Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

131

Значит,

∀

n ∈N :0<x

< 1. Следовательно, по следовательность

{}

является возрастающей, ограниченной и имеет предел.

! Задания для самостоятельной работы

1. Доказать сходимость и найти предел последовательности

{}

где

,,,

$aaxax +=

aaax

+++= $

(всего n корней),..., a >0.

2. Найти предел последовательности

{}

, которая определяет-

ся рекурентным соотношением: х

– произвольное число, х

∈(0; 1) ;

∀

n ∈N : x

n+1

= x

(2 – х

)

3. Найти предел последовательности

{}

,если

$,4,3,

,,,

=<==

−−

xbabxax

4. Доказать, что неограниченная монотонная последовательность

является бесконечно большой.

132

Лекция 23

Понятие функции

Приводятся определение функции и способы задания фун-

кций. Вводятся понятия обратной и сложной функций.

Рассматриваются классификация функций и построение

графиков функций.

. При изучении явлений природы, физических, экономических

и др. процессов часто встречаются с совокупностью переменных вели-

чин, которые связаны между собой так, что значения одних величин

полностью определяют значения других. Например, площадь круга S

однозначно определяется значением его радиуса с помощью формулы

S=πr

Пусть Х и У – два произвольных множества действительных чисел

Х ⊂R , У ⊂R. Если каждому элементу х из множества Х по некоторому

правилу f поставлен в соответствие определенный элемент у из множе-

ства У, то говорят, что задана функция f. Для обозначения функции

f используются такие обозначения : у =f(х),

→

, f : x →у.

Переменная х называется независимой переменной, или аргумен-

том функции, переменная у – зависимой переменной, или значением

функции. Множество Х называют областью определения, или облас-

тью суще ствования функции f. М ножество всех значений у, у ∈У

функции y=f(x), х ∈Х называется множе ством значений функции.

Например, функция

xy −=

определена на отр езке [–1; 1], т.е.

областью определения является множество Х =[–1; 1]. Множеством зна-

чений функции в данном случае является отрезок [0; 1], Y = [0; 1].

Функция, все значения которой равны между собой, называется

по стоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой C.

Функция f, определенная на множестве Х, называется ограничен-

ной, е сли ∃M >0 такое, что

∀

x ∈X : f (x)|≤M. Например, функция

y=cosx является ограниченной на R, так как

∀

x ∈R : |cos x| ≤1, а

функ-

ция у = tg х не является ограниченной на интервале













ππ

−

;

, так как не

существует числа M >0 тако го, чтобы

∀

х ∈













ππ

−

;

: |tg x| ≤M.

133

Графиком функции называется множество всех точек плоско-

сти с координатами (x; f (x) ), т.е. координаты x и y точек графика

связаны соотношением у =f(x). Например, графиком функции у = х

яв-

ляется парабола. Естественно, что графиком функции не обязательно

является «сплошная» кривая. В частности, графиком ф ункции у =n! бу-

дет бесконечное множество изолированных точек (нарисуйте!).

. Способы задания функции. Чтобы задать функцию,

требу ется указать правило: как по каждому значению аргумента х на-

ходить соответствующее значение функции у =f(x). Существу ют три ос-

новных способа задания функции: аналитический, табличный и

графический.

1) Аналитический способ. Если зависимость меж-

ду переменными выражена с помощью формул, то говорят, что функция

задана аналитически. Формула, задающая функцию, указывает совокуп-

ность действий, которые нужно в определенном порядке произвести, что-

бы получить соответствующее значение функции. Рассмотрим, напри-

мер, функцию

1−= xy

. Функция, заданная этой формулой, определена

на промежутке [1;+∞). Чтобы вычислить значение функции

∀

х ∈[1;+∞), необходимо от значения аргумента х вычесть 1 и извлечь

из полученного числа квадратный корень. Множеством значений явля-

ется промежуток [0; + ∞).

Графиком функции является множество всех точек плоскости с

координатами

()

−

, переменная х пробегает здесь промежуток

[1,+∞) (рис. 1а).

Пусть

()











∞−∈−

∞+∈

.0;,1

,0,0

,;0,1

xесли

Данная функция выражена при помощи нескольких формул. Об-

ластью определения является вся числовая прямая, множество значе-

ний со стоит из трех элементов: –1,0,1. График см. на рис. 1б. Рассмат-

риваемую функцию обозначают у = sign x.

2) Табличный способ. Предположим, что нас инте-

ресует зависимость расхода топлива от скорости движения легкового

автомобиля определенной марки. В инструкции к автомобилю имеет-

ся следующая таблица:

134

Из таблицы видно, что расход топлива изменяется в зависимости

от скорости движения автомобиля и, если каждому значению скорости,

записанному в первой строке таблицы, поставить в соответствие число

литров топлива, стоящих во второй строке и в этом столбце, то получим

функцию, заданную таблично. Областью определения этой функции яв-

ляется множество из 6 чисел, стоящих в первой строке. Множеством

значений является также совокупность из 6 чисел второй строки.

С помощью таблицы часто задают функции, значения которых вы-

числить сложно. Например, широко известны таблицы тригонометричес-

ких функций, показательной и логарифмической функций и т.д.

Заметим, что имеются способы перехода от функций, задан-

ных таблично, к функциям, которые заданы аналитически. Безуслов-

но, это можно сделать, как правило, лишь приближенно.

3) Графический способ. В данном случае предпола-

гается, что задан график функции у =f(х) ( см., например, рис. 2).

Здесь, чтобы для неко-

торого значения аргумента х

найти соответствующее значе-

ние функции, нужно построить

на оси Ох точку х, затем вос-

становить в этой точке пер-

пендикуляр к оси Ох, найти

точку пересечения этого пер-

пендикуляра с графиком и най-

ти длину этого перпен-

дикуляра. Значение функции

будет равно этому числу с со-

ответствующим знаком.

Рис. 1

а) б)

Рис.2

135

Примерами графического изображения могут быть записи с амопи-

шущих приборов ( барографы, осциллографы и т.д.).

. Понятие обратной и сложной функции. Пусть на

множестве Х задана функция f. Обозначим через Y множество значе-

ний функции f на множестве Х, т.е.

()

{}

XxxfY

∈=

. Возьмем произ-

вольный элемент у ∈Y и поставим ему в соответствие одно или не-

сколько значений переменной х ∈Х таких, что f (х) = у. Таким образом

мы определили на множестве Y функцию, которая называется обрат-

ной к функции у =f (х) и обозначается х =f

–1

(у) или f

–1

, f

–1

: у →х. Если

каждому у ∈Y соответствует только одно значение х ∈Х такое, что

f (х) = у, то говорят, что обратная функция однозначна, если соответ-

ствует несколько значений х ∈Х, удовлетворяющих условию f (х) = у,

то это соответствие не есть, вообще говоря, функция в обычном смыс-

ле. В этом случае говорят, что обратная функция является многознач-

ной. Так, для функции у = 2х существует обратная функция (одно-

значная!)

x =

, а для функции у = х

обратная функция являет ся

двузначной:

yx ±=

Предположим, что для функции у =f(х), заданной на отрезке [a; b],

существует однозначная обратная функция х =f

–1

(y). Пусть множеством

значений функции f является отрезок [c; d]. Тогда этот отрезок является

областью определения обратной функции f

- –1

, а отрезок [a; b] – множе-

ством ее значений. Графики функции у =f(х) и ее обратной х =f

- –1

(y)

будут совпадать, если в первом случае аргумент откладывать вдоль

оси Ох, а во втором – вдоль оси Оу (рис. 3).

Если же условиться и в случае функции f, и в случае обратной функ-

ции f

–1

независимую перемен-

ную обозначать через х, а за-

висимую – через у, то для

того, чтобы получить график

функции у =f

–1

(х) из графи-

ка у=f(х), нужно первый гра-

фик зеркально отобразить

относительно биссектрисы I

и III четве ртей координа тной

плоскости (рис. 4).

Пусть на нек о торо м мно-

жестве Х задана функция

f : х →ус множеством зна-

чений Y, а на мно ж естве Y в

Рис. 3

136

свою очередь задана функция

g : y →z. Тогда на множ естве Х

можно определить функцию

ϕ: х →z такую, что

z = g (f (x) ). Функция z = ϕ(x)

или z = g (f (x)) называется

сложной функцией, или супер-

позицией двух функций y=f(x)

и z = g (y). Например, функция

xz cos=

является сложной

функцией, суперпозицией

тригонометрической функции

y=cos x и степенной z=y

1/2

Функция y=e

2x+1

также явля-

ется сложной функцией, суперпозицией линейной функции t=2x+1 и

показательной у = е

Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно за-

висимой переменной, называется неявной. Например, уравнение х

+ у

= 1

определяет у как неявную функцию от х.

. Классификация функций производится в зависимости от вида

действий, которые необходимо выполнить над значением аргумента, что-

бы получить значение функции.

1) Если над значением аргумент а и некоторыми постоянными про-

изводится конечное число действий сложения, вычитания, умножения и

возведения в целую положительную степень , то соответствующая фун-

кция называется целой рациональной, или алгебраическим многочленом.

Такая функция может быть записана в виде

()

nnn

axaxaxaxaxP

+++++=

−

−−

где n ≥0 – целое число, a

, a

,..., a

– любые числа, коэффициенты

многочлена. Если a

≠0, то P (x) называют многочленом степени n.

2) Функция R (x), являющаяся отношением двух многочленов

(целых рациональных функций), называется дробной рациональной фун-

кцией, т.е.

()

bxbxbxb

axaxaxa

++++

−

Множество целых и дробных рациональных функций образует

класс рациональных функций.

Рис.4

137

3) Если над аргумент ом x производятся не то лько перечисленные

выше операции, но и операция извлечения корня, и полученный результат

не является рациональной функцией, то говорят, что задана иррацио-

нальная функция. Например,

() ()

xxxxf

+++=

−

являются иррациональными функциями.

4) Любая функция, не являющаяся рациональной или иррациональ-

ной, называется трансцендентной. Простейшими трансцендентными

функциями являются:

а) тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x, cosec x;

б) обратные тригоно метрические ф ункции: arcsin x, arccos x и т.д.;

в) показательная функция а

, a > 0, a ≠1 ;

г) логарифмическая функция log

x, a>0,a ≠1.

Функции рациона льные, иррациональные, трансцендентные и ко-

нечное число их суперпозиций составляют класс элементарных функ-

ций. Это те функции, которые и будут изучаться.

. Построение графиков функций. В настоящем пункте,

предполагая, что графики простейших рациональных и трансцендентных

функций известны, рассмотрим построение графиков функций спомо-

щью линейных преобразований.

Пусть задана функция у =f(х) и ее график известен (рис. 5).

1) График функции у =f(х) + с получается из графика функции

у =f(х) с помощью параллельного переноса последнего вдоль оси Оу

на величину, равную с (рис. 6).

2) График функции у =f(х – а) получается из графика функции

у =f(х) с помощью сдвига последнего вдоль оси Ох на величину, рав-

ную а (рис. 7).

3) График функции у =kf(х),k>0 получается из графика функции

у =f(х) растяжением в k раз вдоль оси Оу ( при k < 1– сжатием). Если

k < 0, то график функции у =kf(х) получается из графика функции у =–

kf(х) «зеркальным» отображением относительно оси Ох (рис. 8).

4) График функции у =f(k х), k >0 получается из графика функции

у =f(х) растяжением или сжатием (при k < 1) вдоль оси Ох . При k <0

нужно «зеркально» отобразить график функции у =f(–k х) относительно

оси Оу.

138

Остановимся еще на одном

часто встречающемся преоб-

разовании графиков функций. Что-

бы получить график функции

у =|f(x)|, нужно участки графика

функции у = f (х), лежащие выше

оси Ох, оставить без изменений, а

участки графика, лежащие ниже оси

Ох, «зеркально» отобразить относи-

тельно этой оси (рис. 9).

Пример 1. Найти f (2),













, f(– х), если f (х)=1 + х + х

Решение. Очевидно, f (2) = 1 +2 +2

= 7. Если вместо незави-

симого переменного подставить выражение

, то получим:

Рис.5 Рис.6

Рис.7 Рис.8

Рис.9

139

111

xxx













++=













Аналогично, f (–х)=1 +(–х)+(–х)

= 1 – х + х

Пример 2. Определить область существования функции

+−= xxy

Решение. В этом случае подкоренное выражение должно быть

неотрицательно, х

–3х +2≥0 .

Решая это неравенство, получим, что областью определения яв-

ляется множество D =(–∞; 1] ∪[2; + ∞).

Пример 3. Для функции













найти обратную.

Решение. Очевидно, данная функция определена на промежутке

(0, ∞). Множеством ее значений является R. С помощью потенцирова-

ния находим

. Значит, х =2е

является обратной функцией к

функции













. Функция х = 2е

определена на R, множеством ее

значений является промежуток (0, + ∞).

Пример 4. Представить сложную функцию y=arcsin3

в виде

суперпозиции соответствующих функций.

Решение. Данная сложная функция является суперпозицией сте-

пенной функции u=3

и обратной тригонометрической функции

y=arcsin u.

Пример 5. Построить график функции

у = |1 + (x – 1)

Решение. В качестве исходного возьмем

график функции у = х

(рис. 10а). С помощью сдви-

га на величину а= 1 вправо вдоль оси Ох получим

график функции у=(х – 1)

(рис. 10б). Если сделать

перенос полученного графика вдоль оси Оу на одну

единицу вверх, то получим график функции

у = 1+(х – 1)

(рис. 10в). Нак онец, «зеркально» ото-

бражая ту часть график а, кот орая расположена ниже

оси Оx, получим график функции у= |1+(x –1)

(рис. 10г).

Рис. 10а

140

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти f (0), f (–3 / 4), f (–x), f (1/ x), 1 / f (x), если

()

xxf

2. Определить область существования функций:

а)

1+= xy

, б)

−

, в)

+−=

г)

arccos

3. Для функции у =f(х ) найти обратную, если:

а) f(х)=3х + 2; б) f (x) = arctg 3x; в) f (x)=2e

4. Представить сложную функцию у = f (х) в виде суперпозиций

соответствующих функций, если:

а)

() ( )

−=

xxf

; б)

()













tglg

; в)

()

3arcsin

−

;

г)

() ( )

35sin

xxf

; д)

()

−

5. Построить графики следующих функций:

а) у = х

– 2; б) у = 1/(х – 1 ); в) y =lg(x + 2);

г) y = 1 – 0,5

; д)













−=

cos2 xy

; е )

xy arctg

;

ж) y =|x

–3x + 2|; з) y =|1 +lnx|.

6. Построить графики в полярной системе координат:

а ) r = 1 (окружность) ; б) r = 1 / sin ϕ (прямая);

в) r = 2cos ϕ (окружность); г )

sec

(парабола).

Рис. 10б Рис. 10вРис. 10г