Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
301
Учитывая dy = udx + xdu, имеем P
1
(u)dx + Q
1
(u)(udx + xdu) или
(P
1
(u)+uQ
1
(u)) dx + xQ
1
(u) du = 0, которое является уравнением с раз-
деляющимися переменными.
Пример 3. Проинтегрировать уравнение
2
2
x
eyxy
y
y
x
−
+
=
′
.
Решение. Уравнение однородное. Положим y = xu. Тогда
u
euuuxu
1
2
−
+=
′
+
или, интегрируя, получим –
u
e
1
=ln|x| –C, т.е.
y
x
e
+ln|x| = C – общий интеграл этого уравнения.
Замечание 1. К однородным уравнениям сводятся также уравнения
вида
++
++
=
′
221
121
cybxb
cyaxa
fy
(2)
при
0
21
21
≠
bb
aa
. Для сведения уравнения (2) к однородному нужно решить
систему линейных уравнений
−=+
−=+
.
,
221
121
cybxb
cyaxa
Если ее решение (x
0
; y
0
), то, сделав преобразование X = x–x
0
, Y = y–y
0
,
получим однородное уравнение
+
+
=
YbXb
YaXa
f
dX
dY
21
21
.
3
0
. Линейные дифференциальные уравнения пер-
вого порядка. Уравнения, которые можно записать в виде
)()( xqyxpy =+
′
или
)()( yqxyp
dy
dx
=+
, называются линейными,
первое – относительно у,
dx
dy
, а второе – относительно х,
dy
dx
. Если
q(x) ≡0 (q(y) ≡0), то уравнение называется линейным однородным,
если q(x) ≠ 0 (q(y) ≠ 0), – линейным неоднородным. Линейное
однородное – это уравнение с разделяющимися переменными.
Решим, например, линейное однородное уравнение
0)( =+
′
yxpy
. (3)
302
Имеем
∫∫
⇒=+⇒=+⇒=+
1
)(0)(0)(
Cdxxp
y
dy
dxxp
y
dy
yxp
dx
dy
⇒=+⇒
∫
Cdxxpy ln)(ln
yCCey
dxxp
==⇒
∫
−
)(
, (4)
где
∫
−
=
dxxp
ey
)(
, C ≠ 0. Т.к. у =0 – т акже решение уравнения (3), то фор-
мула (4) будет давать все решения (в данном случае общее решение)
уравнения (3), если считать параметр С произвольным.
Решим линейное неоднородное уравнение
)()( xqyxpy =+
′
. (5)
Решение ищем в виде, подобном решению однородного уравнения
yxCy )(=
, (6)
где С(х) – неизвестная функция. Подставляя (6) в (5), имеем
[]
)()()()()(
0)()(
xqyxpxCyxCyxC
yxpyxC
=+
′
+
′
=+
′
⇓
!!!"!!!#$
.
Значит,
Cdx
y
xq
xC
y
xq
dx
xdC
xqyxC +=⇒=⇒=
′
∫
)(
)(
)()(
)()(
.
Подставляя найденное С(х) в (6), получаем
∫
+=
dx
y
xq
yyCy
)(
– формулу Бернулли.
Пример 4. Решить уравнение
x
exyy
sin
cos
−
=+
′
.
Решение. Имеем
x
dxx
eey
sin
cos
−
−
==
∫
,
xx
eexC
sinsin
)(
−−
=
′
⇒
⇒
1)( =
′
xC
, т.е. C(x)=x + C.
Общее решение: y =(x + С) e
–sin x
.
Пример 5. Решить уравнение (Л.47.7):
)()( γ+α=δ+β+ jPj
dt
dP
.
303
Имеем:
=
δ+β
γ+α
+
δ+β
γ+α
−=
δ+β−
tj
ePtP
)(
)0()(
[]
PePP
kt
+−=
−
)0(
, где k = j (β+ δ),
δ+β
γ+α
=
P
.
Геометрически решение изобразим на рис. 1.
4
o
. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называют
нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка
α
=+
′
yxqyxpy )()(
, (7)
где α (α≠0, α≠1) – произвольное вещественное число. Подстановка
y = u
1–α
приводит уравнение (7) к линейному неоднородному уравне-
нию. Уравнение (7) можно решать также подстановкой y(x)=u(x)v(x).
Тогда, записав уравнение (7) в виде
αα
=++
′
′
vvvv
uxquxpu )())((
,
решим два уравнения с разделяющимися переменными:
0)( =+
′
vv
xp
(берем только одно решение v ≠0) и
1
)(
−αα
=
′
v
uxqu
(берем его общее решение).
Подставляя их в соотношение y(x)=u(x)v(x), получим общее ре-
шение уравнения Бернулли.
Пример 6. Решить уравнение
xyyyx ln
2
=+
′
.
Решение. Это уравнение Бернулли. Полагаем y = uv. Тогда
уравнение запишется так:
xuuuxxu ln)(
22
vv
v
=+
′
+
′
. Из
0
=+
′
uux
имеем u =
x
1
, а из
x
x
x
ln
2
v
v
=
′
или
dx
x
xd
22
ln
=
v
v
получим
xCx
x
ln1 ++
=
v
.
Рис. 1
304
Таким образом, общее решение
xCx
uy
ln1
1
++
==
v
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Проинтегрировать уравнения:
а)
xyxyy 2
2
+=
′
; б)
x
y
y
1−
=
′
; в)
yyx 2cos1
2
+=
′
;
г)
yx
ey
−
=
′
; д) (y
2
+ xy
2
) dx + (x
2
– yx
2
) dy =0; е)
2
2
1
1
x
y
y
+
+
=
′
;
ж) e
x+y
dx + ydy =0.
2. Решить уравнения:
а)
0coscos =+
− dy
x
y
xdx
x
y
yx
;
б) (2x–4y +6)dx +(x + y –3)dy =0;
в)
2
22'
xxyxyxy −−−=
; г)
2
22
2
x
yx
y
+
=
′
;
д) (x
2
+ xy + y
2
) dx – x
2
dy =0;
е)
)lnln1( xy
x
y
y −+=
′
; ж)
2
1
2
2
−+
+
=
′
yx
y
y
.
3. Найти общее решение или общий интеграл уравнений:
а)
4
22
xyyx =−
′
; б)
02)1sin(
2
=+−
′
yyxyx
; в)
2
2
x
xexyy
−
=+
′
;
г)
xxyy 2sintg =+
′
; д)
422
)1(
1
1
6
+
=
+
+
′
xx
xy
y
;
е)
yxyy =+
′
; ж)
yxyyx −=−
′
ln
2
.
4. Найти частное решение или частный интеграл в задачах:
а) xdy–(x + y) dx = 0, y(1)=2; б)
x
y
x
y
y ln=
′
, y(1)=1;
в)
2
1
sin
x
y
y
+
=
′
,
0
4
=
π
y
; г)
2
2
x
xey
−
=
′
, y(0) = 1;
д)
xxyyx ln2
2
=+
′
, y(e)=1; е)
x
exyyx
4
3
=−
′
, y(1)=e;
ж)
)(2
2
yxxy +=
′
, y(0) = 1.
305
Лекция 49
Комплексные числа и комплексная
экспонента
Введены комплексные числа и изучены их основные
свойства; рассмотрена комплексная экспонента и ее
свойства, используемые в дальнейшем при изучении ДУ спо-
стоянными коэффициентами.
В шко льно м курсе математики рассматривались целые, рациональ-
ные, вещественные числа. В частности, множество вещественных чисел на-
ряду с рациональными вклю чает в себя иррациональные числа, ко т орые, в
отличие от рациональных, не представимы бесконечными перио дическими
десятичными дробями. Отметим также, что не каждое школьное утвержде-
ние является абсолютной истиной. Например, если для квадратного уравне-
ния дискриминант меньше нуля, то такое уравнение имеет решения, правда,
для этого потребуется выйти из множества вещественных (действительных)
чисел.
Пример 1. Решить уравнениe: z
3
= 1.
Решение. Имеем z
3
– 1 = 0; (z – 1)(z
2
+ z + 1)=0⇒ z
1
= 1,
z
2
+ z + 1 =0⇒
2
3
2
1
2
411
3,2
iz +−=
−±−
=
;
3133 i=−=−
.
Такая задача приводит нас к понятию мнимой единицы:
1−=i
.
1
0
. Комплексные числа и их основные свойства.
Комплексными числами называют числа z следующего вида:
z=x+iy=Re z+iIm z – алгебраическая форма, где х или Re z –
действительная, а у или Im z – мни-
мая части комплексного числа.
Комплексно сопряженным
числом
z
к z называют число, от-
личающееся только знаком своей
мнимой части, т.е.
iyxz −=
.
Геометрически каждое комп-
лексное число z = x + iy изобра жа-
ется то чкой М(х; у) координатной
плоскости Oxy (рис. 1).
Рис. 1
306
В этом случае плоск ость Oxy называют комплексной числовой плос-
костью, или плоскостью комплексного переменного.
Полярные координаты r и ϕ точки М, являющейся изображением
комплексного числа z, называются модулем и аргументом комплекс-
ного числа z (обозначение r = |z|, ϕ= Arg z). Так как каждой точке
плоскости соответствует бесчисленное множество значений полярно-
го угла, отличающихся друг от друга на 2kπ (k – целое положитель-
ное или отрицательное число), то Arg z – бесконечнозначная функция
z ; значение полярного угла ϕ, которое удовлетворяет неравенству
–π<ϕ≤π , называют главным значением аргумента z и обозначают
arg z. Дальше обозначение ϕ сохраним только для главного значения
аргумента z, т.е. положим ϕ= arg z, a тогда для остальных значений
аргумента z получим равенство:
Arg z = arg z +2kπ= ϕ+2kπ.
Соотношения между модулем и аргументом комплексного чис-
ла z и его действительной и мнимой частями х и у вытекают из связи
декартовой и полярной систем координат: x = r cos ϕ, y= r sin ϕ.
Отсюда:
22
yxzr +==
,
22
cos
yx
x
z
x
+
==ϕ
,
22
sin
yx
y
z
y
+
==ϕ
.
Аргумент z можно определить также с помощью формулы :
ϕ= arg z = arctg
x
y
+ C,
где С =0 при x > 0; С =+π при x <0, y> 0; С =–π при x <0, y<0.
Заменяя х и у в записи комплексного числа z = x + iy их выраже-
ниями через r и ϕ, получим так называемую тригонометрическую фор-
му комплексного числа:
z = r (cos ϕ+ i sin ϕ).
Пример 2. Изобразить на декартовой плоскости решение при-
мера 1: z
1
= 1,
2
3
2
1
3,2
iz ±−=
.
Решение. Имеем: x
1
= 1, x
2,3
=
2
1
−
; y
1
=0,
2
3
3,2
±=y
.
Решение изображено на рис. 2.
307
Пример 3. Представить в т ригонометрической форме комплек-
сное число z =2+5i.
Решение. Находим модуль комплексного числа:
385,529254 ≈=+=z
.
Находим главное значение аргумента: tg ϕ=
2
5
= 2,5,
2168
′
°=ϕ
.
Следовательно,
)2168sin2168(cos385,5
′
°+
′
°≈ iz
.
Свойства комплексных чисел
1. Два комплексных числа z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
считаются
равными тогда и только тогда, когда у них равны по отдельности
действительные и мнимые части:
z
1
= z
2
⇔x
1
= x
2
, y
1
= y
2
.
2. Сложение. Если z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
, то
z
1
+ z
2
=(x
1
+ x
2
)+i (y
1
+ y
2
).
3. Вычитание. Если z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
, то
z
1
– z
2
= (x
1
– x
2
)+i (y
1
– y
2
).
4. Умножение. Если z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
, то
z
1
z
2
=(x
1
x
2
– y
1
y
2
) +i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
),
т.е. комплексные числа перемножаются как двучлены, причем i
2
заменяется на –1.
Если z
1
= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
), z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
),
то z
1
z
2
= r
1
r
2
[cos (ϕ
1
+ ϕ
2
)+i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)].
Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей
Рис. 2
308
сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов сомножи-
телей.
5. Деление. Частное z
3
двух комплексных чисел z
1
и z
2
, задан-
ных в алгебраической форме, равно:
2
2
*
21
*
22
*
21
2
1
3
z
zz
zz
zz
z
z
z
⋅
=
⋅
⋅
==
.
Если z
1
и z
2
заданы в тригонометрической форме, то
[]
)sin()cos(
2121
2
1
2
1
3
ϕ−ϕ+ϕ−ϕ==
i
r
r
z
z
z
.
Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого
и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого
и делителя.
6. Возведение в степень. Если z = r (cos ϕ+ i sin ϕ), то
z
n
= r
n
(cos nϕ+ i sin nϕ),
где n может быть как целым положительным, так и целым отрица-
тельным числом.
В частности, справедлива формула Муавра:
(cos ϕ+ i sin ϕ)
n
= cos (nϕ)+i sin (nϕ).
7. Извлечение корня. Если n – целое положительное число,
z = r (cos ϕ+ i sin ϕ), то корень n-ой степени из комплексного числа z
имеет n различных значений, которые находятся по формуле
π+ϕ
+
π+ϕ
=
n
k
i
n
k
rz
nn
2
sin
2
cos
,
где k = 0, 1, 2, ..., n – 1.
Пример 4. Найти
3
21
z
zz
,
если z
1
=3+5i, z
2
=2+3i, z
3
= 1 +2i.
Решение. z
1
z
2
=(3+5i)(2+3i)=6+9i + 10i – 15=–9+19i,
i
ii
ii
ii
i
i
z
zz
5
37
5
29
41
3819189
)21)(21(
)21)(199(
21
199
3
21
+=
+
+++−
=
−+
−+−
=
+
+−
=
.
Пример 5. Найти все значения
3
8
i+
.
Решение. Запишем комплексное число
3
8
iz +=
в тригоно-
метрической форме. Имеем r= |z| ≈8,062, ϕ= arg z = arctg
8
1
=
67
′
°
,
309
т.е. z = 8,062(cos
67
′
°
+ i sin
67
′
°
). Значит,
≈
°+
′
°
+
°+
′
°
==+
3
36067
sin
3
36067
cos062,88
3
3
k
i
k
i
[]
)120222sin()120222cos(0052,2 kik
°+
′
°+°+
′
°≈
.
Отсюда получаем три корня ω
0
, ω
1
, ω
2
соответственно при k= 0, 1, 2.
2
0
. Комплексная экспонента. Определим показательную
функцию e
iϕ
с помощью формулы Эйлера:
ϕ+ϕ=
ϕ
sincos
def
ie
i
. (1)
С помощью формулы (1) комплексное число, заданное в триго-
нометрической форме z = r (cos ϕ+ i sin ϕ), может быть представлено в
показательной форме z = re
i
ϕ
.
Определим теперь экспоненту e
λ
x
при комплексных значениях λ.
Если λ= i β (β – вещественно), то по формуле Эйлера (1) имеем
e
i
β
x
= cos (βx)+i sin (βx).
Пусть λ= α+ i β, где α, β – вещественные числа. Положим по
определению
e
(
α
+ i
β
)x
= e
α
x
[cos (βx)+i sin (βx)].
Функция e
λ
x
при вещественных λ обладает следующими свой-
ствами:
а)
xxx
eee
)(
2121
λ+λλλ
=⋅
;
б)
1=⋅
λ−λ
xx
ee
;
в)
xx
ee
dx
d
λλ
λ=
;
г)
)0(
1
0
0
≠λ
λ
=
λλ
∫
x
x
x
x
x
x
edxe
.
Свойства а)–г) верны и при комплексных λ. Для функции
f (x)= u(x)+i v (x), где функции u(x), v(x) принимают вещественные
значения, производная и интеграл определяются так:
)()()( xixuxf
v
′
+
′
=
′
,
∫∫∫
+=
b
a
b
a
b
a
dxxidxxudxxf
)()()(
v
.
Докажем, например, а). Пусть λ
1
= α
1
+ i β
1
, λ
2
= α
2
+ i β
2
. Тогда
+ββ−ββ=⋅
α+αλ
)sin()sin()cos()[cos(
2121
)(
2121
xxxxeee
xxx
λ
3 1 0
=ββ+ββ+ ))]sin()cos()cos()(sin(
2121
xxxxi
xx
exixe
)(
2121
)(
2121
])sin()[cos(
λ+λα+α
=β+β+β+β=
,
что и доказывает свойство а).
! Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить выражения:
а) (2 + 4i)
3
; б)
)65)(43(
)23)(21(
ii
ii
−−
+−
; в)
2
)34(
1
i−
; г)
)26)(5(
)21(3
ii
i
+−
+
.
2. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
а) i; б) –1 ; в) 5+3i; г) – 1 +2i; д ) 5 – 6i; е)
i232 −
.
3. Найти все значения:
а)
4
i
; б)
5
2
i−
; в)
7
38
i−
; г)
3
3
i+
; д)
i52 +
; е)
6
23
i−
.
4. Пользуясь формулой Муавра:
а) выразить cos 5ϕ и sin 5ϕ через cos ϕ и sin ϕ;
б) выразить cos 4ϕ и sin 4ϕ через cos ϕ и sin ϕ;
в) вычислить (cos 2 + i sin 2)
45
;
г) вычислить
12
2
3
+i
.
5. Представить в показательной форме комплексные числа:
а)
33 i+
; б)
22 i
−
; в)
i+3
; г) –i .
6. Записать в алгебраической форме числа:
а)
2
i
e
π
; б)
i
e
π
; в) 3e
2i
; г) 4e
5i
.
7. С помощью формулы Эйлера доказать соотношения :
а)
2
cos
xixi
ee
x
−
+
=
; б)
i
ee
x
xixi
2
sin
−
−
=
;
в)
xxx cos
4
3
3cos
4
1
cos
3
+=
;
г)
xxxx cos
8
5
3cos
16
5
5cos
16
1
cos
5
++=
.