Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

3 11

Лекция 50

Линейные дифференциальные уравнения

высших порядков

Рассмотрены основные свойства решений однородных и

неоднородных линейных дифференциальных уравнений

высших порядков.

. Основные определения. Линейным дифференциаль-

ным уравнением n-го порядка назовем уравнение

(n)

+ p

n–1

(x)y

(n–1)

+. . .+p

(x)y

(1)

(x)y = f(x), (1)

где функции p

(x),

1,0 −= ni

и f(x) заданы и непрерывны на некотором

интервале I=(a; b).

Для краткости записи уравнения (1) введем понятие линейного

дифференциального оператора (ЛДО) n-го порядка.

ЛДО n-го порядка называют выражение:

)()(...)(

def

++++=

−

. (2)

Считаем, что

)(

def

][

ni ,1=

Тогда ЛДУ (1) с использованием обозначения (2) примет вид

[y]=f (x).

()

′

Частным решением ЛДУ (

′

) называется такое решение этого

уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям:

y(x

)=y

(1)

)=y

(1)

, ..., y

(n–1)

)=y

(n–1)

, (3)

где заданное x

∈I, a y

, y

(1)

, ..., y

(n–1)

– любые заданные числа.

Задачей Коши (или начальной задачей) называют решение ЛДУ

(1) при начальных условиях (3).

Нетрудно убедиться, что ЛДО удовлетворяет условиям:

а) однородности: L

[сy]=с L

[y];

б) аддитивности: L

+ y

]=L

]+L

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, если

f (x) ≠0 и линейным однородным, соответствующим (1), если

f (x) ≡0, т.е. линейное однородное дифференциальное уравнение

(ЛОДУ) имеет вид

[y]=0. (4)

3 1 2

Общим решением ЛДУ (1) называется такая функция

y = ϕ(x, C

, ..., C

), зависящая от n произвольных постоянных, что

выполняются условия: 1) при любых постоянных C

, ..., C

эта функ-

ция является решением ЛДУ (1); 2) каковы бы ни были начальные

условия (3), можно подобрать такие значения C

, ..., C

постоянных

, ..., C

, что решение y= ϕ(x, C

, ..., C

) ЛДУ (1) будет удовлетво-

рять заданным начальным условиям (3).

. Свойства решений ЛОДУ (4). Пусть y

, y

, ..., y

–

решения уравнения (4). Тогда

∑

yCy

– также решение уравнения

(4) при любых произвольных постоянных C

ni ,1=

Действительно, по условию, L

] = 0. Имеем:

[]

00][][

1111

=⋅===













∑∑∑∑

====

knk

kkn

kknn

CyLCyCLyCLyL

Замечание 1. Систему функций y

(x), y

(x), ..., y

(x) называют линейно

зависимой (ЛЗ) на I, если существуют постоянные числа α

, α

, ... , α

, хотя

бы одно из которых отлично от нуля, что выполняется:

(x)+α

(x) + ... + α

(x)=0 ∀x ∈ (a; b). (5)

Если равенство (5) имеет место только при α

= α

= ... = α

= 0, то

система функций y

(x), y

(x), ..., y

(x) называется ЛНЗ (линейно независи-

мой) на I.

Пример 1. Функции 1 , х, х

ЛНЗ на любом интервале I. Дей-

ствительно, равенство (5) в данном случае имеет вид

+ α

x+α

=0 ∀x ∈(a; b), что

эквивалентно α

= α

= 0, т.к. многочлен обращается в тождествен-

ный нуль на любом интервале I тогда и только тогда, когда все его

коэффициенты равны нулю.

Структура общего решения ЛОДУ (4) следующая: 1) уравнение

(4) имеет ровно n ЛНЗ решений y

(x), y

(x), ..., y

(x), x∈I=(a; b);

2) общее решение этого уравнения имеет вид :

∑

=+++=

iinn

xyCxyCxyCxyCxy

2211

)()(...)()()(

где C

, ..., C

– произвольные постоянные.

Фундаментальной системой решений уравнения (4) называют

систему n ЛНЗ решений этого уравнения.

Таким образом, уравнение (4) имеет фундаментальную систему

решений.

3 1 3

Рассмотрим систему n функций y

(x), y

(x), ..., y

(x), непрерыв-

ных вместе со своими производными до (n–1)-го включительно

порядка на I. Определителем Вронского, или вронскианом,

W [y

, y

, ..., y

] этой системы функций называется определитель из

функций и их производных, составленный следующим образом:

)1()1(

)1(

]...,,[

−−−

′′′

yyy

yyW

&%&&

Если указанные функции y

, y

, ..., y

ЛЗ на I, то определитель

Вронского W [y

, y

, ..., y

] равен тождественно нулю на I, т.е. если

найдется хотя бы одно значение x ∈ (a; b), при котором

W [y

, y

, ..., y

] ≠0, то эти функции y

, y

, ..., y

ЛНЗ на I.

Пример 2. Является ли ЛНЗ система следующих функций:

{x, cos x, sin x}.

Решение. Имеем:

=−=

−−

−=

cossin1

sincos

sincos0

cossin1

sincos

]sin,cos,[

xxx

xxxW

0)sin(cos

≡=+= xxxx

на любом интервале I.

Таким образом, эта система ЛНЗ на любом интервале I.

Для уравнения (4) имеет место формула Остроградского-Лиу-

вилля:

∫

−

⋅=

dttp

eyyyWyyyW

)(

2121

]...,,,[]...,,,[

. (6)

Сформулированные выше свойства позволяют решить следую-

щую задачу: по данной системе n ЛНЗ функций y

(x), y

(x), ..., y

(x),

непрерывных вместе со своими производными до n-го порядка вклю-

чительно на I =(а; b), таких, что W [y

, y

, ..., y

] ≠0 на I, построить

ЛОДУ n-го порядка, решениями которого являются данные функ-

ции. Искомым дифференциальным уравнением является следующее

равенство:

3 1 4

0]...,,,[

)()(

)(

′′′′

nnn

yyyy

yyyW

%%%%%

Пример 3. Получить ЛОД У 3-го порядка, решениями которого

являются функции х, sin x, cos x.

Решение. Составим определитель Вронского и равенство:

sincos0

cossin0

sincos1

cossin

]cos,sin,,[ =

−

′′′

−−

′′

−

′

xxy

xxxy

xxxyW

После вычисления определителя получаем уравнение:

′′′

′′

−

′

+− yxyyxy

Ответ:

=−

′

′′

−

′′′

, x ∈I (0∉I ).

. Линейные неоднородные дифференциальные

уравнения (1). Пусть y

(x) – частное решение ЛДУ (1), а {y

(x),

(x), ... , y

(x)} образуют фундаментальную систему решений соответ-

ствующего уравнению (1) однородного уравнения (4), тогда

∑

xyCxyxy

)()()(

, где С

, ... , C

– произвольные постоянные,

есть общее решение ЛДУ (1).

Таким образом, общее решение линейного неоднородного диф-

ференциального уравнения (1) есть сумма его частного решения y

(x)

и общего решения соответствующего ему однородного уравнения (4)

∑

xyCy

)(

Для отыскания частного решения линейного неоднородного урав-

нения (1) применяется метод вариации произвольных постоянных, ко-

торый заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная

система {y

, y

, ... , y

} решений соответствующего однородного урав-

нения (4). Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) будем

искать в виде общего решения ЛОУ:

3 1 5

∑

yxCy

)(

, (7)

но с переменными произвольными постоянными. Для определения C

(x),

nk ,1=

, которых n, а уравнение одно, требуется наложить

(n – 1) условие при вычислении производных функции у. Имеем:

∑∑

⇓

′

yxCyxCy

)()(

!"!#$

∑∑

⇓

′′

yxCyxCy

)()(

!"!#$

..........

!"!#$

⇓

∑∑

−

′

yxCyxCy

)(

)1()(

)()(

Подставляя эти производные в уравнение (1), получим последнее

уравнение для нахождения

)(xC

′

)()(][][

)1(

xfyxCyLyL

kknn

′

∑

−

⇓

"#$

Таким образом, получаем следующую квадратную систему линей-

ных алгебраических уравнений для функций

)(xC

′











′

′′

′

−−−

).(...

............

,0...

)1()1(

)1(

2211

xfyCyCyC

yCyCyC

(8)

Решение системы (8) можно найти по формулам Крамера:

]...,,,[

)(

yyyW

∆

′

nk ,1=

, (9)

причем определителем этой системы является определитель Вронского.

3 1 6

Интегрируя (9), получаем функции C

(x),

nk ,1=

Пример 4. В примерах 2 и 3 показано, что {x, cos x, sin x} – фунда-

ментальная система решений ОДУ для уравнения:

y =−

′

′′

−

′′′

Найти частное и общее решения этого уравнения.

Решение. y = C

(x) x+C

(x) cos x+C

(x) sin x.

Вычислим определители:

xxx

xxxW =

−−

−=

sincos0

cossin1

sincos

]sin,cos,[

xxx

−−

−=∆

sincos

cossin0

sincos0

)sincos(

sin0

cos01

sin0

xxxx

−−=

−

=∆

)cossin(

cos0

0sin1

0cos

xxxx

−−=

−

−=∆

Вычислим C

(x), k = 1, 2, 3.

111

)(1

CxxCC +=⇒=

′

=+−−=⇒+−=

′

∫

222

coscos)(sincos

CxdxxxxCxxxC

cos2sin

Cxxx +−−=

=+−−=⇒−−=

′

∫

333

sinsin)(cossin

CxdxxxxCxxxC

sin2cos

Cxxx +−=

Окончательно получим:

=+−++−−++= xCxxxxCxxxxCxy sin)sin2cos(cos)cos2sin()(

321

!!!!"!!!!#$

"#$

xCxCxCx

sincos2

321

+++−=

3 1 7

! Задания для самостоятельной работы

1. Проинтегрировать уравнение

′













′′

, имеющее ча-

стное решение y

xsin

Указание. Сделать замену

∫

dzzyy

, где z – новая неизвестная функция.

2. Выписать решение системы (8) для уравнения (1) второго по-

рядка:

)()()(

xfyxpyxpy =+

′

′′

3. Дано уравнение

′

−

′′′

. Составляют ли фундаменталь-

ную систему решений функции e

, e

–x

−

, являющиеся,

как легко проверить, решениями этого уравнения.

4. Установить, будут ли ЛНЗ в промежутке своего существова-

ния следующие функции:

а) 2x

+ 1, x

– 1, x+ 2; б)

ax +

ax 2+

;

в) ln (2x), ln (3x), ln (4x).

3 1 8

Лекция 51

Линейные однородные дифференциальные

уравнения n-го порядка с постоянными

коэффициентами

Приведены формулы общего решения ЛОДУ n-го порядка

как для случая простых, так и для случая кратных корней

характеристического уравнения, рассмотрены линейные

однородные уравнения Эйлера.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(n)

+ p

n–1

(n–1)

+ ... + p

(1)

+ p

y =0, (1)

где p

1,0 −= ni

– вещественные постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (1) поступим так.

Составляем так называемое характеристическое уравнение для урав-

нения (1) заменой производных y

( j )

на степени λ

+ p

n–1

+ ... + p

λ+ p

=0. (2)

Пусть λ

, λ

, ... , λ

– корни уравнения (2), причем среди них могут

быть и кратные.

Возможны следующие случаи.

. λ

, λ

, ..., λ

– вещественные и различные. Тогда фундамен-

тальная система решений уравнения (1) имеет вид

eee

λλ

...,,,

, (3)

и общим решением уравнения (1) будет

eCeCeCy

λλλ

+++=

...

где C

, C

, ... , C

– произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение уравнения:

032 =

′

−

′′

−

′′′

yyy

Решение. Составляем характеристическое уравнение

–2λ

–3λ= 0. Находим его корни: λ

= 0, λ

=–1, λ

= 3. Так как они

действительные и различные, то общее решение имеет вид:

eCeCCy

321

++=

−

3 1 9

. Корни характеристического уравнения вещественные, но среди

них есть кратные. Пусть, например, λ

= λ

= ... = λ

, т.е. λ

является k-крат-

ным корнем уравнения (2), а все остальные (n–k) корней различные.

Фундаментальная система решений уравнения (1) в этом случае имеет

вид

eeexxee

λλ

−

λλ

...,,,...,,,

1111

, (4)

а общее решение

eCeCexCxeCeCy

λλ

−

λλ

++++++=

......

111

Пример 2. Найти общее решение уравнения

02 =

′

′′

′′′

yyy

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

+2λ

+ λ=0.

Отсю да λ

= λ

=–1, λ

= 0. Корни действительные, причем один из

них, а именно λ=–1 двукратный, поэтому общее решение имеет вид:

321

CxeCeCy

++=

−−

. Среди корней характеристического уравнения (2) есть комп-

лексные. Пусть для определенности λ

= α+ i β, λ

= α– i β, λ

= ν+ i δ,

= ν– i δ, а о с тальные корни уравнения (2) вещественные и различные.

Отметим, что так как по предположению ко эффициенты p

1,0 −= ni

уравнения (2) вещественные, то комплексные корни этого уравнения по-

парно сопряженные.

Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид

cos

sin

cos

sin

, ...,

, (5)

а общее решение:

+δ+δ+β+β=

νναα

xeCxeCxeCxeCy

xxxx

sincossincos

4321

eCeC

λλ

+++

...

Пример 3. Найти общее решение уравнения

0134 =

′

′′

′′′

yyy

Решение. Характеристическое уравнение

+4λ

+ 13λ=0

имеет корни λ

= 0, λ

=–2–3i, λ

=–2+3i.

320

Общее решение:

xeCxeCCy

3sin3cos

−−

++=

. B случае, если λ

= α+ i β является k-кратным корнем уравне-

ния (2) (k ≤

), λ

= α– i β, также будет k-кратным корнем, и фундамен-

тальная система решений уравнения (1) (считаем, что ост альные корни

уравнения (2) вещественные и различные) имеет вид:

cos

sin

xxe

cos

xxe

sin

, ...,

xex

α−

cos

xex

α−

sin

12 +

, ...,

(6)

Значит, общее решение ДУ (1):

++β+β+β+β=

αααα

...sincossincos

4321

xxeCxxeCxeCxeCy

xxxx

eCeCxexCxexC

λλ

α−α−

−

+++β+β+

...sincos

Пример 4. Найти общее решение уравнения

02422 =−

′

′′

−

′′′

+− yyyyyy

IVV

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

–2λ

+2λ

–

4λ

+ λ–2=0.

Запишем его так: (λ– 2)(λ

+ 1)

= 0. Отсюда получаем λ=2 –

однократный и λ=±i – пара двукратных мнимых корней.

Общее решение есть

xxCCxxCCeCy

sin)(cos)(

5432

++++=

. Остальные возможные случаи рассматриваются аналогично 2

Уравнение Эйлера. Линейные дифференциальные уравнения

вида

(n)

+ p

n–1

(n–1)

+ ... + p

(1)

+ p

y =0, (7)

где вс е p

1,0 −= ni

– по стоянные, называются уравнениями Эйлера.

Эти уравнения заменой независимого переменного x = e

преобразу-

ются в ЛОДУ с постоянными коэффициентами

0...

)1(

)(

′

+++

−

yayayay

, (8)

где

)(

– i-тая производная функции у по t.