Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

291

∫∫∫∫

θρρθρθρ=

ddfdydxyxf

)sin,cos(),(

. (5)

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами θ= α,

θ= β (α< β), выходящими из полюса, и двумя кривыми ρ= ρ

(θ) и

ρ= ρ

(θ), где ρ

(θ) и ρ

(θ) – однозначные функции при α≤θ≤β и

(θ)≤ρ

(θ) , то двойной интеграл справа в формуле (5) вычисляется

так:

∫∫∫∫

θρ

ρρθρθ=θρρθρ

)(

),(),(

dFdddF

где F(ρ,θ)=f (ρcos θ, ρsin θ), причем сначала вычисляется интеграл

∫

ρρθρ

)(

),(

θρ

, в котором θ считается постоянным.

Пример 3. Перейдя к полярным координатам, вычислить двой-

ной интеграл

∫∫

dydxyx

, если D – первая четверть круга

+ y

≤a

Решение. Полагая x = ρcos θ, y= ρsin θ по формуле (5), имеем:

∫∫∫∫

=θρρθρ+θρ=+

dddydxyx

222222

sincos

633

ddd

=θ⋅=ρ⋅θ=ρρθ=

ππ

∫∫∫

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z = 1 – x

– y

, y = x,

3xy =

, z =0 и расположенного в первом октанте.

Решение. Данное тело ограничено сверху параболоидом

z = 1 – x

– y

. Область интегрирования D – круговой сектор, ограни-

ченный дугой окружности x

+ y

= 1, являющейся линией пересечения

параболоида с плоскостью z = 0, и прямыми y = x,

3xy =

. Следова-

тельно,

∫∫

−−=

dydxyxV

)1(

Перейдем к полярным координатам x = ρcos θ, y = ρsin θ. Урав-

нение окружности x

+ y

= 1 в этих координатах примет вид ρ= 1, по-

дынтегральная функция равна 1 – ρ

, а пределы интегрирования по θ оп-

ределяем из уравнений прямых:

292

tg θ

= 1, т.е. θ

;

3tg

=θ

, т.е. θ

Таким образом, имеем:

484

)()1(

=θ=θ













ρ−ρ=ρρ−ρθ=θρρρ−=

∫∫∫∫∫∫

ddddddV

Ответ: V=

! Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить

∫∫

+−

dydxyxyx

)23(

, если область D ограниче-

на линиями x = 0, x = y

, y=2.

2. Вычислить

∫∫

dydxxy

, если область D ограничена линия-

ми xy = 1,

xy =

, x =2.

3. Вычислить

∫∫

dydxyx

)sin(

, если область D ограничена ли-

ниями x =0, y=

, y= x.

4. Вычислить

∫∫

dydxyx

)ln(

, если D – кольцо между окруж-

ностями x

+ y

= e

, x

+ y

= e

5. Вычислить

∫∫

dydxyx

, если область D ограничена ли-

ниями x

+ y

= a

, x

+ y

=4a

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линией x

+ y

= axy.

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

x = y

–2y, x+ y =0.

8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

+ y

= a

, x

+ z

= a

293

Лекция 47

Общее дифференциальное уравнение

первого порядка. Составление

дифференциальных уравнений

Даны основные понятия и определения для дифферен-

циального уравнения первого порядка, рассмотрены зада-

чи на составление дифференциальных уравнений.

. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) пер-

вого порядка. ДУ первого порядка называется уравнение вида

0),,( =

′

yyxF

или разрешенное относительно

′

),( yxfy =

′

, (1)

где х – аргумент, у (х) – искомая функция; F – заданная функция трех

переменных x, y,

′

; f – заданная функция двух переменных х, у.

Уравнение

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =0,

где х и у имеют тот же смысл, что и выше; dx, dy – дифференциалы;

P(x, y) и Q(x, y) – заданные функции, называется уравнением, записан-

ным в дифференциалах. Здесь у можно принять за аргумент, х(у) – за

функцию; dy, dx =

dyyx )(

′

– соответственно за дифференциалы.

Решением ДУ называется такая дифференцируемая функция

y = y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тожде-

ство, например,

0))(),(,( ≡

′

xyxyxF

или

))(,()( xyxfxy ≡

′

Процесс нахождения всех решений ДУ называется интегрирова-

нием ДУ, а график решения у = у(х) ДУ называется интегральной кри-

вой этого уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать простейшее ДУ:

)(xfy =

′

Имеем:

CxFydxxfdydxxfdyxf

+=⇒=⇒=⇒=

∫∫

)()()()(

где F (x) – первообразная (неопределенный интегра л) функции

f (x), С – произвольная постоянная.

Приведенный пример показывает, что решение ДУ представляет

целое семейство функций, зависящее от произвольного параметра С.

294

Задачей Коши, или начальной задачей, называют задачу нахождения

решения у = у(х) уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию

y(x

) = y

. (2)

Гео метрически эт о озна чает, что ищется интегральная кривая уравне-

ния (1), про х одящая через заданную точку M

; y

) плоскости Oxy (рис. 1).

Для дифференциальных

уравнений важное значение име-

ет вопрос о существовании ре-

шения задачи Коши и единствен-

ность этого решения.

Имеет место теорема К оши.

Если правая часть урав-

нения (1) непрерывна и имеет

непрерывную производную

∂

в области D, то решение ДУ (1)

с нач а льным условием (2), где

; y

) ∈D, существует и един-

ственно, т.е. через точку (x

; y

) ∈D проходит единственная интеграль-

ная кривая данного уравнения.

Если во всех точках решения y = ψ(x) уравнения (1) условие един-

ственности не выполняется, то такое решение называется особым. Через

каждую точку M

; y

) особого решения, кроме этого решения, прохо-

дит и другое решение уравнения (1), которое не совпадает с y = ψ(x) в

сколь угодно ма лой окрестности этой точки.

Особым решением является огибающая семейства интегральных

кривых (если она существует), т.е. линия, которая в каждой своей

точке касается хотя бы одной интегральной кривой.

Для существования особого решения уравнения (1) необходимо,

чтобы не выполнялись условия теоремы Коши.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

yy =

. (3)

Правая часть уравнения (3) f (x, y)=3y

2/3

определена и непрерывна

во всех точках плоскости Oxy. Частная произво дная

∂

обращается

Рис. 1

295

в бесконечность при у = 0, т.е. на

оси Ox, так что при у =0 нару-

шается одно из условий теоре-

мы Коши.

Следовательно, в точках

оси Ox возможно нарушение

единственности. Непосредствен-

ной подстановкой убеждаемся,

что функция y =(x + C)

(семей-

ство кубических парабол) есть

решение уравнения (3). Кроме

того, уравнение (3) имеет оче-

видное решение y ≡0 (рис. 2).

Таким образом, через каж-

дую точку оси Ox проходит, по крайней мере, две интегральные кривые,

и, следовательно, в точках этой оси нарушается eдинственность, т.е. y =0

– особое решение уравнения (3).

Общим решением ДУ (1) называется функция

y = ϕ(x, C), (4)

зависящая от одной произвольной постоянной С, и такая, что выполня-

ются условия: 1) она удовлетворяет уравнению (1) при любых допусти-

мых значениях постоянной С; 2) каково бы ни было начально е условие

(2), можно подобрать значение C

постоянной С, что решение y = ϕ(x, C

)

будет удовлетворять заданному начальному условию (2). При этом пред-

полагается, что точка (x

; y

) принадлежит области D, где выполняются

условия существования и единственности решения задачи Коши (1), (2).

Частным решением ДУ (1) называется решение, получаемое из об-

щего решения (4) при каком-либо определенном значении произвольной

постоянной С.

Пример 3. Проверить, что функция y = Ce

– общее решение урав-

нения

0=−

′

, и найти частное решение, удовлетворяющее нача льно-

му условию у(1)=–1.

Решение. Имеем y = Ce

Cey

′

. Подставляя в данное урав-

нение выражения y и

′

, получаем Ce

–Ce

≡0, т.е. функция

y = Ce

удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоян-

ной С.

Зададим любое начальное условие y(x

)=y

. Подставляя в функцию

Рис. 2

296

y = Ce

, будем иметь

Cey

, от-

куд а

eyC

−

. Функция

eyy

−

удовлетворяет данному

начальному условию. Поэтому

функция y = Ce

– общее решение

данного уравнения.

При x

= 1 и y

=–1 получим

частное решение y =–e

x–1

С геометриче ской точки зре-

ния общее решение определяет

семейство интегральных кривых,

которыми являются графики пока-

зательных функций; частное реше-

ние есть интегральная кривая, про-

ходящая через точку M

(1;–1) (рис.

3).

Иногда общее решение ДУ в виде (3) найти нелегко. В связи с этим

введем следующее определение: соотношение вида Ф(х, у, С) = 0, неявно

определяющее общее решение, называется общим интегралом ДУ пер-

вого порядк а; соотношение, получаемое из общего интеграла при конкрет-

ном значении постоянной С, называется частным интегра лом ДУ.

. Составление дифференциальных уравнений. Если

известно однопараметрическое семейство функций, то для него мож-

но построить ДУ, решениями которого будут все функции этого се-

мейства. Может оказаться, что семейство функций задает общее ре-

шение или общий интеграл ДУ.

Пример 4. Для семейства функций

1−

найти ДУ.

Решение. Продифференцировав исходное соотношение, полу-

чим

)1(

−

−=

′

. Подставив сюда C = y(x – 1), будем иметь

−

′

. Это и есть искомое уравнение; его общее решение

1−

Пример 5. Для семейства функций x

+ y

– Cx =0 найти ДУ.

Рис. 3

297

Решение. Из условия задачи находим

. Дифференци-

руем соотношение x

+ y

– Cx =0 и в полученное уравнение подставляем

значение С. Тогда

022

222

=−−

′

+ yxyxyx

, т.е.

=−+

′

yxyxy

– ис-

комое ДУ; x

+ y

–Cx=0 – его общий интеграл.

Отметим, что к составлению и интегрированию ДУ приводят мно-

гие задачи математики и других наук – физики, биологии, химии, эконо-

мики и т.д.

В экономике ДУ часто может быть составлено исходя из эконо-

мического смысла производной. В качестве примера рассмотрим ди-

намику рыночных цен (макромодель Домара), где независимой пере-

менной служит время t. Допустим, что для конкретного продукта

функции спроса Q

и предложения Q

имеют следующий вид:

= α– βP,

(5)

=–γ+ δP,

где α, β, γ, δ – некоторые положительные по стоянные, Р – цена продук-

та.

Цена равновесия

находится из условия Q

и будет равна

δ+β

γ+α

– конкретной положительной постоянной.

Если случится, что начальная цена P (0) точно равна

, то, оче-

видно, что рынок будет в положении равновесия и не нужен динами-

ческий анализ. В более интересном случае P (0) ≠

, и тогда, если

будет достижимой, то только после соответствующего процесса при-

способления, во время которого меняется не только цена, но и Q

, Q

как функции Р, причем все эти переменные можно трактовать как

функции времени. Поставим вопрос, который касается динамики цен,

так: пусть есть достаточно времени на то, чтобы произошел процесс

приспособления; будет ли цена Р (t) со временем приведена до цены

равнове сия, т.е. будет ли Р (t) стремиться к

, когда t →∞.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вначале найти Р (t). После-

днее, в свою очередь, требует описать ст руктуру изменения цен. Вооб-

ще говоря, цены определяются через релятивное воздействие сил спро-

са и предложения на рынке. Для простоты допустим, что уровень

(скорость) изменения цены (относительно времени) в каждый момент

времени прямо пропорционален разности Q

–Q

в этот момент. Такая

структура изменения цены может быть выражена так:

298

)(

QQj

−=

, (6)

где j – некоторый уст ановленный положительный множитель (коэффи-

циент) приспособления.

Подставляя (5) в (6), запишем (6) в виде:

PjjPPj

)()()( δ+β−γ+α=δ−γ+β−α=

или

)()( γ+α=δ+β+ jPj

. (7)

Уравнение (7) и есть ДУ для цены продукта Р (t) в макромодели

Домара. Решение уравнения (7) и его анализ будут приведены на

следующей лекции после изложения методов интегрирования ДУ пер-

вого порядка.

! Задания для самостоятельной работы

1. Дано семейство функций

xCxy ++=

где С – параметр. Найти ДУ с заданным семейством решений.

2. Для семейства функций х + у + С (1 – ху)=0 найти ДУ.

3. Проверить, что функция y = х + С есть общее решение ДУ

′

= 1, и найти частное решение, удовлетворяющее начальному усло-

вию у(0) = 0. Дать геометрическое истолкование результата.

4. Показать, что для уравнения

yy =

′

в каждой точке оси Ox

нарушается единственность решения.

5. Показать, что данные функции являются решениями указан-

ных дифференциальных уравнений:

a) y =

xsin

xyyx cos=+

′

;

б)

xCy −+=

xxyyx 2)1(

′

−

6. Составить ДУ кривых, у которых точка пересечения любой

касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсцис-

сы точки касания.

299

Лекция 48

Интегрирование дифференциальных

уравнений первого порядка

Рассмотрены основные ДУ первого порядка и методы их

интегрирования.

Рассмотрим ДУ первого порядка

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =0, (1)

записанное в дифференциалах, где P(x, y), Q(x, y) – заданные функции

двух переменных х и у.

. ДУ с разделяющимися переменными. Пусть

P(x, y)=P

(x), a Q(x, y)=Q

(y), тогда уравнение (1) называют ДУ с

разделенными переменными.

Используя инвариантность формы дифференциала, получаем

общее решение

CdyyQdxxP =+

∫∫

)()(

т.е. ДУ с разделенными переменными решается простым интегриро-

ванием.

Пусть P(x, y)=P

(x)P

(y), a Q(x, y)=Q

(x)Q

(y), тогда уравнение

(1) называют ДУ с разделяющимися переменными.

Поделив это уравнение на P

(y)Q

(x) ≠0, тем самым сведем его к

уравнению с разделенными переменными:

Cdy

=+⇒=+

∫∫

)(

При таком преобразовании можно потерять решения x = x

, где

)=0 и y= y

, где P

) = 0. Эти случаи нужно рассматривать

отдельно. А именно: найти x

и y

такие, что Q

)=0, P

) = 0, и

проверить, являются ли x = x

или y = y

решениями исходного урав-

нения и содержатся ли они в общем интегра ле при каком-то значении C

(соответственно C

Пример 1. Решить уравнение x(1 + y

) dx + y(1+x

) dy =0.

Решение. Разделим данное уравнение на (1 + x

)(1 + y

Переменные разделяются:

300

⇒=+++⇒=

Cyx

dyy

dxx

ln)1ln()1ln(0

⇒ (x

+ 1)(y

+ 1)=C – общий интеграл данного уравнения.

Функции Q

(x)=1 + x

и Q

(y)=y

+ 1 при вещественных х и у в нуль

не обращаются. Поэтому полученная формула содержит все решения

рассматриваемого уравнения.

. Однородные ДУ первого порядка. Функция Р(х, у) назы-

вается однородной степени m, если для любых t она удовлетворяет равен-

ству

P(tx, ty)=t

P(x, y).

Пример 2. Проверить на однородность следующие функции:

(x, y)=2x

+3y

, P

(x, y)=

– 3xy,

),(

eyxy

yxP

−

, P

(x, y)=e

Решение. P

(tx, ty)=2(t

)+3(t

)=t

(x, y).

Аналогично, P

(tx, ty)=t

(x, y).

),(),(

yxP

eyttytx

tytxP

−

;

()

),(),()(),(

444

yxPtyxPeetytxP

txytxty

≠===

ни при каком m.

Значит, P

(x, y), P

(x, y) – однородные с m =2, P

(x, y) – однород-

ная с m = 0, P

(x, y) – неоднородная функция.

ДУ (1) называют однородным, если Р(х, у) и Q(х, у) – однород-

ные функции одной степени.

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися

переменными заменой у = ux, где u – новая искомая функция. Дей-

ствительно, положив t =

(x ≠0), будем иметь

),(

,1 yxP













),(

,1 yxQ













Получим уравнение

0,1,1 =

























Qdx

или

























Qdx