределов функции, бесконечно малых и беско-
нечно больших функций.
1
0
. Предел функции при x
→→
→→
→a. Пусть функция f определе-
на в некоторой окрестности точки х = а за исключением, быть может,
самой точки а. Возьмем последовательность точек
{}
k
x
из этой окре-
стности, сходящуюся к точке а. Значения функции в точках последо-
вательности, в свою очередь, образуют последовательность
f (x
1
), f (x
2
), ..., f (x
n
), ... .
Число b называется пределом функции f в точке х = а (или при
x →a), если для любой последовательности
{}
k
x
, сходящейся к а,
соответствующая последовательность значений функции
(){}
k
xf
схо-
дится к b.
Для обозначения предела функции f в точке х = а используется
формула
()
bxf
ax
=
→
lim
.
Пример 1. Постоянная функция f (х) = С в каждой точке имеет
предел. Действительно, пусть a ∈R и
{}
n
x
– произвольная последова-
тельность, сходящаяся к а. Тогда
∀
n ∈N : f (x
n
)=C, и последователь-
ность
(){}
n
xf
будет иметь своим пределом число С.
Пример 2. Функция
()
x
xf
π
=
sin
определена всюду на R, за
исключением точки x = 0. Выясним, существует ли предел этой функ-
ции в точке х = 0. С этой целью возьмем следующие две последова-
тельности. Пусть первую последовательность составляют числа x
k
>0,
k =1, 2,..., такие, что
1sin =
π
k
x
, т.е.
()
2
14
π
+=
π
k
x
k
,
14
2
+
=
k
x
k
.
Очевидно, последовательность
{}
k
x
сходится к точке х = 0, а со-
ответствующая последовательность значений функции будет состо-
ять из единиц и иметь своим пределом число 1.
142
Теперь возьмем другую последовательность значений аргумента
{}
k
y
, y
k
>0,k∈N, такую, что
0sin =
π
k
y
, т.е.
π=
π
k
y
k
,
k
y
k
1
=
, k∈N.
Очевидно, в этом случае последовательность значений аргумен-
та
{}
k
y
сходится к нулю, и соответствующая последовательность зна-
чения функции
π
k
y
sin
также сходится к нулю.
Таким образом, в первом случае последовательность значений фун-
кции сходится к 1, а во втором – к 0. Это означает, что у функции
()
x
xf
π
=
sin
в точке х =0 предел не существует. Это факт хорошо
иллюстрируется на графике этой функции (рис. 1).
Имеет место и другое определение предела функции в точке.
Число b называется пределом функции f в точке х = а, если
00 >δ∃>ε∀
такое, что
δ<−<∀ axx 0:
выполняется неравенство
()
ε<−
bxf
.
Первое определение основано на понятии пределов последо-
вательностей, и поэтому его называют определением «на языке по-
следовательностей». Второе определение называют определением «на
языке ε– δ».
Рис. 1
143
Можно доказать, что оба определения равносильны.
Число b называется правым пределом функции в точке х = а, если
для любой сходящейся к а последовательности
{}
n
x
, члены которой боль-
ше или равны а (
∀
n ∈N : x
n
≥a), cоответствующая последовательность
(){}
n
xf
сходится к b. Обозначается :
()
bxf
ax
=
+→
0
lim
.
Аналогично, число b называется левым пределом функции в точке
х = а, если
{}
axnaxx
nn
n
n
≤∈∀=∀
∞→
:,lim, N
соответствующая после-
довательность
(){}
n
xf
сходится к b ; обозначается:
()
bxf
ax
=
−→
0
lim
.
Естественно, что можно сформулировать эти определения «на
языке ε– δ».
Правый и левый пределы функций в точке называются односто-
ронними. В случае, когда а = 0, используются обозначения:
()
xf
x
0
lim
+→
,
()
xf
x
0
lim
−→
.
Пример 3. Функция y=sign x (рис. 1б лекции 23) имеет одно-
сторонние пределы в точке х = 0. Очевидно,
1signlim
0
=
+→
x
x
,
1signlim
0
−=
−→
x
x
.
Следующая теорема устанавливает связь между односторонними
пределами и пределом функции.
Теорема 1.
Для того, чтобы функция f имела предел в точке х = a, необходи-
мо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и
они были равны. В этом случае предел функции равен односторонним
пределам.
Вводится также определение предела функции и односторонние
пределы на бесконечности (или в бесконечно удаленной точке). Число
b называется пределом функции f при x →∞, если для любой ББП
{}
n
x
соответствующая последовательность значений функции
(){}
n
xf
сходится к b; обозначается
()
bxf
x
=
∞→
lim
.
Число b называется пределом функции f при x →+ ∞, если для
любой ББП
{}
n
x
∀
n ∈N : x
n
>0 соответствующая последовательность
(){}
n
xf
сходится к b; обозначается:
()
bxf
x
=
+∞→
lim
.
144
Аналогично определяется предел функции при x → –∞,
()
bxf
x
=
−∞→
lim
.
Приведем основные свойства пределов функций.
Теорема 2.
Пусть функции f и g имеют в то чке а пре де л ы b и с,
()
bxf
ax
=
→
lim
,
()
cxg
ax
=
→
lim
. Тогда:
а)
() ()()
cbxgxf
ax
±=±
→
lim
;
б)
() ()()
cbxgxf
ax
⋅=⋅
→
lim
;
в)
()
()
c
b
xg
xf
ax
=
→
lim
(при условии с ≠0).
Теорема 3.
Пусть функции f(x), g (x), h(x) определены в некоторой окрест-
ности точки х = а, кроме, быть может, самой точки а, и удовлетво-
ряют неравенствaм f (x) ≤g (x) ≤h (x). Пусть
()
bxf
ax
=
→
lim
,
()
bxh
ax
=
→
lim
.
Тогда
()
bxg
ax
=
→
lim
.
Пример 4. Найти
2
1
lim
2
0
+
+
→
x
x
x
.
Решение. Здесь можно применить теорему 2:
()
()
2
1
20
10
2limlim
1limlim
2lim
1lim
2
1
lim
00
0
2
0
0
2
0
2
0
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
→→
→→
→
→
→
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Пример 5. Найти
1
1
lim
3
1
−
−
→
x
x
x
.
Решение. Очевидно, что
()
01lim
1
=−
→
x
x
. Поэтому теорему 2 о
пределе частного здесь применить нельзя. Однако заметим, что и
()
01lim
3
1
=−
→
x
x
. Говорят, что здесь имеем неопределенность вида
0
0
.
145
Функцию
()
1
1
3
−
−
=
x
x
xf
можно записать в виде
()
()
()
1
11
2
−
++−
=
x
xxx
xf
,
и, так как при рассмотрении предела функции в точке х = 1 ее аргу-
мент не принимает значения, равного 1, то
()
1,1
2
≠++=
xxxxf
, и
()
()
()
31lim
1
11
lim
1
1
lim
2
1
2
1
3
1
=++=
−
++−
=
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
.
2
0
. Два замечательных предела.
а) Теорема 4. Справедливо равенство
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
. (1)
Доказательство. Заметим, что здесь имеем неопределенность
вида
0
0
. Построим окружность радиуса r = 1, возьмем центральный
угол с радианной мерой, равной х,
π
∈
2
;0x
, и сделаем
построения (рис. 2). Очевидно, AB < BC < BD. Но AB = sin x, BC = x,
BD =tgx. Поэтому имеем: sin x < x <tgx. Преобразуем это соотношение:
1
sin
cos,
cos
1
sin
1 <<<<
x
x
x
xx
x
,
Рис.2
146
В силу четно сти входящих в эти неравенства функций, они спра-
ведливы и при
π
−∈ 0;
2
x
. Замечая, что
1coslim
0
=
→
x
x
, и , применяя тео-
рему 3, получим требуемое равенство (1).
б) Теорема 5. Справедливо равенство
e
x
x
x
=
+
∞→
1
1lim
. (2)
Как известно,
e
n
n
n
=
+
∞→
1
1lim
.
Равенство (2) есть обобщение уже известного предела последова-
тельности.
3
0
. Экономическая интерпретация числа е.
Число е имеет экономическую интерпретацию.
Предположим, что имеем капитал в сумме 1$ и банк «пожертвует»
необычно большой процент годовых – 100%. Если проценты будут на-
числяться один раз в конце года, то величина нашего капитала под ко-
нец года будет равна 2$. Обозначим эту величину через V (1),
где число в скобках обозначает частоту начисления процентов в
год. Если начисление процентов будет о суще ствляться два раза в
год (т.е. каждые полгода по 50%), то будем иметь
V (2) = 1 + 50% ⋅1 +(1 + 50% ⋅1) 50% = (1 + 50% ⋅1 )
2
=
2
2
1
1
+
.
Если же начисление процентов будет производиться три раза в год, то
()
=
++⋅++
++⋅+=
3
1
3
1
11
3
1
1
3
1
3
1
11
3
1
13V
332
3
1
1
3
1
3
1
3
3
1
31
+=
+
⋅+⋅+=
.
147
Методом математической индукции можно показать, что если про-
центы начислять n раз в год, то соответствующий капитал составит
()
n
n
nV
+=
1
1
.
В предельном случае, если начисление процентов в течение года
идет непрерывно, т.е. когда n →∞ , то капита л будет
()
e
n
nVV
n
nn
=
+==
∞→∞→
1
1limlim
.
Величина e = 2,7128... может быть интерпретирована как величина,
до которой возрастает первоначальный капитал в 1$, когда проценты при
степени начисления, равной 100%, будут начисляться непрерывно.
4
0
. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция f (х) называется бесконе чно малой (БМФ) в точке х = а, если
()
0lim
=
→
xf
ax
.
Функция f (х) называется бесконечно большой в точке х = а, е сли
{}
n
x
∀
,
ax
n
n
=
∞→
lim
, соответствующая последовательность
(){}
n
xf
есть
ББП (в этом случае иногда пишут
()
∞=
→
xf
ax
lim
).
Связь между БМФ и ББФ характеризует следующая теорема.
Теорема 6.
Для того, чтобы функция f в точке х = а (f (x) ≠0 при x≠a) была
БМФ, необходимо и достаточно, чтобы функция
()
xf
1
была ББФ.
Связь между пределами функций и БМФ выражается следую-
щей теоремой.
Теорема 7.
Для того, чтобы функция f имела предел в точке х = а, равный b,
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция α(x) =f(x) –b
была БМФ.
Свойства БМФ можно описать в следующем виде.
148
Теорема 8.
Алгебраическая сумма и произведение конечного числ а БМФ в
точке х = а , а также произведение БМФ на ограниченную функцию яв-
ляются БМФ.
Пример 6. Найти
4
35
lim
2
2
2
−
−+
→
x
x
x
.
Решение. Здесь имеем неопределенность вида
0
0
. Поэтому
выражение под знаком предела следует преобразовать. Числитель
содержит радикал, и в этом случае частное удобно умножить и разде-
лить на «сопряженное» выражение
35
2
++ x
. Будем иметь:
()
=
++−
−
+
=
−
−+
→→
354
35
lim
4
35
lim
22
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
xx
() ()
=
++−
−
=
++−
−+
=
→→
354
4
lim
354
95
lim
22
2
2
22
2
2
xx
x
xx
x
xx
6
1
35
1
lim
22
=
++
=
→
x
x
.
Пример 7. Найти
x
x
x
3sin
lim
0
→
.
Решение. Первый способ. Чтобы воспользоваться
первым замечательным пределом, в выражении под знаком предела сде-
лаем замену переменной, полагая 3x = t,
3
t
x =
:
3
sin
lim3
3/
sin
lim
3sin
lim
000
===
→→→
t
t
t
t
x
x
ttx
.
Второй способ:
149
313
3
3sin
lim33
3
3sin
lim
3sin
lim
000
=⋅==⋅=
→→→
x
x
x
x
x
x
xxx
.
Пример 8. Найти
()
x
x
x
1
0
21lim
+
→
.
Решение. Здесь удобно использовать замену
t
x
1
2 =
, чтобы све-
сти этот предел к равенству (2). Действительно, в этом случае имеем,
что
x
t
2
1
=
, и, если x →0, то t →∞. Значит,
()
2
2
1
0
1
1
1
1lim
1
1lim21lim
e
ttt
x
tt
x
t
x
x
x
=
+
+=
+=+
∞→∞→→
.
Пример 9. Найти
99
199
lim
2
2
+
++
∞→
x
xx
x
.
Решение. Числитель и знаменатель в отдельности при x →∞
являются ББФ. Поэтому непосредственно перейти к частному преде-
лов на основании теоремы 2 нельзя. Преобразуем функцию, стоящую
под знаком предела. Разделим числитель и знаменатель на х в наи-
большей степени, т.е. в данном случае, x
2
. Имеем:
99
1
99
99
1
11
99
lim
99
199
lim
2
2
2
2
==
+
++
=
+
++
∞→∞→
x
x
x
x
xx
xx
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Пользуясь определением, доказать, что
4lim
2
2
=
→
x
x
.
2. Найти пределы:
а)
23
1
lim
2
2
1
++
−
−→
xx
x
x
; б)
23
2
lim
2
2
2
+−
−
→
xx
xx
x
; в)
34
23
lim
4
3
1
+−
+−
→
xx
xx
x
.
150
3. Найти пределы:
а)
49
32
lim
2
7
−
−−
→
x
x
x
; б)
x
x
x
−−
+−
→
51
53
lim
4
; в)
1
1
lim
3
1
−
−
→
x
x
x
.
4. Найти пределы:
а)
58
32
lim
23
3
+−
+−
∞→
xx
xx
x
; б)
2
10
lim
x
xx
x
+
∞→
; в)
xxx
x
x
++
+
∞→
1
lim
.
5. Найти пределы:
а)
x
x
x
π
→
sin
lim
0
; б)
x
x
x
4sin
3sin
lim
0
→
; в)
2
0
cos1
lim
x
x
x
−
→
; г )
3
0
sintg
lim
x
xx
x
−
→
.
6. Найти пределы:
а)
x
x
x
+
∞→
3
1lim
; б)
x
x
x
x
−
+
∞→
1
1
lim
; в)
()
x
x
x
/2
0
31lim
−
→
.